高考数学大一轮复习专项强化练一函数的性质

专项强化练一 函数的性质

1.(2018浙江宁波期末)若函数f(x)=ax+(2a-a-1)x+1为偶函数,则实数a的值为( ) A.1 B.- C.1或- D.0

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答案 C 因为f(x)为偶函数,所以2a-a-1=0,解得a=- 或a=1. 2.已知实数x,y满足 < ,则下列关系式中恒成立的是( )

A.tanx>tany B.ln(x+2)>ln(y+1) C. <

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D.x>y

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答案 D 由指数函数的单调性可得x>y,因为幂函数y=x在(-∞,+∞)上是单调递增的,所以当x>y时,恒有x>y,故选D.

3.(2017浙江,5,5分)若函数f(x)=x+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m的值( )

A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关 答案 B 解法一:令g(x)=x+ax,则M-m=g(x)max-g(x)min. 故M-m与b无关.

又a=1时,g(x)max-g(x)min=2, a=2时,g(x)max-g(x)min=3, 故M-m与a有关.故选B.

解法二:(1)当-≥1,即a≤-2时,f(x)在[0,1]上为减函数,∴M-m=f(0)-f(1)=-a-1.

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2

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(2)当 ≤- <1,即-22

(3)当0<-<,即-1(4)当-≤0,即a≥0时,f(x)在[0,1]上为增函数,∴M-m=f(1)-f(0)=a+1.

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),

), - 即有M-m=

- ), -

- - ) - 1

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∴M-m与a有关,但与b无关.故选B.

4.已知函数f(x)=|x-1|+|x|+|x+1|,则方程f(2x-1)=f(x)所有根的和是( ) A. B.1

C. D.2

答案 C f(x)的定义域为R,f(-x)=|-x-1|+|-x|+|-x+1|=|x+1|+|x|+|x-1|=f(x),所以f(x)是偶函数.

因为f(2x-1)=f(x),所以2x-1=x或2x-1=-x, 解得x=1或x= ,故选C.

5.(2018浙江嘉兴期末)若f(x)=x+bx+c在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则f(m-1)和f(m+1)( )

A.都大于1 B.都小于1

C.至少有一个大于1 D.至少有一个小于1

答案 D 若f(x)在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则设f(x)的两个零点分别为x1,x2,不妨设x1所以f(m-1)f(m+1)=(x1-m+1)(x2-m+1)(m+1-x1)(m+1-x2)< 故f(m-1)和f(m+1)中至少有一个小于1,故选D.

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- -

·

- -

=1,

6.已知a为正常数,f(x)=

- , , - , ,

若存在θ∈ , ,满足

f(sinθ)=f(cosθ),则实数a的取值范围是( ) A. , B. , C.(1, ) D. ,

- , , -答案 D 由题意得f(x)= - - , , 易知f(x)关于直线x=a对称,且在[ ,+∞)上为增函数, 所以a=

= sin .

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因为θ∈ , ,θ+∈ ,

,

所以a=sin ∈ , .

, ,

7.(2018台州高三上学期期末)已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-k(x+1)在

- , ,

(-∞, ]上恰有两个不同的零点,则实数k的取值范围是( ) A.[1,3) B.(1,3] C.[2,3) D ,+∞)

答案 A 函数g(x)=f(x)-k(x+1)在(-∞, ]上恰有两个不同的零点,等价于y=f(x)与y=k(x+1)的图象在(-∞, ]上恰有两个不同的交点,画出函数y=f(x)和y=k(x+1)在(-∞, ]上的图象,如图所示,y=k(x+1)的图象是过定点(-1,0)且斜率为k的直线.当直线y=k(x+1)经过点(1,2)时,直线与y=f(x)在(-∞, ]上的图象恰有两个交点,此时k=1;当直线经过点(0,3)时,直线与y=f(x)在(-∞, ]上的图象恰有三个交点.直线在旋转过程中与y=f(x)在(-∞, ]上的图象恰有两个交点时,斜率在[1,3)内变化,所以实数k的取值范围是[1,3).

8.(2018金华十校高三上学期期末)函数y=

的图象大致是( )

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答案 D 首先函数f(x)=

为偶函数,故排除B;

当x>0时,f(x)=xlnx,所以x>1时,f(x)>0,排除A; 当x>0时,f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1,令f'(x)=0,可得极值点x= ,所以f(x)在 , 上单调递减,在 , ∞ 上单调递增,排除C.故选D.

9.(2018浙江嘉兴高三上学期期末)已知函数f(x)=log4(4-|x|),则f(x)的单调递增区间是 ;f(0)+4答案 (-4,0);3

解析 由4-|x|>0,解得函数f(x)的定义域为(-4,4).f(x)=

- ) ),故

) - ),

f(2)

= .

f(x)在(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减.由于f(0)=log44=1,f(2)=log42= × 44= ,故f(0)+4

f(2)

=1+ =3.

10.(2018浙江金丽衢十二校联考)函数f(x)= - - 的定义域为 ,值域为 . 答案 [-3,1];[0,2]

解析 解3-2x-x≥0得-3≤x≤1,即定义域为[-3,1],由y= - ) (x∈[-3,1])可得

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值域为[0,2].

- , , 11.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)= 当λ=2时,不等式f(x)<0

- , 的解集是 .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是 . 答案 (1,4);(1,3]∪ ,+∞)

解析 本题考查分段函数,解不等式组,函数的零点,分类讨论思想和数形结合思想.

, ,

当λ=2时,不等式f(x)<0等价于 或 - ,-即2≤x<4或1故不等式f(x)<0的解集为(1,4).

易知函数y=x-4(x∈R)有一个零点x1=4,函数y=x-4x+3(x∈R)有两个零点x2=1,x3=3.

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在同一坐标系中作出这两个函数的图象(图略),要使函数f(x)恰有2个零点,则只能有以下两种情形:①两个零点为1,3,由图可知,此时λ> ②两个零点为1,4,由图可知,此时1<λ≤3.

综上,λ的取值范围为(1,3]∪ ,+∞)

12.(2018金丽衢十二校联考)若f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=x(1-x),则当x<0时,f(x)= ;方程[5f(x)-1][f(x)+5]=0的实根个数为 . 答案 -x(1+x);6

解析 因为f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)=f(-x)=-x(1+x).

因为[5f(x)-1][f(x)+5]=0,所以研究y=f(x)与y= ,y=-5的函数图象的交点个数即可,其大致图象如图所示.

观察图象知有6个交点,故方程有6个实数根.

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