2013届四川省邛崃一中高三10月月考数学(理)试题

数学（理科）试题卷 时间 120分钟 总分 150分

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．设集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5}，U＝A∪B，则∁U(A∩B)的元素个数为

A．1个 2. 复数z满足z =

B．2个 C．3个

D．4个

2－i

，则复数z对应的点在 1－i

B．第二象限 C. 第三象限 D. 第四象

A．第一象限 限

24π

3. 已知sin 2α＝－25，α∈－4，0，则sin α＋cos α＝



1177

A. －5 B. 5 C. －5 D. 5 4. 设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f(2 011)＋f(2 012)＝

A．3 B．2 C．1 D．0

5．已知p：x2－x< 0，那么命题p的一个必要不充分条件是

A．0 < x < 1 12C. 2 < x < 3

B．－1< x < 1 1

D. 2 < x < 2

6. 如图，是一个程序框图，运行这个程序， 则输出的结果为

13 A.

21

21813

B. C. D.

13138

7. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于

A. 3

B．3+23

D．6+23

C．23

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8. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中， b5＝a5，b7＝a7，则b6的值为 A．±42

B．－42 C．42

D．无法确定

9. 从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没

有入选的不同选法的种数为

A．85 B．56 C．49

D．28

10. 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f /(x),且函数y = (1−x) f /(x)的图像如图所示,

则下列结论中一定成立的是

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(−2)和极小值f(1)

· −2 O · · 1 2 x y C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(−2) D．函数f(x)有极大值f(−2)和极小值f(2)

11. 甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的

数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b| ≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 1A. 3

52

B. 9 C. 3

7D. 9 a，a－b≤1

12. 对实数a和b，定义运算“⊕”：a⊕b＝

b，a－b>1.

设函数f(x)＝(x2－2)⊕(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是

33

A．(－∞，－2]∪－1，2 B．(－∞，－2]∪－1，－4



1131－1，，＋∞－1，－，＋∞ C. ∪ D. ∪4444

二、填空题（每小题4分，共16分）

6

 2

13．在x−x的二项展开式中，常数项等于 _________ .



x＋2y－5 ≤ 0

14. 变量x，y满足条件：x－y－2 ≤ 0，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为

x ≥ 0

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____.

15. 已知函数f(x) = |lgx|，若a < b，且f(a) = f(b)，则a + 2b的取值范围是________ . 16．给出以下五个命题：

①x,yR，若x2y20，则x0或y0的否命题是假命题； ②函数y3x3x(x0)的最小值为2；

③若函数f(x)x3ax22的图象关于点(1,0)对称，则a的值为－3； ④若f(x2)10，则函数yf(x)是以4为周期的周期函数； f(x) ⑤若(1+ x)10 = a0 +a1x + a2x2 +… + a10x10,则 a0 +a1 + 2a2 + 3a3 + … + 10a10=10×29．

其中真命题的序号是___________.

三、解答题（共六小题，共74分） 17．（本小题满分12分）

函数f(x)= 3sinωxcosωx+sinωx+2,其图像相邻两条对称轴之间的距离为

π2．

（Ⅰ）求ω的值；

A3

（Ⅱ） 若A为△ABC的内角，且f 2 = 2，求A的值.

18．（本小题满分12分）

1

如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中， AC = BC = 2AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．

（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；

（Ⅱ）求二面角A1−BD−C1的大小．

19. （本小题满分12分）

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A D

C B

A1

C1 B1

2

1 频率 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分 布直方图如图所示，成绩分组区间是： 40，50、50，60、60，70、70，80、 80，90、90，100. (Ⅰ)求图中 x 的值； 组距0.054 x 0.01 0.006 0 40 50 60 70 80 90 100 成绩

(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 20. （本小题满分12分）

已知 f(x) = |ax + 1| (a∈R)，不等式 f(x)≤3 的解集为{x | −2≤x≤1}. (Ⅰ)求a的值；

x

(Ⅱ)若f(x) − 2f( 2 )≤ k 恒成立，求 k 的取值范围.



21．（本小题满分12分）

已知等比数列{an}的各项均为正数，且 2a1 + 3a2 = 1，a3 = 9a2a6． (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；

1

（Ⅱ）设 bn= log3a1 + log3a2 + … + log3an，求b的前n项和Tn ；

n

2

kn·2n+1

（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求使 n + 1≥ (7 − 2n)Tn恒成立的实数 k 的取值范围．

22. （本小题满分14分）

已知函数f(x)alnxax3(aR且a0)． (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数yf(x)的图像在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45，问：m在m

