初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀

初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀

及几何规律汇编

人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。

初中几何常见辅助线作法歌诀

人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆

半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。

- 1 -

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

线、角、相交线、平行线

规律1.如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一

1n(n－1)条. 21规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分.

2条直线，一共可以画出

规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为

1n(n－1)条. 2规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段

长的一半.

例：如图，B在线段AC上，M是AB的中点，N是BC的中点.

求证：MN =

1AC 211AB ,BN = CN = BC 22- 2 -

AMBNC证明：∵M是AB的中点，N是BC的中点

∴AM = BM =

∴MN = MB+BN = ∴MN =

111AB + BC = (AB + BC) 2221AC 21(AB + BC) 2练习：1.如图，点C是线段AB上的一点，M是线段BC的中点.

求证：AM =

ACMB

2.如图，点B在线段AC上，M是AB的中点，N是AC的中点.

求证：MN =

3.如图，点B在线段AC上，N是AC的中点，M是BC的中点. 求证：MN =

规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有

1BC 2AMNBC

1AB 2ANBMC

1n(n－1)个. 2规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）

个.

规律7. 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角.

规律8.平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角

形一共可作出

1n(n－1)(n－2）个. 61n(n－1)个. 2规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o. 规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为

规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.

规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，

同旁内角的角平分线互相垂直.

例：如图，以下三种情况请同学们自己证明. AEBFAEB HAEBHFH FCDCDGG CD G

- 3 -

规律13.已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：

AB

C1ABC+BCD+CDE=360

DE AB

C2BCD=ABC+CDE

DE C

AB 3BCD=CDE-ABC

DE

AB

BCD=ABC-CDE4 DEC AB CDE=BCD+ABC5ED C

CAB ABC=BCD+CDE6规律14.成“8”字形的两个三角形的ED

一对内角平分线相交所成的角等

于另两个内角和的一半.

例：已知，BE、DE分别平分∠ABC和∠ADC，若∠A = 45o,∠C = 55o,求∠E的度数.

解：∠A＋∠ABE =∠E＋∠ADE ①

A∠C＋∠CDE =∠E＋∠CBE ②

B①＋②得 ME∠A＋∠ABE＋∠C＋∠CDE =∠E＋∠ADE＋∠E＋∠CBE

N∵BE平分∠ABC、DE平分∠ADC， DC∴∠ABE =∠CBE，∠CDE =∠ADE ∴2∠E =∠A＋∠C

∴∠E =

1(∠A＋∠C) 2∵∠A =45o,∠C =55o,

o

∴∠E =50

- 4 -

三角形部分

规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两

点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.

例：如图，已知D、E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

证法（一）：将DE向两边延长，分别交AB、AC于M、N

A 在△AMN中， AM＋ AN＞MD＋DE＋NE ①

在△BDM中，MB＋MD＞BD ② FGMD在△CEN中，CN＋NE＞CE ③ NEB①＋②＋③得 C AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE

证法（二）延长BD交AC于F，延长CE交BF于G, 在△ABF和△GFC和△GDE中有， ①AB＋AF＞BD＋DG＋GF ②GF＋FC＞GE＋CE ③DG＋GE＞DE ∴①＋②＋③有

AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE

注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或

与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.

练习：已知：如图P为△ABC内任一点， 求证：

1(AB＋BC＋AC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC 2规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内

角的一半.

例：如图，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC 的外角∠ACE的平分线，它与BD

的延长线交于D. 求证：∠A = 2∠D

证明：∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACE的平分线 ∴∠ACE =2∠1, ∠ABC =2∠2 AD∵∠A = ∠ACE －∠ABC ∴∠A = 2∠1－2∠2

12BCE又∵∠D =∠1－∠2

- 5 -

∴∠A =2∠D

规律17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半. 例：如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB， 求证：∠BDC = 90＋证明：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB

o

∴∠A＋2∠1＋2∠2 = 180

o

∴2(∠1＋∠2)= 180－∠A①

o

∵∠BDC = 180－(∠1＋∠2)

o

∴(∠1＋∠2) = 180－∠BDC② 把②式代入①式得

oo

2(180－∠BDC)= 180－∠A

oo

即：360－2∠BDC =180－∠A

o

∴2∠BDC = 180＋∠A ∴∠BDC = 90＋

o

o

1∠A 2ADB12C

1∠A 2o

规律18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半. 例：如图，BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB， 求证：∠BDC = 90－证明：∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB

∴∠EBC = 2∠1、∠FCB = 2∠2 ∴2∠1 =∠A＋∠ACB ① 2∠2 =∠A＋∠ABC ② ①＋②得

2（∠1＋∠2）= ∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A

o

2（∠1＋∠2）= 180＋∠A

∴（∠1＋∠2）= 90＋

o

o

1∠A 21∠A 2BE1A∵∠BDC = 180－(∠1＋∠2)

1∴∠BDC = 180－(90＋∠A)

21o

∴∠BDC = 90－∠A

2o

o

2DCF

规律19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个

角差（的绝对值）的一半.

例：已知，如图，在△ABC中，∠C＞∠B， AD⊥BC于D， AE平分∠BAC.

求证：∠EAD =

1(∠C－∠B) 2- 6 -

BEA

DC

证明：∵AE平分∠BAC

∴∠BAE =∠CAE =

o

1∠BAC 2∵∠BAC =180－(∠B＋∠C) ∴∠EAC =

1o

〔180－(∠B＋∠C)〕 2∵AD⊥BC

o

∴∠DAC = 90 －∠C ∵∠EAD = ∠EAC－∠DAC

1oo

〔180－(∠B＋∠C)〕－(90－∠C) 21oo

= 90－(∠B＋∠C)－90＋

2∴∠EAD =

∠C

AAFBDEFC1 = (∠C－∠B)

2BEDC

如果把AD平移可以得到如下两图，FD⊥BC其它条件不变，结论为∠EFD =

1(∠C－∠B). 2注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通

过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.

规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直

接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.

