《数字信号处》第三版高西全版课后习题答案

数字信号处理课后答案 高西全、丁美玉版

1.2 教材第一章习题解答

1. 用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 解：

x(n)(n4)2(n2)(n1)2(n)(n1)2(n2)4(n3) 0.5(n4)2(n6)

2n5,4n12. 给定信号：x(n)6,0n4

0,其它（1）画出x(n)序列的波形，标上各序列的值；

（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； （3）令x1(n)2x(n2)，试画出x1(n)波形； （4）令x2(n)2x(n2)，试画出x2(n)波形； （5）令x3(n)2x(2n)，试画出x3(n)波形。 解：

（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2）

x(n)3(n4)(n3)(n2)3(n1)6(n) 6(n1)6(n2)6(n3)6(n4)

（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。

1

（4）x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（5）画x3(n)时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，x3(n)波形如题2解图（四）所示。

3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1）x(n)Acos(n)，A是常数；

837（2）x(n)e解：

1j(n)8。

3214，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； 7w312（2）w,16，这是无理数，因此是非周期序列。

8w（1）w,5. 设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)x(n)2x(n1)3x(n2)； （3）y(n)x(nn0)，n0为整常数； （5）y(n)x2(n)； （7）y(n)x(m)。

m0n解：

（1）令：输入为x(nn0)，输出为

y'(n)x(nn0)2x(nn01)3x(nn02)y(nn0)x(nn0)2x(nn01)3x(nn02)y(n)'

故该系统是时不变系统。

y(n)T[ax1(n)bx2(n)] ax1(n)bx2(n)2(ax1(n1)bx2(n1))3(ax1(n2)bx2(n2))

2

T[ax1(n)]ax1(n)2ax1(n1)3ax1(n2) T[bx2(n)]bx2(n)2bx2(n1)3bx2(n2) T[ax1(n)bx2(n)]aT[x1(n)]bT[x2(n)]

故该系统是线性系统。

（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。

令输入为x(nn1)，输出为y'(n)x(nn1n0)，因为

y(nn1)x(nn1n0)y'(n)

故延时器是一个时不变系统。又因为

T[ax1(n)bx2(n)]ax1(nn0)bx2(nn0)aT[x1(n)]bT[x2(n)]

故延时器是线性系统。

（5） y(n)2x(n )令：输入为x(nn0)，输出为y'(n)x2(nn0)，因为

y(nn0)x2(nn0)y'(n)

故系统是时不变系统。又因为

T[ax1(n)bx2(n)](ax1(n)bx2(n))2 aT[x1(n)]bT[x2(n)]

2 ax12(n)bx2(n)因此系统是非线性系统。

（7） y(n)x(m)

m0n令：输入为x(nn0)，输出为y(n)x(mn0)，因为

'm0ny(nn0)

nn0m0x(m)y(n)

'3

故该系统是时变系统。又因为

T[ax1(n)bx2(n)](ax1(m)bx2(m))aT[x1(n)]bT[x2(n)]

m0n故系统是线性系统。

6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。

1（1）y(n)Nx(nk)；

k0N1（3）y(n)nn0knn0x(k)；

（5）y(n)ex(n)。 解：

（1）只要N1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果x(n)M，则y(n)M，因此系统是稳定系统。

（3）如果x(n)M，y(n)nn0knn0x(k)2n01M，因此系统是稳定的。

系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.

（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果x(n)M，则y(n)ex(n)ex(n)eM，因此系统是稳定的。 7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，要求画出输出输出y(n)的波形。 解：

解法（1）:采用图解法

4

y(n)x(n)h(n)x(m)h(nm)

m0图解法的过程如题7解图所示。

解法（2）:采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:

x(n)(n2)(n1)2(n3)1h(n)2(n)(n1)(n2)2

x(n)*(n)x(n)因为

x(n)*A(nk)Ax(n)k1y(n)x(n)*[2(n)(n1)(n2)]2所以

1 2x(n)x(n1)x(n2)2将x(n)的表达式代入上式，得到

y(n)2(n2)(n1)0.5(n)2(n1)(n2) 4.5(n3)2(n4)(n5)

8. 设线性时不变系统的单位取样响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，分别求出输出y(n)。 （1）h(n)R4(n),x(n)R5(n)； （2）h(n)2R4(n),x(n)(n)(n2)； （3）h(n)0.5nu(n),xnR5(n)。 解：

（1） y(n)x(n)*h(n)mR(m)R(nm)

