【常考题】高中必修一数学上期末试卷带答案

一、选择题

1．已知f(x)在R上是奇函数，且f(x4)f(x),当x(0,2)时，f(x)2x2,则f(7) A．-2

B．2

C．-98

D．98

2．设alog63，blg5，clog147，则a,b,c的大小关系是（ ） A．abc

B．abc

C．bac

D．cab

3．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2[0,)(x1x2)，有

f(x2)f(x1)0，则（ ）．

x2x1A．f(3)f(2)f(1) C．f(2)f(1)f(3) 4．已知alog13B．f(1)f(2)f(3) D．f(3)f(1)f(2)

111b，5，c63，则（ ） 44B．acb

C．cab

D．bca

A．abc

5．已知函数f(x)2xlog2x，g(x)2xlog2x，h(x)2xlog2x1的零点分别为a，

b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）．

A．bac B．cba C．cab

D．abc

xa2,x06．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( ) 1xa,x0xA．[－1，2] C．[1，2]

B．[－1，0] D．[0，2]

361

7．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与（参考数据：lg3≈0.48） A．1033 C．1073

B．1053 D．1093

M最接近的是 N8．已知函数fxlog0.5x，则函数f2xxA．,1

B．1,

2的单调减区间为( )

D．1,2

C．0,1

9．已知yfx是以为周期的偶函数，且x0,时，fx1sinx，则当25x,3时，fx（ ） 2A．1sinx

B．1sinx

C．1sinx

D．1sinx

10．已知x表示不超过实数x的最大整数，gxx为取整函数，x0是函数2fxlnx的零点，则gx0等于（ ）

xA．1 A．

B．2 B．

C．3 C．

D．4 D．

11．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）

12．已知定义在R上的函数fx在,2上是减函数，若gxfx2是奇函数，且g20，则不等式xfx0的解集是（ ）

C．,42,

A．,22, D．,40,

B．4,20,

二、填空题

2lnx，x＞0fx，13．已知函数2若存在互不相等实数a、b、c、d，有

x2x1，x0fafbfcfd，则abcd的取值范围是______.

14．求值： 2log2331251lg ________ 81002x2x,x015．若函数fx为奇函数，则fg1________． gx,x016．a1.10.1，blog122，cln2，则a，b，c从小到大的关系是________. 217．函数yxsinx2的最大值和最小值之和为______ x212118．f(x)x2x（x0）的反函数f(x)________

1aa19．已知1,,1,2,3，若幂函数fxx为奇函数，且在0,上递减，则a2的取值集合为______.

2fxlogmxm2xm2120．已知函数，若fx有最大值或最小值，则m

2的取值范围为______．

三、解答题

21．已知函数fx=Asinωx+φ+B(A0，0，当x()()2)，在同一个周期内，

6时，fx取得最大值

2322. ，当x时，fx取得最小值322(1)求函数fx的解析式，并求fx在[0，]上的单调递增区间. (2)将函数fx的图象向左平移

12个单位长度，再向下平移

2个单位长度，得到函数2gx的图象，方程gxa在0,有2个不同的实数解，求实数a的取值范围.

222．已知函数fxlogax1logax1(a0，a1)，且f31. (1)求a的值，并判定fx在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于x2,6，fxloga23．计算或化简：

（1）310.12270log32； 41213mm.

x17x恒成立，求实数的取值范围

1664（2）log327log32log236log63lg2lg5.

24．已知fxlogax，gx2loga2x2a01,a1,aR，hxx（1）当x1,时，证明：hxx1. x1为单调递增函数； x（2）当x1,2，且Fxgxfx有最小值2时，求a的值.

25．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入.政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M、养鸡

a36,14a25,15剟aNa20.设甲合的收益N与投入（单位：万元）满足M249,36a„57,作社的投入为x（单位：万元），两个合作社的总收益为f(x)（单位：万元）. （1）若两个合作社的投入相等，求总收益；

（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大?

26．设全集为R，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A

【解析】

∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×1＝－2，即f(2 019)＝－2. 故选A

2

2．A

解析：A 【解析】 【分析】

构造函数fxlogx【详解】

构造函数fxlogxx，利用单调性比较大小即可. 2x11logx21，则fx在1,上是增函数， 2log2x又af6，bf10，cf14，故abc. 故选A 【点睛】

本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.

3．A

解析：A 【解析】

由对任意x1，x2  [0，＋∞)(x1≠x2)，有

fx1fx2x1x2 <0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递

减，所以f(3)f(2)f(2)f(1)，选A.