例：已知D为△ABC内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC

证法（一）：延长BD交AC于E，

∵∠BDC是△EDC 的外角，

AA∴∠BDC＞∠DEC

E同理：∠DEC＞∠BAC DD∴∠BDC＞∠BAC BBCCF证法（二）：连结AD，并延长交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角， ∴∠BDF＞∠BAD 同理∠CDF＞∠CAD

∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

- 7 -

即：∠BDC＞∠BAC

规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，

求证：BE＋CF＞EF 证明：在DA上截取DN = DB，连结NE、NF，则DN = DC

A 在△BDE和△NDE中，

DN = DB NEF∠1 = ∠2

2341BED = ED CD ∴△BDE≌△NDE

∴BE = NE

同理可证：CF = NF

在△EFN中，EN＋FN＞EF ∴BE＋CF＞EF

规律22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.

例：已知，如图，AD为△ABC的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE＋CF＞EF

证明：延长ED到M，使DM = DE，连结CM、FM

△BDE和△CDM中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD

∴△BDE≌△CDM ∴CM = BE

又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4

o

∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180

o

∴∠3 ＋∠2 = 90

o

即∠EDF = 90

Ao

∴∠FDM = ∠EDF = 90 △EDF和△MDF中 EF23ED = MD 41B5CD∠FDM = ∠EDF

MDF = DF ∴△EDF≌△MDF ∴EF = MF

∵在△CMF中，CF＋CM ＞MF BE＋CF＞EF

（此题也可加倍FD，证法同上）

- 8 -

规律23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD

证明：延长AD至E，使DE = AD，连结BE

∵AD为△ABC的中线 ∴BD = CD A在△ACD和△EBD中

2BD = CD B1CD∠1 = ∠2

EAD = ED

∴△ACD≌△EBD

∵△ABE中有AB＋BE＞AE ∴AB＋AC＞2AD

规律24.截长补短作辅助线的方法

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.

当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法： ①a＞b

②a±b = c ③a±b = c±d

例：已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，

求证：AB－AC＞PB－PC

证明：⑴截长法：在AB上截取AN = AC，连结PN

在△APN和△APC中， AN = AC

A∠1 = ∠2

12AP = AP PN∴△APN≌△APC BCD∴PC = PN ∵△BPN中有PB－PC＜BN ∴PB－PC＜AB－AC

⑵补短法：延长AC至M，使AM = AB，连结PM 在△ABP和△AMP中 AB = AM A∠1 = ∠2 12PAP = AP

BC∴△ABP≌△AMP DM - 9 -

∴PB = PM

又∵在△PCM中有CM ＞PM－PC ∴AB－AC＞PB－PC

o

练习：1.已知，在△ABC中，∠B = 60,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点

O

求证：AC = AE＋CD DE2.已知，如图，AB∥CD∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4.

A 求证：BC = AB＋CD

1423 BC

规律25.证明两条线段相等的步骤：

①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。 ②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.

③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.

例:如图，已知，BE、CD相交于F，∠B = ∠C，∠1 = ∠2，求证：DF = EF

证明：∵∠ADF =∠B＋∠3

∠AEF = ∠C＋∠4 又∵∠3 = ∠4

∠B = ∠C ∴∠ADF = ∠AEF 在△ADF和△AEF中 A∠ADF = ∠AEF ∠1 = ∠2

DE12AF = AF 34F∴△ADF≌△AEF BC

∴DF = EF

规律26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个

角相等.

o

例：已知，如图Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90，过A作任一条直线AN，作BD⊥

AN于D，CE⊥AN于E，求证：DE = BD－CE

o

证明：∵∠BAC = 90, BD⊥AN

oo

∴∠1＋∠2 = 90 ∠1＋∠3 = 90 ∴∠2 = ∠3

∵BD⊥AN CE⊥AN

o

∴∠BDA =∠AEC = 90在△ABD和△CAE中，

A12 - 10 -

BD3ENC

∠BDA =∠AEC ∠2 = ∠3 AB = AC

∴△ABD≌△CAE

∴BD = AE且AD = CE ∴AE－AD = BD－CE ∴DE = BD－CE

规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等. 例：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于F，BE⊥AD的延长线于E

求证：BE = CF 证明：（略）

A

F 2BC1D

E 规律28.条件不足时延长已知边构造三角形. 例：已知AC = BD，AD⊥AC于A，BCBD于B

求证：AD = BC

证明：分别延长DA、CB交于点E

∵AD⊥AC BC⊥BD

o

∴∠CAE = ∠DBE = 90在△DBE和△CAE中 ∠DBE =∠CAE

EBD = AC ∠E =∠E

AB∴△DBE≌△CAE

O∴ED = EC，EB = EA

CD∴ED－EA = EC－ EB ∴AD = BC

规律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，AB∥CD，AD∥BC 求证：AB = CD

证明：连结AC（或BD）

A∵AB∥CD，AD∥BC D13∴∠1 = ∠2

24在△ABC和△CDA中， BC

- 11 -

∠1 = ∠2 AC = CA ∠3 = ∠4 ∴△ABC≌△CDA

E∴AB = CD

C练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF， D求证：BE = DF BA

F 规律30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.

o

例：已知，如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延

长线于E

求证：BD = 2CE

证明：分别延长BA、CE交于F

∵BE⊥CF

o

∴∠BEF =∠BEC = 90

F在△BEF和△BEC中 A∠1 = ∠2 ED BE = BE 12BC∠BEF =∠BEC

∴△BEF≌△BEC

∴CE = FE =

1CF 2o

∵∠BAC = 90 , BE⊥CF

o

∴∠BAC = ∠CAF = 90

o

∠1＋∠BDA = 90

o

∠1＋∠BFC = 90 ∠BDA = ∠BFC 在△ABD和△ACF中 ∠BAC = ∠CAF ∠BDA = ∠BFC AB = AC

∴△ABD≌△ACF ∴BD = CF ∴BD = 2CE

练习：已知，如图，∠ACB = 3∠B，∠1 =∠2,CD⊥AD于D，

- 12 -

求证：AB－AC = 2CD

A12D BC

规律31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角

形.