45先确定求和域，由R4(m)和R5(nm)确定对于m的非零区间如下：

0m3,n4mn

根据非零区间，将n分成四种情况求解：

5

①n0,y(n)0

②0n3,y(n)1n1

m0n③4n7,y(n)④7n,y(n)0 最后结果为

mn418n

30, n0,n7y(n)n1, 0n3

8n, 4n7y(n)的波形如题8解图（一）所示。 （2）

y(n)2R4(n)*[(n)(n2)]2R4(n)2R4(n2) 2[(n)(n1)(n4)(n5)]

y(n)的波形如题8解图（二）所示. （3）

y(n)x(n)*h(n) mR(m)0.55nmu(nm)0.5nmR(m)0.55mu(nm)

y(n)对于m的非零区间为0m4,mn。 ①n0,y(n)0 ②0n4,y(n)0.5③5n,y(n)0.5n4nm00.5mnm10.5n1nn1nn0.5(10.5)0.520.5 110.5m00.510.550.5n310.5n 110.5最后写成统一表达式：

y(n)(20.5n)R5(n)310.5nu(n5)

6

11. 设系统由下面差分方程描述：

y(n)11y(n1)x(n)x(n1)； 22设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。 解：

令：x(n)(n)

h(n)11h(n1)(n)(n1) 2211h(1)(0)(1)12211n1,h(1)h(0)(1)(0)122

11n2,h(2)h(1)2211n3,h(3)h(2)()222n0,h(0)归纳起来，结果为

1h(n)()n1u(n1)(n)

212. 有一连续信号xa(t)cos(2ft),式中，f20Hz,（1）求出xa(t)的周期。

2

（2）用采样间隔T0.02s对xa(t)进行采样，试写出采样信号xa(t)的表达式。

（3）画出对应xa(t)的时域离散信号(序列) x(n)的波形，并求出x(n)的周期。

————第二章———— 教材第二章习题解答

7

1. 设X(ejw)和Y(ejw)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换： （1）x(nn0)； （2）x(n)； （3）x(n)y(n)； （4）x(2n)。 解：

（1）FT[x(nn0)]nx(nn)e0jwn

令n'nn0,nn'n0，则

FT[x(nn0)]jwn*nx(n')ejw(nn0)ejwn0X(ejw)

'（2）FT[x(n)]*nx(n)en[x(n)ejwn]*X*(ejw)

njwn（3）FT[x(n)]令n'n，则

x(n)e

FT[x(n)]n'x(n)e'jwn'X(ejw)

（4） FT[x(n)*y(n)]X(ejw)Y(ejw) 证明： x(n)*y(n)mx(m)y(nm)

jwnFT[x(n)*y(n)]nm[x(m)y(nm)]e

令k=n-m，则

8

FT[x(n)*y(n)] km[x(m)y(k)]ejwkmjwkjwneky(k)ex(m)ejwn

X(ejw)Y(ejw)1,ww0jwX(e)2. 已知 0,ww0求X(ejw)的傅里叶反变换x(n)。 解： x(n)12w0w0ejwndwsinw0n n3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)H(ejw)H(ejw)ej(w),如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)Acos(w0n)的稳态响应为

y(n)AH(ejw)cos[w0n(w0)]。

解：

假设输入信号x(n)ejwn，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为

0y(n)h(n)*x(n)mh(m)ejw0(nm)ejw0nmh(m)ejw0njw0mH(ejw0)e上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。

x(n)Acos(w0n)y(n)1A[ejw0nejejw0nej]21A[ejejw0nH(ejw0)ejejw0nH(ejw0)] 21 A[ejejw0nH(ejw0)ej(w0)ejejw0nH(ejw0)ej(w0)]2上式中H(ejw)是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，

9

H(ejw)H(ejw),(w)(w)1AH(ejw0)[ejejw0nej(w0)ejejw0nej(w0)] 2 AH(ejw0)cos(w0n(w0))y(n)1,n0,14. 设x(n)将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列

0,其它x(n)，画出x(n)和x(n)的波形，求出x(n)的离散傅里叶级数X(k)和傅

里叶变换。 解：

画出x(n)和x(n)的波形如题4解图所示。

X(k)DFS[x(n)]x(n)en03j2kn4en01jkn21ejk2 ejk4(ejk4ejk4)2cos(k)e4jk4,

X(k)以4为周期，或者

1jkn2X(k)en01e1ejkjk2ee1jk21jk4(e(e1jk21jk4ee1jk21jk4))e1jk41sink2, 1sink4X(k)以4为周期

