结构力学笔记_龙驭球

一、教学内容

结构力学的基本概念和基本学习方法。 二、学习目标

 了解结构力学的基本研究对象、方法和学科内容。

 明确结构计算简图的概念及几种简化方法，进一步理解结构体系、结点、支座的形式

和内涵。

 理解荷载和结构的分类形式。Xufangrong2012 62678756xfr

在认真学习方——学习方法的基础上，对学习结构力学有一个正确的认识，逐步形成一个行之有效的学习方法，提高学习效率和效果。 三、本章目录

§1-1 结构力学的学科内容和教学要求§1-2 结构的计算简图及简化要点 §1-3 杆件结构的分类§1-4 荷载的分类§1-5 方(1)——学习方法(1) §1-6 方(1)——学习方法(2)§1-7 方(1)——学习方法(3)

§1-1 结构力学的学科内容和教学要求

1. 结构

建筑物和工程设施中承受、传递荷载而起骨架作用的部分称为工程结构,简称结构。例如房屋中的梁柱体系，水工建筑物中的闸门和水坝，公路和铁路上的桥梁和隧洞等。

从几何的角度，结构分为如表1.1.1所示的三类:

表1.1.1 结构的分类 分类名称 特点 由杆件组成的结构，是结构力学的研究对象 又称壁结构，几何特征是其厚度要比长度和宽度小得多 长、宽、厚三个尺度大小相仿 实例 梁、拱、刚架、桁架 房屋中的楼板和壳体屋盖 水工结构中的重力坝 杆件结构 板壳结构 实体结构 2. 结构力学的研究内容和方法

结构力学与理论力学、材料力学、弹塑性力学有着密切的关系。

理论力学着重讨论物体机械运动的基本规律，而其他三门力学着重讨论结构及其构件的强度、刚度、稳定性和动力反应等问题。

其中材料力学以单个杆件为主要研究对象，结构力学以杆件结构为主要研究对象，弹塑性力学以实体结构和板壳结构为主要研究对象。学习好理论力学和材料力学是学习结构力学的基础和前提。

结构力学的任务是根据力学原理研究外力和其他外界因素作用下结构的内力和变形，结构的强度、刚度、稳定性和动力反应，以及结构的几何组成规律。包括以下三方面内容：

(1) 讨论结构的组成规律和合理形式，以及结构计算简图的合理选择； (2) 讨论结构内力和变形的计算方法，进行结构的强度和刚度的验算； (3) 讨论结构的稳定性以及在动力荷载作用下的结构反应。

结构力学问题的研究手段包含理论分析、实验研究和数值计算，本课程只进行理论分析和数值计算。结构力学的计算方法很多，但都要考虑以下三方面的条件：

(1) 力系的平衡条件或运动条件。(2) 变形的几何连续条件。(3) 应力与变形间的物理条件（本构方程）。

利用以上三方面进行计算的，又称为“平衡-几何”解法。 采用虚功和能量形式来表述时候，则称为“虚功-能量”解法。

随着计算机的进一步发展和应用，结构力学的计算由过去的手算正逐步由计算机所代替，本课程的特点是将结构力学求解器集成到网络中，主要利用求解器进行计算和画图。

3. 课程教学中的能力培养 (1) 分析能力

 选择结构计算简图的能力：将实际结构进行分析，确定其计算简图。

 进行力系平衡分析和变形几何分析的能力：对结构的受力状态进行平衡分析，对结构的变形和位移状态要进行几何分析。这两方面的分析能力是结构分析的两个看家本领， 要在反复运用中加以融会贯通，逐步提高，力求达到能正确、熟练、灵活运用的水平。  选择计算方法的能力：要了解结构力学中的各种计算方法的特点，具有根据具体问题 选择恰当的计算方法的能力。 (2) 计算能力

 具有对各种结构进行计算或确定计算步骤的能力。  具有对计算结果进行定量校核或定性判断的能力。  初步具有应用计算机计算的能力。

做题练习是学习结构力学的重要环节。不做一定量的习题就很难对基本概念和方法有深入的理解和掌握，也很难培养较好的计算能力。 (3) 自学能力

自学包含两个方面：消化已学知识、摄取新的知识。

§1-2 结构的计算简图及简化要点

实际结构往往是很复杂的,进行力学计算以前，必须加以简化，用一个简化的图形来代替实际结构，这个图形称为结构的计算简图。 一、简化的原则

（1）从实际出发——计算简图要反映实际结构的主要性能。 （2）分清主次，略去细节——计算简图要便于计算。 二、简化的要点

1. 结构体系的简化

一般的结构都是空间结构。但是，当空间结构在某一平面内的杆系结构承担该平面内的荷载时，可以把空间结构分解成几个平面结构进行计算。本课程主要讨论平面结构的计算。当然，也有一些结构具有明显的空间特征而不宜简化成平面结构。

2. 杆件的简化

在计算简图中，结构的杆件总是用其纵向轴线代替。 3. 杆件间连接的简化

结构中杆件相互连接的部分称为结点，结点通常简化为铰结点或刚结点。铰结点是指相互连接的杆件在连接处不能相对移动，但可相对转动，即：可传递力，但不能传递力矩。刚结点是指相互连接的杆件在连接处不能相对移动，也不能相对转动，既可传递力，又能传递力矩。

4. 结构与基础间连接的简化

结构与基础的连接区简化为支座。按受力特征，通常简化为：

(1) 滚轴支座：只约束了竖向位移，允许水平移动和转动。提供竖向反力。在计算简图中用支杆表示。

(2) 铰支座：约束竖向和水平位移，只允许转动。提供两个反力。在计算简图中用两根相交的支杆表示。

(3) 定向支座：只允许沿一个方向平行滑动。提供反力矩和一个反力。在计算简图中用两根平行支杆表示。

(4) 固定支座：约束了所有位移。提供两个反力也一个反力矩。 5. 材料性质的简化

在土木、水利工程中结构所用的建筑材料通常为钢、混凝土、砖、石、木料等。在结构计算中，为了简化，对组成各构件的材料一般都假设为连续的、均匀的、各向同性的、完全弹性或弹塑性的。

上述假设对于金属材料在一定受力范围内是符合实际情况的。对于混凝土、钢筋混凝土、砖、石等材料则带有一定程度的近似性。至于木材，因其顺纹和横纹方向的物理性质不同，故应用这些假设时应予注意。

6. 荷载的简化

作用在实际结构上的荷载形式比较多，简化比较复杂，但根据其分布情况大致可简化为集中荷载和分布荷载两大类。

§1-3 杆件结构的分类

结构的分类实际上是计算简图的分类。 1. 梁

梁是一种受弯构件，其轴线通常为直线，既可以是单跨，也可以是多跨(图1-1a、b)。

图1-1a

图1-1b

2. 拱

拱是一种杆轴为曲线且在竖向力作用下，会产生水平反力的结构(图1-2a、b)。

3. 桁架

桁架是由若干个直杆组成,所有结点都为铰结点(图1-3)。

图1-3

4. 刚架

刚架由直杆组成，其结点通常为刚结点（图1-4）。 5. 组合结构

组合结构是桁架和梁或刚架组合在一起的结构(图1-5)。

图1-4

图1-5

§1-4 荷载的分类

一、按作用时间的久暂

荷载可分为恒载和活载。恒载是长期作用与结构上的不变荷载，如结构的自重、安装在结构上的设备重量等，这种荷载的大小、方向、作用位置是不变的。活载是建筑物在施工和使用期间可能存在的可变荷载，如吊车荷载、结构上的人群、风、雪等荷载。 二、按荷载的作用范围

荷载可分为集中荷载和分布荷载。荷载的作用面积相对于总面积是微小的，作用在这个面积上的荷载，可以简化为集中荷载。分布作用在一定面积或长度上的荷载，可简化为分布荷载，如风、雪、自重等荷载。 三、按荷载作用的性质

荷载可分为静力荷载和动力荷载。静力荷载的数量、方向和位置不随时间变化或变化极其缓慢，不使结构产生显著的加速度，因而可以忽略惯性力的影响。动力荷载是随时间迅速变化或在短暂时间内突然作用或消失的荷载，使结构产生显著的加速度。车辆荷载、风荷载和地震荷载通常在设计中简化为静力荷载，但在特殊情况下要按动力荷载考虑。 四、按荷载位置的变化

荷载可分为固定荷载和移动荷载。作用位置固定不变的荷载为固定荷载。如风、雪、结构自重等。可以在结构上自由移动的荷载称为移动荷载。如吊车梁上的吊车荷载、公路桥梁上的汽车荷载就是移动荷载。荷载的确定，常常是比较复杂的，荷载规范总结了设计经验和科学研究的成果，供设计时应用。但在不少情况下，设计者要深入现场，结合实际情况进行调查研究，才能对荷载作出合理的确定。

§1-5 方(1)——学习方法(1)

学习要讲究方法，要学会，更要会学。下面是在结构力学的教学和科研过程中产生的一些想法,主要从加、减、问、用和创新五个方面展开讨论。 一、会加

1.勤于积累

摄取和积累知识是培养能力的基础，也是研究创新的基础。“才须学也。非学无以广才，非志无以成学”(诸葛亮)。要有集腋成裘、积土成山的志趣。

2.融会贯通

要把知识连成一片，互相沟通，左右联系，前后呼应，融会贯通。在数学语言和力学语言之间要会翻译：把抽象的数学公式翻译成具体生动的物理概念；把直观的力学思路翻译成严密的数学程序。

3.用心梳理

积累知识要用心梳理，使之条理化，成为一个脉络清晰、有主有次、有目有纲的知识网。

4.落地生根

把别人的、书本上的知识变成自己的，化他为己，这样的知识才是牢靠的，生了根的。把新学来的知识融化在自己已有的知识结构上，把“故”作为“新”的基地，使“新”在“故”上生根发芽成长。 二、会减

1. 概括的能力

把一章内容概括成三言两语，对一门课理出它的主要脉络，写人能勾出特征，画龙会点睛。 2. 简化的能力

盲目简化——不分主次，乱剪乱砍。合理简化——分清主次，剪枝留干。选取结构计算简图是结构力学的基本功。不会简略估算、定性判断，是很危险的。

3. 统帅驾驭的能力 学习积累的知识，要形成一个知识系统，要培养提纲挈领、统帅全局的能力,达到纲举目张、灵活驾驭的目的。

4. 弃形取神的能力

在力学学习和科学研究中要培养由表入里、弃形取神的能力：

个别到一般：舍弃千差万别的个性和特殊性，摘取其中的共性和普遍性。 具体到抽象：舍弃不同问题的具体性，提炼为一般原理的抽象性。 现象到规律：舍弃现象的表面形态，洞察出深藏的本质和内在的规律。

温故到创新：拆除旧观念的篱笆，标新立异，另辟新路，开拓新途径和新领域。

§1-6 方(1)——学习方法(2)

三、会问

1. 多问出智慧

学习中要多问，多打几个问号。“？”像一把钥匙，一把开启心扉和科学迷宫的钥匙。 2. 要会问

学习中提不出问题是学习中最大的问题。发现了问题是好事，抓住了隐藏的问题是学习深化的表现。

3. 要追问

重要的问题要抓住不放，要层层剥笋，穷追紧逼，把深藏的核心问题解决了，才能达到“柳暗花明”的境界。

4. 要问自己 四、会用

学而时习之，学习=学+习。

什么是“习”，通常把“习”理解为复习；更准确些，应把“习”理解为用，理解为实践。“用”是“学”的继续、深化和检验。与“学”相比，“用”有更丰富的内涵：

多面性：把知识应用于解决各式各样的问题，把单面的知识化为多方面的知识。

综合性：处理问题时，要综合应用多种方法和知识。分门别类地学，综合优选地用。 反思性：正面学，反面用。计算是由因到果，校核时由果到因。 跳跃性：循规蹈矩地学，跳跃式地用。 灵活性：用能生巧。

牢固性：反复用过的知识是牢固的，久经难忘。

悟性：学习可以获得言传的知识，应用可以体验难以言传的悟性。

检验性：学来的知识是真懂、半懂还是不懂，考几道题就分辨出来了。 针对涉及工程计算的一些学科的情况，还要对“习题”和“校核”两个具体问题作些议论。 1.习题

做题练习,是学习工程计算学科的重要环节。不作一定数量的习题,就很难对基本概念和方法有深入的理解,也很难培养较好的计算能力。做题也要避免各种盲目性。举例如下：

不看书，不复习，埋头做题，这是一种盲目性。应当在理解的基础上做题，通过做题来巩固和加深理解。

贪图求快，不求甚解，这是另一种盲目性。

只会对答数，不会自己校核和判断，这也是一种盲目性。 做错了题不改正，不会从中吸取教训，这又是一种盲目性。 2.校核

计算的结果要经过校核。“校核”是“计算”中应有之义。没有校核过的计算书是未完成的计算书。出错是难免的。重要的是要会判断、抓错和改错。判断是对计算结果的真伪性和合理性作出鉴定。抓错是分析错误根源，指明错在何处。改错是提出改正对策，得出正确答案。改错不易，抓错、判断更难。

关于判断和校核可分为三层：细校、粗算和定性。

另法细校：细校是指详细的定量的校核，不是重算一遍而是提倡用另外的方法来核算。 毛估粗算：粗算是指采用简略的算法对计算结果进行毛估，确定其合理范围。粗算是

要能分清主次、抓大放小，对大事不糊涂。其做法有：选取简化计算模型，在公式中忽略次要的项，检查典型特例，考虑问题的极限情况，等等。

定性判断：定性判断是根据基本概念来判断结果的合理性，而不是进行定量的计算。

力学中常用的例子有：

采用量纲分析，判断所列方程是否有误。

根据物理概念，看答案的数量级和正负号是否对头。 根据误差理论，估计误差的范围。

根据互等定理，看计算结果是否合理。 根据上下限定理，看计算结果是否出格。 渐进法和迭代法中，判断结果是否收敛。 对称结构计算，检查结果的对称性。

当参数变化时，看结果的相应变化是否合理。

在近似算法中，判断所得结果是偏于安全还是偏于不安全，并采用“前者宽，后者严”的不同标准。

不细算而能断是非，断案如神，既快又准，这是总工程师应具备的看家本领，也是每个工程师和有心人应及早学会的本领。这种本领来源于扎实的理论和经验的积累。

计算机引入结构力学后，增加了我们进行大型计算，分析大型结构的能力。但是，计算机并不排斥力学理论，而是要求我们更深更活地掌握力学理论。

§1-7 方(1)——学习方法(3)

五、创新

科学精神的精髓是求实创新。

创新：推陈出新，破旧立新，有推有出，有破有立。创新并不神秘，把知识向前推进一步，向更广、更深、更精、更神的方向迈出一步，都是创新的一步。创新意识要贯穿在整个学习过程中，在加、减、问、用各个方面都要着眼于创新，有心于创新。

加：在继承中创新。每项创新成果都吸收了前人的成果。像牛顿那样站在巨人的肩上才能看得更远。广采厚积是创新的基础。

减：在“去粗取精，弃形取神”的减法过程中要注意“去”和“弃”。在“推陈出新、破旧立新”的创新过程中要注意“推”和“破”。二者是相通的。

问：在已有的知识中发现疑点，感到困惑，是走向解惑和创新的起点。创新是善问巧思的回报。

用：在应用和实践中对已有的知识进行检验，发现其中的不足而加以改正，这就是创新。实践为创新提供了机遇。

创新不能违反客观规律。在求实中创新，“出新意于法度之中”（苏轼）。在客观规律的容许之下，创造力有充分的自由活动空间。

后语

把以上的议论归纳为五句话：

加 —— 广采厚积，织网生根。减 —— 去粗取精，弃形取神。问 —— 知惑解惑，开启迷宫。

用 —— 实践检验，多用巧生。创新 —— 觅真理立巨人肩上，出新意于法度之中。

第二章 几何构造分析

1. 主要内容

一个体系要能承受荷载，首先它的几何构造应当合理，能够使几何形状和位置保持不变。因此，在进行结构受力分析之前，先进行几何构造分析。

在几何构造分析中，最基本的规律是三角形规律。规律本身是简单浅显的，但规律的运用则变化无穷。因此，学习本章时遇到的困难不在于学懂，而在于灵活运用。

本章在全书中只是一个短小的前奏，只是从几何构造的角度讨论结构力学中的一个侧面，根本不涉及到内力和应变。但是构造分析与内力分析之间又是密切相关的，本章内容将在后面许多章节中得到应用。 2. 教学目的

理解自由度、可变体系与不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念；

正确理解三角形规律，并能熟练应用三角形规律分析平面体系的几何构造； 掌握计算自由度的计算方法，能计算一般平面体系的自由度。 3. 本章目录

§2-1 基本概念§2-2 自由度计算§2-3 几何不变体系的组成规律§2-4 几何构造分析方法与实例

§2-5 求解器的应用§2-6 小结§2-7 习题§2-8 测验

4. 参考章节《结构力学教程(Ⅰ)》，第2章、结构的几何构造分析，pp.17-。

§2-1 基本概念

1. 教学要求

理解自由度、几何可变体系与几何不变体系、瞬变体系、瞬铰的概念。 2. 本节目录

1. 几何不变体系和几何可变体系2. 运动自由度 S3. 约束4. 多余约束和非多余约束5. 瞬变体系

6. 瞬铰和无穷远处的瞬铰7. 思考与讨论 3. 参考章节结构力学教程(Ⅰ)》，pp.18-22。

2.1.1 几何不变体系和几何可变体系

几何不变体系：体系的位置和形状是不能改变的(图2-1b)。 几何可变体系：体系的位置或形状是可以改变的(图2-1a)。 以上讨论的前提：不考虑材料的应变。

图2-1a

一般结构都必须是几何不变体系，而不能采用几何可变体系

2.1.2 运动自由度 S

S：体系运动时可以改变的坐标的数目。

图2-1b

图2-2a

(平面内一个点有两个自由

度)