AD例：已知，如图，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD，

O求证：∠A = ∠D 证明：（连结BC，过程略）

BC 规律32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为

证题提供条件.

例：已知，如图，AB = DC，∠A = ∠D 求证：∠ABC = ∠DCB

证明：分别取AD、BC中点N、M， AD连结NB、NM、NC（过程略） CB

规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到

角两边距离相等证题.

例：已知，如图，∠1 = ∠2 ，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC = 2BD，

o

求证：∠BAP＋∠BCP = 180

EAN证明：过P作PE⊥BA于E P∵PD⊥BC，∠1 = ∠2 12BDC∴PE = PD

在Rt△BPE和Rt△BPD中 BP = BP PE = PD

∴Rt△BPE≌Rt△BPD ∴BE = BD

∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE ∴AE = CD

∵PE⊥BE，PD⊥BC

o

∠PEB =∠PDC = 90在△PEA和△PDC中 PE = PD

- 13 -

∠PEB =∠PDC AE =CD

∴△PEA≌△PDC ∴∠PCB = ∠EAP

o

∵∠BAP＋∠EAP = 180

o

∴∠BAP＋∠BCP = 180

练习：1.已知，如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P，

PD⊥BM于M，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线 M DAP

BC FN

oo

2. 已知，如图，在△ABC中，∠ABC =100，∠ACB = 20，CE是∠ACB的平分

o

线，D是AC上一点，若∠CBD = 20，求∠CED的度数。

B

E

AC D

规律34.有等腰三角形时常用的辅助线 ⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线 例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，

求证：∠BAC = 2∠DBC

证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 =

又∵AB = AC

∴AE⊥BC

o

∴∠2＋∠ACB = 90∵BD⊥AC

o

∴∠DBC＋∠ACB = 90 ∴∠2 = ∠DBC ∴∠BAC = 2∠DBC

（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略） （方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）

- 14 -

1∠BAC 2A12DBEC

⑵有底边中点时，常作底边中线

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

求证：DE = DF 证明：连结AD.

A∵D为BC中点， ∴BD = CD

EF又∵AB =AC

BCD∴AD平分∠BAC ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE = DF

⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE

= AF，求证：EF⊥BC

证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC

∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC

oN∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180

Eo

∴2∠BCA＋2∠ACN = 180

Ao

∴∠BCA＋∠ACN = 90

o F即∠BCN = 90

BC∴NC⊥BC

∵AE = AF

∴∠AEF = ∠AFE

又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF∥NC ∴EF⊥BC

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线

例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，

连结DE交BC于F 求证：DF = EF 证明：（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，

∵AB = AC， ∴∠B = ∠ACB ∴∠B =∠DNB AA∴BD = DN

DD12 - 15 - BNFCEB1F2CEM

又∵BD = CE ∴DN = EC

在△DNF和△ECF中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC

∴△DNF≌△ECF ∴DF = EF

（证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B（过程略）

⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线

例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE，

连结DE

ND求证：DE⊥BC

AM证明：（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则

EF∠AFE =∠B

BC ∠AEF =∠C

∵AB = AC ∴∠B =∠C ∴∠AFE =∠AEF ∵AD = AE

∴∠AED =∠ADE

o

又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180

o

∴2∠AEF＋2∠AED = 90

o

即∠FED = 90 ∴DE⊥FE 又∵EF∥BC ∴DE⊥BC

（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略） （证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，（过程略）

⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形

o

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80 ,P为形内一点，若∠PBC =

oo

10 ∠PCB = 30 求∠PAB的度数.

解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE

o

则∠BAE =∠ABE = 60 AE = AB = BE ∵AB = AC

∴AE = AC ∠ABC =∠ACB

- 16 -

∴∠AEC =∠ACE

∵∠EAC =∠BAC－∠BAE

ooo

= 80 －60 = 20

1oo

(180－∠EAC)= 80 21oo

∵∠ACB= (180－∠BAC)= 50

2∴∠ACE =

∴∠BCE =∠ACE－∠ACB

ooo

= 80－50 = 30

o

∵∠PCB = 30 ∴∠PCB = ∠BCE

oo

∵∠ABC =∠ACB = 50, ∠ABE = 60

ooo

∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60－50 =10

o

∵∠PBC = 10 ∴∠PBC = ∠EBC 在△PBC和△EBC中 ∠PBC = ∠EBC BC = BC

∠PCB = ∠BCE ∴△PBC≌△EBC ∴BP = BE ∵AB = BE ∴AB = BP

∴∠BAP =∠BPA

ooo

∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50－10 = 40 ∴∠PAB =

BAPCE

1oo

(180－∠ABP)= 70 2解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。

解法三：以BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,则

o

EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60 ∵EB = EC

∴E在BC的中垂线上 同理A在BC的中垂线上

∴EA所在的直线是BC的中垂线 ∴EA⊥BC

∠AEB =

EA1o

∠BEC = 30 =∠PCB 2- 17 -

BPC

由解法一知：∠ABC = 50

o

∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10 =∠PBC ∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB ∴△ABE≌△PBC ∴AB = BP

∴∠BAP =∠BPA

ooo

∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50－10 = 40 ∴∠PAB =

o

11oooo

(180－∠ABP) = (180－40)= 70 22规律35.有二倍角时常用的辅助线

⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角

例：已知，如图，在△ABC中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C，

求证：AB＋BD = AC

证明：延长AB到E，使BE = BD，连结DE

则∠BED = ∠BDE ∵∠ABD =∠E＋∠BDE ∴∠ABC =2∠E ∵∠ABC = 2∠C

A∴∠E = ∠C

12在△AED和△ACD中 ∠E = ∠C BCD∠1 = ∠2

EAD = AD ∴△AED≌△ACD ∴AC = AE ∵AE = AB＋BE ∴AC = AB＋BE 即AB＋BD = AC

⑵平分二倍角

例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC

求证：∠ABC = ∠ACB

证明：作∠BAC的平分线AE交BC于E，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC

∵BD⊥AC

o

∴∠CBD ＋∠C = 90

Ao

∴∠CAE＋∠C= 90

oo

∵∠AEC= 180－∠CAE－∠C= 90 ∴AE⊥BC

- 18 -

BEDC

∴∠ABC＋∠BAE = 90

o

∵∠CAE＋∠C= 90 ∠BAE = ∠CAE ∴∠ABC = ∠ACB

⑶加倍小角

例：已知，如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，∠BAC = 2∠DBC

求证：∠ABC = ∠ACB

证明：作∠FBD =∠DBC,BF交AC于F（过程略） A

F

D

BC

规律36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.