2X(e)FT[x(n)]4jwkX(k)(wk)2k)4 2kX(k)(w2

2k) cos(k)e4kjk4(w5. 设如图所示的序列x(n)的FT用X(ejw)表示，不直接求出X(ejw)，完成下列运算： （1）X(ej0)；

（2）X(ejw)dw；

 10

（5）X(ejw)dw

2解：

（1）X(e)x(n)6

j0n37（2）X(ejw)dwx(0)24

（5）X(e)dw2x(n)28

jwn32726. 试求如下序列的傅里叶变换: （2）x2(n)(n1)(n)(n1)； （3）x3(n)anu(n),0a1 解： （2）

X2(e)jw1212nx2(n)ejwn1jw1e1ejw221 1(ejwejw)1cosw2

（3） X3(e)jwnau(n)enjwnanejwnn01

1aejw7. 设:

（1）x(n)是实偶函数，

（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。 解： 令 X(e)jwnx(n)ejwn

11

（1）x(n)是实、偶函数，X(e)jwnx(n)ejwn

两边取共轭，得到

X(e)*jwnx(n)ejwnnx(n)ej(w)nX(ejw)

因此X(ejw)X*(ejw)

上式说明x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质。

X(e)jwnx(n)ejwnnx(n)[coswnjsinwn]

由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么

nx(n)sinwn0

因此X(e)jwnx(n)coswn

该式说明X(ejw)是实函数，且是w的偶函数。

总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(ejw)是实、偶函数。

（2）x(n)是实、奇函数。

上面已推出，由于x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质，即

X(ejw)X*(ejw)

X(e)jwnx(n)ejwnnx(n)[coswnjsinwn]

由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么x(n)coswn0

n因此X(e)jx(n)sinwn

jwn 12

这说明X(ejw)是纯虚数，且是w的奇函数。

10. 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:

HR(ejw)1cosw

求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解：

1jw1jwHR(e)1cosw1eeFT[he(n)]he(n)ejwn22njw12,n1he(n)1,n01,n120,n01,n0h(n)he(n),n01,n12h(n),n00,其它neH(e)jwn

h(n)ejwn1ejw2ejw/2cosw212. 设系统的单位取样响应h(n)anu(n),0a1，输入序列为

x(n)(n)2(n2)，完成下面各题：

（1）求出系统输出序列y(n)；

（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解： （1）

y(n)h(n)*x(n)anu(n)*[(n)2(n2)] au(n)2ann2u(n2)

（2）

13

X(e)H(e)jwjwjwn[(n)2(n2)]ejwn12ej2w1 jw1aeau(n)ejwnjwnnjwanejwnn012ej2wY(e)H(e)X(e)1aejw13. 已知xa(t)2cos(2f0t)，式中f0100Hz，以采样频率fs400Hz对

xa(t)进行采样，得到采样信号xa(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面

各题：

（1）写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j)； （2）写出xa(t)和x(n)的表达式；

（3）分别求出xa(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解： （1）

Xa(j)xa(t)ejtdt2cos(0t)ejtdt

(ej0tej0t)ejtdt上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以 表示成：

Xa(j)2[(0)(0)])

ˆa(t)（2） xnx(t)(tnT)2cos(nT)(tnT)

a0nx(n)2cos(0nT), n

02f0200rad,T12.5ms fs（3）

14

1ˆ(j)X(jjk)XaasTk 2Tk[(

0ks)(0ks)]式中s2fs800rad/s

X(e) jwnx(n)e[ejw0njwnn2cos(nT)e0kjwnn2cos(wn)e00jwn

ejw0n]ejwn2n[(ww2k)(ww02k)]式中w00T0.5rad

上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。 14. 求以下序列的Z变换及收敛域： （2）2nu(n1)； （3）2nu(n)； （6）2n[u(n)u(n10)] 解：

（2） ZT[2u(n)]nn2u(n)znn2nznn011,z 1112z2（3）

ZT[2u(n1)] nn2nu(n1)znn12nzn2nznn12z11,z12z121z12

（6）

ZT[2u(n)u(n10)]2nznnn09 

15

12z,0z1112z1010

16. 已知:

X(z)32 1112z11z2求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。 解：

有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：

三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）当收敛域z0.5时，

x(n)2j1X(Z)zn1dz

c令F(z)X(z)zn157z15z7n1zzn 11(10.5z)(12z)(z0.5)(z2)n0，因为c内无极点，x(n)=0；

n1，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留

数，圆外极点有z10.5,z22，那么

x(n)Res[F(z),0.5]Res[F(z),2](5z7)zn(5z7)zn (z0.5)z0.5(z2)(z0.5)(z2)(z0.5)(z2)1 [3()n22n]u(n1)2z2