2.1.3 约束

减少体系自由度的装置。

图2-2b

(平面内一个刚体有三个自由

度)

图2-3a

S 由3个减少到2个 一个支杆相当于一个约束

图2-3b

S 由6个减少到4个 一个简单铰相当于两个约束

图2-3c

S 由6个减少到3个

一个简单刚结相当于三个约束

2.1.4 多余约束和非多余约束

不能减少体系自由度的约束叫多余约束。 能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。

注意：多余约束与非多余约束是相对的，多余约束一般不是唯一指定的。

图2-4a

图2-4b

链杆1、2和3共减少点 A 的两个自由度，因此

链杆1或2能减少点 A 的两个自由度，因

三根链杆中只有两根是非多余约束，有一个是多

此链杆1和2都是非多余约束。

余约束。 一个体系中有多个约束时，应当分清多余约束和非多余约束，只有非多余约束才对体系的自由度有影响。

2.1.5 瞬变体系

图2-5a

分析:

图2-5b

(1)当链杆1和2共线时，圆弧Ⅰ和Ⅱ在 A 点相切(图2-5a)，因此 A 点可沿公切线方向做微小运动，体系是可变体系。

(2)当 A 点沿公切线发生微小位移后，链杆1和2不再共线(图2-5b)，因此体系不再是可变体系。

本来是几何可变，经微小位移后成为几何不变的体系称为瞬变体系。

可以发生大位移的几何可变体系称为常变体系。可变体系可进一步分为瞬变体系和常变体系。

(3)点 A 在平面内有两个自由度，增加两根共线链杆后， A 点仍有一个自由度，因此链杆1和2中有一个是多余约束。

一般说来，瞬变体系中必然存在多余约束。

2.1.6 瞬铰和无穷远处的瞬铰

两刚片间以两链杆相连，其两链杆约束相当(等效)于两链杆交点处一简单铰的约束，这个铰称为瞬铰或虚铰(如图2-6a)。

图2-6a 图2-6b 图2-6c

图2-6a中，链杆1和2交于 O 点，刚片I可以发生以 O 为中心的微小转动。

图2-6b和图2-6c中，链杆1和2的交点在无穷远处，因此两根链杆所起作用的相当于无穷远处的瞬铰所起的约束作用，绕瞬铰的转动转化为沿两根链杆的正交方向上的平动。在图2-6a、b、c各体系的相对运动过程中，瞬铰位置不断变化。

在几何构造分析中应用无穷远处瞬铰的概念时，可以采用射影几何中关于∞点和∞线的下列四点结论：

(1) 每个方向有一个∞点(即该方向各平行线的交点)。(2) 不同方向上有不同的∞点。(3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。(4) 各有限远点都不在∞线上。

2.1.7 思考与讨论

1.有的文献把几何可变体系称为几何不稳体系，把几何不变体系称为几何稳定体系。材料力学中把压杆屈曲问题称为弹性稳定性问题。试对几何稳定性和弹性稳定性这几个不同概念加以比较。

2.“多余约束”从以下哪个角度来看才是多余的？

(a) 从对体系的自由度是否有影响的角度看；(b) 从对体系的计算自由度是否有影响

的角度来看；

(c) 从对体系的受力和变形状态是否有影响的角度来看；(d) 从区分静定和超静定两

类问题的角度来看。

§2-2 自由度计算

1. 教学要求

掌握实际自由度和计算自由度的计算方法。 2. 本节目录

1. 实际自由度 S 和计算自由度 W2. 部件和约束3. 平面体系的计算自由度 W 的求法(1)

4. 平面体系的计算自由度 W 的求法(2)5. 思考与讨论

3. 参考章节1《结构力学教程(Ⅰ)》，pp.28-32。2. §2-1 基本概念

2.2.1 实际自由度 S 和计算自由度 W

S = （各部件自由度总和 a）－（非多余约束数总和 c ） ------- (2-1)

S = 1×2－2 = 0，非多余约束数 c = 2 ，多

余约束数 n = 2 ，但是复杂情况难以找全多余约束。

图3-1

W = （各部件自由度总和 a ）－ （全部约束数总和 d ） -------- (2-2)

2.2.2 部件和约束

1. 部件可以是点，也可以是刚片

在几何构造分析时要注意刚片内部是否有多余约束。

图3-2a

n = 0

图3-2b 一根链杆

n = 1

图3-2c 一个铰 n = 2

图3-2d 一个刚结

n = 3

在计算体系的约束总数时也应当考虑刚片内部的多余约束。 2. 约束可分为单约束和复约束

在几何构造分析时要将复约束简化为几个单约束。

图3-3a m = 2 , h = 1 S = 3 × 2 - 2 × 1 = 4

图3-3b(图中复铰相当两个单铰)

m = 3 , h = 2 S = 3 × 3 - 2 × 2 = 5

图3-4a

图3-4b(图中复刚结相当两个单刚结)

m = 2 , g = 1 S = 3 × 2 - 3 × 1 = 3

m = 3 , g = 2 S = 3 × 3 - 2 × 3 = 3

一般说来，联结 n 个刚片的复铰(复刚结)相当于(n-1)个单铰(单刚结)。

图3-5a j = 2 , b = 1 S = 2× 2 - 1 = 3

图3-5b(图中复链杆相当三个单链

杆)

j = 3 , b = 3 S = 2 × 3 - 3 = 3

又，联结 n 个结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。

2.2.3 平面体系的计算自由度 W 的求法(1)

1. 刚片系

部件(约束对象)数：刚片数 m ；

约束数：单铰数 h ，简单刚结数 g ，链杆数 b 。

W = 3m - 2h - 3g - b ---------------------- (2-4)

例1. 求如下图示刚片系的计算自由度

图3-6a

m = 7，h = 4，g = 2，b = 6 W = 3×7 - 2×4 - 3×2 - 6 = 1 >0

图3-6b m = 5，h = 4，b = 6 W = 3×5 - 2×4 - 6 = 1 > 0

2. 链杆系

约束对象：结点数 j ；约束数：链杆(含支杆)数 b 。

W = 2j - b --------------------------------- (2-5)

例2. 求如下图示链杆系的计算自由度(如下图)

j = 5，b = 10,W = 2×5 - 10 = 0

S = 0, n = 0

2.2.4 平面体系的计算自由度 W 的求法(2)

3. 混合系

约束对象：刚片数 m ，结点数 j

约束条件：单铰数 h ，简单刚结数 g ，单链杆(含支杆)数 b

W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b) ----------------- (2-6) m = 2，h = 1，g = 0，j = 2，b = 8 W= (3×2+2×2)-(3×0+2×1+8) = 0

S = 0， n = 0

图3-8

W 的结果分析：

W > 0 则 S > 0 几何可变；

W = 0 则 S = n 若 n = 0 几何不变；W = 0 则 S = n 若n > 0 几何可变； W < 0 则 n > 0 体系有多余约束,但不一定几何不变。 结论：W ≤0只是几何不变的必要条件，不是充分条件。

2.2.5 思考与讨论

如果已经算出体系的计算自由度 W，而未进行几何构造分析，则对体系的自由度 S 和多余约束数 n 能得出什么结论？如果再进一步已知体系为几何不变，则对 n 能得出什么结论？

§2-3 几何不变体系的组成规律

1. 教学要求

熟练掌握几何不变体系的三条基本组成规律。 2. 本节目录

1. 二元体法则2. 两刚片法则3. 三刚片法则 3. 参考章节《结构力学教程(Ⅰ)》,pp. 22-28。

2.3.1 二元体法则

一刚片与一结点用两根不共线的链杆相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。

图4-1分析：

约束对象：结点 C 与刚片 I

约束条件：不共线的两链杆； 结论：几何不变且无多余约束。

图4-2分析：两链杆共线， C 点可垂直于AB做微小移动；

结论：瞬变体系。

2.3.2 两刚片法则

1. 两刚片用一铰及不过该铰的一链杆相连组成几何不变体系且无多余约束。

图4-3

图4-4 瞬变体系

C 可垂直于 BC 做微小运动 (等效于图4-4)

图4-5 瞬变体系(之二)

2. 两刚片用不共点的三链杆相连，组成内部几何不变整体且无多余约束

图4-6 特殊情况：

三链杆共点 三链杆平行等长 三链杆平行不等长

图4-7 瞬变体系 图4-8 常变体系 图4-9 瞬变体系

2.3.3 三刚片法则

三刚片用不共线的三铰两两相连组成的体系内部几何不变且无多余约束。

图4-10

图4-11 三铰共线 瞬变体系

上述三条规律虽然表述不同，但本质相同，即三角形规律： 若三个铰不共线，则铰结三角形内部几何不变且无多余约束。

§2-4 构造分析方法与例题 1. 教学要求

熟练掌握几何构造分析的各种方法。 2. 本节目录

1. 基本分析方法(1)2. 基本分析方法(2)3. 约束等效代换4. 考虑体系与地基关系的方法 5. 复杂体系(1)6. 复杂体系(2)7. 复杂体系(3)8. 思考与讨论 3. 参考章节

1.《结构力学教程(Ⅰ)》，pp. 22-28。2. §2-3 几何不变体系的组成规律 2.4.1 基本分析方法(1)

一. 先找第一个不变单元，逐步组装

1. 先从地基开始逐步组装

例1 图5-1a，图5-1b 图5-1a 1 2 3 4 图5-1b 1 2 3 4 5 2. 先从内部开始，组成几个大刚片后，总组装 例2 图5-2a，图5-2b 图5-2a 1 2 3 图5-2b 4 1 2 3 4 2.4.2 基本分析方法(2) 二. 去除二元体

例3 图5-3a，图5-3b 图5-3a 1 2 3 图5-3b 4 1 2 3 2.4.3 约束等效代换 1. 曲(折)链杆等效为直链杆

2. 联结两刚片的两链杆等效代换为瞬铰

例3

4 图5-4a

分析:

1.折链杆 AC 与 DB 用直杆2、 3代替；

2.刚片 ECD 通过支杆1与地基 相连。

结论：若杆1、2、3交于一点， 则整个体系几何瞬变有多余约束；若杆1、2、3不交于一点，则整个体系几何不变无多余约束。

分析:

1.刚片Ⅰ、Ⅱ、地基Ⅲ由铰 A 与瞬铰 B、C 相连。

2.A、B、C 不共线。 结论：整个体系几何不变无多余约束。

例4

图5-4b ADE和AFG均可看作刚片。

2.4.4 考虑体系与地基关系的方法

1. 体系与地基以不共点的三支杆相连时，可以先分析体系内部再与地基一起分析。

图5-5a

2. 体系与地基连接多于3支杆则应与地基一起分析。

具体分析方法见例3。

图5-5b

2.4.5 复杂体系(1)

1. 通常要运用瞬铰并使对象拉开距离 例5 分析：

1.体系 W = 0 。 2.刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。

3.刚片Ⅰ、Ⅲ由1、2杆连于瞬铰 A。 4.刚片Ⅱ、Ⅲ由3、4杆连于瞬铰 B。 5.刚片Ⅰ、Ⅱ由5、6杆连于铰 C。 结论：体系几何不变,无多余约束。

图5-6

“拉开距离”是指三刚片之间均由链杆形成的瞬铰相连，而尽量不用实铰。

下面两种做法均未能使刚片拉开距离，也就没能允分利用链杆，而是以实铰连接，不能正确分析此题。

实铰 A、C Ⅰ、Ⅱ及Ⅰ、Ⅲ均未拉开距离 实铰 A、C Ⅰ、Ⅲ未拉开距离

图5-6b

图5-6c

例6

分析：

1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰A)相连 ； 2.刚片Ⅱ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰B)相连； 3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆5、6(瞬铰C,无穷远)相连。

结论: A、B、C 三瞬铰不共线,体系几何不变无多余约束。

图5-7

2.4.6 复杂体系(2)

2. 三刚片由三铰两两相连，其中两瞬铰在无穷远处。若此两瞬铰在不同方向，则体系几何不变, 反之几何可变。

图5-7a

图5-7b

例7 分析：

1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰B)相连 。 2.刚片Ⅱ、Ⅲ由铰A相连。

3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰C)相连。 4.内部几何不变组成大刚片再与地基相连。 结论:几何不变无多余约束。

图5-8

例8 分析：

1.刚片Ⅰ、Ⅱ由链杆1、2(瞬铰A)相连。 2.刚片Ⅱ、Ⅲ由链杆3、4(瞬铰B)相连。 3.刚片Ⅰ、Ⅲ由链杆5、6(瞬铰C)相连。

4.刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ组成大刚片，再与地基相连。 结论:几何不变无多余约束。

图5-9

2.4.7 复杂体系(3)

3. 三刚片由三铰两两相连,其中两瞬铰在无穷远处，若此两瞬铰在不同方向，则几何不变。

图5-10 几何不变

4. 三刚片由三瞬铰两两相连,若三瞬铰均在无穷远处,则体系几何可变。

例9图5-11a 几何可变(瞬变)

无穷远处所有点均在一无穷远直线上 曲率 k = 1/R R —> ∞ k —> 0 直线

图5-11b 几何可变(常变)

图5-11c 几何可变(瞬变)

注意：以上所有W = 0且几何可变(瞬变或常变)的体系均存在多余约束。

2.4.8 思考与讨论

(1)分析平面体系的几何构造时，运用基本构造单元按照搭积木和拆积木的方式是两种相逆的方法，很多体系可以用这两种方法进行分析，参考图5-1a、图5-1b和图5-3a、图5-3b。

(2)在几何构造分析中可以进行哪些等效变换，如何保证变换的等效性？ §2-5 求解器的应用 一. 教学目的

熟悉结构力学求解器的界面，能够利用菜单输入平面结构体系，同时利用求解器进行平面体系几何组成分析。 二. 主要内容

1.平面结构的输入2.用求解器求解几何构造分析 三. 参考资料《结构力学教程(I)》，pp. 36～45。 2.5.1 平面结构的输入

一个平面结构体系主要有结点定义、单元定义、约束定义。欲输入一个结构体系，首先建立一个新文件，然后输入命令。在求解器中输入命令有两种方法：利用“命令”菜单中的子菜单，打开相应的对话框，在对话框中根据提示和选项输入命令；在命令中直接键入命令行。第二种方法要求用户对命令格式相当熟悉，因此下面主要介绍如何应用“命令”菜单输入平面结构体系。

1. 结点的输入和定义

打开“命令”菜单下的子菜单“结点” 在结点对话框中输入单元码及坐标，单击“应用”

在观览器中显示结点

将命令自然写在文档上

利用上述步骤，连续输入所需的结点,完成输入后,单击“关闭”按钮，关

闭结点对话框。 2. 单元的定义

打开“命令”菜单下的子菜单“单元” 选择单元端点的连接方式，单击“应用”

在观览器中显示单元

将命令自然写在文档上

利用上述步骤，连续输入所需的单元,完成输入后,单击“关闭”按钮，关闭单元对话框。若要预览；可以单击“预览”。修改时可以修改命令。

3. 结点支座的定义

打开“命令”菜单下的子菜单“位移约束”

选择结点码、支座类型等，单击“应用”

在观览器中显示支座

将命令自动写在文档上

利用上述步骤，连续输入所需的结点支座,完成输入后，单击“关闭”按钮，关闭支座约束对话框。若要预览，可以单击“预览”。修改时可以修改命令。最后形成所需的平面几何体系。

下面讨论如何利用求解器进行几何组成分析。 2.5.2 用求解器求解几何构造分析

对于几何构造分析，求解器具有两种求解功能。

1. 自动求解

打开“求解”菜单下的“几何组成”

显示几何组成分析结果

利用自动求解：可以判断几何可变还是几何不变；对于可变体系，给出体系的自由度，指出是常变体系还是瞬变体系，并静态或动画显示机构运动模态；若体系有多余的约束，给出多余约束的数目。

2. 智能求解

平面体系图形

打开“求解”菜单下的“几何构造”，显示几何组成分析对话框

§2-6 小结

1. 教学要求

回顾本章所学知识。 2. 本节目录

1. 几何构造分析的两个主要问题2. 几何构造分析中采用的方法

3. 关于三角形规律的运用问题4. 关于计算自由度 W 、自由度 S 和多余约束数 n 5. 其它一些问题

3. 参考章节《结构力学教程(Ⅰ)》，pp. 46-48。 2.6.1 几何构造分析的两个主要问题

对杆件体系进行几何构造分析，主要是讨论两个问题： (1) 判断体系是否可变，确定体系的自由度 S 。

(2) 判断体系中有无多余约束，确定多余约束的个数 n 。 对杆件体系进行几何构造分析，主要是解决两个问题： (1) 结构应是一个几何不变体系，其自由度 S 应等于零。

(2) 结构分为静定和超静定两类，它们的标志分别为 n = 0 与 n > 0 。 2.6.2 几何构造分析中采用的方法

方法 主要作法 经典方法 辅助作法 零载法(W = 0) 计算机方法 SM Solver 把几何构造分析问题归结为一组齐次线性方程，再由解的性质得出几何构造分析的有关结论。 内容 多次应用三条基求出体系的计算自本组成规律及其由度 W ，从而得到用求体系的内力的四种形式，由局部关于自由度 S 和多方法来进行几何构到整体，完成整个余约束 n 的下限公造分析。 体系的装配过程式。 和分析过程。 特点 直观灵巧，便于分析常规体系，但不便于分析复杂体系，也不便于编制计算程序。 W 的算式很简单，但单靠这种作法不能求出 S 和 n 的确定值。如果把上述主分析复杂体系的经这是一种便于编制程要作法和辅助作法典方法。 序的计算机方法。 结合起来，互相配合，有时会收到好的效果。 2.6.3 关于三角形规律的运用问题