o

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120，EF为AB的垂直平分线，EF交

BC于F，交AB于E

求证：BF =

o

1FC 2证明：连结AF，则AF = BF

∴∠B =∠FAB ∵AB = AC ∴∠B =∠C

o

∵∠BAC = 120

∴∠B =∠C∠BAC =

o

1oo

(180－∠BAC) = 30 2EBFA∴∠FAB = 30

ooo

∴∠FAC =∠BAC－∠FAB = 120－30 =90

o

又∵∠C = 30

C

1FC 21∴BF =FC

2∴AF =

练习：已知，如图，在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，

DM⊥AB于M，DN⊥AC延长线于N 求证：BM = CN

A

- 19 - MBECND

规律37. 有垂直时常构造垂直平分线.

例：已知，如图，在△ABC中，∠B =2∠C，AD⊥BC于D

求证：CD = AB＋BD 证明：（一）在CD上截取DE = DB，连结AE，则AB = AE

∴∠B =∠AEB ∵∠B = 2∠C ∴∠AEB = 2∠C

又∵∠AEB = ∠C＋∠EAC CE∴∠C =∠EAC ∴AE = CE

又∵CD = DE＋CE A∴CD = BD＋AB

C（二）延长CB到F，使DF = DC，连结DAF则AF =AC（过程略）

规律38.有中点时常构造垂直平分线.

例：已知，如图，在△ABC中，BC = 2AB, ∠ABC = 2∠C,BD = CD

求证：△ABC为直角三角形

证明：过D作DE⊥BC，交AC于E，连结BE，则BE = CE，

∴∠C =∠EBC ∵∠ABC = 2∠C ∴∠ABE =∠EBC

∵BC = 2AB，BD = CD

A∴BD = AB

E在△ABE和△DBE中

AB = BD

∠ABE =∠EBC CBD BE = BE

∴△ABE≌△DBE ∴∠BAE = ∠BDE

o

∵∠BDE = 90

- 20 -

ADB

BF

∴∠BAE = 90

即△ABC为直角三角形

规律39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.

o

例：已知，如图，在△ABC中，∠A = 90，DE为BC的垂直平分线

222

求证：BE－AE = AC

证明：连结CE，则BE = CE Ao

∵∠A = 90E222

∴AE＋AC = EC

222BC∴AE＋AC= BE D222

∴BE－AE = AC

o

练习：已知，如图，在△ABC中，∠BAC = 90，AB = AC，P为BC上一点

222

求证：PB＋PC= 2PA

A BP

规律40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.

o

o

o

C

例：已知，如图，在△ABC中，∠B = 45，∠C = 30，AB =2，求AC的长.

解：过A作AD⊥BC于D

o

∴∠B＋∠BAD = 90，

oo

∵∠B = 45，∠B = ∠BAD = 45， ∴AD = BD

A∵AB = AD＋BD，AB =2 2

2

2

B∴AD = 1

o

∵∠C = 30，AD⊥BC ∴AC = 2AD = 2

DC

四边形部分

规律41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.

例：已知,□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC

的周长多8cm，求这个四边形各边长. 解：∵四边形ABCD为平行四边形

∴AB = CD，AD = CB，AO = CO ∵AB＋CD＋DA＋CB = 60

AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC) = 8

- 21 -

∴AB＋BC = 30，AB－BC =8 ∴AB = CD = 19，BC = AD = 11

答：这个四边形各边长分别为19cm、11cm、19cm、11cm.

规律42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之

差.

（例题如上）

规律43.有平行线时常作平行线构造平行四边形

o

例：已知，如图，Rt△ABC，∠ACB = 90，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F

作FH∥AB交BC于H 求证：CE = BH C5证明：过F作FP∥BC交AB于P，则四边形FPBH为

3E平行四边形 F4H∴∠B =∠FPA，BH = FP 12oAB∵∠ACB = 90，CD⊥AB DP oo

∴∠5＋∠CAB = 45，∠B＋∠CAB = 90 ∴∠5 =∠B ∴∠5 =∠FPA

又∵∠1 =∠2，AF = AF ∴△CAF≌△PAF ∴CF = FP

∵∠4 =∠1＋∠5，∠3 =∠2＋∠B ∴∠3 =∠4 ∴CF = CE ∴CE = BH

练习：已知，如图，AB∥EF∥GH，BE = GC 求证：AB = EF＋GH A

F

H

BCEG

规律44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 例：已知，如图，在□ABCD中，AB = 2BC，M为AB中点

求证：CM⊥DM

证明：延长DM、CB交于N

∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AD = BC，AD∥BC

D2C - 22 -

AM31BN

∴∠A = ∠NBA ∠ADN =∠N 又∵AM = BM ∴△AMD≌△BMN ∴AD = BN ∴BN = BC

∵AB = 2BC，AM = BM ∴BM = BC = BN

∴∠1 =∠2，∠3 =∠N

o

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠N = 180，

o

∴∠1＋∠3 = 90 ∴CM⊥DM

规律45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等. 如图：OE = OF EAD

O

B FC

规律46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线

所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半. 如图：S△BEC =

1S□ABCD 2AED BC

规律47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两

个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半. 如图：S△AOB ＋ S△DOC = S△BOC＋S△AOD =

1S□ABCD 2ADO

BC

规律48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相

等.

O

如图：AO2＋OC2 = BO2＋DO2

ADAD O

BCBC

- 23 -

规律49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形. 如图：四边形GHMN是矩形

AD

NG

MH BC（规律45～规律49请同学们自己证明） 规律50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.

