金湖县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．8+2 B．8+8 C．12+4 D．16+4
2． 设集合AxR||x|2，BxZ|x10，则AA.x|1x2 B.x|2x1 C. 2,1,1,2 3． 函数 y=x2﹣4x+1，x∈[2，5]的值域是（ ） A．[1，6]
B．[﹣3，1]
C．[﹣3，6]
4． 如图所示，程序执行后的输出结果为（ ）
B（ ）
D. 1,2
【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．
D．[﹣3，+∞）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上，属于醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2011年3月15日至3月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）
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A．2160 B．2880 C．4320 D．8640
6． i是虚数单位，计算i+i2+i3=（ ） A．﹣1
B．1
C．﹣i
D．i
7． 将n2个正整数1、2、3、…、n2（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中的任意两个数a、b（a＞b）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（ ） A．
B．
C．2
D．3
8． 已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如表所示：
降水量X 工期延误天数Y 概率P X＜100 0 0.4 100≤X＜200 5 0.2 200≤X＜300 15 0.1 X≥300 30 0.3 在降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（ ） A．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.5
9． 设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（ ） A．1
2
2
B．2
C．3
D．4
10．已知圆C：x+y﹣2x=1，直线l：y=k（x﹣1）+1，则l与C的位置关系是（ ） A．一定相离 B．一定相切
C．相交且一定不过圆心 D．相交且可能过圆心
11．已知直线x+y+a=0与圆x2+y2=1交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且a的取值范围是（ ） A．
B．
C．
，那么实数
D．
12．已知f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log35）=（ ）
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A． B．﹣ C．4 D．
二、填空题
yxy22xy3x213．已知x,y满足xy4，则的取值范围为____________. 2xx114．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是 ．（用区间表示）
15．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的值为 ． 16．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则
的取值范围 ．
，则sin（α+
）= ．
17．设α为锐角， =（cosα，sinα），=（1，﹣1）且•=
18．设a抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为 ．
三、解答题
19．已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间； （2）当
20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），抛物线上一点Q（m，）到焦点的距离为1． （Ⅰ）求抛物线C的方程
*
（Ⅱ）设过点M（0，2）的直线l与抛物线C交于A，B两点，且A点的横坐标为n（n∈N）
．
时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．
（ⅰ）记△AOB的面积为f（n），求f（n）的表达式
（ⅱ）探究是否存在不同的点A，使对应不同的△AOB的面积相等？若存在，求点A点的坐标；若不存在，请说明理由．
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21．已知函数f（x）=loga（x2+2），若f（5）=3； （1）求a的值； （2）求
22．设M是焦距为2的椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线．
的值；
（3）解不等式f（x）＜f（x+2）．
MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=﹣（1）求椭圆E的方程； （2）已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）上点N（x0，y0）处切线方程为
+=1，若P
是直线x=2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C、D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．
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23．已知椭圆C：的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
N两点，MN、ON的斜率依次成等比数列，（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、且直线OM、求△OMN面积的取值范围．
24．在数列{an}中，a1=1，an+1=1﹣（1）求证：数列{bn}为等差数列； （2）设cn=bn+1•（）（3）证明：1+
+
，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn； +…+
≤2
﹣1（n∈N）
*
+=1（a＞b＞0）与双曲线
2
﹣y=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆
，bn=
，其中n∈N．
*
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金湖县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA1=2，AB=2，高为
，
根据三视图得出侧棱长度为∴该几何体的表面积为2×（2×故选：D
=2，
+2×2+2×2）=16
，
【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题．
2． 【答案】D
【解析】由绝对值的定义及|x|2，得2x2，则Ax|2x2，所以A3． 【答案】C
22
【解析】解：y=x﹣4x+1=（x﹣2）﹣3 ∴当x=2时，函数取最小值﹣3 当x=5时，函数取最大值6 故选C
B1,2，故选D.