运用三角形规律对平面体系进行几何构造分析时，有几点值得注意： (1) 三角形规律是组成无多余约束的几何不变体系的基本组成规律。 (2) 要学会搭积木的方法。

(3) 装配方式通常有两种：a. 如果体系与地基之间只有三个约束，则可先从内部刚片出发进行装配。b. 如果体系与地基之间多于三个约束，则应将地基作为大刚片参与整体分析。 (4) 进行约束的等效变换(如异形链杆、瞬铰等)。 (5) 三角形规律只适用于分析常规体系。

(6) 三角形规律是浅显的，但规律的运用却灵活多变，要由浅入深地作必要的练习，逐步提高运用能力。

2.6.4 关于计算自由度 W 、自由度 S 和多余约束数 n

自由度 S 和多余约束 n 都与具体的构造有关，但 W = S - n 只与体系所具有的部件和约束的个数有关。

根据 W 的数值，可对体系的几何构造特性得出一些结论，如下表所示：

W 的数值 几何构造特性 W > 0 对象的自由度数 S > n ；体系为几何可变，不能用作结构。 对象的自由度数 S = n ；如体系为几何不变，则无多余约束，体系 W = 0 为静定结构；如体系为几何可变，则有多余约束。 对象的自由度数 S < n ； 体系有多余约束；如体系为几何不变，则W < 0 为超静定结构。

2.6.5 其他一些问题

1. 平面体系的分类

其中，几何不变体系在以后的章节中还可分为静定结构和超静定结构，几何不变体系和几何可变体系的区分参见2.1.1几何不变体系和几何可变体系,几何瞬变体系和几何常变体系的区分见2.1.5 瞬变体系。

2. 体系内部几何不变和体系内部几何可变

本章中很多习题中的平面体系没有与大地相连，体系至少应该有3个自由度，实际上这时是在分析这个体系内部是否不变。

§2-7 习题 1. 教学要求

通过练习，掌握本章内容。做题之前，请先阅读手工求解说明。

第三章 静定结构的受力分析

1. 静定结构的概念

从几何构造分析的角度看，结构必须是几何不变体系。根据多余约束 n ，几何不变体系又分为：有多余约束( n > 0)的几何不变体系——超静定结构；无多余约束( n = 0)的几何不变体系——静定结构。

从求解内力和反力的方法也可以认为：静定结构：凡只需要利用静力平衡条件就能计算出结构的全部支座反力和杆件内力的结构。超静定结构：若结构的全部支座反力和杆件内力，不能只有静力平衡条件来确定的结构。 2. 教学目的

进一步巩固杆件受力分析和内力分析的特点；

理解多跨静定梁、静定平面刚架、静定桁架的概念；

熟练掌握多跨静定梁、静定平面刚架、静定桁架内力的计算方法，能够画出内力图； 理解截面法、结点法、联合法，熟练求出静定桁架的内力。 4. 学习指导

本章所学内容的基础是以前所学的“隔离体和平衡方程”，但是不能认为已经学过了，就有所放松。其实，在静定结构的静力分析中，虽然基本原理不多，平衡方程只有几种形式，但是其变化是无穷的，因此重要的是知识的应用能力。为了能够熟中生巧，在学习时应多做练习。 5. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P57～P137

§3-1 梁的内力计算回顾 一. 教学目的

复习材料力学中的内力概念和计算方法，梁的内力图的画法；熟练掌握各种荷载作用下的梁的内力图画法；掌握叠加法画弯矩图。 二. 主要内容

1. 内力的概念和表示2. 内力的计算方法3. 内力图与荷载的关系4. 分段叠加法 三. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》 P57～P各种《材料力学》教材

3.1.1 内力的概念和表示 在平面杆件的任意截面上，将内力一般分为三个分量：轴力FN 、剪力FQ和弯矩M(图3-1)。 轴力----截面上应力沿轴线方向的合力,轴力以拉力为正。

剪力----截面上应力沿杆轴法线方向的合力,剪力以截开部分顺时针转向为正。

弯矩----截面上应力对截面形心的力矩，在水平杆件中，当弯矩使杆件下部受拉时弯矩为正。

图3-1

作图时，轴力图、剪力图要注明正负号，弯矩图规定画在杆件受拉的一侧，不用注明正负号。

3.1.2 内力的计算方法

梁的内力的计算方法主要采用截面法。截面法可用以下六个字描述： 1. 截开----在所求内力的截面处截开，任取一部分作为隔离体。 2. 代替----用相应内力代替该截面的应力之和。

3. 平衡----利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内力。 利用截面法可得出以下结论：

1. 轴力等于该截面一侧所有的外力沿杆轴切线方向的投影代数和； 2. 剪力等于该截面一侧所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和； 3. 弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心的力矩的代数和。 以上结论是解决静定结构内力的关键和规律，应熟练掌握和应用。 3.1.3 内力图与荷载的关系

1. 弯矩、剪力与荷载的微分关系 对于分布荷载 q ，则分布区域内的剪力 FQ 对长度的一阶导数为 q ，弯矩对长度的一阶导数等于剪力。

2. 内力图与荷载的关系

无荷载的区段弯矩图为直线，剪力图为平行于轴线的直线。

有均布荷载的区段，弯矩图为曲线，曲线的图像与均布荷载的指向一致，剪力图为一直线。 在集中力作用处，剪力在截面的左、右侧面有增量，增值为集中力的大小，弯矩图则出现尖角。

在集中力偶作用处 ，弯矩在截面的左、右侧面有增量，增值为集中力偶矩的大小，剪力不发生变化。

3.1.4 分段叠加法画弯矩图 1.叠加原理

几个力对杆件的作用效果，等于每一个力单独作用效果的总和。 利用叠加原理，可做出以下梁的弯矩图（如下图3-1演示过程）:

||

||

+

+

图3-1

2.分段叠加原理

上述叠加法同样可用于绘制结构中任意直杆段的弯矩图。

图3-2a为一简支梁， AB 段的弯矩可以用叠加法进行计算，计算过程可用图3-2a～3-2d表示。

图3-2a

图3-2b

图3-2c 图3-2d

其过程为：先求出直线段两端截面上的弯矩 MA 和 MB ，画出直线的弯矩 M1。在此基础上，叠加相应简支梁 AB 在跨间荷载作用下的弯矩M0 。

利用分段叠加法求弯矩可用如下公式：

AB段中点的弯矩值:

§3-2 多跨静定梁 1. 教学目的

理解多跨静定梁结构的分析方法和受力特点；

理解层次图的概念，能够绘制各种荷载作用下的内力图。 2. 主要内容

1. 多跨静定梁的受力特点2. 多跨静定梁的实例分析 3. 学习方法

充分利用材料力学课程中所学的知识，以及绘制内力图的方法，多做练习和测验，不断提高分析问题解决问题的能力。

4. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P～P68 3.2.1 多跨静定梁的受力特点 1. 多跨静定连续梁的实例

现实生活中，一些梁是由几根短梁用榫接相连而成，在力学中可以将榫接简化成铰约束,这样由几个单跨梁组成的几何不变体，称作为多跨静定连续梁。图（3-3a）为简化的多跨静定连续梁。

图3-3

2. 多跨静定连续梁的受力特点和结构特点

结构特点：图中 AB 依靠自身就能保持其几何不变性的部分称为基本部分，如图中 AB ；而必须依靠基本部分才能维持其几何不变性的部分称为附属部分，如图中 CD。

受力特点：作用在基本部分的力不影响附属部分，作用在附属部分的力反过来影响基本部分。因此，多跨静定梁的解题顺序为先附属部分后基本部分。为了更好地分析梁的受力，往往先画出能够表示多跨静定梁各个部分相互依赖关系的层次图（图3-3b）。

因此,计算多跨静定梁时,应遵守以下原则:先计算附属部分后计算基本部分。将附属部分的支座反力反向指向，作用在基本部分上，把多跨梁拆成多个单跨梁，依次解决。将单跨梁的内力图连在一起，就是多跨梁的内力图。弯矩图和剪力图的画法同单跨梁相同。

3.2.2 多跨静定梁的实例分析

画出图(3-4a)所示多跨梁的的弯矩图和剪力。

图 3-4a

解:

(1)结构分析和绘层次图

此梁的组成顺序为先固定梁 AB ,再固定梁 BD ,最后固定梁 DE 。由此得到层次图（图3-4b）。

(2)计算各单跨梁的支座反力

计算是根据层次图，将梁拆成单跨梁（图3-4c）进行计算，以先附属部分后基本部分，按顺序依次进行，求得各个单跨亮的支反力。

(3)画弯矩图和剪力图

根据各梁的荷载和支座反力，依照弯矩图和剪力图的作图规律，分别画出各个梁的弯矩图及剪力图，再连成一体，即得到相应的弯矩图和剪力图（图3-4d、e）

图 3-4d

图 3-4e

图 3-4b、c

§3-3 静定平面刚架

1. 教学内容和要求

刚架结构建是建筑结构中常见的一种结构。本节主要学习常见的刚架结构的反力、内力计算以及刚架结构的内力图的画法。

通过本节的学习，了解刚架的特点和特征，熟练地求解反力和内力，能够利用各种方法绘出刚架结构的内力图。

2. 主要内容1. 平面刚架的概念2. 刚架的支座反力3. 刚架内力图4. 实例分析 3. 学习指导

刚架结构的重要特点是结构中具有刚结点，因此，内力图画法中关键要利用刚结点处内力平衡。叠加法也是常用的方法。

学习的关键是多做题、多分析，最终能够灵活掌握刚架结构的内力图画法。 4. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P68～P79 .3.1 刚架的特点和分类

刚架：由直杆组成具有刚结点的结构。

当组成刚架的各杆的轴线和外力都在同一平面时，称作平面刚架。 如图3-5a所示为一平面刚架

图3-5a

图3-5b

图3-5c

当B、C处为铰结点时为几何可变体（图3-5b），要是结构为几何不变体，则需增加杆AC（图3-5c）或把B、C变为刚结点。

刚架的特点:

1. 杆件少，内部空间大，便于利用。

2. 刚结点处各杆不能发生相对转动，因而各杆件的夹角始终保持不变。 3. 刚结点处可以承受和传递弯矩，因而在刚架中弯矩是主要内力。 4. 刚架中的各杆通常情况下为直杆，制作加工较方便。 正是以上特点，刚架在工程中得到广泛的应用。 静定平面刚架的类型有：

1. 悬臂刚架：常用于火车站站台（图3-6a）、雨棚等。

2. 简支刚架：常用于起重机的刚支架及渡槽横向计算所取的简图等（图3-6b）； 3. 三铰刚架：常用于小型厂房、仓库、食堂等结构（图3-6c）。

图3-6a

图3-6b

图3-6c

3.3.2 刚架的支座反力

刚架结构常见的有：悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架和复杂刚架。悬臂刚架、简支刚架的支反力可利用平衡方程直接求出。

以下以三铰刚架来分析刚架支座反力的求法。

三铰刚架的支座反力的求法主要是充分利用平衡条件来进行计算，分析时经常采用先整体后拆开的方法。

三铰刚架一般由两部分组成(如图所示),整体共有四个约束反力:FxA、FyA、FxB 、FyB(图3-7b)。整体有三个平衡方程，为了求解还应拆开考虑，取半部分作为研究对象，利用铰结点的弯矩为零，就可以全部求解。

图3-7a

1. 利用两个整体平衡方程求FYA、FYB

图3-7b

2. 利用铰C处弯矩等于零的平衡方程求FxA 取左半部分：

3. 利用整体的第三个平衡方程求FxB

3.3.3 刚架内力图 1. 刚架的内力计算

刚架中的杆件多为粱式杆，杆截面中同时存在弯矩、剪力和轴力。计算的方法与粱完全相同。只需将刚架的每一根杆看作是粱，逐杆用截面法计算控制截面的内力。

计算时应注意： (1)内力的正负号

(2)结点处有不同的杆端截面 (3)正确选取隔离体 (4)结点处平衡

2. 刚架中杆端内力的表示

由于刚架的内力的正负号与粱基本相同。为了明确各截面内力，特别是区别相交于同一结点的不同杆端截面的内力，在内力符号右下角采用两个角标，其中第一个角标表示内力所属截面，第二个角标表示该截面所在杆的另一端。

MAB 表示 AB 杆 A 端截面的弯矩,MBA 则表示 AB 杆端 B 截面的弯矩。 3. 刚架内力图的画法

弯矩图：画在杆件的受拉一侧，不注正、负号。 剪力图：画在杆件的任一侧，但应注明正、负号。 轴力图：画在杆件的任一侧，但应注明正、负号。

剪力的正负号规定：剪力使所在杆件产生顺时针转向为正，反之为负。 轴力的正负号规定：拉力为正、压力为负。 3.3.4 刚架内力图实例分析

例1. 作出图3-8a所示简支刚架的内力图

图3-8a

图3-8b

图3-8c

图3-8d

解:

(1)求支反力 以整体为脱离体 ΣMA=0 FyB=75kN(向上) ΣMB=0 FyA=45kN(向上) ΣFX=0 FxA=10kN(向左)

(2)作弯矩图 逐杆分段计算控制截面的弯矩，利用作图规律和叠加法作弯矩图(图3-8b)。 AC杆：MAC=0 MCA=40kN•m （右侧受拉）AC杆上无荷载，弯矩图为直线 。 CD杆：MDC=0 MCD=20kN•m （左侧受拉）CD杆上无荷载，弯矩图为直线 。

CE杆：MCE=60kN•m（下侧受拉） MEC=0kN•m CE杆上为均布荷载，弯矩图为抛物线 。 利用叠加法求出中点截面弯矩 MCE中=30+60=90 kN•m (3)作剪力图

利用截面法和反力直接计算各杆端剪力。

QCD=10kN QCA=10kN QCE=45kN QEC=-75kN QEB=0kN

剪力图一般为直线,求出杆端剪力后直接画出剪力图。AC杆上无荷载，剪力为常数。CE杆上有均布荷载，剪力图为斜线(图3-8c)。

(4)作轴力图

利用平衡条件，求各杆端轴力。 NCA=NAC=-45kN NEB=NBE=-75kN

各杆上均无切向荷载，轴力均为常数(图3-8d)。 (5)校核

图3-9a

图3-9b

结点C各杆端的弯矩、剪力、轴力，满足平衡条件(图3-9a)： ΣMC=60-20-40=0 ΣFX=10-10=0 ΣFy=45-45=0

同理，结点E处也满足平衡方程(图3-9b)。 §3-4 静定平面桁架

1. 教学内容和要求

本节主要学习静定平面桁架结构的受力特点和结构特点以及桁架结构的内力计算方法——结点法、截面法、联合法。

通过学习，熟练掌握桁架结构计算的方法，能够判断零杆、计算桁架的轴力。 2. 主要内容

1. 桁架的结构特点2. 结点法(1)3. 结点法(2)4. 结点法(3)5. 结点法(4) 6. 截面法(1)7. 截面法(2)8. 联合法 3. 学习指导

桁架内力计算中主要是应用平面力系的平衡方程，因此，应正确理解平衡方程的特点和结构的受力特点，最关键的是利用力系的可解条件，从而使问题可解。学习中应注重理解方法特点，多做练习、分析，从而达到灵活应用。

4. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P83～P97 3.4.1 静定平面桁架的特点

1. 静定平面桁架：由若干直杆在两端铰接组成的静定结构。

桁架在工程实际中得到广泛的应用，但是，结构力学中的桁架与实际有差别，主要进行了以下简化：

(1)所有结点都是无摩擦的理想铰；

(2)各杆的轴线都是直线并通过铰的中心； (3)荷载和支座反力都作用在结点上。 2. 桁架的受力特点

桁架的杆件都在两端受轴向力，因此，桁架中的所有杆件均为二力杆 。 3. 桁架的分类 简单桁架：由一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。（图3-11a） 联合桁架：由几个简单桁架，按两刚片法则或三刚片法则所组成的几何不变体。（图3-11b） 复杂桁架：不属于前两种的桁架。（图3-11c）

图3-11a

图3-11b

图3-11c

4.桁架内力计算的方法 结点法、截面法、联合法。 3.4.2 结点法

结点法：截取桁架的一个结点为脱离体计算桁架内力的方法。

结点上的荷载、反力和杆件内力作用线都汇交于一点，组成了平面汇交力系，因此，结点法是利用平面汇交力系求解内力的。

常见的以下几种情况可使计算简化：

图3-12a

图3-12b

图3-12c

图3-13d

1.不共线的两杆结点，当无荷载作用时，则两杆内力为零(图3-12a),F1=F2=0。

2.由三杆构成的结点，有两杆共线且无荷载作用时(图3-12b)，则不共线的第三杆内力必为零，共线的的两杆内力相等，符号相同,F1=F2，F3 =0

3.由四根杆件构成的K型结点，其中两杆共线，另两杆在此直线的同侧且夹角相同（图3-12c），在无荷载作用时，则不共线的两杆内力相等，符号相反，F3=-F4 。

4.由四根杆件构成的X型结点，各杆两两共线（ 图3-13d），在无荷载作用时，则共线的内力相等，且符号相同，F1=F2，F3=F4 。

3.4.3 结点法(2)