（2）当收敛域0.5z2时，

(5z7)zn F(z)(z0.5)(z2)n0，C内有极点0.5；

1x(n)Res[F(z),0.5]3()n

2

16

n0，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留

数，c外极点只有一个，即2，

x(n)Res[F(z),2]22nu(n1)

最后得到x(n)3(12)nu(n)22nu(n1) （3）当收敛域2z时，

(z)(5z7)znF(z0.5)(z2) n0，C内有极点0.5，2；

x(n)Res[F(z),0.5]Res[F(z),2]3(1)n22n2

n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。

或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到

x(n)[3(12)n22n]u(n)

17. 已知x(n)anu(n),0a1，分别求： （1）x(n)的Z变换； （2）nx(n)的Z变换； （3）anu(n)的z变换。 解：

（1）X(z)ZT[anu(n)]nanu(n)zn11az1,za （2）ZT[nx(n)]zdaz1dzX(z)(1az1)2,za 17

（3）ZT[au(n)]azanznnnnn0n01,za1 1az3z118. 已知X(z)，分别求： 1225z2z（1）收敛域0.5z2对应的原序列x(n)； （2）收敛域z2对应的原序列x(n)。 解：

x(n)12jcX(z)zn1dz

F(z)X(z)zn13z13znn1z 1225z2z2(z0.5)(z2)（1）当收敛域0.5z2时，n0，c内有极点0.5，

x(n)Res[F(z),0.5]0.5n2n,n0,

c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,

x(n)Res[F(z),2]2n,

最后得到

x(n)2nu(n)2nu(n1)2n

（2（当收敛域z2时，

n0,c内有极点0.5,2,

x(n)Res[F(z),0.5]Res[F(z),2]

3zn0.5(z2)z22(z0.5)(z2)n 0.5n2n

n0,c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留

18

数,可是c外没有极点,因此x(n)0, 最后得到

x(n)(0.5n2n)u(n)

25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为

x(n)anu(n),h(n)bnu(n),0a1,0b1，

试：

（1）用卷积法求网络输出y(n)； （2）用ZT法求网络输出y(n)。 解：

（1）用卷积法求y(n)

y(n)h(n)x(n)mu(m)anmu(nm)，n0,

mbnnn1y(n)anmmmmn1anbn1an1bn1bam0aba，m01a1babn0，最后得到

an1)bn1y(nabu(n)

（2）用ZT法求y(n)

X(z)11az1,H(z)11bz1 Y(z)X(z)H(z)11az11bz1

y(n)1n12jcY(z)zdz

令1F(z)Y(z)zn1znzn11az11bz1(za)(zb) n0,c内有极点a,b

19

y(n)0

an1bn1an1bn1y(n)Res[F(z),a]Res[F(z),b]

abbaab因为系统是因果系统，n0,y(n)0，最后得到

an1bn1y(n)u(n)

ab28. 若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：

HR(ejw)1acosw,a1 21a2acosw求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解：

1acosw10.5a(ejwejw)HR(e) 22jwjw1a2acosw1aa(ee)jw10.5a(zz1)10.5a(ejwejw)HR(z)

1a2a(zz1)(1az1)(1az)求上式IZT，得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)。

he(n)2jn11cHR(z)zn1dz

F(z)HR(z)z0.5az2z0.5an1z 1a(za)(za)因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，收敛域取：aza1。

n1时，c内有极点a,

0.5az2z0.5an11nhe(n)Res[F(z),a]z(za)a 1za2a(za)(za)n=0时，c内有极点a,0，

F(z)HR(z)zn10.5az2z0.5a1z a(za)(za1)所以

20

he(n)Res[F(z),a]Res[F(z),0]1

又因为

he(n)he(n)

所以

1,n0he(n)0.5an,n0

0.5an,n01,n0he(n),n0h(n)2he(n),n0an,n0anu(n)