例：已知，如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，且BE = ED，P为对角线BD上一点，

PF⊥BE于F，PG⊥AD于G 求证：PF＋PG = AB

证明：证法一：过P作PH⊥AB于H，则四边形AHPG为矩形

∴AH = GP PH∥AD ∴∠ADB =∠HPB

EGDA∵BE = DE F∴∠EBD = ∠ADB HP∴∠HPB =∠EBD BCNo

又∵∠PFB =∠BHP = 90 ∴△PFB≌△BHP

∴HB = FP

∴AH＋HB = PG＋PF 即AB = PG＋PF

证法二：延长GP交BC于N，则四边形ABNG为矩形，（证明略） 规律51.直角三角形常用辅助线方法： ⑴作斜边上的高

例：已知，如图,若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线交于点

E

求证：AC = CE

证明：过A作AF⊥BD，垂足为F，则AF∥EG

DAG∴∠FAE = ∠AEG

O∵四边形ABCD为矩形

FoBC∴∠BAD = 90 OA = OD

∴∠BDA =∠CAD ∵AF⊥BD

o

∴∠ABD＋∠ADB = ∠ABD＋∠BAF = 90

E∴∠BAF =∠ADB =∠CAD

- 24 -

∵AE为∠BAD的平分线 ∴∠BAE =∠DAE

∴∠BAE－∠BAF =∠DAE－∠DAC 即∠FAE =∠CAE ∴∠CAE =∠AEG ∴AC = EC

⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线： ①有斜边中点时

例：已知，如图，AD、BE是△ABC的高， F是DE的中点，G是AB的中点

求证：GF⊥DE

A证明：连结GE、GD EFD∵AD、BE是△ABC的高，G是AB的中点

∴GE =

11AB，GD = AB 22BGC

∴GE = GD

∵F是DE的中点 ∴GF⊥DE

②有和斜边倍分关系的线段时

例：已知，如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且DA⊥BA于A，AC =

求证：∠ACB = 2∠B

证明：取BD中点E，连结AE，则AE = BE =

∴∠1 =∠B ∵AC =

1BD 21BD 21BD 2A1∴AC = AE ∴∠ACB =∠2

2BDC∵∠2 =∠1＋∠B E

∴∠2 = 2∠B ∴∠ACB = 2∠B

规律52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.

例：已知，如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F 求证：AP = EF 证明:连结AC 、PC

∵四边形ABCD为正方形

o

∴BD垂直平分AC，∠BCD = 90

AD - 25 -

PBEFC

∴AP = CP

o

∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD = 90 ∴四边形PECF为矩形 ∴PC = EF ∴AP = EF

规律53.有正方形一边中点时常取另一边中点.

例：已知,如图，正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N

求证：MD = MN

证明：取AD的中点P，连结PM，则DP = PA =

∵四边形ABCD为正方形

o

∴AD = AB, ∠A =∠ABC = 90

o

∴∠1＋∠AMD = 90，又DM⊥MN

o

∴∠2＋∠AMD = 90 ∴∠1 =∠2 ∵M为AB中点 ∴AM = MB =

1AD 2D1CNM2PAB1AB 2E

∴DP = MB AP = AM

o

∴∠APM =∠AMP = 45

o

∴∠DPM =135 ∵BN平分∠CBE

o

∴∠CBN = 45

ooo

∴∠MBN =∠MBC＋∠CBN = 90＋45= 135 即∠DPM =∠MBN ∴△DPM≌△MBN ∴DM = MN

注意：把M改为AB上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。

练习：已知，Q为正方形ABCD的CD边的中点，P为CQ上一点，且AP = PC＋BC

求证：∠BAP = 2∠QAD QPDC AB

规律54.利用正方形进行旋转变换

旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻

边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法.

- 26 -

旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条

件.

旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中.

o

例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90，D为BC边上任一点

222

求证：2AD = BD＋CD

o

证明：把△ABD绕点A逆时针旋转90得△ACE

∴BD = CE ∠B = ∠ACE

o

∵∠BAC = 90

oA∴∠DAE = 90

2222

E∴DE = AD＋AE = 2AD

o

∵∠B＋∠ACB = 90 BCDo

∴∠DCE = 90 ∴CD＋CE = DE

222

∴2AD = BD＋CD

o

注意：把△ADC绕点A顺时针旋转90 也可，方法同上。

练习：已知，如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F

求证：BE = CF ＋AE

EDA

F

BC

规律55.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形. 例：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点

求证：AP = AB

证明：延长CF交BA的延长线于K

∵四边形ABCD为正方形

o

∴BC = AB = CD = DA ∠BCD =∠D =∠BAD = 90 ∵E、F分别是CD、DA的中点

∴CE =

2

2

2

11CD DF = AF = AD 22CPE12∴CE = DF

∴△BCE≌△CDF ∴∠CBE =∠DCF

o

∵∠BCF＋∠DCF = 90

o

∴∠BCF＋∠CBE = 90

- 27 -

DFKBA

∴BE⊥CF

o

又∵∠D =∠DAK = 90 DF = AF ∠1 =∠2 ∴△CDF≌△KAF ∴CD = KA ∴BA = KA 又∵BE⊥CF ∴AP = AB

练习：如图，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ = QC，P在BC上，且AP = CD＋CP

求证：AQ平分∠DAP

DA

Q

BPC

规律56.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角

形.

例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD = 3，AB = 4，BC = 7

求∠B的度数

解：过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD为平行四边形

∴AD = EC， CD = AE

AD∵AB = CD = 4,

AD = 3, BC = 7 ∴BE = AE = AB = 4

BC∴△ABE为等边三角形 Eo ∴∠B = 60

规律57.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个

三角形.

o

例：已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = AC，∠BAC = 90，BD = BC，BD交

AC于O

求证：CO = CD

证明：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F则四边形AEFD为矩形

∴AE = DF

o

∵AB = AC，AE⊥BC，∠BAC = 90，

∴AE = BE = CE =∵BC = BD

1o

BC，∠ACB = 45 2 - 28 -

∴AE = DF =

1BD 2AOBD又∵DF⊥BC

o

∴∠DBC = 30 ∵BD = BC

∴∠BDC =∠BCD =

EFC

1o

(180－∠DBC) 2o

= 75

ooo

∵∠DOC =∠DBC＋∠ACB = 30＋45 = 75 ∴∠BDC =∠DOC ∴CO = CD

规律58.从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角

形.

