函数最值问题求解策略

F

(

x

)



a [

f

2

(

x

)



bf

(

x

)



c

]

的函数最值问题，均可使用配方法。



log

x

2



f

(

x

2

)

例1、已知

f

(

x

)



2



log

x

,

x



[ 1 , 3 ]

，求函数

y



[

f

(

x

)]

2



f

(

x

2

)

最值。

3

解：由

f

(

x

)



2



log

x

,

x



[ 1 , 3 ]

，得

y



[

f

(

x

)]

2



f

(

x

2

)



(

2



log

x

)

2



2

3

2

2



(log

x

)

2



6

log

x



6



(log

x



3 )

2



3

。又函数f(x)定义域[1,3]，所以函数

y



[

f

(

x

)]

2

3

3

3

y



37

，所求函

定义域为

1

{ 1

x



3

3

，解得

1

x



3

，所以

log3 

[

0 ,

1

]

。由二次函数单调性得，

6

2



x

2

4

数最大值为

37

，最小值为6。

4

主要适用于可化为关于x 的二次方程的函数,把函数转化成关于x 的一元二次方程，通过方程

F(x,y)=0 有实根，判别式





0

，当x 的范围是R 时,仅考虑

即可,当X 的范围非R 时,还需要结合图

形另解不等式。特别的，形如

y



a 1

x

2



b 1

x



c 1

(

a

,

不同是为0）分子、分母无公因式的函数最值

a

2

x

2



b 2

x



c 2

2

2

例2、

求下列函数最值

, 故原函数最小值为

（1）

y



3 x

2 

；（2）

y



2

x

2



4

x



7

。

x

4

x

2



2

x



3



3

，最大值为

3

。

解；（1）由

y

x

3 x

2 

4

，得

yx

2



3

x



4

y



0

。

当y=0 时, x=0; 当

y



0

时,由





0

得



3



y



3

4

4

4

4

（2）将已知函数式变形为

yx

2



2

yx



3

y



2

x

2



4

x



7

,

2008-3-23

焦景会

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即

(

y



2 )

x

2



2 (

y



2 )

x



3

y



7



0

，显然

y



2

，将上式视做关于x 的一元二次方程。



x

R

,即上述关于x 的一元二次方程有实根，所以

[

2 (

y



2 )] 2



4 (

y



2 )( 3

y



7

)



0

，

解得



9



y



2

。又

y



2

，函数最小值为



9

。

2

2

y



ax



b



cx



d

(

a

,

b ,

c

,

d

均为常数，且

a



0

）的函数常用此法求解。

y



t

2



t



1





( t



1

)

2



5



5

，

例3、求函数

y



2

x





2

x



1

最小值。

解：令



1



2

x

( t



0 )

，则

x



1



t

2

，则

2

2

4

4

所以，所求函数最小值为

5

。

4

x

t



0

，而不是看解析式有意义的t 取值范围；

注：（1）换元前后的等价性。题中

t



1



2

例4 、 求函数

y



1



x



2

x

2



x

3



x

4

的最大值和最小值。

1



2

x

2



x

4

解:

y



1 2

x

2



x

4



x



x

3

x

4





1



x

2



2



1

x

2

，令x=tan


，则

2

1



2

x

2



x

4

1



2

x

2



1



x

2





x

f(x)=f(θ)=

cos

2



1

sin





sin

2



1

sin

1





sin

1



2



17

，

2

2

4



16

∴当sinθ=

1

时,

f x ( )

最大值为

17

，当sin=-1 时,

f x ( )

最小值为



1

。

4

16

2

解: 作x2+y2-2x+4y-20=0 的图形焦景会

,它是圆心在P(1,-2)半径为5 的圆,依题意有x2+y2=2x-4y+20,设

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2008-3-23

x2+y2=z,则z=2x-4y+20 即

y



1



20



z

,其图形是斜率为

1

且与已知圆相交的一簇平行线,于是求z 的最

2

4

2

2x-4y+20-z=0 的距离小于或等于半径,即

| 2 1 4 ( 2)



20



z

|



5

，即

| 30



z

| 10 5

，故

2

2

( 4)

2

。

z 2

30 10 5

30 10 5



z



30 10 5

，故x2+y2最小值为

z 1

30 10 5

，最大值为

（1）关于自变量x 的一次根式，如

y



ax



b



dx



c

，用换元法求解,当ad>0 时，也可利用单调

性求最值；；（2）形如

y



x



k

( 

0 )

的函数常考虑利用单调性，当x>0 时，函数单调减区间

x

(

0 ,

k

]

，单调增区间为

[

k

,



)

，因其函数图象形如“√”，故称为对号函数，其分界点为

(

k

,

2

k

)

。

例6、求函数

y



x

2



2

x



1

,

x



[ 

)

的最小值。

2

x

解：由

y



x

2



2

x



1



x



1



2

在

[ 

)

上是增函数，得f(x)在

[ 

)

上最小值为

f

( 1 )



7

。

2

x

2

x

2

例8、求函数

y





x





2 

1

的最小值

解：设

y 1





x

,

y

2



1



2

x

，

y 1, y

2

均为减函数，所以y 也是减函数。又

y





x





2 

1

定

义域为

1

x



0

，即

x





1

。当

x



1

时，

y

min





1

，故原函数最小值为



1

。

2

2

2

2

例7、求函数

y








1







x

2



x



9

的最小值。

4

3

解：设

u





x

2



x



9

，则

y

1

3





u

。由

u





x

2



x



9





(

x



1

)

2



2

，知当

x



1

时，u 为

4

4

2

2

减函数；当

x



1

时,u 为增函数，而

y

1

3





u

为减函数，故

y








1







x

2



x



9

在

x



1

时为增函数，在

x



1

4

2

3

2

2

时为减函数，所以

x



1

时，原函数最小值为

y

min







1





2



9

。

2

3

焦景会

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例8、 求函数