利用结点法求解桁架，主要是利用汇交力系求解，每一个结点只能求解两根杆件的内力，因此，结点法最适用于计算简单桁架。

由于静定桁架的自由度为零，即 W = 2j - b = 0 于是：b = 2j。因此，利用j个结点的2j个的平衡方程，便可求出全部b个杆件或支杆的未知力。

在建立平衡方程式，一般将斜杆的轴力 F 分解为水 平分力 Fx 和竖向分力 Fy 。此三个力与杆长l及其水平投影 lx 和竖向投影 ly 存在以下关系(图3-13)：

图3-13

3.4.4 结点法(3)

实例分析

分析时,各个杆件的内力一般先假设为受拉,当计算结果为正时,说明杆件受拉;为负时,杆件受压。

利用结点法最好计算简单桁架，且能够求出全部杆件内力。 例：求出图（3-14a）所示桁架所有杆件的轴力。

图3-14a

图3-14b

图3-14c

图3-14d

图3-14e

解:由于桁架和荷载都是对称的，相应的杆的内力和支座反力也必然是对称的，故计算半个桁架的内力即可。

（1）计算支座反力 V1=V8=10KN

(2)计算各杆内力

由于只有结点1、8处仅包含两个未知力，故从结点1开始计算，逐步依次进行，计算结果如下：

结点1（图3-14b）所示，列平衡方程

由比例关系可得：

结点2（图3-14c）所示，列平衡方程

结点3（图3-14d）所示，列平衡方程

再利用比例关系，可求：

（为什么、可考虑结点4）

校核：利用结点5（图3-14e）

讨论：利用零杆判断，可以直接判断出哪几根杆的内力是零？最终只求几根杆即可？ 3.4.5 结点法(4)

结点单杆的概念:在同一结点的所有内力为未知的各杆中,除结点单杆外,其余杆件均共线。

单杆结点主要有以下两种情况：

1、结点只包含两个未知力杆，且此二杆不共线，则每杆都是单杆。 2、结点只包含三个未知力杆，其中有两杆共线，则第三杆是单杆。 性质及应用：

1、结点单杆的内力，可由该结点的平衡条件直接求出。 2、当结点无荷载时，则单杆必为零杆。（内力为零）

3、如果依靠拆除结点单杆的方法可将整个桁架拆完，则此桁架可应用结点法按照每次只解一个未知力的方式求出各杆内力。

3.4.6 截面法(1)

截面法：用适当的截面，截取桁架的一部分（至少包括两个结点）为隔离体，利用平面任意力系的平衡条件进行求解。

截面法最适用于求解指定杆件的内力，隔离体上的未知力一般不超过三个。在计算中，轴力也一般假设为拉力。

为避免联立方程求解，平衡方程要注意选择，每一个平衡方程一般包含一个未知力。另外，有时轴力的计算可直接计算，可以不进行分解。

例题分析：求出图示杆件1、2、3的内力（图3-15a）。

图3-15a

图3-15b

解：

1. 求支反力

由于对称性可得: FRA = FRB = 30kN

2. 将桁架沿1-1截开，选取右半部分为研究对象，截开杆件处用轴力代替（图3-15b），列平衡方程：

问题：左半部分如何？

3. 校核：

计算结果无误! 3.4.7 截面法(2)

截面单杆的概念:如果某一截面所截的内力为未知的各杆中,除某一根杆件外,其余各杆都汇交于一点(或平行),此杆称为该截面的单杆.

截面单杆在解决复杂桁架时,往往是解题的关键,要学会分析截面单杆。 截面单杆主要在以下情况中:

1、截面只截断三根杆，此三杆不完全汇交也不完全平行，则每一根杆均是截面单杆（上一例题中的截面所示）。

2、截面所截杆数大于3，除一根杆外，其余杆件均汇交于一点（或平行），则这根杆为截面单杆。

性质：截面单杆的内力可由本截面相应的隔离体的平衡方程直接求出。 （平衡方程的选取：坐标轴与未知力平行、矩心选在未知力的交点处。） 以下几种情况中就是几种截面单杆的例子

图3-16a

图3-16b

图3-16a中的杆2，图3-16b中的杆1、2、3都是截面单杆。 3.4.8 联合法

在解决一些复杂的桁架时，单应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力， 这时需要将这两种方法进行联合，从而进行解题，解题的关键是从几何构造分析，利用结点单杆、截面单杆，使问题可解。

图3-17所示的桁架中，当求出支反力后，只有A、B两个结点可解，其余各个结点均包含有三个未知杆件，不能利用结点法进行求解，但是，m-m截开后，由三根截面单杆，可利用截面法直接求解，当求出这三根杆件后，其它的结点也就可解，进而求出全部内力。

图3-17

§3-5 组合结构

1.组合结构:由链杆(只受轴力)和粱式杆(受轴力外,还受弯矩作用)组成的结构 (图3-17a、b）

图3-17a

图3-17b

以上两个结构均是组合结构,它们在结点荷载作用下,由二力杆、粱式杆组成。 问题：哪些是粱式杆？哪些是二力杆？

应用截面法时，要区别杆件是粱式杆还是链杆，因为二者的内力不同，粱式杆的内力有：轴力、剪力、弯矩。

学习此部分时应注意几何组成分析和结构特点，充分利用平衡方程的可解条件。 2.图3-18a所示一组合结构 ，根据分析画出内力图。

图3-18a

弯矩图3-18b

剪力图3-18c

轴力图3-18d

分析：

1.支反力可直接计算（如图）

2.由于AE、CE、BG、CG 不是链杆，A、B 点是不可直接计算。为了求解，根据对称性，取半结构，以 C 为矩心可直接求出 DF 杆内力（图3-18e）。依次求各杆内力，计算方法与以前所讲相同。

图3-18e

讨论:

1.能否以结点B为隔离体求BF、BG杆的内力？ 2.如何正确利用平衡方程求解组合结构？ §3-6 求解器的应用 一、 教学目的

能够利用求解器确定截面单杆， 能够利用求解器求解组合结构。 二、主要内容

1. 用求解器确定截面单杆2. 用求解器求解组合结构 三. 参考资料《结构力学(I)》P127～P133 §3-9 习题 1. 教学要求

通过练习，掌握本章内容。

做题之前，请先阅读手工求解说明。 2. 本节目录

 手工求解说明

 习题(1) (连续梁内力图) 习题(2) (连续梁内力图) 习题(3) (刚架内力图)  习题(4) (刚架内力图) 习题(5) (刚架内力图) 习题(6) (截面法求轴力)  习题(7) (截面法求轴力) 习题(8) (截面法求轴力) 习题(9) (找桁架零杆)  习题(10) (组合结构内力图) 第四章 静定结构总论 1. 学习要求

本章是从整体上分析静定结构的受力特点，同时补充了一些分析方法，是对上一章内容的总结和补充。通过对本章的学习，提高对静定各种结构的分析方法和认识，为结构设计选取合理的结构打下良好的基础。

2. 主要内容

§4-1 隔离体方法及其截取顺序的优选§4-2 几何构造分析与受力分析之间的对偶关系 §4-3 刚体体系的虚功原理 (1) (2) (3)§4-4 静定结构的一般性质

§4-5 各种结构形式的受力特点§4-6 用求解器求解静定结构§4-7 小结 §4-8 思考与讨论 3. 学习指导

本章内容的学习要以第三章为基础，因此要在掌握了静定结构的内力计算以后在学习本章。由于静定结构的分析是以静力平衡方程为基础，静力平衡方程的可解性是分析的关键。

4. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P153～P185。

§4-1 隔离体方法及其截取顺序的优选 一. 隔离体的形式、约束力及其平衡方程

静定结构的内力分析的关键是选取适当的隔离体，利用静定平衡方程进行求解。 1. 隔离体的形式

隔离体的形式有：结点（铰结点、刚结点、组合结点）、杆件、刚片、杆件微单元。 桁架的隔离体：一个结点、多个结点。 刚架的隔离体：杆件、刚结点、铰结点。 2. 约束力的类型

截断链杆 -----> 一个轴力 截断简单铰结 -----> 两个约束反力 截断刚结点 -----> 三个约束反力 3. 平面可解条件

(1) 方程的个数等于隔离体的自由度的个数。

(2) n 个未知力，但有 n -1个未知力汇交于一点或者平行，可求出第 n 个力。 此两条是优先选择隔离体的关键，应当正确理解和掌握。 二. 计算的简化和隔离体的截取顺序 1. 直接能够利用方程求解。

2. 选择合理的矩心和坐标轴，避免联合求解，矩心选在未知力的交点处，作标轴与未知力平行或垂直。

3. 简化杆件的受力，合理的判断出二力杆、零杆。 4. 利用对称结构的计算。

5. 通过几何组成分析，正确理解结构的组成规律，选择合理的解题顺序，解题顺序与组成顺序相反。

§4-2 几何构造分析与受力分析之间的对偶关系

一. 从计算自由度 W 得力学含义和几何含义看对偶关系 计算自由度 W = 各部件的自由度总数 - 全部约束数 由于约束与约束力之间存在着一定的相应关系：

计算自由度 W = 各部件的平衡方程数 - 未知力总数（重点理解） 因此，可得到一下结论：

(1) W > 0，结构为几何可变体系.

(2) W < 0，结构为超静定，平衡方程组有解，则解为无穷多个。 (3) W = 0，平衡方程数等于未知力个数

平衡方程的解有方程组的系数行列式 D 决定：

D <> 0 ，方程有唯一的解，结构为几何不变体，且无多余的约束。

D = 0 ，方程在一般荷载下无解，在特殊情况下有无穷多个解，结构为瞬变体系。 §4-3 刚体体系的虚功原理 一. 虚功原理

虚功原理的表达形式有多种多样，对于理想约束的刚体体系可描述如下：

设刚体上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小的刚体体系位移，则主动力在位移上所做的虚功总和等于零。

虚功原理的关键：平衡力系与位移的相互性，二者都可以进行假设，根据不同的问题进行不同的假设。

本节是利用假设的位移进行求解未知力。

下面通过实例来理解刚体体系的虚功原理.

图示4-1a是一几何可变体系，已知力 P ，为了平衡是求力 F 的大小。

虚设一位移状态图4-1b，位移的假设应与荷载相一致。

根据虚功原理,可以通过以下计算求出力 F :

图4-1a

图4-1b

特点:

1. 位移是假设的；

2. 解题的关键是利用几何关系求出位移之间的几何关系； 3. 采用几何几何的方法求解静力平衡问题。 §4-3 刚体体系的虚功原理

二. 应用虚功原理求静定结构的约束力----单位支座位移法 虚功原理的关键是存在两种状态：力状态、位移状态。 力状态：结构的实际受力的同时，再加上所求的约束反力。 位移状态：在所求约束反力的方向上产生相应的位移。

由于在位移状态时约束已经去掉，结构则变成可变体系（机构）。 刚体体系的虚功原理可用如下方法进行： (1)解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反力 FX 来代替,同时,结构则相应的变为机构. (2)把结构可能发生的刚体体系位移当作虚位移，设未知力 FX 和主动荷载 FP 相应的位移分别是 ΔX 和 ΔP ，利用虚功原理可得：

(3)求出 ΔX 和 ΔP 之间的相互关系，即可求得 FX ：

(4)为了计算方便，假设 ΔX = 1 ，此时， ΔP 则用 δP 表示。

以上的关键是虚设位移状态，及其各种位移的关系。由于 ΔX = 1，所以又称单位支座位移法。

实例分析

§4-3 刚体体系的虚功原理 三. 实例分析

求图4-2a所示简支粱支座 B 的支反力及截面 C 处的弯矩.

图4-2

解:

(1)求支座 B 的支反力 R 。

力状态：将支座 B 去掉，用支反力R代替，同时也变成几何可变体系（图4-2-b）。 位移状态：在支座 B 处设一竖向位移1， AB 杆成斜线（图4-2-c）。 则：支反力的虚功为 1R ； 均不荷载的虚功为：

(2)求 R 截面处的弯矩 M

力状态：撤除与弯矩相应的约束，将截面 C 由刚接改为铰接，注意 C 截面的弯矩为一对大小相等，方向相反的力偶组成（图4-2d）。

位移状态 ：设 C 处的竖向位移为1，则 AC 、 BC 段的转角分别为：

§4-4 静定结构的一般性质

本节主要是简单介绍静定结构的一般性质,以后通过超静定结构的学习，将进一步分析其性质。

一. 温度的改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构中不引起内力

由于静定结构随着温度的改变、支座移动和制造误差等因素的改变，只引起结构形状的改变，因此不引起内力。

二. 静定结构的局部平衡特性

在荷载作用下，如果仅靠静定结构中的某以局部就可以与荷载维持平衡，则其余部分的内力必为零。

事实上，多跨静定粱的基本部分上的荷载不影响附属部分；桁架中的零杆的判断，都是静定结构的局部平衡特性的具体体现。

当然，局部平衡可以是几何不变体，也可以是几何可变体。 三. 静定结构的荷载等效性

当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，其余部分的内力不变。 四. 静定结构的构造变换特性

当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，其余部分的内力不变。 §4-5 各种结构形式的受力特点

考虑结构的受力特点，应主要从结构的轴力和弯矩进行分析，在无弯矩的情况下，轴力在截面上时均匀分布，能够充分利用材料的强度；而弯矩产生的应力在截面上为三角形分布，没有充分利用材料的强度，因此，在结构的受力特点分析中主要考虑结构中的弯矩的分布及最大值。

经过计算，在相同跨度和相同荷载下，简支粱的弯矩最大，伸臂粱、静定多跨粱、三铰刚架、组合结构的弯矩次之，而桁架结构的弯矩为零，基于此在工程中简支粱多用于小跨度结构；伸臂粱、静定多跨粱、三铰刚架、组合结构可用于较大跨度的结构；而大跨度结构通常采用桁架结构或者拱结构。

在实际工程中，处考虑受力特点之外，欢迎考虑结构的施工、几何特点、构造本身，如：简支粱结构简单，施工方便，桁架结构便于进行安装，但杆件较多，结点构造比较复杂。

§4-6 用求解器求解静定结构

利用结构力学求解器可以自动求解静定结构的结构的内力、位移，在应用结构力学求解器时，要注意内力的画法及其正负号的规定：

(1)弯矩图画在杆件受拉纤维的一边，局部坐标y<0 一侧的弯矩图标为正号；

(2)剪力正负号是以绕微段隔离体顺时针转动者为正，正剪力画在局部坐标y>0 一侧； (3)轴力以受拉为正，正轴力画在局部坐标y>0 一侧。 利用求解器求解的主要程序已在相关的章节中进行分析。 下面简单进行说明：

1. 在“命令”菜单下，输入结点、单元、约束条件、荷载条件，最终形成一个结构。如果进行位移计算时还要输入单元材料性质。

2. 在“求解”菜单下，选择“内力计算”，求解器打开“内力计算”对话框，“内力显示”组中选择“结构”，再选择“弯矩”，观览器中显示结构的弯矩图。

3. 在观览器中，可以进行设置，调节图形的幅值。 §4-7 小结

1. 静定结构各种受力分析方法的比较 静定结构的受力分析方法有两类:

(1)取隔离体，建立平衡方程的方法。

(2)虚设位移，建立虚功方程的方法。

第一，要对每一类方法深入学习，学懂学会。第二，要把两类方法合在一起，加以研究和比较：了解两类方法的本质区别以及各自的优缺点。

2. 几何构造分析与受力分析之间的联系

学习过程经常是首先分门别类的学，然后融会贯通的想，综合优先的用。

几何构造分析与受力分析要将两部分融会贯通起来，掌握两者之间的对偶关系，并能灵活的交叉应用。

隔离体截取顺序的优选正是借鉴几何构造分析的知识，用以指导受力分析方法的优选。 3. 与静定结构各种特性相贯通的基本特性

静定结构的基本特性是：在静定结构中，满足平衡条件的内力解答是存在的，而且是唯一的。此基本特性派生了静定结构的四条普遍性质。

4. 评价各种结构型式受力特性的一个基本观点

各种结构的受力特点已经作了对比，如何评价结构型式的合理性，要从受力特性、施工、经济等方面综合考虑，而从受力特性的角度看，一个基本的观点就是要设法“材尽其用”，尽量减少弯矩峰值，尽量接近无弯矩状态这一理想境界。

§4-8 思考与讨论

1. 如何才能避免联合解平衡方程组？

2. 如何理解平衡方程无解和无穷多个解的概念？ 3. 虚功原理中，位移的假设是否是任意的？ 4. 利用虚功原理能否求解多个约束力？

5. 为什么温度的改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构中不引起内力？ 6. 为什么当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，其余部分的内力不变？

第五章 影响线

一. 教学目的

通过本章的学习，理解影响线的概念，能够正确的画出结构的影响线，利用影响线能够求出相应结构的最不利荷载位置。

二. 主要章节

§5-1 移动和荷载影响线的概念§5-2 静力法作简支粱的影响线§5-3 结点荷载作用下粱的影响线§5-4 静力法作桁架的影响线§5-5 机动法作影响线§5-6 影响线的应用

§5-7 用求解器计算结构的影响线§5-8 小结§5-9 思考与讨论§5-10 习题§5-11 测验

三. 学习指导

本章所学的内容与前几章所学内容有一个最大的不同，本章主要讨论的是结构在移动荷载作用下的内力计算以及内力随荷载移动的变化规律，计算的方法依然是静力平衡的方法，学习时应注意与以前所学的共同点和不同点。

四. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P187～226 §5-1 移动载荷和影响线的概念

一. 移动荷载

结构所承受的荷载作用点在结构上是移动的。

桥梁上承受火车、汽车和走动的人群等荷载；厂房中的吊车粱承受的吊车荷载等都是移动荷载。

二. 影响线的概念

工程中的移动荷载是多种多样的，不可能针对每一个结构在各种移动荷载作用下产生的效果进行一一的分析，研究移动荷载对结构各种力学物理量的变化规律。一般只需研究具有典型意义的一个竖向单位集中荷载 FP = 1 沿结构移动时，某一量值（内力、支反力等）的变化规律，再利用叠加原理，求出移动荷载对结构某一量值的影响。

影响线：单位移动荷载作用下，结构上某一量值 Z 的变化规律的图形称为该量值 Z 的影响线。

§5-2 静力法作简支粱的影响线

一. 教学目的

本节是利用静力平衡的方法，以荷载的作用位置坐标为变量，确定某一量值的影响函数，从而确定影响线。通过本章的学习，能够正确理解影响线的概念，并能应用静力法做出简支粱的影响线。

二. 主要内容1. 支座反力的影响线2. 剪力影响线3. 弯矩影响线 三. 学习指导

影响线的关键是理解变量的意义和水平坐标、纵坐标的物理意义，数学方法相对比较简单容易掌握。

四. 参考资料结构力学教程(Ⅰ)》P188～192 5.2.1 支座反力的影响线

现先研究如何确定图5-1a所示简支粱支座反力的影响线。 以粱的支座 A 为原点，以荷载的作用点到 A 的距离为变量。 由图可知，当荷载由一端 A 移到另一端B时，变量由 0 变到 l 。 由平衡方程求支反力的大小：

FRA 与 FP 正比，比例系数 (l-x)/l 称为 FRA 的影响系数，用

表示，即：

图5-1

利用函数关系画出支座 A 的支反力的影响线(图5-1b)。 5.2.2 剪力影响线

计算图5-2a所示截面 C 处的剪力的影响系数，并做出剪力影响线。

由于移动荷载有可能在截面的左侧，也可能在截面的右侧，因此，应对以上两种情况分别进行考虑。

1. 移动荷载在截面的左侧

2. 移动荷载在截面的右侧

利用函数关系画出截面 C 处剪力的影响线图5-2b。

图5-2

特点：影响线由两段平行线组成，在截面 C 处产生突变，平行线的端点应注意虚线部分。 5.2.3 弯矩影响线

现在分析图5-3a所示截面 C 处弯矩的影响线。

分析方法与剪力影响线的方法相同，主要考虑移动荷载的位置。 1. 移动荷载在截面的左侧

2. 移动荷载在截面的右侧

作图（5-3b）

图5-3

特点：影响线由两段组成，形成一个三角形，在截面处形成一个极大值，说明移动荷载移动到截面 C 时， C 截面的弯矩最大。

§5-3 结点荷载作用下粱的影响线

图5-4a所示为一桥梁结构承载示意图,荷载直接作用在纵粱上,不论纵粱受何种荷载,而主粱只在结点出承受集中力,因此,主粱承受的是结点荷载。

1. 支反力和结点处弯矩的影响线与简支粱相同（为什么？） 2. 主要考虑D截面弯矩的影响线的画法。

(1) 假设移动单位荷载直接作用在主粱 AB 上，则 MD 的影响线为一三角形,顶点坐标为:

(2) 按比例计算出 C、E 两点的竖距：

(3) 将 C、D 两点的竖距连一直线，即得到结点荷载作用下的 MD 影响线（图5-4b）

图 5-4a

图5-4b

结论：

1. 在结点荷载作用下，结构任何影响线在相邻两结点之间为直线。

2. 先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相邻两结点的竖距，就得到结点荷载作用下的影响线。

利用本结论可做出 CE 之间任何截面的剪力影响线，请自己练习。 §5-4 静力法作桁架的影响线

本节主要是利用截面法和结点法，在充分利用平衡条件的基础上，结合实际例子来分析桁架的影响线。

如图5-5a为一桁架结构，下面主要分析上弦杆、下弦杆、竖杆、斜杆轴力的影响线。 1. 上弦杆 bc 的轴力影响线

图5-5a、b

欲求 bc 杆的轴力，作截面 m - m ，以 C 点为矩心，列平衡方程即求得。 如单位荷载在 C 的右侧，取截面 m - m 的左侧为隔离体，得

如单位荷载在 C 的左侧，取截面 m - m 的右侧为隔离体，得

利用支反力的影响线为直线的性质，得到 bc 杆轴力的影响线，其特点是一三角形（图5-5c）

图5-5c、d

2. 下弦杆 CD 轴力的影响线

利用截面 m - m 右侧隔离体水平方向的平衡条件即可得到下弦杆 CD 轴力的影响线（图5-5d）。

结论分析：

上弦杆、下弦杆轴力的影响线均为三角形状，顶点的竖标可表示为：

M oc 为相应简支梁（图5-5b）结点 C 的弯矩。 3. 斜杆 bC 轴力的竖向分力的影响线

研究截面 n - n ，应按三段进行考虑，按静力平衡条件在竖直方向的平衡即可得到：

于是得到斜杆 bC 轴力的影响线（图5-5e） 4. 竖杆 cC 轴力的影响线

利用截面 m-m 及投影关系，结合相应粱节间的剪力可得轴力影响线（图5-5f）

图5-5e、f

§5-5 机动法作影响线 一. 教学目的

通过本节的学习，进一步理解影响线的概念以及机动法画影响线，掌握机动法作影响线的原理和方法，从而能够快速、准确的画出各种结构影响线的轮廓。

二. 主要内容1. 机动法作影响线的概念和步骤2. 利用机动法作简支粱的影响线 3. 利用机动法作多跨粱的影响线 三. 学习方法

一方面要正确理解虚功原理以及机动法的概念和步骤，在此基础上多做练习巩固。 四. 参考资料 龙驭球 包世华主编《结构力学教程》 页号 P198～203 §5-5 机动法作影响线

问题的提出：对于有些问题往往要知道影响线的轮廓形状，如何快速准确的画出影响线，是本节主要解决的问题。

1. 虚功原理与机动法

欲求图5-6（a）所示简支粱支座 B 反力 Z 的影响线。

将与 Z 相应的约束---支杆 B 去掉，用未知量 Z 代替，使结构成几何可变体，再使结构产生虚位移，粱绕 A 点转动， B 点的位移为δZ 。列虚功方程：

于是：

当 Fp = 1 移动时，位移δP 随之变化，应为荷载位置 x 的函数。δZ为常量。

则上式可表示为：

表示 Z 的影响线函数；

δP(x)表示荷载作用点的竖向位移（图5-6b）。

由此，可得 Z 的影响线与荷载作用点的竖

向位移成正比，即位移图 δp 就是影响线的轮廓。

图5-6

当 δZ = 1 时，就得到图5-6c在形状和数值上完全确定的影响线。 2. 正负号规定

当 δZ 为正时，Z 与δp 的正负号正好相反，以δp向下为正。因此，位移图在横坐标轴的上方，影响系数为正。

3. 机动法作影响线的步骤

1. 撤去约束，用未知量 Z 代替。

2. 使体系沿 Z 的正方向发生位移，得出荷载作用点的竖向位移图，由此可得出影响线的轮廓。

3. 令δZ = 1 ，进一步可得影响线的数值。

4. 横坐标以上的图形影响系数为正，反之为负。

实例分析

§5-5 机动法作影响线

4. 实例分析

例1. 利用机动法做图5-7a简支粱弯矩和剪力的影响线

解：（1）C 截面弯矩 Mc 的影响线

撤去与弯矩相对应的约束----将C 截面改为铰结,代以一对等值反向力偶 Mc 。

给体系一虚位移，图5-7b所示。注意这里的位移是铰 C 两侧截面的相对转角。利用几何关系可知：

B B1 =bδZ

C 截面的竖向位移为：

这样得到的位移图就是 C 截面弯矩的影响线的轮廓。

为了求得影响系数的数值，将位移图中的数值除以δZ，即得到图5-7c所示的影响线。

注意这里的虚位移δZ是微小值，不能令其等于1弧度。

图5-7a、b、c

（2）C 截面剪力影响线

撤去截面 C 处相应与剪力的约束，代以剪力 FQC ，得图5-7d所示的机构。

发生虚位移，在 C 截面处产生相对竖向位移δZ，注意不发生相对转角和水平位移。

令δZ= 1，由几何关系求得影响线的数值。（图5-7e）

图5-7d、e

§5-5 机动法作影响线

例2. 利用机动法作多跨粱的影响线

用机动法画出图5-8(a)所示多跨粱截面C弯矩及支反力B的影响线。

图5-8

(1). 截面 C 处弯矩影响线

将截面 C 加铰，发生虚位移（图5-8b），于是可得影响线（图5-8c）。 (2). 支座 B 反力的影响线

将支座 B 去掉，发生虚位移（图5-8d），于是可得影响线（图5-8e）。

结论：从影响线中可以看出，在多跨静定粱中，基本部分的内力影响线是布满全粱的，而附属部分内力的影响线则只在附属部分不为零。

§5-6 影响线的应用 一. 教学目的

通过本节的学习，利用影响线能够计算荷载作用下相应的各种量值，正确理解荷载的最不利位置和临界位置的概念，并能计算和判定临界位置及最不利荷载位置。

二. 主要内容1. 求各种荷载作用下的影响2. 求荷载的最不利位置3. 临界位置的判定 三. 学习方法

1. 解影响线的概念，水平轴、纵轴的力学意义。

2. 过练习掌握影响线的应用，重点是概念的理解和应用。

四. 参考资料 龙驭球 包世华主编《结构力学教程》 P203～211 §5-6 影响线的应用

1. 求各种荷载作用下荷载的影响

影响线是单位移动荷载对某一量值的影响，利用叠加原理，可求其他荷载作用下产生的影响。

(1)对于一组集中荷载

如图5-9a所示一简支粱作用一组荷载，FP1，FP2，FP3,简支粱某一截面 C 弯矩的影响线为图5-9b所示，影响线在荷载作用点的竖距分别是y1、y2、y3 。利用叠加原理，可求出这组荷载作用下 C 截面的弯矩为：

图5-9

图5-10

一般来讲，设有一组集中荷载 FP1，FP2 ，···，FPn 加于结构，而结构某量Z的影响线在各荷载作用处的竖距为y1，y2，···，yn，则

(2)对于分布荷载

如图5-10a所示，对于均布荷载，可利用下式进行计算：

A0 是影响线的图形在受载段 AB 的面积，在这里应注意面积的正负号。

§5-6 影响线的应用

2. 求荷载的最不利位置

在结构设计中需要求出某一量值的最大值或最小值作为设计的依据，为此就必须确定使其发生最大值的荷载最不利位置。

原则：

数量大、排列密集的荷载放在影响竖距较大的部位。 几种简单的情况----请认真思考。

(1) 单个集中荷载，则最不利位置是集中荷载作用在影响线的竖距最大处。

(2) 如果移动荷载是均布荷载，且可以是任意分布长度，则最不利位置是在影响线正号部分布满荷载(求最大正值)，或在负号部分布满荷载(求其最大负号值)。

(3) 如果移动荷载是一组集中荷载，必有一个集中荷载作用在影响线的顶点。对于这种情况将进一步讨论。

§5-6 影响线的应用

3. 临界位置的判断

对于移动荷载是一组集中荷载，要确定某量值 Z 的最不利荷载位置，通常分以下三个步骤： (1) 求出某量值 Z 达到极值的荷载位置。这种位置称为荷载的临界位置。 (2) 从荷载的临界位置中选取荷载的最不利位置。

(3) 利用叠加原理求出最不利荷载位置时该量值的大小。 以下主要讨论工民建专业中常见的影响线为三角形的情况。 如图5-11(a)是一组间距不变的移动荷载，图5-11(b)是量值 Z 的影响线，要是量值 Z 的值达到极值，则必有一荷载作用在影响线顶点。

图5-11

是否任意荷载作用在顶点都可以使 Z 达到极值？则需要进一步的判定。 当荷载作用在顶点时，量值达到极值，则此荷载称为临界荷载，以下是判定荷载 Fpk 是临界荷载所满足的条件：

上式中 FP 左是 FPk 左边位于影响线范围各力的合力， FP右 是 FPK 右边位于影响线范围各力的合力。

此式表明，临界位置的特点是有一集中荷载位于影响线的顶点，将此荷载计入哪一侧（左侧或右侧），则哪一侧荷载的平均集度就大。 §5-7 用求解器计算结构的影响线

利用《结构力学求解器》可以求解任意结构的任意单元中任意截面的内力影响线，单位荷载可以是单位竖向力、水平力、单位力矩；内力可以是弯矩、剪力或轴力。

1. 利用编辑器选择或录入一静定结构。 如图5-12

图5-12

2. 输入影响线求解参数

在编辑器中打开“命令”下拉菜单中的“其他控制参数”的“影响线”(图5-13a)，此时显示“影响线求解参数”对话框图5-13b，在对话框中按需要选择：单位荷载的类型和方向、欲求影响线截面内力的位置、类型。单击“应用”按钮，然后单击“关闭”按钮，退出对话框。

图5-13a

图5-13b

3. 求解

单击编辑器中“求解”下拉菜单中的“影响线”(图5-14a)，在影响线显示器中有影响线数据，当选则“结构”、“单元”时，在浏览器中将显示相应的影响线(图5-14b)。

图5-14a

图5-14b

§5-8 小结

本章主要讨论了静定结构的影响线的画法和应用，重点是影响线的概念。

影响线的画法有：静力法、机动法。静力法是绘制影响线的最基本的方法，应能正确的掌握和应用。

影响线的应用主要是最不利荷载位置的确定，为了确定荷载的最不利位置，要掌握如何判定临界荷载和临界位置。

下面重点分析一下影响线与弯矩图的区别：

弯矩图图5-15a 弯矩影响线图5-15b 承受的荷载是作用位置固定不变的实际荷载，承受的荷载为数值是1的移动荷载 有单位 横坐标表示所求弯矩的截面位置 横坐标表示单位移动荷载的作用位置 纵坐标表示实际荷载作用在固定位置时，在此纵坐标表示移动荷载作用在此点时，在指定截截面产生的弯矩；弯矩画在受拉一侧不表明正面处产生的弯矩；正值应画在基线的上侧；其负号；单位是[长度][力] 单位是[长度] §5-9 思考与讨论 1. 什么是影响线？它的横坐标和纵坐标的物理意义是什么？

2. 静定结构的影响线为什么都是直线？当发生突变时，代表什么含义？ 3. 多跨静定粱附属部分的内力影响线在基本部分上的线段与基线重合，试从静定结构的力学特性进行分析。

4. 桁架的影响线有何特点？

5. 简单描述机动法作影响线的原理。 6. 试分析影响线与内力图的区别？

7. 什么是某量值的最不利荷载位置？有何原则？ 8. 什么是临界位置和临界荷载？如何进行判定？

第六章 结构的位移计算

一. 教学目的

理解广义力和广义位移的概念、虚功原理、单位荷载法、图乘法、互等定理。 能利用单位荷载法正确的计算结构在荷载作用及支座移动下和温度变化下的位移。 掌握图乘法及应用条件，能用图乘法计算粱和刚架的位移；能够计算桁架的位移。 二. 主要章节

§6-1 应用虚力原理求刚体体系的位移§6-2 变形体的虚功原理

§6-3 结构位移计算的一般公式§6-4 荷载作用下的位移计算§6-5 图乘法

§6-6 温度作用时的位移计算§6-7 用求解器进行位移计算§6-8 互等定理§6-9 小结 §6-10 思考与讨论§6-11 习题§6-12 测验 三. 学习指导

本章是静定结构与超静定结构的联结部分，一方面有相对的性，另一方面又是学习超静定结构的基础，因此应当有一个正确的学习态度。本章的理论基础是虚功原理，重点是单位荷载法和图乘法的应用，因此应当加强学习和练习。

四. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P235～304 §6-1 应用虚力原理求刚体体系的位移 一. 教学目的 了解位移的概念，理解虚功原理在位移计算中的应用----虚力原理，初步掌握单位荷载法。 能利用单位荷载法正确的计算静定结构在支座移动下的位移。 二. 主要内容

1. 结构位移计算概述2. 虚功原理在位移计算中的应用形式----虚力原理 三. 学习指导

本节是静定结构与超静定结构的联结部分，本节的关键是概念的理解，应在理解虚力原理的基础上掌握计算静结构在支座移动时的位移，因而加深单位荷载法的理解，为今后的学习打下一个良好的基础。

四. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P235～240

6.1.1. 结构位移计算概述 位移的概念：

结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上个点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。

结构的位移通常有两种（图6-1）：截面的移动----线位移；截面的转动----角位移。

图6-1

结构位移计算的目的：

(1) 验算结构的刚度，校核结构的位移是否超过允许限值，以防止构件和结构产生过大的变形而影响结构的正常使用。

(2) 为超静定结构的内力计算打下基础。因为，位移计算是计算超静定结构的一个组成部分。 产生位移的原因： (1) 荷载作用；

(2) 温度变化和材料胀缩； (3) 支座的沉降和制造误差。

位移计算的理论基础----虚力原理

6.1.2 虚功原理在位移计算中的应用形式----虚力原理

虚功原理的关键是位移与力系是无关的。因此，可以把位移看成是虚设的，也可以把力系看成是虚设的，本部分正是把力系看作是虚设的，求刚体体系的位移。

下面通过实际例子一方面介绍虚功原理在计算位移的应用----虚力原理，另一方面通过此例子，应掌握支座移动时静定结构的位移计算。

如图6-2a中所示的静定粱，支座C向上移动了一个已知距离c1,现在求B处的位移Δ。

图6-2

为了应用虚功原理，计算图6-2a中的位移状态中的位移，应根据所求位移来虚设力系，由于位移状态为给定状态，力状态为虚设状态，因此称为虚力原理。

根据虚功原理力状态和位移状态除了结构形式和支座情况需要相同外，其它方面两者完全无关， 因此应根据所需来虚设力状态。为了使力状态上的力能够在实际状态的所求位移Δ上做虚功，应在该点施加一集中力大小为1（为什么）----在拟求位移的方向上设置单位荷载，而在其它处不再设置荷载（图6-2b）。应用平衡条件可求出支座反力。