例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC = 10，DE⊥BC于E

求DE的长.

解：过D作DF∥AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形

∴AC = DF， AD = CF

DA∵四边形ABCD为等腰梯形 ∴AC = DB ∴BD = FD BFCE∵DE⊥BC

∴BE = EF =

=

1BF 211(BC＋CF) =(BC＋AD) 221=×10 = 5 2∵AC∥DF，BD⊥AC ∴BD⊥DF ∵BE = FE ∴DE = BE = EF =

1BF = 5 2答：DE的长为5.

规律59.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形.

例：已知，如图，在四边形ABCD中，有AB = DC，∠B =∠C，AD＜BC

求证：四边形ABCD等腰梯形

- 29 -

证明：延长BA、CD，它们交于点E

∵∠B =∠C ∴EB = EC E又∵AB = DC

AD∴AE =DE

∴∠EAD =∠EDA

oB∵∠E＋∠EAD＋∠EDA = 180 C o

∠B＋∠C＋∠E = 180 ∴∠EAD =∠B ∴AD∥BC

∵AD≠BC，∠B =∠C ∴四边形ABCD等腰梯形

（此题还可以过一顶点作AB或CD的平行线；也可以过A、D作BC的垂线） 规律60.有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形. 例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，EF⊥AB于F

求证：S梯形ABCD = EF·AB

证明：过E作MN∥AB，交AD的延长线于M，交BC于N，则四边形ABNM为平行四

边形

ADMF∵EF⊥AB 1E2∴S□ABNM = AB·EF

BCN∵AD∥BC

∴∠M =∠MNC

又∵DE = CE ∠1 =∠2 ∴△CEN≌△DEM ∴S△CEN = S△DEM

∴S梯形ABCD = S五边形ABNED＋S△CEN = S五边形ABNED＋S△DEM = S梯形ABCD = EF·AB

规律61. 有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线

相交，把梯形转换成三角形.

例：已知,如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD于A，DE = EC = BC

求证：∠AEC = 3∠DAE

证明：连结BE并延长交AD的延长线于N

∵AD∥BC ∴∠3 =∠N

又∵∠1 =∠2 ED = EC ∴△DEN≌△CEB

∴BE = EN DN = BC

ADN1 - 30 -

2EB3C

∵AB⊥AD

∴AE = EN = BE ∴∠N =∠DAE

∴∠AEB =∠N＋∠DAE = 2∠DAE ∵DE = BC BC = DN ∴DE = DN ∴∠N =∠1

∵∠1 =∠2 ∠N =∠DAE ∴∠2 =∠DAE

∴∠AEB＋∠2 = 2∠DAE＋∠DAE 即∠AEC = 3∠DAE

规律62.梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线.

例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF

⊥BC

求证：∠B =∠C

证明：过E作EM∥AB, EN∥CD,交BC于M、N，则得□ABME，□NCDE

∴AE = BM，AB∥= EM，DE = CN，CD = NE ∵AE = DE ∴BM = CN AED又∵BF = CF ∴FM = FN

12BC又∵EF⊥BC MNF

∴EM = EN ∴∠1 =∠2

∵AB∥EM， CD∥EN ∴∠1 =∠B ∠2 =∠C ∴∠B = ∠C

规律63. 任意四边形的对角线互相垂直时，它们的面积都等于对角线乘积的一半. 例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，且AC⊥BD，AC = 4，BD = 3.4,

求梯形ABCD的面积. 解：∵AC⊥BD

∴S△ABD =S△BCD =

1AO·BD 2AOBCD1CO·BD 2∴S梯形ABCD = S△ABD ＋S△BCD

- 31 -

11AO·BD＋CO·BD 221=(AO＋CO)·BD 211即S梯形ABCD = AC·BD = ×4×3.4

22=

=6.8

答：梯形ABCD面积为6.8.

规律64.有线段中点时，常过中点作平行线，利用平行线等分线段定理的推论证题. 例:已知：△ABC中，D为AB中点，E为BC的三等分点，（BE＞CE）AE、CD交于点F 求证：F为CD的中点

证明：过D作DN∥AE交BC于N

∵D为AB中点

A∴BN = EN

D又∵E为BC的三等分点

F∴BN = EN = CE

BCEN∵DN∥AE ∴F为CD的中点

规律65.有下列情况时常作三角形中位线.

⑴有一边中点；

⑵有线段倍分关系；

⑶有两边（或两边以上）中点.

例：如图，AE为正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD

相交于O

求证：OF =

1CE 2A12DN5OF64证明：取AE的中点N，连结ON,则ON为△ACE的中位线

1∴ON∥CE，ON =CE

2∴∠6 =∠ONE

∵四边形ABCD为正方形

o

∴∠3 =∠4 = 45

∴∠5 =∠3＋∠1, ∠6 =∠4＋∠2 ∵∠1 =∠2 ∴∠5 =∠6 ∵∠6 =∠ONE ∴∠ONE =∠5

- 32 -

3BEC

∴ON = OF ∴OF =

1CE 2规律66.有下列情况时常构造梯形中位线

⑴有一腰中点 ⑵有两腰中点

⑶涉及梯形上、下底和

o

例1：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB = 90 ,E为CD的中点，连结AE、BE

求证：AE = BE

证明：取AB的中点F，连结EF，则

DEF∥AD Ao

∴∠DAB =∠EFB =90

EF∴EF⊥AB

∴EF为AB的中垂线 CB ∴AE = BE

例2：从□ABCD的顶点ABCD向形外的任意直线MN引垂线AA’、BB’、CC’、DD’，垂足分

别为A’、B’、C’、D’

求证：AA’＋CC’ = BB’＋DD’

证明：连结AC、BD，它们交于点O，过O作OE⊥MN于E，则AA’∥OE∥CC’

∵四边形ABCD为平行四边形 DA∴AO = CO OC∴A’E = C’E

B∴AA’＋CC’ = 2OE

MB'A'EC'D'N同理可证：BB’＋DD’ = 2OE

∴AA’＋CC’ = BB’＋DD’

规律67.连结任意四边形各边中点所得的四边形为平行四边形. 规律68.连结对角线相等的四边形中点所得的四边形为菱形.

