电磁场与电磁波(西安交大第三版)第5章课后答案之欧阳体创编

第五章 习题

时间：2021.02.03 创作：欧阳体 5.1如图所示的电路中,电容器上的电压为uc(t),电容为C, 证明电容器中的位移电流等于导线中的传导电流。

解：设电容器极板面积为S，电容器中的位移电流为iD,传导电流为ic

5.2由麦克斯韦方程组推导H满足的波动方程。

解：解：对麦克斯韦的旋度方程 两边取旋度得

上式左边利用矢量恒等式

2AAA，并考虑到

HH0，上式右端代入麦克斯韦方程Et，得

5.3 在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，证明H(r,t)满足下

列方程

解：在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，麦克斯韦旋度方程为

两边取旋度得

上式左边利用矢量恒等式

2AAA，并考虑到

HH0，上式右端代入麦克斯韦方程Et，得

5.4 在1,1和2,2两种理想介质分界面上

E求2,H2。

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题5.4图

解：由两种理介质分界面的边界条件

1ˆˆˆHy0yˆ1Hz0zˆˆ 得 E2Ex0xEy0yEz0z，H2Hx0x22ˆxˆ的理想导体面上 5.5在法线方向为n求导体表面上的H。

解：由理想导体表面上的边界条件

ˆJSxˆyˆJz0sintzˆJy0cost 得导体表面上的H为 HJSn5.6自由空间中，在坐标原点有一个时变点电荷qq0e(tt)02/2，其

中q0,t0,均为常数。求标量位。 解：根据(5.4-１１）式 取sVq得

02将qq0e(tt)/2代入，考虑到时变点电荷在坐标原点，得

5.7自由空间中，在坐标原点有一用细导线连接的时变电偶极子，电偶极矩为位，矢量位。 解：1）标量位

R1rl/2cos，R1rl/2cos （2）矢量位

细导线中的电流为 代入矢量位

得

5.8已知导电媒质中

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ˆq0le(tt0)/pz，其中q0,t0,均为常数。求标量

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求：（1）H(r,t)；（2）w(r,t)；（3）P(r,t)；（4）S(r,t)

H解：（1）由麦克斯韦方程E

t（2）w(r,t)we(r,t)wm(r,t) （3）P(r,t)E22E0e2zsin2(tk0z)

2E022zˆesin(tk0z)[cos(tk0z)k0sin(tk0z)] （4）S(r,t)EHz5.9 在无源的自由空间

求：E1(r),H1(r),H1(r,t)，H2(r),E2(r),E2(r,t)。

ˆ2E0sin(tk0z)yˆ2E0cos(解：E1(r,t)xtk0z)

由Hj0E得

5.10已知在空气中

在圆球坐标系中，求H(r),E(r,t),H(r,t),Sc。 sin解：E(r,t)ˆ2E0cos(tkr)

r 由EjH5.11已知在空气中

在圆球坐标系中，求H(r),E(r)。

解：在圆球坐标系中

1得 A利用关系式HjE得 上式代入H5.12 已知在如图所示的用理想导体制作的矩形管中

kz为常数，

（1）求H；

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（2）求E(r,t),H(r,t)；

（3）验证E,H满足边界条件；

（4）求各理想导体面上的面电流JS；

（5）求穿过管截面的平均功率。

题5.12图

解：（1）由EjH得

（2）Ey(r,t)2E0sin(x)cos(tkzz)

a（3）在x0,a的理想导体面上sin(x)0，因此

a Ey0,Hx0即Et0,Hn0满足理想导体面边界条件。

ˆ（4）由JSnH

在x0的理想导体面上 在xa的理想导体面上 在y0的理想导体面上 在yb的理想导体面上

*（5） PRe[EH]dS

ba005.13直接由麦克斯韦方程的复数形式推导电场强度和磁场强度满足的亥姆霍兹方程。

解：根据麦克斯韦方程的复数形式

HJjE (1)

EjH (2) E (3)

B0 (4)

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(1)式两端求旋度后将（2）式代入得

2利用矢量恒等式AAA，并考虑到H0得 2 HHJ （5）

2(2)式两端求旋度后将（1）式代入得

利用矢量恒等式AA2A，并考虑到E得 5.14直接由麦克斯韦方程的复数形式推导（5.７-1８）式。 解：

2k2 (5.７-1８b)

 将 EjA代入D，对于均匀介质，得  将洛伦兹条件的复数形式Aj代入，得

5.15在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，证明E(r)满足下列方程

解：EjH式两端求旋度将

代入得

2利用矢量恒等式AAA，并考虑到在均匀媒质中E0得

5.16方程

在线性、均匀，各向同性的导电媒质中，证明H满足下列

解：HEjE式两端求旋度将

代入得

2AAA利用矢量恒等式，并考虑到在均匀媒质中H0得

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5.17 写出电磁场边界条件的复数形式。 解：

解： 电磁场边界条件的复数形式和瞬时形式是相同的。即 对两理想介质的界面 在理想导体表面 5.18 试写出矢量磁位

ˆAAzz在两理想介质分界面的边界条件

ˆ）。 （用直角坐标系，设介质分界面法向为z1解： 展开BA和Ej[A2A]得

k根据E1tE2t， H1tH2t得

5.19 证明电场可以用矢量磁位表示为 证明： 将 代入

Aj

EjA

得 EjA1jA

令k22得

5.20如图所示，两个厚度为d，间距为b的平行导体长板。导体板宽度为a(ab)，板上恒定电流为I构成回路，电压为V。

（1）导体板近似看作理想导体，忽略边缘效应。求穿过z0端面

的功率。

（2）证明流进电导率为的单位长度导体板中的功率正好等于欧

姆定律计算出的单位长度导体板的损耗功率。 题5.20图

解：（1）导体板近似看作理想导体，忽略边缘效应，导体板之

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间的电场强度为

ˆxˆˆ，HJy JSzIaI aˆdxdyVI 穿过z0端面的功率为 PSz（3）电导率为的导体中的电流密度为

Iˆ 由JE，导体中的电场为 Ez ad流进电导率为的单位长度导体板中的功率为 式中R1为宽厚为ad的单位长度导体板的电阻。

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