平面向量知识归纳和题型总结

平面向量

章节分析:

向量是近代数学中重要和基本的概念之一,具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体, 是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学容的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有重要应用.

向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具,向量概念引入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系,例如平行、垂直、夹角、距离等.

对本章的学习要立足基础,强化运算,重视运用,能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题.

平面向量的概念、几何运算和基本定理

1.向量的相关概念

2.向量的线性运算

3.向量的共线定理

rrrr非零向量a与向量b共线,当且仅当存在唯一一个实数,使ba。

uuuruuuruuuruuur延伸结论:A,B,C三点共线AB//AC当且仅当有唯一R,使ABAC

.

.

4.平面向量的基本定理

ruruur如果e1,e2是一个平面两个不共线向量,那么对这平面的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2

ruruururuur使:a1e12e2,其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面所有向量的一组基底.

uruurruruurruruur练习:（1）已知e1,e2是平面向量的一组基底,ax1e1y1e2,bx2e1y2e2,

rrrr①若ab当且仅当x1x2且y1y2.②若a0,则x1x20.

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuro（2）如图OA,OB为单位向量，|OC|23，其中OA,OB的夹角为120，OA,OC的夹

uuuruuuruuuro角为30。若OCOBOA，求,的值。

uuuuruuuruuur5.一个常用结论:△ABC中, M为边BC的中点, 则有:2AMABAC.

uuuruuurruuurrrr练习:设ABC的重心为点G,设ABa,ACb.试用a,b表示AG.

典型例题分析: 知识点一:基本概念 例1.

uruur1.如果e1,e2是平面两个不共线向量,那么下列各说法错误的有( )

uruur①e1e2(,R)可以表示平面的所有向量;平面的所有向量都可以表示成uruure1e2(,R)。

ruruur②对于平面中的任一向量a使ae1e2的,有无数多对;

uruururuururuururuur③若向量1e11e2与2e12e2共线,则有且只有一个kR,2e12e2k(1e11e2)

uruurr④若实数,使e1e20,则0. A.①② B.②③ C.③④ D.② 练习:1) 判断下列命题的真假

(1)向量AB与向量CD为共线向量,则A,B,C,D四点共线. (2)若ABCD则四边形ABCD为平行四边形.

rrrrrr(3)若向量a∥b,bPc则aPc. rrrrrrrr(4)a,b是两个向量,则|ab||a||b|当且仅当a,b不共线时成立

知识点二:向量的线性运算 例1. 化简:

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuur(1)ABBCCA; (2)(ABMB)BOOM; (3)OAOCBOCO; uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur(4)ABACBDCD; (5)OAODAD; (6)ABADDC; uuuruuuruuuuruuur(7)NQQPMNMP.

uuuruuuuruuur例2.如图,四边形ABCD,E,F分别为AD,BC的中点,求证:ABDC2EF.

uuuruuuruuuruuur练习:（1)已知△ABC三个顶点A,B,C及平面一点P,若PAPBPCAB,则 ( ) A.P在△ABC部 B.P在△ABC外部 C.P在AB边所在直线上 D.P在线段BC上

uuuruuuruuuruuur(2)设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,O为任意一点,则OAOBOCOD=

.

.

uuuuruuuuruuuuruuuurAOM. B.2OM C.3OM D.4OM

知识点三:平面向量基本定理和共线定理

ruruurruruurruruurruruurrr例1.1）已知e1,e2为不共线向量,a3e12e2,b2e1e2,c7e14e2用a,b表示c.

uruuruuururuuruuururuuruuuururuur2) 设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB2e1ke2,CB2e13e2,CD2e1e2若A,B,D三点共线,求k的值.

例2. 证明:平面三点A,B,C共线

uuuruuuruuur使OAmOBnOC,且mn1.

练习: 证明:平面三点A,B,C共线

存在两个均不为0的实数m,n, 存在三个均不为0的实数l,m,n,

uuuruuuruuurr使lOAmOBnOC0,且lmn0.