规律69.连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形.

规律70.连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形为正方形.

规律71.连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四边形分别

为平行四边形、菱形、矩形、正方形、菱形.

规律72.等腰梯形的对角线互相垂直时，梯形的高等于两底和的一半（或中位线的长）. 以上各规律请同学们自己证明.（利用中位线证明）

规律73.等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形.

例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD = BC，对角线AC、BD相交

o

于O，∠AOB = 60 ，且E、F、M分别为OD、OA、BC的中点 求证：△MEF是等边三角形

DEC - 33 -

FAOMB

证明：连结BF、CE

∵四边形ABCD为等腰梯形 ∴AD = BC，AC = BD 又∵AB为公共边 ∴△ABD≌△BAC ∴∠CAB =∠DBA ∴OA = OB

o

∵∠AOB = 60

∴△ABO为等边三角形 又∵F为AO中点 ∴BF⊥AC

∵M为BC中点

∴MF =

1BC 21BC 2同理可证：ME =

∵E、F分别为OD、OA中点 ∴EF =

1AD 2∵AD = CB

∴ME = MF = EF

∴△MEF为等边三角形

规律74.如果矩形对角线相交所成的钝角为120o，则矩形较短边是对角线长的一半.

O

例：已知，四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB = 120.

求证：AB =

1BD 2ADO（证明略）

BC

规律75.梯形的面积等于一腰的中点到另一腰的距离与另一腰的乘积. 例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，EF⊥AB于F

求证：S梯形ABCD = EF·AB

证明：过E作MN∥AB，交AD的延长线于M，交BC于N，则四边形ABNM为平行四

边形

∵EF⊥AB

∴S□ABNM = AB·EF

AD∵AD∥BC MF12EC - 34 -

BN

∴∠M =∠MNC

又∵DE = CE ∠1 =∠2 ∴△CEN≌△DEM ∴S△CEN = S△DEM

∴S梯形ABCD = S五边形ABNED＋S△CEN = S五边形ABNED＋S△DEM

规律76.若菱形有一内角为120o，则菱形的周长是较短对角线长的4倍.

O

例：已知，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120.

D求证:AB = BD

（证明略）

A

B

C

相似形和解直角三角形部分

规律77.当图形中有叉线（基本图形如下）时，常作平行线.

例：已知，如图，AD为△ABC的中线，F为AB上任一点，CF交AD于E

求证：

AFEF ABECAFFNFNEF ABBDCDCEAFEF ABECBAFEDCN证明：过F作FN∥BC交AD于N

∴

又∵CD = BD ∴

规律78.有中线时延长中线（有时也可在中线上截取线段）构造平行四边形.

例：AD为△ABC的中线，E为AD上一点，BE、CE的延长线分别交AC、AB于点M、N

求证：MN∥BC

证明：延长AD至F，使DF = DE，连结BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形

∴BF∥CN CF∥BM

ANMEBFDC - 35 -

ANAEAEAM NBEFEFMCANAM∴ NBMC∴

∴MN∥BC

规律79.当已知或求证中，涉及到以下情况时，常构造直角三角形.

⑴有特殊角时，如有30o、45o、60o、120o、135o角时. ⑵涉及有关锐角三角函数值时.

构造直角三角形经常通过作垂线来实现.

例：一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C在北偏东60o的方向上，船前进8海里

后到达B，再测C岛在北偏东30的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？

oo

解：由题可作图，且∠CAB = 60 ，∠ABC = 120 ，AB = BC = 8（海里）

o

在Rt△ABC中，BC = 8，∠CBD = 60 ，

∴BD = BC·cos60 = 8×

o

1= 4（海里） 2北C东3CD = BC·sin60 = 8×= 43（海里）

2o

ABD答：船再前进4海里就与C最近，最近距离是43海里. 规律80. 0o、30o、45o、60o、90o角的三角函数值表

三角函数 0o 30o 45o

sinA 0 1 2

22

cosA 1 3 2

22

tanA 0 1 3

3

60o 3 290o 1 0 － 1 23

cotA － 1 0 3 3 3

另外：0o、30o、45o、60o、90o的正弦、余弦、正切值也可用下面的口诀来记忆： 0o可记为北京电话区号不存在，即：010不存在，90o正好相反 30o、45o、60o可记为：

- 36 -

1、2、3、3、2、1， 3、9、27，

弦比2，切比3， 分子根号别忘添.

其中余切值可利用正切与余切互为倒数求得. 规律81. 同角三角函数之间的关系：

22（1）.平方关系：sincos1 （2）.倒数关系：tancot1

（3）.商数关系：tansincos cot cossin规律82. 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角

的正弦值.

规律83. 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角

的正切值.

规律84.三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦之积的一半.

o

例：已知△ABC中,∠A = 60,AB = 6,AC = 4,求△ABC的面积。

解：作BD⊥AC于D

在Rt△ABD中，BD = AB·sinA

∴S△ABC = =

1 AC·BD 21AC·AB·sinA 21o= ×4×6×sin60 2= 12×A3 2DBC

= 63 规律85.等腰直角三角形斜边的长等于直角边的2倍.

规律86.在含有30o角的直角三角形中，60o角所对的直角边是30o角所对的直角边的3倍.（即30o角所对的直角边是几，另一条直角边就是几倍3.）

规律87.直角三角形中，如果较长直角边是较短直角边的2倍，则斜边是较短直角边的

- 37 -

5倍.

圆 部 分

规律88.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一

辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题.