什么范围取值时，对于任意的t1,2，函数g(x)=x3 + x22 + f /(x)在区间(t,3)上总存在极值？

（Ⅲ）当a2时，设函数h(x)(p2)xp2e3，若在区间1,e上至少存在一

x个x0，

使得h(x0)f(x0)成立，试求实数p的取值范围．

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邛崃市2013届高三月考（10月）

数学（理科）参考答案

一、1. C；2. A；3.B；4. A；5B；6.D；7. D；8. A；9. C；10.D；11. D；12. B 二、填空题

13．−160 14. 10 15. (3，+∞) 16．①、③、④

三、解答题

3 1−cos2ωx 117．解析：（Ⅰ）f(x)=2sin2ωx++2

2

31π

= 2sin2ωx − 2cos2ωx + 1 = sin2ωx − 6+ 1



π

∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 2，∴最小正周期T = π 2π

∴2ω = π，ω = 1．

π

∴f(x) = sin2x − 6  + 1



π3π1A

(2) ∵f 2 = sinA − 6  + 1 = 2 ∴sinA − 6  = 2



5π π π ∵ A∈(0，π) ∴ −6 < A−6< 6

πππ

∴ A − 6 = 6 ，故A = 3．

18．解析：（Ⅰ）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．

C1 B1 ∵D是AA1的中点， ∴ DC = DC1

A1 M 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com D C B 1

又 AC = 2AA1，∴ DC12 + DC2 = CC12

∴ DC1⊥DC

又 DC1⊥BD，且DC1∩DC = D ∴ DC1⊥平面DCB． ∴ DC1⊥BC

（Ⅱ） 解：由（Ⅰ）知，DC1⊥BC，

又CC1⊥BC， DC1∩CC1 = C1 ∴ BC⊥平面CDC1

∵ B1C1∥BC ∴B1C1⊥平面CDC1

∴ B1C1⊥A1C1，△A1C1B1为等腰直角三角形 取A1B1的中点为M，连结C1M、DM

∵ 直棱柱的底面A1B1C1⊥侧面AB1，C1M⊥A1B1 ∴ C1M⊥平面AB1，C1M⊥BD．

由（Ⅰ）知，DC1⊥平面DCB，∴DC1⊥BD

又C1M∩DC1 = C1，∴BD⊥平面C1MD MD⊥BD ∴∠C1DM是A1−BD−C1的平面角．

2

在Rt △C1MD中，C1M = 2A1C1，C1D = DA12 + A1C12 = 2A1C1，

C1M1

∴sin∠C1DM = CD = 2， ∴∠C1DM = 30o

1

∴二面角A1−BD−C1的大小为30o． 19. 解析：(Ⅰ) 由0.00630.010.054x101,解得x0.018.

(Ⅱ) 分数在80,90、90,100的人数分别是

500.018109人、500.006103人.

所以的取值为0、1、2.

11C30C92366C3C9279C32C9031,P22, P02,P12C126611C126622C126622所以的数学期望是E069111112. 11222222220. 解析：(Ⅰ) 由|ax + 1|≤ 3得 −4≤ax≤2， f(x)≤3 的解集为{x | −2≤x≤1}，

当a≤0时，不合题意．

42

当a > 0时，− a≤x≤a 得a = 2．……………………………………5分

x

(Ⅱ)记h(x) = f(x) − 2f 2，则 h(x) =

所以 | h(x) |≤1，因此 k≥1．

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

1， x≤−1

1

−4x − 3，−11

−1， x≥ − 2

21．解析：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q(q > 0 )，

2a1 + 3a2 = 1 

由 a2= 9aa得q3 26

11，a1． 331故数列{an}的通项公式为ann．

3

（Ⅱ ）bn =log3a1 + log3a2 + …+ log3an =−

n(n+1)

2

111

故 b = −2n − n + 1

n

1111Tn = b + b + b + … + b 123n

1111112n1

= −21 − 2 + 2 − 3 + 3 − 4 + … + n − n + 1 = − n + 1

12n

所以数列  的前 n 项和为 − ．

n+1bn

2n7（Ⅲ ）化简得k对任意nN恒成立 n22n792n设dn，则 ddn1nnn22当n5,dn1dn,{dn}为单调递减数列，

1n5,dn1dn,{dn}为单调递增数列，

3所以，n=5时，dn取得最大值为．

322n73所以, 要使k对任意恒成立， nNk2n32 22. 解析：

（Ⅰ）由f'(x)a(1x)知 x当a0时，函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,)； 当a0时，函数f(x)的单调增区间是(1,)，单调减区间是(0,1). （Ⅱ）由f'22f'x2.

xa1a2, ∴fx2lnx2x3，2mm故g(x)x3x2f'(x)x3(2)x22x，

22∴g'(x)3x2(4m)x2．

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∵ 函数g(x)在区间(t,3)上总存在极值，

∴g'(x)0有两个不等实根且至少有一个在区间(t,3)内 又∵函数g'(x)是开口向上的二次函数，且g'(0)20，

g'(t)0∴ 由g'(t)0m23t4，

tg'(3)0 ∵H(t)23t4在1,2上单调递减，所以H(t)minH(1)9； t37； 3∴m9，由g'(3)27(4m)320，解得m综上得：37m9. 337,9)内取值时，对于任意的t1,2，函数3所以当m在(mg(x)x3x2f'(x)在区间(t,3)上总存在极值。

2（Ⅲ）a2,f(x)2lnx2x3.令F(x)h(x)f(x)，则

F(x)(p2)xp2e32lnx2x3pxp2e2lnx.

xxx①当p0时，由x1,e得pxp0,2e2lnx0，从而F(x)0,

xx所以，在1,e上不存在x0使得h(x0)f(x0)；

px22xp2ex1,e,2e2x0②当p0时，F'(x),， 2xpx2p0,F'(x)0在1,e上恒成立， 故F(x)在1,e上单调递增。

F(x)maxF(e)pep4. e故只要pe4ep.40,，解得p2e1 e4e综上所述， p的取值范围是2,

e1 版权所有：中华资源库 www.ziyuanku.com

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