2
∴函数 y=x﹣4x+1，x∈[2，5]的值域是[﹣3，6]
【点评】本题考查了二次函数最值的求法，即配方法，解题时要分清函数开口方向，辨别对称轴与区间的位置 关系，仔细作答
4． 【答案】B
【解析】解：执行程序框图，可得 n=5，s=0
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满足条件s＜15，s=5，n=4 满足条件s＜15，s=9，n=3 满足条件s＜15，s=12，n=2 满足条件s＜15，s=14，n=1 满足条件s＜15，s=15，n=0 故选：B．
不满足条件s＜15，退出循环，输出n的值为0．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确判断退出循环时n的值是解题的关键，属于基础题．
5． 【答案】C
【解析】解：由题意及频率分布直方图的定义可知：属于醉酒驾车的频率为：（0.01+0.005）×10=0.15， 又总人数为28800，故属于醉酒驾车的人数约为：28800×0.15=4320． 故选C
【点评】此题考查了学生的识图及计算能力，还考查了频率分布直方图的定义，并利用定义求解问题．
6． 【答案】A
2
【解析】解：由复数性质知：i=﹣1
23
故i+i+i=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1
故选A
【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．
7． 【答案】B
【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表， 当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为； 当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或； 当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或， 故这些可能的“特征值”的最大值为． 故选：B．
【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．
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8． 【答案】D
【解析】解：降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率P， 设：降水量X至少是100为事件A，工期延误不超过15天的事件B， P（A）=0.6，P（AB）=0.3， P=P（B丨A）=故答案选：D．
9． 【答案】B
=0.5，
222
【解析】解：根据题意，M∩N={（x，y）|x+y=1，x∈R，y∈R}∩{（x，y）|x﹣y=0，x∈R，y∈R}═{（x，y）
|}
222
将x﹣y=0代入x+y=1， 2
得y+y﹣1=0，△=5＞0，
所以方程组有两组解，
因此集合M∩N中元素的个数为2个， 故选B．
【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题
10．【答案】C
【解析】
【分析】将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．
22
【解答】解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）+y=2， ∴圆心C（1，0），半径r=， ∵≥＞1， ∴圆心到直线l的距离d=
＜
=r，且圆心（1，0）不在直线l上，
∴直线l与圆相交且一定不过圆心． 故选C
11．【答案】A
【解析】解：设AB的中点为C，则 因为
所以|OC|≥|AC|， 因为|OC|=
22
，|AC|=1﹣|OC|，
，
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所以2（2
）≥1，
所以a≤﹣1或a≥1， 因为
＜1，所以﹣
＜a＜
，
，
所以实数a的取值范围是故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．【答案】B
【解析】解：∵f（x）是定义在R上周期为2的奇函数， ∴f（log35）=f（log35﹣2）=f（log3），
x
∵x∈（0，1）时，f（x）=3﹣1
∴f（log3）═﹣ 故选：B
二、填空题
13．【答案】2,6 【解析】
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考点：简单的线性规划．
【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数
22的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义：（1）xy表示点
x,y与原点0,0的距离；（2）xaybyb22表示点x,y与点a,b间的距离；（3）
y可表示点xx,y与0,0点连线的斜率；（4）xa表示点x,y与点a,b连线的斜率.
14．【答案】 （1，+∞）
2
【解析】解：∵命题p：∃x∈R，x+2x+a≤0，
当命题p是假命题时，
2
命题￢p：∀x∈R，x+2x+a＞0是真命题；
即△=4﹣4a＜0， ∴a＞1；
∴实数a的取值范围是（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题，也考查了二次不等式恒成立的问题，是基础题目．
15．【答案】
【解析】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin（43°﹣13°）=sin30°=， 故答案为．
16．【答案】 [
，1] ．
【解析】解：设两个向量的夹角为θ， 因为|2﹣|=1，|﹣2|=1， 所以所以所以5
[，
=
，
=1，所以，1]，
2
，所以5a﹣1∈[
．
，
]，
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所以故答案为：[围．
17．【答案】：
； ，1]．
【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范
．
，
【解析】解：∵•=cosα﹣sinα=∴1﹣sin2α=，得sin2α=， ∵α为锐角，cosα﹣sinα=∴cos2α=
∵α为锐角，sin（α+∴sin（α+
）
=
⇒α∈（0，，
），从而cos2α取正值，
）＞0，
=
．
故答案为：18．【答案】
． ．
===