向量数量积及坐标运算

一、基本知识回顾:

rrrr1、已知向量a,b,其中a(x1,y1),b(x2,y2):向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.在引

入向量的坐标表示后,即可使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合了起来 向量几何表示或运算 向量运算与关系 向量坐标表示或运算 rr平行四边形法则或三角形法则 向量加减法 ab(x1x2,y1y2) r实数λ与向量a的积是一个向量,实数与向量的积 r记作λa rrrrrrrr数量积ab ababcosa,b rr存在唯一的实数，使ab rr（b0） rrab0 r2r2r2raa (aa) rrrrabcosa,brr abuuuruuurAB//BCABBC 练习: 1、 判断下列命题的真假

ra(x1,y1)(x1,x2) rrabx1x2y1y2 rr向量a//b rr(b0) rr向量ab r向量的模a rrb> 向量夹角rrrrrrrr2r2rrr2(ab)ca(bc),3） 4）(ab)a2abb rrrrrrrr5）abab 6）0a0,0a0

rrrrrr2、已知a(4,2),b(x,3).若a//b,则x ;若ab,则x .

uuuruuur3、已知A(4,1),B(7,3),则与AB同向的单位向量是 ,与AB平行的单位向量是 .

uuurrr4、已知点A(1,5)和向量a(2,3),若AB3a,则点B的坐标为

rrrrrr5、已知a(5,5),b(6,3),c(1,8),若ambnc,数m,n.

rrrr6、已知a(1,0),b(2,1),则|a3b|

7）下列各组向量中,可以作为平面基底的是（ ）

.

.

uruururuurA.e1(0,0),e2(2,1) B. e1(4,6),e2(6,9) uruururuur13C.e1(2,5),e2(6,4) D. e1(2,3),e2(,)

24rrrrrr8）已知a//b,a3,b4,则a在b方向上的投影为

二、典型例题讲解

rrrr3例1:1）已知a3,b4,a与b的夹角为,求:

4rrrrrrrr（1）a在b方向上的投影（2）(3a2b)(a2b)（3）ab

2）4、在直角△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是（ ）

uuur2uuuruuuruuur2uuuruuurA.|AC|ACAB B.|BC|BABC

uuuruuuruuuruuuruuur2uuuruuuruuur2（ACAB）（BABC）uuur2C.|AB|ACCD D.|CD| |AB|oe,e3）已知向量12夹角为60，e12,e21,a2e17e2,be1te2若a与b的夹角为

锐角，求t的围。

rrrrrrrr练习:1）已知向量a,b满足a1,b2,ab2,则ab

2）在ABC中，已知AB8,BC7,ABC120,求边AC的长度

ouuur3uuur例2: 1）已知A(2,3),B(4,3),点P在线段AB的延长线上,且|AP||PB|,求点P的坐

2标（若点P在直线AB上）

2）在ABC中,点P在BC上,且BP2PC,点Q是AC的中点,若PA(4,3),PQ(1,5),则BC

11例3:已知向量m(asin,),n(,cos).

222（Ⅰ）当a,且mn时,求sin2的值;

2（Ⅱ）当a0,且m∥n时,求tan的值.

221sin,), 解:（Ⅰ）当a时,m(222 mn, 由mn0, 得sincos上式两边平方得1sin2因此,sin22,………3分 21, 21.……………6分 211 .即sin2.………9分 42（Ⅱ）当a0时,m(sin,1), 由m∥n得sincossin22tan,tan23或 23.…………12分

1tan2.

.

33xx例4、已知向量a(cosx,sinx),b(cos,sin). 且x[0,]

22222rrrr1)当ab时,求x的集合; 2)求ab; 3）求函数yab4|ab|的最小值

rrrr4）求函数yab2|ab|的最小值

35）若fxab2ab的最小值是,数的值.

2rrrrrrrro练习:1）设a,b是不共线的两非零向量,若|a||b|,且a,b夹角为60,求t为何值时,|atb|的值最小.

rr33xx2）已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,sin)且x∈[,].

22234rrrr2（1）求a·b及|a+b|;

rrrr(2)若f(x) = a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.

向量与三角形

平面向量的应用十分广泛.由于三角形中的有关线段可以视为向量,线线之间的位置关系、大小关系以及边角关系均可以用向量表示,这就为向量与三角形的沟通、联系、交汇提供了条件,在这类问题中,往往要涉及到向量的和差运算、数乘运算、数量积运算以及向量的共线、垂直、向量的模等性质, 因此解题思路较宽、方法灵活、综合性强.

三角形之心

一、 外心.

三角形外接圆的圆心,简称外心. 是三角形三边中垂线的交点. （下左图）

二、 重心 三、垂心

三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.

掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.（上右图） 三角形三条高的交点,称为三角形的垂心.（下左图）

四、心

三角形切圆的圆心,简称为心. 是三角形三角平分线的交点.

三角形角平分线性质定理:三角形角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.（上右图）

知识点一、三角形形状与向量

1、已知向量OP1,OP2,OP3满足条件OP1OP2OP30,且|OP1|OP2||OP3|1,求证

.