点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

首先将b表示为对数的形式，判断出b0，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性

3a,c与的大小，即可得到a,b,c的大小关系. 2【详解】

比较因为5b11，所以blog5log510， 443又因为alog113log34log33,log333，所以a1,， 421331333cc6,8又因为，所以,2， 2213所以cab. 故选：C. 【点睛】

本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.

5．D

解析：D 【解析】 【分析】

函数f(x)2xlog2x，g(x)2xlog2x，h(x)2xlog2x1的零点可以转化为求函数ylog2x与函数y2x，y2x,y2x的交点，再通过数形结合得到a，b，c的大小

关系. 【详解】

令f(x)2xlog2x0，则log2x2x．

xg(x)2log1x0，则logx2x．令 22x令h(x)2xlog2x10，则2xlog2x1,log212x． x2所以函数f(x)2xlog2x，g(x)2xlog2x，h(x)2xlog2x1的零点可以转化为求函数

ylog2x与函数ylog2x与函数y2x，y2x,y2x的交点，

如图所示，可知0ab1，c1， ∴abc．

故选:D．

【点睛】

本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6．D

解析：D 【解析】 【分析】

由分段函数可得当x0时，f(0)a2，由于f(0)是f(x)的最小值，则(,0]为减函数，即有a0，当x0时，f(x)x1a在x1时取得最小值2a，则有xa2a2，解不等式可得a的取值范围.

【详解】

因为当x≤0时，f(x)＝xa，f(0)是f(x)的最小值， 所以a≥0.当x＞0时，f(x)x要满足f(0)是f(x)的最小值，

需2af(0)a，即a2a20，解得1a2， 所以a的取值范围是0a2， 故选D. 【点睛】

该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的最小值，利用函数的性质，建立不等关系，求出参数的取值范围，属于简单题目.

221a2a，当且仅当x＝1时取“＝”． x7．D

解析：D 【解析】

M3361试题分析：设x80 ，两边取对数，

N10M33613618093.28，所以，即最接近lgxlg80lg3lg10361lg38093.28x10N101093，故选D.

【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数

3361的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令x80，并想到两边同时取对数进

10行求解，对数运算公式包含logaMlogaNlogaMN，logaMlogaNlogaM，NlogaMnnlogaM.

8．C

解析：C 【解析】

函数fxlog0.5x为减函数，且x0, 令t2xx2，有t0，解得0x2.

又t2xx2为开口向下的抛物线，对称轴为x1，所以t2xx2在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，

根据复合函数“同增异减”的原则函数f2xx故选C.

2的单调减区间为0,1.

yfx的复合函数， ygx为内层函点睛：形如yfgx的函数为ygx, yfx为外层函数. 数, 当内层函数ygx单增，外层函数yfx单减时，函数yfgx也单减； 当内层函数ygx单减，外层函数yfx单增时，函数yfgx也单减； 当内层函数ygx单减，外层函数yfx单减时，函数yfgx也单增.

当内层函数ygx单增，外层函数yfx单增时，函数yfgx也单增； 简称为“同增异减”.

9．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

因为yfx是以为周期，所以当x,3时，fxfx3π， 此时x3521,0,又因为偶函数，所以有fx3πf3πx, 2 3πx0,,所以f3πx1sin3πx1sinx,

2故fx1sinx，故选B.

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据零点存在定理判断2x03，从而可得结果. 【详解】

因为fxlnx2在定义域内递增， x20， 3且f2ln210，f3ln3由零点存在性定理可得2x03，

根据x表示不超过实数x的最大整数可知gx02， 故选：B. 【点睛】

本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.

11．A

解析：A 【解析】 由选项可知，

项均不是偶函数，故排除

，

项是偶函数，但项与轴没有交点，

即项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.

12．C

解析：C 【解析】 【分析】

由gxfx2是奇函数，可得fx的图像关于2,0中心对称，再由已知可得函数fx的三个零点为-4，-2，0，画出fx的大致形状，数形结合得出答案. 【详解】

由gxfx2是把函数fx向右平移2个单位得到的，且g2g00，

f4g2g20，f2g00，画出fx的大致形状

结合函数的图像可知，当x4或x2时，xfx0，故选C. 【点睛】

本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档

题.