【解析】解：∵a是甲抛掷一枚骰子得到的点数， ∴试验发生包含的事件数6，
2
∵方程x+ax+a=0 有两个不等实根， 2
∴a﹣4a＞0，
解得a＞4， ∵a是正整数， ∴a=5，6，
即满足条件的事件有2种结果， ∴所求的概率是=，
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故答案为：
【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f（x）==sin2x+=
=sin（2x﹣周期T=π，
因为cosx≠0，所以{x|x≠当2x﹣
∈，即
+kπ，k∈Z}…5分
+kπ，x≠
+kπ，k∈Z时函数f（x）单调递减，
sinxcosx﹣ +
sin2x﹣ ）…3分
﹣
+kπ≤x≤
所以函数f（x）的单调递减区间为，，k∈Z…7分 （2）当sin（2x﹣故当x=
，2x﹣
∈，…9分
时取最大值，
）∈（﹣，1），当x=
时函数f（x）取最大值为1…12分
【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得|QF|=yQ+=+=1，解得p=1，
2
∴抛物线C的方程为x=2y；
（Ⅱ）（ⅰ）∵直线l与抛物线C交于A、B两点， ∴直线l的斜率存在，
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：y=kx+2， 联立方程组
2
，化简得：x﹣2kx﹣4=0，
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22
此时△=（﹣2k）﹣4×1×（﹣4）=4（k+4）＞0，
由韦达定理，得：x1+x2=2k，x1x2=﹣4， ∴S△AOB==×2==2
（*）
），
|OM|•|x1﹣x2|
又∵A点横坐标为n，∴点A坐标为A（n，又直线过点M（0，2），故k=将上式代入（*）式，可得： f（n）=2=2=2
=﹣，
=n+（n∈N*）；
（ⅱ）结论：当A点坐标为（1，）或（4，8）时，对应不同的△AOB的面积相等． 理由如下：
设存在不同的点Am（m，
），An（n，
）（m≠n，m、n∈N），
*
使对应不同的△AOB的面积相等，则f（m）=f（n），即m+=n+， 化简得：m﹣n=﹣=又∵m≠n，即m﹣n≠0， ∴1=
，即mn=4，解得m=1，n=4或m=4，n=1，
，
此时A点坐标为（1，），（4，8）．
【点评】本题考查抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线的位置关系、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
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21．【答案】
【解析】解：（1）∵f（5）=3， ∴
即loga27=3 解锝：a=3… （2）由（1）得函数则即为化简不等式得
∵函数y=log3x在（0，+∞）上为增函数，且
22
∴x+2＜x+4x+6…
，
， …
…
的定义域为R．
=
（3）不等式f（x）＜f（x+2），
即4x＞﹣4， 解得x＞﹣1，
所以不等式的解集为：（﹣1，+∞）…
22．【答案】
【解析】（1）解：设A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则
22即n=b•
+=1，
，
，即
=﹣
•，
=﹣
，
由k1k2=﹣即有
22222
即为a=2b，又c=a﹣b=1， 22
解得a=2，b=1．
即有椭圆E的方程为+y2=1；
（2）证明：设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2）， 则两切线方程PC，PD分别为：
+y1y=1，
+y2y=1， +y1y=1，
+y2y=1，
由于P点在切线PC，PD上，故P（2，t）满足
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得：x1+y1t=1，x2+y2t=1，
故C（x1，y1），D（x2，y2）均满足方程x+ty=1， 即x+ty=1为CD的直线方程． 令y=0，则x=1， 故CD过定点（1，0）．
【点评】本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为又∵直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为（2，0），即a=2，c=∴椭圆方程为：
．…
，b=1，…
，所以椭圆的离心率
，
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2） 联立
222
消去y并整理得：（1+4k）x+8kmx+4（m﹣1）=0…
则于是
，
…
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列． ∴
由m≠0得：
…
2222222
又由△=64km﹣16（1+4k）（m﹣1）=16（4k﹣m+1）＞0，得：0＜m＜2 2
显然m≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，
直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾） … 设原点O到直线的距离为d，则
∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）…
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【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．
24．【答案】
【解析】（1）证明：bn+1﹣bn=等差数列，首项为1，公差为1． （2）解：由（1）可得：bn=n． cn=bn+1•（）
=（n+1）
． +3×+…+n
++（n+1）
+…+（n+1）
，
．
﹣
=
﹣
=1，又b1=1．∴数列{bn}为
∴数列{cn}的前n项和为Tn=
=
+3×
∴Tn=
+++…+﹣（n+1）=+﹣（n+1），
可得Tn=﹣（3）证明：1+∵∴1+∴1+
=++＜+…++…+
+
． +…+=2≤1+2[（
≤2
﹣1）+（﹣1（n∈N）．
*
≤2﹣1（n∈N）即为：1+
*++…+≤﹣1．
（k=2，3，…）．
）+…+（
﹣
）]=1+2
=2
﹣1．
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