0,n00,n0H(e)anejwnjwn01

1aejw

3.2 教材第三章习题解答

1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间0nN1内,序列定义为 （2）x(n)(n)；

（4）x(n)Rm(n),0mN； （6）x(n)cos(2nm),0mN； N（8）x(n)sin(w0n)RN(n)； （10）x(n)nRN(n)。 解：

（2）X(k)(n)W(n)1,k0,1,,N1

knNn0n0N1N1 21

（4）X(k)Wn0N1knN1W1W2kmNkNejNk(m1)sin(Nmk)m)sin(2N,k0,1,,N1

1N1jN(mk)n1N1jN(mk)nee2n02n022j(mk)Nj(mk)N11eN1eN 22j(mk)j(mk)2N1eN1e1,km且kNmN,0kN10,km或kNmN1jmnjkn1jNmn2knN（6）X(k)cosmnWN(ee)eN

Nn0n02N1222（8）解法1 直接计算

x8(n)sin(w0n)RN(n)N1n01jw0neejw0nRN(n) 2jknX8(k)x(n)WNjkn1N1jw0njw0neeeN 2jn02221N1j（w0N）nj（w0N）n11ejw0N1ejw0Nee22j(w0k)j(w0k)2jn02jNN1e1e

解法2 由DFT的共轭对称性求解 因为

x7(n)ejw0nRN(n)cos(w0n)jsin(w0n)RN(n)

x8(n)sin(w0n)RN(n)Imx7(n)

所以

DFTjx8(n)DFTjImx7(n)X70(k)

即

22

X8(k)jX70(k)j1X7(k)X7(Nk) 211ejw0N1ejw0N11ejw0N1ejw0N()()2222j(wk)j(w(Nk)j(wk)j(wk)2j2j0000NNNN1e1e1e1e结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。 （10）解法1

knX(k)nWNn0N1k0,1,,N1

上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为 x(n)nRN(n)

所以 x(n)x((n1))NRN(n)N(n)RN(n) 等式两边进行DFT得到

kX(k)X(k)WNNN(k)

故 X(k)N[(k)1],k1,2,N1 k1WN当k0时，可直接计算得出X（0）

N(N1)X(0)nWn

2n0n00NN1N1这样，X（k）可写成如下形式：

N(N1),k02 X(k)N,k1,2,N1k1WN解法2

k0时，

X(k)nn0N1N(N1) 2 23

k0时，

k2k3k(N1)kX(k)0WN2WN3WN(N1)WNkn2k3k4k(N1)kWNX(k)0WN2WN3WN(N2)WN(N1)

X(k)WX(k)WknNn1N1knNkn(N1)WN1(N1)Nn0N1所以，

X(k)N,k0 k1WN即

N(N1),k02 X(k)N,k1,2,N1k1WN2. 已知下列X(k)，求x(n)IDFT[X(k)];

Nj2e,kmNj（1）X(k)e,kNm;

20,其它kNj2je,kmNj（2）X(k)je,kNm

20,其它k解： （1）

=

24

1x(n)IDFT[X(k)]N1e22j(mn)NWn0N1knN1N2mnNjj2NNjjN(Nm)neeee22e2j(mn)N2cos(mn),n0,1,N1N

（2）

x(n)1NNjmnNj(Nm)njeWNeWN 22221j(Nmn)j(Nmn)2eesin(mn),n0,1,N1 2jN3. 长度为N=10的两个有限长序列

1,0n41,0n4 x2(n) x1(n)0,5n91,5n9作图表示x1(n)、x2(n)和y(n)x1(n)x2(n)。 解：

x1(n)、x2(n)和y(n)x1(n)x2(n)分别如题3解图（a）、（b）、（c）所示。

14. 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为:

x(n)0,n0,8n

y(n)0,n0,20n对每个序列作20点DFT,即

X(k)DFT[x(n)],k0,1,,19

Y(k)DFT[y(n)],k0,1,,19如果

F(k)X(k)Y(k),k0,1,,19

f(n)IDFT[F(k)],k0,1,,19试问在哪些点上f(n)x(n)*y(n)，为什么？ 解：

25

如前所示，记f(n)x(n)*y(n)，而f(n)IDFT[F(k)]x(n)y(n)。

fl(n)

长度为27，f(n)长度为20。已推出二者的关系为

f(n)mf(n20m)Rl20(n)

只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f(n)fl(n)所以

f(n)fl(n)x(n)y(n),7n19

15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率F50Hz，信号最高频率为1kHZ，试确定以下各参数： （1）最小记录时间Tpmin； （2）最大取样间隔Tmax； （3）最少采样点数Nmin；

（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。 解：

（1）已知F50HZ

Tpmin110.02s F50（2）Tmax（3）Nmin1fmin110.5ms 32fmax210TpT0.02s40

0.5103（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）

Nmin0.04s80 0.5ms18. 我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据

26

序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与h(n)的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列ym(n)，m表示第m段计算输出。最后，从ym(n)中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出y(n)。 （1）求V； （2）求B；