二、填空题

13．【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图

111解析：32,41

eee【解析】 【分析】

不妨设a,b0,c,d0，根据二次函数对称性求得ab的值.根据绝对值的定义求得c,d的关系式，将d转化为c来表示，根据c的取值范围，求得abcd的取值范围. 【详解】

2不妨设a,b0,c,d0，画出函数fx的图像如下图所示.二次函数yx2x1的

对称轴为x1，所以ab2.不妨设cd，则由2lnc2lnd得

e4，结合图像可知12lnc2，解得2lnc2lnd，得cde,dc444ee43ce,ece,e，所以abcd2c，由于y2xx在c43e41112c2,1上为减函数，故e,e. 34ceee43

【点睛】

本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

14．【解析】由题意结合对数指数的运算法则有：

3解析：

2【解析】

由题意结合对数、指数的运算法则有：

2log233125153lg32. 81002215．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为 解析：15

【解析】

根据题意，当x0时，fxgx,fx为奇函数，

fg1ff1ff1ff1f3(3223)15，则

故答案为15.

16．【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的取值范围即可求解得到答案【详解】由题意根据指数函数的性质可得由对数函数的运算公式及性质可得且所以abc从小到大的关系是故答案为：【点睛 解析：bca

【解析】 【分析】

根据指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得实数a,b,c的取值范围，即可求解，得到答案. 【详解】

由题意，根据指数函数的性质，可得a1.10.11.101， 由对数函数的运算公式及性质，可得blog122111log1()2， 22221，且cln2lne1， 2所以a，b，c从小到大的关系是bca. 故答案为：bca. 【点睛】 cln2lne本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得实数a,b,c的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

17．4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为：4【点睛】本题主要考

解析：4 【解析】 【分析】 设gx求出yxsinx，则gx是奇函数，设出gx的最大值M，则最小值为M，2x1xsinx2的最大值与最小值的和即可. 2x1【详解】

∵函数yxsinx2， x21∴设gxxxsinxgxsinxgx， ，则x21x21∴gx是奇函数， 设gx的最大值M，

根据奇函数图象关于原点对称的性质，∴gx的最小值为M， 又ymax2gxmax2M，ymin2gxmin2M， ∴ymaxymin2M2M4， 故答案为：4. 【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，求出gx最值是解题的关键，属于中档题.

xsinx的奇偶性以及x2118．（）【解析】【分析】设（）求出再求出原函数的值域即得反函数【详解】设（）所以因为x≥0所以所以因为x≥0所以y≥0所以反函数故答案为【点睛】本题主要考查反函数的求法考查函数的值域的求法意在考查学生对

解析：x11（x0） 【解析】 【分析】

设fxyx2x（x0）,求出x-1+y1，再求出原函数的值域即得反函数2f1x.

【详解】

设fxyx2x（x0）,所以x2+2xy0,x2244y=-1y1，

2因为x≥0，所以x-1+y1，所以f因为x≥0，所以y≥0，所以反函数f故答案为x11，（x0） 【点睛】

11xx11.

xx11，. （x0）本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

19．【解析】【分析】由幂函数为奇函数且在上递减得到是奇数且由此能求出的值【详解】因为幂函数为奇函数且在上递减是奇数且故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的性质等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程思想 解析：1

【解析】 【分析】

由幂函数fxx为奇函数，且在(0,)上递减，得到a是奇数，且a0，由此能求

a出a的值． 【详解】

1aa因为1,,1,2,3，幂函数为奇fxx函数，且在(0,)上递减， 2a是奇数，且a0， a1．

故答案为：1． 【点睛】

本题主要考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

20．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没

解析：{m|m2或m} 【解析】 【分析】

分类讨论m的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m的范围. 【详解】

2mxm2xm2解：∵函数fxlog1，若fx有最大值或最小值，

22则函数ymx(m2)xm2有最大值或最小值，且y取最值时，y0.

23当m0时，y2x2，由于y没有最值，故fx也没有最值，不满足题意.

当m0时，函数y有最小值，没有最大值，fx有最大值，没有最小值.

4m(m2)(m2)4m(m2)(m2)故y的最小值为，且 0，

4m4m求得 m2；

当m0时，函数y有最大值，没有最小值，fx有最小值，没有最大值.

224m(m2)(m2)4m(m2)(m2)故y的最大值为，且 0，

4m4m2求得m.

32综上，m的取值范围为{m|m2或m}.

32故答案为：{m|m2或m}.

3【点睛】

本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.

22三、解答题

2π轾20,,π；犏21．(1)fx2sin2x，单调增区间为，36犏臌62(2)a6,2 2【解析】 【分析】

（1）由最大值和最小值求得A,B，由最大值点和最小值点的横坐标求得周期，得，再由函数值（最大或最小值均可）求得，得解析式； （2）由图象变换得g(x)的解析式，确定g(x)在[0,2]上的单调性，而g(x)a有两个

解，即g(x)的图象与直线ya有两个不同交点，由此可得． 【详解】

32AB,2(1)由题意知

AB2,2解得A2，B2. 2又

T2，可得2. 2362由f232， 2sin2632π. 6解得所以fx由2k2， 2sin2x6262k22x2，

解得k3xk6，kZ.