利用虚功原理可得：

结论：在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反力。利用虚力原理列出虚力方程进行求解，由于是在所求位移处设置单位荷载，因此，这种解法又称单位荷载法。

§6-2 变形体的虚功原理

一. 教学目的

理解变形体的虚功原理，能够区分力状态和位移状态以及二者之间的性。 二. 主要内容

1. 变形体的虚功原理及应用条件2. 变形体虚功原理的表达式 三. 学习指导

本节的主要内容是变形体的虚功原理的描述，虚功原理的应用有一定的广泛性，重点是理解虚功原理，为今后的学习打下一个良好的基础。

四. 参考资料结构力学教程(Ⅰ)》P269～275

6.2.1. 变形体的虚功原理

虚功原理是力学中的一个基本原理，它有两个基本形式： 虚力原理、虚位移原理

变形体的虚功原理可表述为：

设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做的虚功W恒等于各个微段的应力合力在变形上所做的内力虚功 Wi 。

可简单写成：外力功 W =内力功 Wi

虚功原理涉及两组彼此无关的量----作用于结构的平衡力系和符合结构约束条件的微小连续变形系。

2、变形体虚功原理的应用条件 变形体虚功原理的应用条件是： 力系应当满足平衡条件----力系是平衡的；位移应当符合支承情况并保持结构的连续性-----变形符合约束条件，且是微小连续的。

虚功原理可用于不同材料、不同结构，应用范围很广。 6.2.2. 变形体虚功原理的表达式

对于任意一个结构则虚功原理的一般形式可表示为：

如果力系是给定的，位移是虚设的，则上式为变形体的虚位移方程，可用于求力系中的某未知力。

如果位移是给定的，力系是虚设的，则上式为变形体的虚力方程，可用于求给定变形状态中某未知位移。这也是本章的主要内容。

§6-3 结构位移计算的一般公式

一. 教学目的

在进一步理解变形体的虚功原理的基础上，理解广义力、广义荷载和单位荷载法，利用虚功原理，根据所求位移，假设出虚设的力状态。正确理解结构位移计算的一般公式。

二. 主要内容

1. 单位荷载法2. 位移计算的一般步骤3. 广义力和广义位移 三. 学习指导

本节的主要内容是单位荷载法以及相应的表达式，对于相应的理论没有给出进一步的推导和证明，读者可以通过参考资料进行学习。本节的重点是单位荷载法。

四. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P235～304页 6.3.1. 单位荷载法

根据虚力原理的基本表达式：

为了能够计算某一结构位移Δ，我们选择的力系中只包含一个对拟求位移Δ做虚功的相应荷载 P 。这样上式就变成：

进一步令P=1，便有：

式中，

是结构在集中单位荷载P=1作用下的支反力和内力，它们都可以

有由静力平衡条件求出。而位移则是实际结构中的位移。

由于在假设中的力系是利用最简单的虚设力系-----单位荷载力系，通过上式计算位移，这就是单位荷载法计算位移的基本思路。

下面讨论位移计算的一般步骤和思路 6.3.2. 位移计算的一般步骤

求结构在某一点沿某一方向的位移Δ，其计算步骤为：

(1) 虚设一单位荷载状态，在结构的所求位移处作用与位移相应的单位荷载，注意单位荷载应与所求位移相一致。

(2) 在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构的内力和支反力。 (3) 利用公式：

可求出相应的位移，计算出的结果为正值时，则表明所求位移与单位荷载方向一致，负值时则表明实际位移与单位荷载方向相反，具体计算可参考荷载作用下的位移计算和温度变化下的位移计算。

下面将讨论 如何建立虚设状态----单位荷载状态。 6.3.3. 广义位移和虚设状态

本章所讨论的位移可以引申为广义位移。它既可以是某点沿某一方向的线位移或某一截面的角位移，也可以是某两个截面的相对位移等。为了能够应用位移计算的一般公式，虚设单位荷载必须与所求位移产生虚功，因此，虚设单位荷载应与广义位移相一致。下面结合实例分析虚设单位荷载： 实际结构荷载 求 A 点的水平方向线位移，在 A 点沿水平方向加一单位集中力 求B 点的角位移,应在B 点加一单位力偶 求 A 、B 两点的相对位移（俩点间相互拉开或靠拢的距离），在A、B 两点沿连线方向加一对反向单位集中力 求 B 点的竖直方向线位移，在 B 点沿竖直 求A、B 两截面的相对转角，在A、B 两截方向加一单位集中力 面加一对反向单位力偶 §6-4 荷载作用下的位移计算

一. 教学目的

在进一步理解变形体的虚功原理的基础上，掌握结构在荷载作用下的位移计算。正确理解结构位移计算的一般公式以及各种不同结构的计算公式,能够计算结构的位移。

二. 主要内容

1. 各种结构的位移计算公式2. 粱的位移计算实例3. 桁架位移计算实例 三. 学习指导

本节的主要内容是用积分法计算结构的位移，对于相应的理论没有给出一步的推导和证明，读者可以通过参考资料进行学习。本节的重点是结构的位移计算，学习的方法是多进行练习，学习的基础是结构内力的计算和表示。

四. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P187～226 6.4.1. 各种结构位移计算公式

根据虚功原理和单位荷载法，对于位移计算可以得出以下结论：

下面讨论结构在荷载作用下的计算公式，利用材料力学中内力与应变的关系：

这里，E 和G 分别是材料的弹性模量和剪切弹性模量；A 和 I 分别是杆件截面的面积和惯性矩。k 是与截面形状有关的系数。

将上两个结论进行统一，可得出荷载作用下弹性位移的一般公式

内力正负号规定：轴力以拉为正，剪力是微段顺时针转动者为正，弯矩规定两者的乘积的正负号，当两个弯矩使杆件同一侧受拉时，其乘积取正号。

各类结构的位移计算： (1) 粱和刚架

由于梁和刚架是以弯曲为主要变形，因此位移计算可简化为

(2) 桁架

桁架中杆件只受轴力作用，且每根杆件的截面面积、轴力均为常数，故位移计算可简化为

(3) 组合结构

桁粱混合结构中，一些杆件以弯为主，一些杆件只受轴力，故位移计算可简化为

(4) 拱

对于拱结构，当压力线与拱轴线相近时，应考虑弯曲变形和轴向变形，即

当压力线与拱轴线不相近时，只考虑弯曲变形的影响。

6.4.2. 粱的位移计算实例 位移计算的基本步骤：

(1) 根据欲求位移虚设单位荷载，然后分别列出各杆段的内力方程； (2) 列实际荷载作用下的各杆段内力方程；

(3) 将各内力方程分别代入到相应的计算公式中，分段积分后再求和，即可计算所求位移。 实例分析：

试计算图6-3a 所示悬臂粱在B 端的竖向位移 ，EI 为常数。

图6-3

解: 虚设单位荷载图6-3b 。

实际荷载和单位荷载的弯矩方程为：

利用计算位移公式可得

计算结果为正说明实际位移方向与单位荷载方向一致。 有关粱和刚架的位移计算将在图乘法中继续分析。 6.4.3. 桁架的位移计算

计算图示是结构E 点的挠度，上弦杆截面面积为A1 =120cm2，弹性模量为E1 =103 kN / cm2下弦杆截面面积为A2 =100cm2，弹性模量为E2 =2.1×104 kN / cm2腹杆截面面积为A3 =cm2，弹性模量为E 3=2.1×104 kN / cm2

图6-4

解：在结点E 加单位力，并求相应的内力（图6-4b）。 求实际荷载的内力(图6-4c)。

由于对称性，可计算一半内力，杆DF 的长度只取一半。列表计算位移 杆件 FNP(kN) l(cm) A(cm2) E (kN / cm2) A D 15 A C -25 C D 25 C E -30 D E 0 D F 30 合计 600 100 500 500 600 120 500 300 100 2.1×104 2.1×104 2.1×104 103 2.1×104 2.1×104 0.0016 0.0058 0.0058 0.1125 0.0000 0.0048 0.1305 0.38 -0.63 0.63 -0.75 -0.63 1.13 所以

§6-5 图乘法

一. 教学目的

正确理解图乘法和应用条件以及图乘法的含义,能够利用图乘法计算粱、刚架的位移，理解各种弯矩图的叠加并能够根据叠加进行图乘。

二. 主要内容

1. 图乘法及应用条件2. 常见图形的面积和形心3. 图乘法的几个具体问题 4. 图乘法应用举例(1)5. 图乘法应用举例(2) 三. 学习指导

图乘法是粱、刚架位移计算的主要方法也是位移计算的重点，应重点掌握，练习和测验都是围绕图乘进行的，应多做练习。

四. 参考资料

《结构力学教程(Ⅰ)》P257～267 6.5.1. 图乘法及应用条件 根据计算粱和刚架位移的公式：

为避免微分运算，以下介绍一种计算方法----图乘法。 下面说明图乘法的内容和应用条件

图6-5为某直杆段 AB 的两个弯矩图，其中有一个图形为直线( Mi 图),如果抗弯刚度 EI 为常数，则可进行以下计算：

图6-5

上式中y0是在MK 图形心C 对应处的Mi 图标距，A 是MK 图的面积，因此：

位移计算的问题转化为求图形的面积、形心和标距的问题。 应用图乘法应注意两点： 1. 应用条件：

杆段应是等截面直杆段；两个图形中至少有一个是直线，标距 y0 应取自直线图形中。 2. 正负号规定：

面积 A 与标距 y0 在同一侧时，乘积取正号；反之取负号。 6.5.2. 常见图形的面积和形心

根据图乘法，位移计算主要是计算图形的面积、形心和标距，下面介绍常见图形的形心和 面积：图6-6

三角形

二次抛物线

二次抛物线

二次抛物线

三次抛物线

n 次抛物线

以上图形的抛物线均为标准抛物线----抛物线的顶点处的切线都是与基线平行。 对于复杂图形问题可以参考应用图乘法时的几个具体问题。 6.5.3. 应用图乘法时的几个具体问题

(1) 如果两个图形都是直线图形,则标距可任取自其中一个图形。

(2) 如果一个图形为曲线，另一个图形为折线，则应分段考虑。如图6-7所示

图6-7

则计算结果应为：

(3) 如果图形比较复杂，可以将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加。 如图6-8两个图形均为梯形，将梯形分为两个三角形再进行图乘。因此，

图6-8

对于非标准抛物线的图乘，由于弯矩图中的非标准抛物线是由叠加原理获得，因此可以将非标准抛物线分解为标准抛物线图形和直线图形。

图6-9

讨论：

以上抛物线中的M0 的两个图形并不相似,为什么面积和形心的横坐标是相同的? 6.5.4. 图乘法应用举例 (1)

试计算图6-10a所示悬臂粱B 点的竖向位移，EI 为常数。

图6-10

解:虚设单位荷载（图6-10b),

作实际状态和虚设单位荷载的弯矩图(图6-10a 、图6-10b)。

应用图乘法，实际荷载弯矩图中计算面积，单位荷载弯矩图中计算竖标：

继续

6.5.5. 图乘法应用举例 (2)

试求出图6-11a 所示刚架结点B 的水平位移,EI 为常数。

图6-11

解:作实际状态和单位荷载的弯矩图(图6-11b、c)

§6-6 温度改变时的位移计算

对于静定结构温度变化时，材料发生伸缩变形，结构因而产生位移。位移的计算仍然应用虚功原理。

虚功原理：外力的虚功等于内力的虚功，下面结合实例分析温度变化时结构的位移计算公式。

图6-12位移刚架结构，杆件的内侧温度升高 t1，外侧温度升高 t2，温度沿高度 h 是按直线变化的，变形后截面仍将保持为平面。

图6-12

为了计算位移，应虚设单位荷载，图6-12b 是求C 点竖向位移的单位荷载。 以下讨论温度变化时的变形(图6-12C)

轴线处温度的升高为：

轴向应变ε和曲率κ分别为

α为线膨胀系数 应用虚功原理可得

当温度、杆的高度沿每一根杆件的全长为常数时，可得

实例分析

§6-6 温度作用时的位移计算

实例分析

试分析图6-13a 所示刚架 C 点的水平位移，已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上升了10。C，刚架各杆的截面相同且与形心轴对称，截面高为 h,线膨胀系数为α。

图6-13

解 虚设单位荷载并画轴力图和弯矩图(图6-13b 、c)有

§6-7 用求解器进行位移计算

在输入一个静定结构后，为了求解结构的位移，只要输入结构的各杆件的材料性质和温度变化就能够计算结构的位移，下面讨论如何输入材料性质和温度改变。

1. 输入材料的性质

在“编辑器”中依次选择菜单“命令”、“材料性质”(图6-14a)，则显示材料性质对话框(图6-14b)，从中选择材料相同的单元范围，再输入所需的杆件刚度性质，均布质量、极限弯矩可以空缺，然后单击“应用”，直至各杆件定义完毕，最后单击“关闭”，完成输入，即可进行位移计算。

图6-14a

图6-14b

2. 输入温度改变

在“编辑器”中依次选择菜单“命令”、“温度改变”(图6-15a)，则显示温度改变对话框(图6-15b)，从中选择温度改变相同的单元范围，再根据提示选择所需的各项参数，然后单击“应用”，直至各杆件定义完毕，最后单击“关闭”，完成输入，即可进行位移计算。

图6-15a 图6-15b

§6-8 互等定理

一. 教学目的

正确理解功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理，为今后的学习奠定良好的基础。 二. 主要内容1. 功的互等定理2. 位移互等定理3. 反力互等定理 三. 学习指导

互等定理是为今后的学习做准备，本节的重点是对定理的理解。 四. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P287～291 6.8.1. 功的互等定理

以下讨论的互等定理只适用于线性变形体系：材料处于弹性阶段；结构变形很小，不影响力的作用。

设有两组外力分别作用在同一结构图6-15，分别称为第一状态和第二状态。

图6-16

对于两种状态应用虚功原理：

外虚功有两个下标，第一个表示受力状态，第二个表示位移状态 ，位移也有两个下标，第一个表示位移的位置，第二个表示引起位移的力状态。

于是可得功的互等定理：

第一状态外力在第二状态位移上所做的功等于第二状态外力在第一状态位移上所做的功。即

根据功的互等定理可得位移互等定理 6.8.2. 位移互等定理 对于6-15图的两种状态

图6-15

有功的互等定理可得

当两个作用荷载都等于一时，此时的位移记作δ12和δ21。 于是得

δ12和δ21又可称为位移影响系数，即：Δ12 = P12δ12 这就是位移互等定理：

位移互等定理表明第二个单位力在第一个单位力作用点沿其方向引起的位移等于第一个单位力在第二个单位力作用点沿其方向引起的位移。

注意：这里的荷载和位移都是广义荷载和广义位移，一般情况下定理中的两个广义位移的量纲可能不相同，但是影响系数在数值和量纲上仍然保持相等。

6.8.3. 反力互等定理

图6-16

如图6-16所示为同一线性变形的两种状态。下面讨论由于图中的变形一起的反力的变化，注意图中的反力在用双下标，第一个下标i表示反力与相应的位移 Ci 对应，第二个下标表示位移产生的反力，如 F12 表示由位移 C2 引起的与位移C1对应的反力。

应用功的互等定理可得：

进一步有

上式实际上就是反力互等定理:

在任一线性变形体中,由位移C1 引起的与位移 C2 相应的反力影响系数 r21,等于由位移 C2 所应起的与位移 C1 相应的反力影响系数 r12 。

定理的关键是支反力应与位移相对应，可以是广义力和广义位移。 §6-9 小结

在静定结构与超静定结构分析中，本章内容起着承上启下的作用。它既是静定结构的结尾，又是超静定部分的先导。

本章的基本原理是虚功原理， 基本方法是单位荷载法。 位移计算的一般公式是：

位移计算时应注重方法的灵活性，主要体现在：

1. 位移计算公式不但适应静定结构，同时也适应与超静定结构，要了解其使用的范围。 2. 不同的结构和状态又不同的计算公式，粱和刚架、桁架、支座移动、温度改变各有相应的计算公式和方法。

3. 图乘法是计算粱和刚架的位移的基本方法，一方面要了解图乘法的应用条件，另一方面要熟练掌握计算方法。

4. 对于单位荷载法，要能够正确的根据所求位移，虚设出单位荷载状态。

§6-10 思考与讨论

1. 虚功原理的应用条件是什么?

2. 如何理解虚功的概念比实功的概念应用更广泛 3. 如何根据所求位移去选择单位荷载?

4. 应用单位荷载法求位移时,所求的位移方向如何确定? 5. 图乘法的应用条件是什么? 6. 图乘法中如何确定面积和竖标?

7. 支座移动和温度变化为什么不产生内力,二者在计算时又有何不同? 8. 应用图乘法如何确定正负号?温度变化时又如何确定位移的正负号? 9. 单位荷载有无单位,实际结构的内力与单位荷载的内力的量刚是否相同?