（3）确定取出的B个采样应为ym(n)中的哪些采样点。 解：

为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列ym(n)的序列标号为0，1，2，…,127。

先以h(n)与各段输入的线性卷积ylm(n)考虑，ylm(n)中，第0点到48点（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列y(n)的一段，即B=51。所以，为了去除前面49个不正确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的y(n)，必须重叠100-51=49个点，即V=49。

下面说明，对128点的循环卷积ym(n)，上述结果也是正确的。我们知道

ym(n)rylm(n128r)R128(n)

因为ylm(n)长度为

N+M-1=50+100-1=149

27

所以从n=20到127区域， ym(n)ylm(n)，当然，第49点到第99点二者亦相等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的ym(n)。 综上所述，总结所得结论

V=49,B=51

选取ym(n)中第49~99点作为滤波输出。

5.2 教材第五章习题解答

1. 设系统用下面的差分方程描述：

y(n)311y(n1)y(n2)x(n)x(n1)， 483试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。 解：

y(n)311y(n1)y(n2)x(n)x(n1) 483将上式进行Z变换

311Y(z)Y(z)z1Y(z)z2X(z)X(z)z1

48311z13 H(z)31121zz48（1）按照系统函数H(z)，根据Masson公式，画出直接型结构如题1解图（一）所示。

（2）将H(z)的分母进行因式分解

11z13 H(z)31121zz48 28

11(1z1)(1z1)2411z13

按照上式可以有两种级联型结构：

11z113(a) H(z) 1111(1z)(1z)24画出级联型结构如题1解图（二）（a）所示

11z113(b) H(z) 1111(1z)(1z)24画出级联型结构如题1解图（二）（b）所示 （3）将H(z)进行部分分式展开

H(z)11z1311(1z1)(1z1)241zH(z)AB3 1111z(z)(z)zz24241z1103 A(z)1112z3(z)(z)2241z173B(z) 1114z3(z)(z)424107H(z)33

11zzz24107107zz33 H(z)331111zz1z11z12424

29

根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。 2. 设数字滤波器的差分方程为

y(n)(ab)y(n1)aby(n2)x(n2)(ab)x(n1)abx(n)，

试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。 解：

将差分方程进行Z变换，得到

Y(z)(ab)Y(z)z1abY(z)z2X(z)z2(ab)X(z)z1abX(z)

Y(z)ab(ab)z1z2H(z) 12X(z)1(ab)zabz（1）按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图（一）所示。 （2）将H(z)的分子和分母进行因式分解：

(az1)(bz1)H(z)H1(z)H2(z) 11(1az)(1bz)按照上式可以有两种级联型结构：

z1a(a) H1(z)

1az1z1bH2(z)

1bz1画出级联型结构如题2解图（二）（a）所示。

z1a(b) H1(z)

1bz1z1bH2(z) 11az画出级联型结构如题2解图（二）（b）所示●。 3. 设系统的系统函数为

30

4(1z1)(11.414z1z2)H(z)，

(10.5z1)(10.9z10.18z2)试画出各种可能的级联型结构。 解：

由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。

H(z)H1(z)H2(z)

（1） H1(z)41z110.5z1，

11.414z1z2H2(z)

10.9z10.81z2画出级联型结构如题3解图（a）所示●。

11.414z1z2（2） H1(z), 110.5zH2(z)41z110.9z0.81z12

画出级联型结构如题3解图（b）所示。

4.图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图d 解：

(d) h(n)h1(n)[h2(n)h3(n)h4(n)]h5(n) h1(n)h2(n)h1(n)h3(n)h4(n)h5(n)

H(z)H1(z)H2(z)H1(z)H3(z)H4(z)H5(z)

5. 写出图中流图的系统函数及差分方程。图d 解：

31

rsinz1(d) H(z)

1rcosz1rcosz1r2sin2z2r2cos2z2rsinz1  12212rcoszrzy(n)2rcosy(n1)r2y(n2)rsinx(n1)

6. 写出图中流图的系统函数。图f 解：

111z22z142(f) H(z) 113211321zz1zz484828．已知FIR滤波器的单位脉冲响应为h(n)(n)(n1)(n4)，试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。 解：

