高一数学必修一平面向量的坐标运算

平面向量的坐标运算

教学目标

掌握向量的坐标运算法则，熟悉模与夹角公式，会利用坐标、公式、平行、垂直解题

重难点分析

重点：1、平面向量坐标公式；

2、模与夹角公式；

3、混合运算。

难点：1、模与夹角公式的应用；

2、平面向量综合应用。

知识点梳理

1、向量的坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则：

（1）向量的加减法运算：ab(x1x2，y1y2)。

（2）实数与向量的积：

ax1,y1x1,y1

。

（3）若A(x1,y1),B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

b（4）平面向量数量积：ax1y1x2y2

（5）向量的模：

|a|xy,a|a|2x2y2

222（6）乘法公式：

；

ababa2b2ab22

aba2abb222a22abb2

2、模与夹角：

ababcos（为a与b的夹角）

3、几个常见题型的求法: a(x1,y1)、b(x2,y2)

（1）向量的模：

|a|aax12y12；

（2）向量垂直：

abab0x1x2y1y20

（3）向量的夹角：

abcos|a||b|x1x2y1y222x12y12x2y2

知识点1：用基向量表示其它向量

→1→

【例1】在△ABC中，D为AB上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝________.

3

→→→

【例2】设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a＋________b.

【随堂练习】

1、已知AD为△ABC的中线，则AD等于【 】



1→1→1→1→

A.AB＋AC B.AB－AC C.AB－AC D.AB＋AC

2222

→→→→

知识点2：平面向量的坐标运算

【例1】已知：M2,4、N2,3，那么MN ；NM________。

【例2】已知AB＝(x，y)，B的坐标是(－2,1)，那么OA的坐标为________．

【随堂练习】

1、已知AB=(5，-3)，C(-1，3)，CD=2AB，则点D坐标是 ． 2、已知点A1,5和向量a2,3，若AB3a，则点B的坐标是 ．

13、已知向量OA＝(3，－2)，OB＝(－5，－1)，则向量AB的坐标是【 】

2

11(4,)(4,)2 B.2 C．(－8,1) D.(8,1) A.

4、a＝(4,6)，且a＝2b，那么b的坐标是________．

5、已知M(3，－2)，N(－5，－1)，MP＝MN，则P点的坐标为________．

2

1

知识点3：平行、垂直与坐标

【例1】已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)．若点C横坐标为6，则C的纵坐标为【 】

A．－13 B.9

C．－9 D.13

【例2】已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．

【随堂练习】

1、在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD等于【 】

A．(－2，－4) B.(－3，－5)

C．(3,5) D.(2,4)

2、若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α等于【 】

A．2

1B. 2

C．－2

1D.－

2

3、已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么【 】

A．k＝1且c与d同向 B.k＝1且c与d反向

C．k＝－1且c与d同向 D.k＝－1且c与d反向

4、已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)且AB与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.

5、已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等于【 】

mn11

A．－ B. C．－2 D.2

22

【例3】已知向量a(1,2),b(2,m)，ab与ab垂直，则m_____________．

【例4】已知a(2,1)，b(k,3)，c(1,2)，若(a2b)c，则|b|【 】

A．35 B．32 C．25 D．10

【随堂练习】

a=(3,2)，且(a+b)b，则m【 】 1、已知向量a(1,m)，（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8

2、已知向量

a(1,2),b(m,1),c(3,2)

，若(ab)c，则m的值是________．

、已知向量a(1,x),b(1,x1),若(a2b)a，则|a2b|【 】

A．2 B．3 C．2 D．5 知识点4：坐标与模、数乘、夹角

【例1】若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于【 】

A．3 B.13 C．－1

3

D.－3

【随堂练习】

1、已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于【 】3

A．42 B.25

C．8 D.82

2、已知a＝(3，3)，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝________.

【例2】已知平面向量a(2,4)，b(1,2)，若ca6b，则|c|等于【 】

A、42 B、25 C、8 D、82

【随堂练习】

1、已知向量a=(1，3)，向量a，c的夹角是3，a·c=2，则|c|等于 .

2、已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么

a3b【 】

A．13 B．10 C．4 D．13

3、已知向量a，b满足a(ba)2，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为【 】

A．6 B．5 C．4 D．3

ab(2,1)aab4、若向量、满足，(1,2)，则向量a与b的夹角等于【 】

A．45 B．60 C．120 D．135

【例3】若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b夹角为【 】

A．150° B.120°

C．60° D.30°

【例4】已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.

【例5】平面向量a与b的夹角为60，a(2,0)，|b|1 则|a2b|【 】

（A）3 (B) 23 (C) 4 (D)12

【随堂练习】

1、设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1，－1)，则cos θ＝________.

2、若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝35，则b＝________.

3、在四边形ABCD中，ABDC，且ACBD0，则四边形ABCD是【 】

A．矩形 B.菱形

C．直角梯形 D.等腰梯形

a3,ab13,boab1204、已知向量与的夹角为，则等于【 】

A．5 B．4 C．3 D．1

知识点5：投影、夹角综合问题

【例1】已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．

（1）当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？

（2）若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值。

【随堂练习】

1、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.

（1）若a⊥b，求x的值；

（2）若a∥b，求|a－b|.

【例2】已知|a|＝8，e为单位向量，a与e的夹角为150°，则a在e方向上的投影为________．

【随堂练习】

1、已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.

（1）求|a＋b|； （2）求向量a在向量a＋b方向上的投影。

2、已知向量a，b的夹角为120，|a|4，|b|2，则向量a在b方向上的投影是

13a(,),b(1,0)223、已知向量，则b在a上的投影等于______________.

→→→→→→

【例3】已知平面上三点A、B、C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于【 】

→→→

A．－25 B.－20

C．－15 D.－10

2|a|2|b|0xx【例4】已知,且关于的方程|a|xab0有实根,则a与b的夹角的取值范围是

【 】

2[,][,][,]A.[0,6] B.3 C.33 D.6

【例5】已知a(1,3)，b(2,1)，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是 .

ab2abmmab1【例6】已知向量，与的夹角为3．若向量m满足，则的最大值是【 】

A．231 B．231 C．4 D．621