例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：

AC = BD

证明:过O作OE⊥AB于E

O∵O为圆心，OE⊥AB

ACEDB∴AE = BE CE = DE

∴AC = BD

练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求⊙O的半径.

O

ABP

规律89.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.

例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证：

 ACBD证明：（一）连结OC、OD

∵M、N分别是AO、BO的中点

∴OM =

11AO、ON = BO 22∵OA = OB

∴OM = ON

∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD ∴Rt△COM≌Rt△DON ∴∠COA = ∠DOB

CADMONB ∴ACBD（二）连结AC、OC、OD、BD

∵M、N分别是AO、BO的中点 ∴AC = OC BD = OD

- 38 -

∵OC = OD ∴AC = BD

 ∴ACBD规律90.有弦中点时常连弦心距

例：如图，已知M、N分别是⊙O 的弦AB、CD的中点,AB = CD，求证：∠AMN = ∠CNM

证明：连结OM、ON

∵O为圆心，M、N分别是弦AB、CD的中点 ∴OM⊥AB ON⊥CD ∵AB = CD CA∴OM = ON

N∴∠OMN = ∠ONM MoO∵∠AMN = 90－∠OMN

DBo

∠CNM = 90－∠ONM

∴∠AMN =∠CNM

规律91.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.

例：如图，已知⊙O1与⊙O2为等圆，P为O1、O2的中点，过P的直线分别交⊙O1、⊙O2

于A、C、D、B.求证：AC = BD

证明：过O1作O1M⊥AB于M,过O2作O2N⊥AB于N，则O1M∥O2N

∴

O1MO1P O2NO2PAMO1CP∵O1P = O2P DNB∴O1M = O2N

∴AC = BD

规律92.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：

⑴连结过弧中点的半径 ⑵连结等弧所对的弦 ⑶连结等弧所对的圆心角

例：如图，已知D、E分别为半径OA、OB的中点，C为弧AB的中OED点，求证：CD = CE

AB证明：连结OC C

∵C为弧AB的中点

O2 ∴ABBC∴∠AOC =∠BOC

∵D、E分别为OA、OB的中点，且AO = BO

- 39 -

∴OD = OE =

11AO = BO 22又∵OC = OC

∴△ODC≌△OEC ∴CD = CE

规律93.圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半. 规律94.圆外角的度数等于它所截两条弧的度数之差的一半.

规律95.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 例：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC = PC,PB的延长

线交⊙O于D，求证：AC = DC 证明：连结AD

∵AB为⊙O的直径 Do

∴∠ADP = 90 BO∵AC = PC

1∴AC = CD =AP

2o

ACP

练习：如图，在Rt△ABC中，∠BCA = 90 ,以BC为直径的⊙O交AB于E，D为AC中点，连结BD交⊙O于F.求证：

BCCF BEEF规律96.有垂直弦时也常作直径所对的圆周角. 规律97.有等弧时常作辅助线有以下几种：

⑴作等弧所对的弦 ⑵作等弧所对的圆心角 ⑶作等弧所对的圆周角

练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD =∠FMC(提示：连结BM)

2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD = CE，∠1 =∠2，求证：AB = AC （提示如图） F AM 12CO BABCEDOEG FD2题图1题图

规律98.有弦中点时，常构造三角形中位线.

例：已知，如图，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE =

1AD 2 - 40 -

证明：作直径CF，连结DF、BF

∵CF为⊙O的直径 ∴CD⊥FD 又∵CD⊥AB ∴AB∥DF

 ∴ADBF∴AD = BF

∵OE⊥BC O为圆心 CO = FO ∴CE = BE

ACOEBD1∴OE =BF

21∴OE =AD

2F

规律99.圆上有四点时，常构造圆内接四边形.

例：如图，△ABC内接于⊙O，直线AD平分∠FAC，交⊙O于E，交BC的延长线于D，

求证：AB·AC = AD·AE 证明：连结BE

E∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1

FA∴∠3 =∠2 31O2∵四边形ACBE为圆内接四边形

DBC∴∠ACD =∠E ∴△ABE∽△ADC

∴

AEAB ACAD∴AB·AC = AD·AE

规律100.两圆相交时，常连结两圆的公共弦

例：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B，过A的直线分别交⊙O1、⊙O2于C、D，过B的直

线分别交⊙O1、⊙O2于E、F.求证：CE∥DF 证明：连结AB

∵四边形为圆内接四边形

D∴∠ABF =∠C AC同理可证：∠ABE =∠D

O2O1o

∵∠ABF ＋∠ABE = 180 FEBo

∴∠C＋∠D = 180

∴CE∥DF

规律101.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：

- 41 -

⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.

⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.

例1：如图，P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点，连结PA、PB.

求证：PA、PB为⊙O的切线 证明：连结OA

A∵PO为直径

POo

∴∠PAO = 90

B∴OA⊥PA

∵OA为⊙O的半径 ∴PA为⊙O的切线

同理：PB也为⊙O的切线

例2：如图，同心圆O，大圆的弦AB = CD，且AB是小圆的切线，切点为E，求证：CD

是小圆的切线

证明：连结OE，过O作OF⊥CD于F

D∵OE为半径，AB为小圆的切线 F∴OE⊥AB CO∵OF⊥CD, AB = CD BAE ∴OF = OE

∴CD为小圆的切线

练习：如图，等腰△ABC，以腰AB为直径作⊙O交底边BC于P，PE⊥AC于E, 求证：PE是⊙O的切线

A

O

E

CBP

规律102.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.

o

例：如图，在Rt△ABC中，∠C = 90，AC = 12，BC = 9，D是AB上一点，以BD

为直径的⊙O切AC于E，求AD长. 解：连结OE，则OE⊥AC

∵BC⊥AC ∴OE∥BC

∴

OEAO BCAB- 42 -

在Rt△ABC中，AB = ∴

AC2BC21229215

OEABOB15OE 9AB1545∴OE = OB =

845∴BD = 2OB =

44515∴AD = AB－DB = 15－=

4415答：AD的长为.

4CEADOB

练习：如图，⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC = CD P C DBE AO

- 43 -

- 44 -