已知频率采样结构的公式为

H(z)(1zN1)NH(k) k1k01WNzN1式中，N=5

H(k)DFT[h(n)]h(n)Wn0N1knNkn[(n)(n1)(n4)]WN n04 1e2jk5e8jk5,k0,1,2,3,4

它的频率采样结构如题8解图所示。

6.2 教材第六章习题解答

32

1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率fp6kHz，通带最大衰减ap3dB，阻带截止频率fs12kHz，阻带最小衰减as3dB。求出滤波器归一化传输函数Ha(p)以及实际的Ha(s)。 解：

（1）求阶数N。

N0.1algksplgsp

10p1100.31ksp0.0562

100.1as1102.51s212103sp2

p26103将ksp和sp值代入N的计算公式得

Nlg0.05624.15 lg2所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。）

（2）求归一化系统函数Ha(p)，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数Ha(p)为

Ha(p)1p3.2361p5.2361p5.2361p3.2361p132

或 Ha(p)1

(p20.618p1)(p21.618p1)(p1)当然，也可以按（6.12）式计算出极点:

pke12k1j()22N,k0,1,2,3,4

按（6.11）式写出Ha(p)表达式

33

Ha(p)14

(ppk)k0代入pk值并进行分母展开得到与查表相同的结果。

（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数Ha(p)得到实际滤波器系统函数Ha(s)。

由于本题中ap3dB，即cp26103rad/s，因此

Ha(s)Ha(p)s

cpc5 5 4233245s3.2361cs5.2361cs5.2361cs3.2361csc对分母因式形式，则有

Ha(s)Ha(p)s cpc5 2

(s0.6180cs2c)(s21.6180cs2c)(sc)如上结果中，c的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。

2. 设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率fp3kHz，通带最在衰减速ap0.2dB，阻带截止频率fs12kHz，阻带最小衰减

as50dB。求出归一化传输函数Ha(p)和实际的Ha(s)。

解：

（1）确定滤波器技术指标：

ap0.2dB，p2fp6103rad/s

34

as50dB,s2fs24103rad/s

p1,ss4 p（2）求阶数N和：

Arch(k1) NArch(s)100.1as1k1456.65 0.1ap1011NArch(1456.65)3.8659

Arch(4)为了满足指标要求，取N=4。

100.1ap10.2171

（2）求归一化系统函数Ha(p)

Ha(p)1N(ppk)1.738614

(ppk)2N1k1k1其中，极点pk由(6.2.38)式求出如下：

pkch()sin((2k1)(2k1))jch()cos(),k1,2,3,4 2N2N1111Arsh()Arsh()0.5580 N40.2171p1ch(0.5580)sin()jch(0.5580)cos()0.4438j1.0715

8833p2ch(0.5580)sin()jch(0.5580)cos()1.0715j0.4438

8855p3ch(0.5580)sin()jch(0.5580)cos()1.0715j0.4438

8877p4ch(0.5580)sin()jch(0.5580)cos()0.4438j1.0715

88（3）将Ha(p)去归一化，求得实际滤波器系统函数Ha(s)

35

Ha(s)Ha(p)ps c p41.7368(sppk)k14p41.7368(ssk)k14

其中skppk6103pk,k1,2,3,4，因为p4p1,p3p2，所以

s4s1,s3s2。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因

子的形式，其系数全为实数。

Ha(s)7.26871016(s2Re[s1]ss1)(s2Re[s2]ss2)2222

7.268710162(s1.6731104s4.7791108)(s24.0394104s4.7790108)

4. 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为： (1)Ha(s)(2)Ha(s)sa；

(sa)2b2b。式中，a,b为常数，设Ha(s)因果稳定，试采用22(sa)b脉冲响应不变法，分别将其转换成数字滤波器H(z)。 解：

该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的

Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T。

（1）Ha(s)sa 22(sa)bHa(s)的极点为：

36

s1ajb，s2ajb

将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）：

Ha(s)A1A2sa 22(sa)bss1ss2A1(ss2)A2(ss1)(A1A2)sA1s2A2s1 2222(sa)b(sa)b比较分子各项系数可知： A、B应满足方程：

A1A21 A1s2A2s1a解之得

11A1,A2

22所以

H(z)Ak0.50.5skT1z1e(ajb)Tz11e(ajb)Tz1k11e21122Ha(s) s(ajb)s(ajb)H(z)Ak0.50.5 skT1(ajb)T1(ajb)T11ez1ez1ezk12按照题目要求，上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将H(z)的两项通分并化简整理，可得

1z1eaTcos(bT)H(z)