10.对于非标准抛物线的图乘为什么叠加后面积和形心位置不发生变化? 11.对于下面两图如何进行图乘

12.功的互等定理和位移互等定理各说明了什么物理意义?

第七章 力法

一. 教学目的

正确的判断静定结构和超静定结构; 理解力法方程的物理意义;

掌握力法的基本概念及解题步骤;

能够应用力法求解超静定粱、刚架、排架、桁架在荷载作用下的内力; 了解温度变化时的内力计算。 二. 主要章节

§7-1 超静定结构的组成和超静定次数§7-2 力法的基本概念§7-3 超静定刚架和排架 §7-4 超静定桁架和组合结构§7-5 对称结构的计算§7-6 支座移动和温度改变时的计算 §7-7 用求解器进行力法计算§7-8 小结§7-9 思考与讨论§7-10 习题§7-11 测验 三. 学习指导

力法计算超静定结构主要是利用静定结构内力计算和位移计算来解决超静定结构的内力计算，因此静定结构的内力计算和位移计算是本章的基础；由于力法的计算量较大，本章的学习重点应是力法的基本方程的理解和应用，主要是不超过三次超静定结构。

四. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P315～P384 §7-1 超静定结构的组成和超静定次数 一. 教学目的

正确理解超静定结构的概念和超静定的次数;能够正确确定超静定结构的次数。 二. 主要内容

1. 超静定结构的组成2. 超静定次数 三. 学习指导

正确理解超静定结构的含义，理解超静定结构的几何特征和静力特征，可以为今后的学习打下一个基础。

四. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P315～P318 7.1.1 超静定结构的组成

静定结构:结构的反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定(图7-1a)。 超静定结构:结构的反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一的加以确定(图7-1b)。

图7-1

从几何组成分析中可知：静定结构和超静定结构都是几何不变体体系，而静定结构没有多余的约束，超静定结构存在多余约束，将图7-1b中支座C去掉结构仍为几何不变体系(图7-1C)。

结论：

满足平衡方程的内力解不唯一，几何上有多余约束，这就是超静定结构区别于静定结构的基本特点。

超静定次数

7.1.2 超静定次数

超静定次数：超静定结构中多余约束的个数；也可以认为多余未知力的数目。 将超静定结构中多余约束去掉，可变为相应的静定结构，则去掉多余约束的个数 n 即为原结构的超静定次数。

结构去掉多余约束的方式有以下几种：

1.去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束(图7-2)。 2.去掉一个固定铰支座或撤去一个单铰，等于去掉两个约束。 3.将刚性连接改为单铰，相当于去掉一个约束(图7-3)。

4.去掉一个固定端或切断一个粱式杆，等于去掉三个约束(图7-4)。

图7-2

图7-3

图7-4

对于一个超静定结构，去掉多余约束的方式可能有几种，但必须注意： 去掉多余约束后，一般应是几何不变的、静定的结构；。

图7-2a、图7-3a、图7-4a结构的超静定次数分别为1、1、3。

§7-2 力法的基本概念 一. 教学目的

正确理解力法的基本原理和思路、力法方程的物理含义，掌握力法的基本解题过程，能够利用力法求解简单的超静定结构。

二. 主要内容1. 基本思路(1) 2. 基本思路(2)3. 基本思路(3)4. 基本思路(4) 2. 超静定结构的计算(1)2. 超静定结构的计算(2) 三. 学习指导

本节内容是通过简单的实例揭示力法的基本原理，对于今后的学习力法是一个基础，学习的关键是对力法原理的理解和应用，一定要正确理解力法方程的物理意义，才能最终达到融会贯通的目的。

四. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P318～P323 7.2.1 基本思路(1)

力法是计算超静定结构的最基本方法。

力法的基本思路是把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。 下面结合实例说明力法的基本思路和原理

图7-5a为一次超静定结构，如果撤去 B 处的支座链杆并用未知力 X1 代替变成了图7-5b所示的静定结构，这样就得到了含有多余未知力的静定结构，此结构称为力法的基本体系（基本体系并不唯一）。相应的把原超静定结构中多余约束和荷载都去掉后得到的静定结构称为力法的基本结构图7-5c。

图7-5

这样通过把多余约束去掉用多余未知力来代替，将超静定结构变为静定结构，解题的关键就是多余未知力的求解问题，这也是力法的第一个特点：

把多余未知力的计算问题当作超静定问题的关键，把多余未知力当作关键地位的未知力----力法的基本未知量

下面将讨论如何建立力法方程来求解基本未知量

继续

7.2.2 基本思路(2)

为了求解多余的未知力，显然静力平衡方程式不能够求解，必须建立新的方程。

图7-5

下面将通过对原结构和基本体系进行受力和变形对比，从而建立力法方程。

从受力上看，当基本未知量 X1 为任意有限值时,基本体系和原结构都满足的平衡方程。 从变形上看，原结构由于支座 B 的支承，因此，不会发生竖向位移。而基本体系 B 处的竖向位移与基本未知量 X1 有关，只有当基本未知量 X1 为某一值时，基本体系 B 处的竖向位移Δ1 恰好等于零，即不发生竖向位移，这时基本体系的变形也与原结构的变形相同。于是，可以根据Δ1 =0的条件来确定基本未知量 X1 的大小，所求的 X1 就是原结构多余约束的反力 。

归纳起来力法的基本思路就是：

第一步：去掉原结构的多余约束，代之以多余未知力，得到静定的基本体系。

第二步：基本体系和原结构的变形相同，特别是基本体系上与多余未知力相应的位移与原超静定结构上多余约束处的位移条件一致，这是确定多余未知力大小的依据。一般情况下，当原结构上在多余约束处没有支座位移时，则基本体系应满足的变形条件是：与多余未知力相应的位移为零。

下面按照以上思路具体求解图7-5a所示的超静定结构。 7.2.3 基本思路(3)

图7-6

根据以上分析图7-5b所示的基本体系应满足的变形条件是：沿多余未知力 X1 方向的位移Δ1 为零，即

Δ1 =0

利用叠加原理计算基本体系的位移Δ1 并用基本未知量表示。 图7-6a 为基本体系在荷载和多余未知力 X1 共同作用，图 (b)、(c) 则分别是两者单独作用的状态，图 (d)、(e)、(f) 则是相应的变形图。

利用叠加原理，上述变形条件可表述为：

Δ1 = Δ1P + Δ11=0

这里Δ1 是基本体系上多余未知力 X1 方向的位移(图7-6d)，Δ1P 是基本结构在实际荷载作用下沿多余未知力 X1 方向的位移(图7-6e)， Δ11 是基本结构在多余未知力 X1 单独作用下沿多余未知力 X1 方向的位移(图7-6f)，位移与多余未知力方向一致时为正。

由于位移Δ11与多余未知力 X1 成正比 ，可以写成

Δ11=δ11X1

δ11表示单位未知力X1 =1的作用，使基本结构在多余未知力 X1 方向产生的位移，于是变形条件可写成

δ11X1 + Δ1P =0

这个方程叫作力法典型方程，它体现了是基本体系恢复到原超静定结构的转化条件。式中的系数由单位荷载法进行计算。

下面将具体进行计算 7.2.4 基本思路(4)

图7-6

根据分析确定了力法典型方程：δ11X1 + Δ1P =0 为了计算δ11、 Δ1P ，做基本结构在荷载作用下的荷载弯矩MP (图7-7b)和单位未知力X1 =1的作用下的单位弯矩图M1 (图7-7c)。

图7-7

应用图乘法得到

代入力法方程

多余未知力求出后,利用平衡条件求原结构的内力计算结果如图7-7a，弯矩图也可以应用叠加公式计算:

力法的基本思路：将超静定结构的计算转化为静定结构的计算，首先选择基本结构和基本体系，然后利用基本体系与原结构之间在多余约束方向的位移一致性和变形叠加列出力法典型方程，最后求出多余未知力和原结构的内力。

下面讨论一般情况下的力法典型方程 7.2.5 多次超静定结构的计算(1)

图7-8为一个二次超静定结构，如图选择基本体系和基本结构。

图7-8

利用原结构与基本体系的在结点 C 沿 X1 和 X2 方向的位移相同的条件

这里Δ1 和Δ2 分别是基本体系沿X1 和 X2 方向的位移。

图7-9

下面应用叠加原理把变形条件展开 ，分别计算荷载、X1=1 和 X2=1 单独作用时在X1 和 X2 方向的位移,如图7-9。

位移的表示采用双下标，第一个下标表示位移的位置和方向，第二个下标表示产生的原因。 于是可得：

变形条件即为

这也是两次超静定结构的力法基本方程。

多余未知力求出后，利用叠加原理可绘制弯矩图，具体计算为

下面讨论 n 次超静定的情形。 7.2.6 多次超静定结构的计算(2)

若结构为 n 次超静定，则与 n 个多余约束相对应，基本体系上就有 n 个多余的未知力X1、X2、X3 ...... Xn，则力法典型方程为

根据位移互等定理：δij=δji

δij表示单位力Xj =1在基本结构沿Xi 方向产生的位移，ΔiP 表示在基本结构实际荷载沿Xi 方向产生的位移。δij又称为柔度系数。

将方程的柔度系数写成矩阵形式：

这个矩阵称为柔度矩阵，其中，主对角线上的系数为主系数，主系数都为正值，根据位移互等定理，柔度矩阵为一对角矩阵。

解力法方程求出多余的未知力，然后应用叠加法计算超静定的内力。 §7-3 超静定刚架和排架

一. 教学目的

通过实例分析,掌握力法的基本方法,能够应用力法求解超静定刚架和排架。 二. 主要内容1. 力法的基本解题步骤2. 应用力法求解刚架 三. 学习指导

本节内容是通过实例进一步揭示力法的基本原理，主要是通过例题的分析，掌握力法的应用,主要应掌握一次和二次超静定结构。

四. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P325～P331 7.3.1 力法的基本解题思路

根据力法的基本原理和思路，用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：

1. 选择基本体系：确定超静定结构的次数，去掉多余约束，并用相应的约束反力来代替。 2. 建立力法方程：利用基本体系与原结构在相应约束处的变形条件，建力力法典型方程。 3. 计算系数和自由项 4. 求多余的未知力 5. 作内力图

按静定结构，用平衡条件或叠加原理计算结构特殊截面的内力，然后画出内力图。 下面一刚架为例进行说明 7.3.2 应用力法求解刚架

图7-10a 为一超静定刚架，试作出结构的内力图，EI 为常数。

原结构

基本体系

MP图

M1图

弯矩图

图7-10

1. 选择基本体系（图7-10b） 2. 建立力法方程

基本体系应满足B 点无水平位移的变形条件。力法方程为

δ11X1 + Δ1P =0

弯矩图

3. 计算系数和自由项

分别画出实际荷载及单位未知力X1 =1的作用的弯矩图（图7-10c、d），利用图乘法计算系数。

4. 求多余的未知力

5. 作内力图（图7-10e）

讨论：图7-10f 是当粱和柱的抗弯刚度发生变化时，超静定的弯矩图，为什么两个弯矩图不相同？

§7-4 超静定桁架和组合结构

超静定桁架和组合结构的计算与刚架和粱结构的方法相同，所不同的是，桁架是链杆体系，计算力法方程的系数和自由项时，只考虑轴力的影响。组合结构中既有链杆也由粱式杆，计算系数时，链杆只考虑轴力的影响，而粱式杆则只考虑弯矩的影响。

图7-11a为一次超静定的组合结构，AD 粱式杆 EI =10000kNm2 ,所有的链杆 EA =100000kN，求所示荷载作用下的内力。

图7-11a

图7-11b

图7-11c

图7-11d

图7-11e

1. 选择基本体系

切断多余链杆 CD ，在切口处用未知力X1 代替（图7-11b）

2. 建立力法方程

δ11X1 + Δ1P =0

3. 计算系数和自由项

分别画出荷载和单位未知力的内力图（图7-11c、d、e）

4. 求多余的未知力

x1=-5.55

5. 作内力图 按静定结构，用平衡条件或叠加原理计算结构特殊截面的内力，然后画出内力图(图7-11f、g）。

图7-11f

图7-11g

§7-5 对称结构的计算

一. 教学目的

正确理解对称结构的概念，能够应用对称结构的特点求解对称荷载和反对称荷载作用的各种刚架。

二. 主要内容

1. 对称结构的概念2. 对称结构对称荷载的作用 3. 对称结构反对称荷载的作用4. 一般情形 三. 学习指导

对称结构是结构力学中的一种重要的结构形式，利用结构的对称性可以使问题简化，减少计算量。

四. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P336～P342 7.5.1 对称结构的概念

在工程中有很多对称结构，结构力学中应满足以下两方面条件：

1. 结构的几何形状、支承情况关于某条直线对称(此条直线称为对称轴)； 2. 杆件截面和材料性质,即刚度,也关于此条直线对称。

对称荷载：沿对称轴对折，两部分上的荷载重合(图7-12a)。

反对称荷载：沿对称轴对折，两部分上的荷载作用点重合，方向相反(图7-12b)。

对称结构对称荷载

对称结构反对称荷载

图7-12

根据力法原理,计算超静定结构的关键是选择基本体系，对于对称结构应选择对称的基本体系，并取对称力或反对称力作为多余未知力。

下面按对称结构对称荷载和对称结构反对称荷载进行讨论。 7.5.2 对称结构对称荷载的计算

原结构

基本体系

图7-13

图7-13a 所示一对称结构对称荷载，选择图7-13b 所示的基本体系（为什么）。 变形条件为：

力法方程为:

单位未知力为1时的弯矩图为图7-13c、图7-13d、图7-13e，图7-13f为荷载弯矩图，其中M1图为反对称，M2图、M3图、荷载弯矩图为对称。于是有

Δ1p=0

方程可简化为

可用下图代替基本体系

图7-14

7.5.3 对称结构反对称荷载的计算

图7-15a为一对称结构反对称荷载，选择图7-15b 所示的基本体系。

图7-15

应用对称荷载的结论，

Δ3p=Δ2p=0

可以得到： X1=0 , X2=0

图7-15d为单位未知力的弯矩图，图7-15c为荷载弯矩图，其中M1图、荷载弯矩图为反对称。于是方程可简化为

δ11X1 + Δ1P =0

下面将进行总结 7.5.4 一般情况

小结：

利用对称性可以进行计算的简化，主要是：

选择对称的基本结构，选用对称力或反对称力作为基本未知量。 在对称荷载作用下，只考虑对称未知力。 在反对称荷载作用下，只考虑反对称未知力。 一般情况：

对于非对称荷载可分解为对称和反对称荷载进行计算。 解题的方法同前面描述完全相同，例题的分析将省略。

另外还可以采用半结构法进行计算，此部分将在以后进行分析。 §7-6 支座移动和温度改变时的计算

一. 教学目的

理解支座移动和温度变化时超静定结构计算的特点，能够计算温度变化和支座移动时超静定结构的内力。

二. 主要内容1. 支座移动时的计算2. 温度变化时的计算 三. 学习指导

超静定结构的一个重要特点是：当支座移动和温度变化时，虽然没有荷载的作用,但是也能产生内力，这种内力称为自内力。

用力法计算自内力时，计算步骤与荷载作用的情形基本相同，这里讨论和学习其不同之处，主要有：力法方程的自由项是由支座移动或温度变化产生的；力法方程中等号右侧可能不为零，应等于原结构上多余未知力的相应的位移。

支座移动和温度变化时超静定结构计算的关键是正确理解力法方程的物理意义，合理的选择基本体系，同时注意自由项的计算。

四. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P3～P371 7.6.1 支座移动时的计算

原结构

基本体系

图7-16

如图7-16a 所示的等截面粱，右端支座下沉为 a，试分析自内力。 选择如图7-16b为基本体系，

原结构在多余未知力方向的实际位移为

Δ1 =-a

列力法方程：

δ11X1 =-a

计算系数可应用图7-16c

代入力法方程并计算多余未知力

可得如图7-16d 所示的弯矩图。

讨论：如果选择简支粱为基本体系力法方程将如何建立。 下面讨论温度变化的情形 7.6.2 温度变化时的计算

图7-17a 为一次超静定结构，跨度4m ,截面尺寸、温度变化如图，试计算自内力。

原结构

基本体系

图7-17

选择如图7-17b 所示基本体系， 列力法方程：

计算系数可应用图7-17c

代入方程并计算多余未知力

可得如图7-17d 所示的弯矩图。 §7-7 用求解器进行力法计算

利用求解器可以求解一般平面超静定结构的位移和内力。

在利用求解器求解超静定结构的内力和位移时，只要输入一超静定结构，同时由于超静定结构的内力与刚度有关，故应输入各个杆件的材料性质(EI,EA)，然后可直接应用求解器中的命令进行计算。

当然利用求解器也可以练习力法，具体做法是： 1.输入一超静定结构（手工输入）。

2.根据情况选择一基本体系，基本体系可以是静定结构，也可以是超静定结构（手工输入基本体系）。

3.列力法方程（手工列方程）。

4.利用求解器计算位移的功能，计算各项系数（求解器自动计算）。 5.求出多余未知力（收手工计算）。

思考：为什么基本体系可以选择超静定结构？ §7-8 小结

力法是以多余约束力作为基本未知量解超静定结构的方法，主要应掌握力法的基本原理，了解力法的基本未知量、力法的基本体系和力法方程这三个环节，力法是利用以学过的静定结构的内力计算和位移计算来解决新的超静定结构的内力、位移计算问题。