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P1P2P3是正三角形.

2、O是ABC所在平面上的一点,若(OBOC)(OBOC2OA)0, 则ABC是 三角形.

uuuvuuuvuuuvuuuvvuuuvuuuvuuuuuuvABACACBC2vuuuuv)BC0且uuuuvuuuuv3、已知非零向量AB,AC和BC满足(uuuu,则|AB||AC||AC||BC|2ABC为 .

4、若O为ABC所在平面一点,且满足OBOCOBOC2OA,则ABC的形状为 （ ）

A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 5、已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|AC|AC|)BC0且AB|AB||AC|AC1,则△ABC2为 （ ）

A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

思路分析:

1.根据四个选择支的特点:本题可采用验证法来处理,不妨先验证等边三角形,刚好适合题意,则可同时排除其他三个选择支,故选D. 2.由于AB|AB|AC|AC|所在直线穿过△ABC的心,则由(AB|AB|AC|AC|)BC0知,ABAC（等腰三角形的三线合一定理）;又为等边三角形,故选D.

ABAC|AB||AC|1,所以A,即△ABC23知识点二、三角形的“心”与向量

重心

在△ABC中,AD为BC边上的中线,根据向量加法的平行四边形法则,可得

ABAC2AD.这说明ABAC所在的直线过BC的中点D,从而一定通过ABC的重

心.另外,G为ABC的重心的充要条件是GAGBGC0或

1OG(OAOBOC),（其中O为ABC所在平面任意一点）,这也是两个常用的结

3论.

例1.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是ABC的外心,动点P满足uuur1uuuruuuruuurOP[(1)OA(1)OB(12)OC)](R),则P的轨迹一定通过ABC的（ ）

3A.心 B.垂心 C.外心 D.重心 思路分析:取AB边的中点M,则OAOB2OM,

3OP2OMOC2(OCOM)3OM(12)MC,所以

uuur1uuuruuuruuur由OP[(1)OA(1)OB(12)OC)](R)可得

3ruuuruuuuruuuuuuruuuuruuuuruuuur12MC(R),即点P的轨迹为三角形中AB边上的中线,故选D. 3MP垂心

.

.

在ABC中,由向量的数量积公式,可得(AB|AB|cosBAC|AC|cosC)BC0,这说明

AB|AB|cosB心.

AC|AC|cosC所在直线是BC边上的高所在直线,从而它一定通过△ABC的垂

uuuruuuruuuruuurABACrr例:若动点P满足OPOA(uuuuuu),0,则点P轨迹一定通过|AB|cosB|AC|cosCABC的（ ） A、外心 B、心 C、垂心 D、重心

uuuruuuruuuruuuruuuruuur例2.点O是ABC所在平面的一点,满足OAOBOBOCOCOA,则点O是ABC的 （ ）

A.三个角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点

uuuruuuruuuruuur思路分析:由OAOBOBOC,得OB(OAOC)OBCA0,所以OBAC,即OBAC.同理OCAB,OABC.因此O是ABC三条高的交点,故选D. 练习:点O是ABC所在平面的一点,满足

|OC|2|AB|2|OB|2|AC|2|OA|2|BC|2,则点O是ABC的（ ）

A.三个角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 心

在ABC中,由两单位向量相加,可得AB|AB|AC|AC|所在直线是∠A的平分线所在的直线,从

而一定经过ABC的心.

例3 O是平面上定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足

uuuruuuruuuruuurABACruuur),[0,),则P的轨迹一定通过△ABC的（ ） OPOA(uuu|AB||AC|A.外心

B.心

C.重心

D.垂心

uuuruuurruuuruuuuruuuuruuuABACr)AB'为AB上的单位向量,(uuur)AC'为AC上的单位向量,则思路分析:设(uuu|AB||AC|(AB|AB|AC|AC|)的方向为∠BAC的角平分线AD的方向,又0,, 所以

uuuruuuruuuruuurABACABACABACruuur),所以点()与()的方向相同,而OPOA(uuu|AB||AC||AB||AC||AB||AC|P在AD上移动,故P的轨迹一定是通过△ABC的心,选B.

外心

uuur2uuur2uuur21、如图已知G为ABC的一点,若GAGBGC,则G点为ABC的 心 2、O是ABC所在平面上的一点,若动点P满足

uuuruuuruuuruuuruuurOBOCABACOP(uuuuuu),(0,),则动点P的轨迹通过ABC的 心. rr2ABcosBACcosC.