12eaTcos(bT)z1e2aTz2用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，

37

且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。 （2） Ha(s)Ha(s)的极点为：

s1ajb，s2ajb

b

(sa)2b2将Ha(s)部分分式展开：

11jj22Ha(s) s(ajb)s(ajb)H(z)0.5j1e(ajb)Tz10.5j (ajb)T11ez通分并化简整理得

z1eaTsin(bT)H(z)

12eaTcos(bT)z1e2aTz25. 已知模拟滤波器的传输函数为： （1）Ha(s)（2）Ha(s)1；

s2s11试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其

2s23s1转换为数字滤波器，设T=2s。 解：

（1）用脉冲响应不变法 ①Ha(s)1

s2s1方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式，Ha(s)的极点为：

s10.5j33，s20.5j 22 38

jHa(s)333)2j333)2

s(0.5js(0.5jjH(z)1e33z1j1e33z13(0.5j)T23(0.5j)T2

代入T=2s

jH(z)1e33zj1e33z(1j3)1(1j3)1

23z1e1sin3 312z1e1cos3e2z2方法2 直接套用4题(2)所得公式，为了套用公式，先对Ha(s)的分母配方，将Ha(s)化成4题中的标准形式：

Ha(s)bc,c为一常数，

(sa)2b2由于

1313s2s1(s)2(s)2()2

2422所以

Ha(s)1s2ss13/213(s)2()22223 3对比可知，a,b123，套用公式得 223z1eaTsin(bT) H(z)312eaTcos(bT)z1e2aTz2T=223z1e1sin3 1122312zecos3ez

39

② Ha(s)11-1 =+2s23s1s+0.5s+1H(z)=11-e-0.5Tz+-1-1 -T-11-ezT=2 =1-1 +-1-1-2-1或通分合并两项得

（2）用双线性变换法

① ② 1-ez1-ez(e-1-e-2)z-1H(z)=1-(e-1+e-2)z-1+e-3z2 H(z)Ha(s)21z1sT1z1,T2 11z121z1

(1z1)1z11(1z1)2(1z1)2(1z1)(1z1)(1z1)2 12z1z23z2 H(z)Ha(s)s21z1 T1z1,T211z11

2(1z1)231z1z11(1z1)22(1z1)23(1z2)(1z1)2 12z1z262z1 40

7. 假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器，又知H(z)Ha(s)sz1z1，

数字滤波器H(z)的通带中心位于下面的哪种情况？并说明原因。 （1）w0 (低通)； （2）w（高通）；

（3）除0或外的某一频率（带通）。 解：

按题意可写出

H(z)Ha(s)z1

z1s故

wz1e12jcotw sjjwz1zejwejw12sin2jwcos即

cotw 2原模拟低通滤波器以0为通带中心，由上式可知，0时，对应于w，故答案为（2）。

9. 设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2rad时，容许幅度误差在1dB之内；频率在0.3到之间的阻带衰减大于10dB；试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采

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样间隔T=1ms。 解：

本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以，由巴特沃斯滤波器的单调下降特性，数字滤波器指标描述如下：

wp0.2rad,ap1dBws0.3rad,as10dB

采用脉冲响应不变法转换，所以，相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为：

pwpT

wss0.31000300(rad/s),as10dBT0.21000200(rad/s),ap1dB（1）求滤波器阶数N及归一化系统函数Ha(p)：

N0.1algksplgsp

10p1100.11ksp0.1696

100.1as11011sps3001.5 p200lg0.16964.376 lg1.5N取N=5，查表6.1的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为：

Ha(p)14

(ppk)k0p00.3090j0.9511p4 p10.8090j0.5818p3

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p21

将Ha(p)部分分式展开：

Ha(p)k04Ak ppk其中，系数为：

A00.1382j0.4253, A10.8091j1.1135,

A21.47,

A30.8091j1.1135, A40.1382j0.4253

（2）去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数Ha(s)。

我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，所以按(6.2.18)式求3dB截止频率c。

cs(100.1as1)12N300(101)110756.566(rad/s)

44cAkBsHa(s)Ha(p)pk

ck0scpkk0ssk其中BkcAk,skcpk。

（3）用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器系统函数H(z)：

H(z)Bk3,T1ms10s skT1zk01ek044Bk1e103skz1

我们知道，脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真，设计的滤波器阻带指标变差。另外，由该题的设计过程可见，当N较大时，

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部分分式展开求解系数Ak或Bk相当困难，所以实际工作中用得很少，主要采用双线性变换法设计。

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