2π轾又x0,，所以fx的单调增区间为0,，犏,π.

36犏臌(2)函数fx的图象向左平移

12个单位长度，再向下平移

2个单位长度，得到函数2gx的图象，得到函数gx的表达式为gx2sin2x.

3因为x0,42x,，所以， 3332]是递增，在[,]上递减，

12122

上有2个不同的实数解， 2

g(x)在[0,要使得gxa在0,

即ygx的图像与ya有两个不同的交点， 所以a【点睛】

本题考查求三角函数解析式，考查图象变换，考查三角函数的性质．“五点法”是解题关键，正弦函数的性质是解题基础．

22．(1)a2，单调递减，理由见解析；(2) 0m7 【解析】 【分析】

（1）代入f(3)1解得a，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明； （2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值． 【详解】

6,2. 2(1)由f3loga4loga2loga21，所以a2. 函数fx的定义域为1,，

fxlog2x1log2x1log2因为y1x12log21. x1x12在1,上是单调递减， x1(注:未用定义法证明不扣分)

所以函数fx在定义域1,上为单调递减函数. (2)由(1)可知fxlog2x1mlog2x2,6x1x17x，，

x1m0. 所以所以

x1x17x0mx17xx26x7x316在x2,6恒成立.

2当x2,6时，函数yx316的最小值ymin7.

2所以0m7. 【点睛】

本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值． 23．（1）99；（2）3. 【解析】 【分析】

（1）直接根据指数与对数的性质运算即可； （2）直接利用对数运算性质即可得出. 【详解】

（1）原式49112131631042351log222 7351001 4423299.

（2）原式log313lg10

3314 223.

【点睛】

本题主要考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

24．（1）证明见解析（2）a4 【解析】 【分析】

（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；

（2）首先表示出Fxgxfx，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。 【详解】

解：（1）任取1x1x2，hx2hx1x211x1 x2x1x2x1x2x1x1x21x2x11 x1x2xx12x1x21. x1x2Q1x1x2，x2x10，x1x21，

hx2hx10，

hx为单调递增函数.

（2）

4(x1)21QF(x)g(x)f(x)2loga(2x2)logaxlogaloga4x2.

xx又由（1）知，yx119x2x1,2在单调递增，4,，

xx2当a1时，Fx在x1,2单调递增，Fxminloga162，解得a4.

当0a1时，Fx在x1,2单调递减，Fxminloga182， 解得a1832（舍去）. 所以a4. 【点睛】

本题考查用定义法证明函数的单调性，复合函数的单调性的应用，属于中档题. 25．（1）87万元；（2）甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元 【解析】 【分析】

（1）先求出x36，再求总收益；（2）（2）设甲合作社投入x万元(15x57)，乙合作社投入72x万元，再对x分类讨论利用函数求出如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大. 【详解】

（1）两个合作社的投入相等，则x36，

1f(36)43625362087（万元）

2（2）设甲合作社投入x万元(15x57)，乙合作社投入72x万元.

当15x36时，f(x)4x25令t11(72x)20x4x81， 22122x，得15t6，则总收益g(t)t4t811(t4)289， 2当t4即x16时，总收益取最大值为89； 当36x57时，f(x)4911(72x)20x105， 22f(x)在(36,57]上单调递减，所以f(x)f(36)87.

因为8987，

所以在甲合作社投入16万元，乙合作社投入56万元时，总收益最大，最大总收益为89万元. 【点睛】

本题主要考查函数的应用和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力. 26．见解析 【解析】 【分析】

根据题意，在数轴上表示出集合A,B，再根据集合的运算，即可得到求解. 【详解】 解：如图所示．

∴A∪B＝{x|2∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥7}， ∁R(A∩B)＝{x|x≥6或x<3}． 又∵∁RA＝{x|x<3或x≥7}，

∴(∁RA)∩B＝{x|2∴A∪(∁RB)＝{x|x≤2或x≥3}．

【点睛】

本题主要考查了集合的交集、并集与补集的混合运算问题，其中解答中正确在数轴上作出集合A,B，再根据集合的交集、并集和补集的基本运算求解是解答的关键，同时在数轴上画出集合时，要注意集合的端点的虚实，着重考查了数形结合思想的应用，以及推理与运算能力.