力法的典型方程是以基本体系与原结构在多余约束处位移的关系建立的。 力法解题的基本步骤是：

1.选取基本体系，确定超静定次数，去掉多余的约束用未知力代替，所得的在荷载和多余未知力共同作用下的静定结构。基本体系一定是几何不变体。

2.建立力法典型方程，利用基本体系在解除约束处的位移与原结构一致的条件建立力法方程

3.计算系数和自由项，利用计算位移的方法计算各项系数。 4.求多余的未知力。

5.利用静力方法或叠加法画内力图。

为了计算简化，要善于利用对称性，选取适当的基本体系。 §7-9 思考与讨论

1.什么是力法的基本体系和基本结构以及基本未知量？如何选取基本体系？ 2.力法方程的物理意义是什么？方程中的系数和自由项的物理意义是什么？ 3.没有荷载就没有内力，这个结论在什么情况下成立？在什么情况下不成立？ 4.简述用力法解超静定结构的步骤。

5.为什么力法方程中的主系数都为正数？

6.为什么静定结构的内力与结构的刚度无关，而超静定结构的内力与刚度有关？ 7.力法典型方程的右端是否一定为零？ 8.如何利用对称性使问题的计算得以简化？

9.计算超静定结构时，考虑支座移动的影响与考虑荷载作用的影响，两者有何异同？ 10.当支座移动时，如何选择基本体系使力法方程得以简化？

第八章 位移法

一. 教学目的

掌握位移法的基本概念；

正确的判断位移法基本未知量的个数； 熟悉等截面杆件的转角位移方程；

熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法

了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。 二. 主要章节

§8-1 位移法的基本概念§8-2 等截面杆件的刚度方程§8-3 无侧移刚架的计算 §8-4 有侧移刚架的计算§8-5 位移法的基本体系§8-6 对称结构的计算 §8-7小结§8-8思考与讨论§8-9 习题§8-10 测验 三. 学习指导

位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。

四. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》P393～P433 §8-1 位移法的基本概念

力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法，力法是以多余的约束力作为基本未知量，而位移法则是以结点位移作为基本未知量。

下面结合简单实例说明位移法的基本思路。

图8-1

如图8-1a 所示的刚架，在荷载的作用下发生变形，杆件AB、BC 在结点B 处有相同的转角θ，称为结点B 的角位移。将整个刚架分解为AB、BC 杆件，则AB 杆件相当于两端固定的单跨粱，固定端B发生一转角θ( 图8-1b )，BC 杆相当于一端固定另一端铰支的单跨粱，受荷载作用，同时在 B 端发生角位移( 图8-1c )。如果能够求出角位移，则能够计算出杆件的内力，问题的关键是求结点的角位移。

用位移法计算刚架，结点的位移是处于关键地位的未知量，基本思路是拆了再搭，将刚架拆成杆件，进行求解；再将杆件合成为刚架，利用平衡条件求出位移。对于位移法的基本计算将在今后具体分析。

§8-2 等截面杆件的刚度方程

一. 教学目的

本节是位移法的基础，理解杆端力与杆端位移及荷载之间的关系，正确理解杆端剪力和弯矩的符号，掌握杆端位移方程，能够判定和选择杆端剪力和弯矩。

二. 主要内容

1. 由杆端位移求杆端弯矩(1)

由杆端位移求杆端弯矩(2)2. 由荷载求固端弯矩(1)由荷载求固端弯矩(2) 三. 学习指导

本节主要讨论一个杆件的杆端力与杆端位移及荷载之间的关系，要正确理解其中的关系和符号。

根据位移法的基本思路，以及为了更好的进行位移法的计算，需要讨论等截面杆件的两个问题：由杆端位移求杆端弯矩和由荷载求固端弯矩。

四. 参考资料《结构力学教程(Ⅰ)》 P397～P404 8.2.1 由杆端位移求杆端弯矩(1)

图8-2为等截面杆件，截面惯性矩为常数。已知端点A 和B 的角位移分别是θA 和θB ，两端垂直于杆轴的相对线位移为Δ，拟求杆端弯矩。

图8-2

在位移法中位移的正负号规定为：结点转角，弦转角和杆端弯矩一律以顺时针为正。这一点一定要注意与以前的不同。

应用单位荷载法可得出：

杆件的线刚度 i=EI/l 解联立方程可得：

利用平衡条件可求出杆端剪力如下：

于是可将上式写为：

则矩阵

称为杆件的刚度矩阵，其中的系数称为刚度系数，又称为形常数。 下面讨论杆端具有不同约束时的刚度方程。 8.2.1 由杆端位移求杆端弯矩(2)

根据前面的讨论得出一般情况下的刚度方程

以下将利用以上结论讨论杆件在不同的支承条件下的刚度方程。

图8-3

对于图8-3a B 端为固定支座，θB = 0 ，则得

对于图8-3b B 端为铰支座，MBA = 0 ，则得

对于图8-3c B 端为滑动支座，θB =0 和 FQAB = 0 FQBA =0 ，则得

下面将讨论由荷载引起的固端弯矩。

8.2.3 由荷载求固端弯矩(1)

对于常见的三种粱：两端固定；一端固定、另一端简支；一端固定另一端滑动支承，下表给出常见荷载作用下的杆端弯矩和剪力，又称固端弯矩和剪力，其正负号要注意。下面是两端固定粱的固端弯矩和剪力。

其他杆件的杆端弯矩和剪力

8.2.4 由荷载求固端弯矩(2)

其他两种等截面杆件的杆端弯矩和剪力

最后利用叠加原理得到杆端弯矩的一般公式为：

上式也称为等截面直杆的转角-位移方程。 §8-3 无侧移刚架的计算 一. 教学目的

本节是位移法在计算刚架中的直接应用，能够正确的确定基本未知量，熟练的掌握转角位移方程的应用并能够求解无侧移刚架和粱的内力。

二. 主要内容1. 一般概念及过程2. 实例分析 三. 学习指导

本节的关键是转角位移方程的应用，其中荷载项可查表计算，注意正负号的规定，要多进行练习。

四. 参考资料《结构力学(Ⅰ)》P404～P408 8.3.1 一般概念及过程

无侧移刚架：刚架的各结点（不包括支座）只有角位移而没有线位移。 下面通过连续梁的计算来介绍位移法的实际过程。 图8-3a 为一连续粱，试分析内力。

图8-3

1. 基本未知量只有结点B 的角位移θB 2. 查表列出各杆的杆端弯矩

3. 建立位移法基本方程，结点B为隔离体图8-3b ，列平衡方程，并求解

4. 计算各杆杆端弯矩

最后画出弯矩图（图8-3c）。画图时注意弯矩画在受拉一侧。

一般的情况，每一个刚结点由一个结点转角----基本未知量；与此相应，在每一个刚结点处又可写一个力矩平衡方程----基本方程。

刚架分析 8.3.2 实例分析

利用位移法计算图8-4a刚架的内力。

图8-4

1. 基本未知量

共有两个刚结点，因而有两个基本未知量：θB 和θC 2. 用转角位移方程表达杆端弯矩 固端弯矩

各杆线刚度的计算

列各杆的杆端弯矩

3.利用结点B、C 的力矩平衡方程（图8-4b）

4.求基本未知量

θB = 1.15 θC = -4.

5.计算杆端弯矩并画弯矩图(图8-4c)

§8-4 有侧移刚架的计算

一. 教学目的

通过本节的学习，要能够正确的确定位移法基本未知量----刚结点的角位移、的结点线位移，掌握转角位移方程的应用并能够求解有侧移刚架的内力。

二. 主要内容1. 基本未知量的选取2. 基本方程的建立及应用 三. 学习指导

本节的关键是转角位移方程的应用，注意线位移的确定，及截面平衡方程的建立，注意与无侧移刚架的相同点与不同点。

四. 参考资料《结构力学(Ⅰ)》P408～P416 8.4.1 基本未知量的选取

结点线位移是位移法计算中的一个基本未知量，为了减少基本未知量的个数，使计算得到简化，常作以下假设：

(1)忽略由轴力引起的轴向变形； (2)结点位移都很小；

(3)直杆变形后，曲线两端的连线长度等于原直线长度。

如图8-5所示的两个刚架，在荷载作用下发生变形（角位移没有标出），结点处都有水平位移-----结点线位移。

图8-5a

图8-5b

根据假设，图8-5a 结点C 和D 的水平位移相等，因此，只有一个结点线位移，同理图8-5b 结点E 和F 的水平位移相等，结点C 和D 的水平位移相等，有两个结点线位移。

一般的如何确定位移法的基本未知量，主要有： 一个刚结点有一个角位移；

一层有一个结点线位移-----结点线位移的数目等于刚架的层数

对于图8-5a 的结构共有三个基本未知量----两个角位移、一个结点线位移，图8-5b 共有6个基本未知量----四个角位移、二个结点线位移 。

对于结点线位移还可以采用铰化法进行判断，即将所有的刚结点（包括固定支座）都改为铰结点，则体系的自由度数就是原结构的结点线位移的个数。

下面具体考虑如何进行计算 8.4.2 基本方程的建立及应用

用位移法计算有侧移的刚架时，基本思路与无侧移刚架基本相同，但应考虑 1. 在基本未知量中，要包括结点线位移；

2. 在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。 下面结合实例进行分析:

图8-6

图8-6a 所示的刚架，试做出弯矩图。 1. 确定基本未知量

共有两个未知量----刚结点 C 的转角θC和横梁 CD 的水平线位移Δ。 2. 建立各杆的转角位移方程

3.建立位移基本方程，求解基本未知量 取结点 C 为隔离体，列力矩平衡方程得

为了建立与线位移的相应的平衡方程，分别取 AC、BD 杆为隔离体（图8-6d、e），求出 FQCA 和 FQDB

建立与线位移相应的平衡方程，取横梁 CD 为隔离体（图8-6c），列水平投影平衡方程

通过基本方程求解基本未知量

4.计算杆端弯矩

5.画弯矩图（图8-6f）

一般说来，在位移法的基本未知量中，每一个转角有一个相应的结点力矩平衡方程，每一个结点线位移有一个相应的截面平衡方程，平衡方程的个数与基本未知量的个数相等，正好全部求解基本未知量。 §8-5 位移法的基本体系

一. 教学目的

通过本节的学习，了解位移法的基本体系与典型方程的物理意义和解法，能够应用基本体系进行内力分析。

二. 主要内容

1. 位移法基本体系的概念

2. 实例分析 三. 学习指导

本节的主要内容是位移法的基本体系，学习过程中，应与力法的基本体系相联系，注重概念的理解，特别是相关的物理意义。

四. 参考资料《结构力学(Ⅰ)》P417～P422 8.5.1 位移法基本体系的概念

前面讨论了基于转角位移方程的位移法基本运算，下面从基本体系的角度说明其物理意义。 在有侧移的刚架一节中讨论了图8-7a所示的刚架，下面以此为例介绍位移法的基本体系，目的是可以进行相互对照。

图8-7

为了统一，将未知量都用Δ表示，以便于与力法中的基本未知量X 相对照。

结构的基本体系(图8-7b)，在刚结点C 增加刚臂约束控制结点C 的转角，在结点D 加水平支杆控制结点D 的水平位移。与此同时，结点B 不能转动，结点C 的不能移动，这个超静定结构称为位移法的基本结构(图8-7c)。

现在利用基本体系来建立基本方程。

1.控制附加约束，使结点位移Δ1和Δ2全部为零，结构处于锁住状态，施加荷载，可求出结构的内力，同时在附加约束中产生反力F1P和F2P。这些约束力在原结构中是没有的。

2.再控制附加约束，使控制点发生位移如果位移与原结构相同，则附加约束反力完全消失，附加约束不起作用，基本体系与原结构完全相同。

由此得出基本体系转化为原结构的条件：基本结构在给定荷载以及结点位移Δ1和Δ2共同作用下，附加约束反力应等于零。即

F1=0 F2=0

利用叠加原理进行计算

1. 荷载单独作用----相应的反力F1P和F2P(图8-8a)。

2. 单位位移Δ1=1单独作用----相应的约束力k11和k21(图8-8b)。 3. 单位位移Δ2=1单独作用----相应的约束力k21和k22(图8-8c)。

图8-8

叠加以上结果即可得到位移法的基本方程

物理意义是基本体系应当处于放松状态,附加约束力应全部为零。

一般情形为

以上就是位移法的典型方程,其系数矩阵称为结构的刚度矩阵

通过反力互等定律得出 kij=kji 可知结构的刚度矩阵为对称矩阵。

8.5.2 实例分析

下面将应用基本体系的思想，分析图8-7a所示的结构。 1. 基本结构在荷载作用下的计算

图8-8

做基本结构在荷载作用下的弯矩图(图8-8a)，利用结点C和横梁的平衡条件(图8-8b、c)，求出

F1P = 3kN·m F2P = -3kN

2. 基本结构在单位转角Δ1=1作用下的计算

图8-9

当基本结构在结点C发生转角Δ1=1时,作弯矩图M1(图8-9a)，利用结点C和横梁的平衡条件(图8-9b、c)，求出

k11 = 7i k21 = -i

2. 基本结构在单位水平位移Δ2=1作用下的计算

图8-10

3. 当基本结构在结点C、D 发生线位移Δ2=1时,作弯矩图M2(图8-10a)，利用结点 C 和横梁的平衡条件(图8-10b、c)，求出

k12 = - i k22 = 5 i /12

4. 列位移法基本方程,并求解出结点位移

利用叠加原理

作出弯矩图

§8-6 对称结构的计算

一. 教学目的

通过本节的学习，正确理解半结构法，从而选择适当的半结构进行简化计算，能够充分应用对称性质，求解对称结构。

二. 主要内容1. 奇数跨对称结构2. 偶数跨对称结构 三. 学习指导

对称的连续粱和刚架结构在工程中有广泛的应用。作用于对称结构上的任意荷载，可以分为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。

在对称荷载作用下：变形是对称的；弯矩图和轴力图是对称的；而剪力图是反对称的。 在反对称荷载作用下：变形是反对称的；弯矩图和轴力图是反对称的；而剪力图是对称的。

利用这些结论，计算对称的连续粱和刚架时，只需计算结构的半边结构。 由于结构的计算仍采用力法或位移法，因此本节主要讨论半边结构的取法。

对称结构是工程中应用较多的结构，要正确理解对称结构的性质，掌握对称结构不同荷载作用下的应用条件，掌握的关键是将对称结构进行简化，从而达到计算简化的目的。

四. 参考资料《结构力学(Ⅰ)》P422～P426

8.6.1 奇数跨对称结构

1. 对称荷载

图8-11

图8-11a 为一对称荷载作用下的单跨刚架，在对称轴上没有转角和水平位移，只有竖向位移，因此在计算中取半刚架图8-11b ，C 取为滑动支承端。

2. 反对称荷载

图8-12

图8-12a 为一反对称荷载作用下的单跨刚架，在对称轴上没有竖向位移，可有转角和水平位移，因此在计算中取半刚架图8-12b ，C 端取辊轴支座。

奇数跨结构的简化是在对称轴上分别取滑动支座（对称荷载）或辊轴支座（反对称荷载)。

下面讨论双跨的情况

8.6.2 偶数跨对称结构

1. 对称荷载

图8-13

图8-13a 为一对称荷载作用下的双跨刚架，在对称轴上没有转角和水平位移，柱 CD 没有弯矩和剪力，不计轴向变形，因此在计算中取半刚架图8-13b ，C 端为固定支座。

2. 反对称荷载

图8-14

图8-14a 为一反对称荷载作用下的双跨刚架，在对称轴上没有轴力和轴向变形，在计算中取半刚架图8-12b 的形式，对称截面处的立柱的轴惯性矩取原来的一半 I/2。

双跨结构的简化是在对称轴上取不同的支座约束，同时在对称荷载和反对称荷载作用下的结构也不相同。要注意区别。 §8-7 小结

位移法是以刚结点的转角和结点线位移为基本未知量，其未知量的数目与超静定的次数无关，因此，对于超静定次数较高而结点位移数目较少的结构用位移法比较方便。

在位移法中，是以平衡方程为基本方程进行求解基本未知量。对一个刚结点有一个转角未知量，对应有一个刚结点力矩平衡方程。对每一个的结点线位移，可以有一个截面平衡方程，因此未知数与方程数是彼此相同的。

位移法的基本解题步骤为： 1. 确定基本未知量

2. 建立各杆的转角位移方程 3. 建立位移法的基本方程

4. 计算各杆的杆端弯矩 5. 画弯矩图

确定结构上的基本未知量以及写出各个杆件的转角位移方程是位移法的关键。

对称结构的计算，可以取半结构进行。关键是半结构的取法，了解清楚在对称荷载或反对称荷载作用下结构有那些的结点位移。

位移法的另一种演算形式是利用基本体系进行计算，对于今后的学习和矩阵位移法都有很好的指导意义。 §8-8 思考与讨论

1. 位移法中的基本未知量是什么？如何确定其数目？ 2. 为什么支座处的转角不计入基本未知量？ 3. 什么是等截面直杆的刚度方程?

4. 如何写等截面直杆的转角位移方程？杆端弯矩的正负号如何确定？

5. 在什么条件下的结点的线位移的数目等于铰结体系自由度的数目？

6. 在力法和位移法中，各以什么方式满足平衡条件,各以什么方式满足变形协调条件？ 7. 为什么对称结构在对称荷载和反对称荷载作用时可以采用半结构计算？ 8. 位移法的基本体系和基本结构有何不同？

9. 在结构内力计算中，什么情况可以采用刚度相对值，什么情况必须采用刚度的真值？ 10. 试说明位移法基本方程的物理意义。

§8-9 习题 1. 教学要求

通过练习，掌握本章内容。

做题之前，请先阅读手工求解说明。