1、已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为 E．
（1）求证：DC＝BD； （2）求证：DE为⊙O的切线； （3）若AB＝12，AD＝6
，连接OD，求扇形BOD的面积．
证明：（1）连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 又∵AB＝AC， ∴DC＝BD； （2）连接半径OD， ∵OA＝OB，CD＝BD， ∴OD∥AC， ∴∠ODE＝∠CED， 又∵DE⊥AC， ∴∠CED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE． ∴DE是⊙O的切线； （3）∵AB＝12，AD＝6∴sinB＝
＝
＝
， ，
∴∠B＝60°， ∴∠BOD＝60°， ∴S扇形BOD＝
＝6π．
2、如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D． （1）求证：CE为⊙O的切线； （2）若OF⊥AE，AE＝4
，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留
（1）证明：连接OE， ∵AC＝EC，OA＝OE，
∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO， ∵AC⊥AB， ∴∠CAD＝90°， ∴∠CAE+∠EAO＝90°， ∴∠CEA+∠AEO＝90°， 即∠CEO＝90°， ∴OE⊥CD， ∴CE为⊙O的切线； （2）解：设OF＝x， ∵∠OAF＝30°，OF⊥AF， ∴OA＝2OF＝2x，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：，
解得x＝2， ∴OA＝4，
π）
∴
∵∠AOE＝120°，AO＝4； ∴∴
．
，
，
3、如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC． （1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．
证明：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC， ∴∠A＝∠DBC， ∵∠DBC+∠ABD＝90°， ∴BC是⊙O的切线；
（2）连接OD，
∵BF＝BC＝2，且∠ADB＝90°， ∴∠CBD＝∠FBD， ∵OE∥BD， ∴∠FBD＝∠OEB， ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠CBD＝∠OEB＝∠OBE＝∠ADB＝∴∠C＝60°， ∴AB＝
BC＝2
， ，
．
90°＝30°，
∴⊙O的半径为
∴阴影部分的面积＝扇形DOB的面积﹣三角形DOB的面积＝
4、△ABD内接于半径为5的⊙O，如图，连结AO并延长交BD于点M，交⊙O于点C，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，AB＝AM． （1）求证：△ABM∽△ECA． （2）当CM＝4OM时，求BM的长；
（3）当CM＝k•OM时，设△ADE的面积为S1，△MCD的面积为S2，求示）．
的值．（用含k的代数式表
证明：（1）∵AE∥BD， ∴∠AMB＝∠CAE， 又∵∠ABD＝∠ACD， ∴△ABM∽△ECA；
（2）解：∵AB＝AM，△ABM∽△ECA， ∴AE＝CE， ∵CM＝4OM，
∴可以假设OM＝k，CM＝4k， ∴OA＝OC＝5k＝5， ∴k＝1，
∴AM＝6，CM＝4， ∵DM∥AE，
∴DM：AE＝CM：CA＝4：10， 设DM＝4m，则EA＝EC＝10m， ∵AB＝AM， ∴∠ABM＝∠AMB，
∵∠AMB＝∠DMC，∠B＝∠C， ∴∠DMC＝∠C， ∴DM＝DC＝4m， ∴DE＝EC﹣DC＝6m， ∵AC是直径，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝8m，
∵AD2+CD2＝AC2， ∴（8m）2+（4m）2＝102 ∵m＞0， ∴m＝
，
∵△AMB∽△DMC， ∴∴
＝＝
， ， ．
∴BM＝
（3）设△CDM的面积为x． ∵CM＝kOM， ∴OM＝
，CM＝
，AM＝5+
＝
，
∴AC：CM＝（2+2k）：k， ∴△ACD的面积＝∵DM∥AE，
∴CD：DE＝CM：AM＝k：（2+k）， ∴△ADE的面积＝
•
•x， •x，
∴＝．
5、如图1，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，点M为AB中点，点D在弧是CD的中点，连结MG． （1）求证：MG⊥CD；
（2）如图2，若AC＝BC，AD平分∠BAC，AD与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，求证：CF＝CE；
（3）在（2）的条件下，若OG•DE＝3（2﹣
），求⊙O的面积．
上，连接CD、BD，点G
（1）证明：如图1中，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，点M与O重合， ∴∠ADB＝90°， ∵OA＝OB，
∴CO＝AB，OD＝AB， ∴CO＝OD，∵CG＝GD， ∴CG⊥CD， 即MG⊥CD．
（2）证明：如图2中， 在△ACE和△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF， ∴CE＝CF．
（3）解：过点O作OH⊥BD于H，则BH＝DH，
则OH＝AD，即AD＝2OH， 又∵∠CAD＝∠BAD， ∴CD＝BD， ∴OH＝OG，
∵∠DBE＝∠DAC＝∠BAD， ∴Rt△BDE∽Rt△ADB， ∴BD：AD＝DE：BD，
∴BD2＝AD•DE＝2OH•DE＝2OG•DE＝6（2﹣
），
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AD⊥BF， 而AD平分∠BAC， ∴AB＝AF， ∴BD＝FD， ∴BF＝2BD， ∴BF2＝4BD2＝24（2﹣
），
x，
设AC＝x，则BC＝x，AB＝∴AF＝
x，
x﹣x＝（
∴CF＝AF﹣AC＝﹣1）x，
在Rt△BCF中，∵CF2+BC2＝BF2， ∴[
﹣1）x]2+x2＝24（2﹣
），
（舍去），
∴x2＝12，解得x＝2 ∴AB＝∴OA＝
x＝2 ，
，
或x＝﹣2
∴⊙O面积＝π•（ ）2＝6π．
6、如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝PB，连结AC．
（1）求证：AB＝AC． （2）若AB＝4，∠ABC＝30°． ①求弦BP的长．②求阴影部分的面积．
（1）证明：连接AP， ∵AB是半圆O的直径，
∴∠APB＝90°， ∴AP⊥BC． ∵PC＝PB，
∴△ABC是等腰三角形，即AB＝AC；
（2）解：①∵∠APB＝90°，AB＝4，∠ABC＝30°， ∴AP＝AB＝2， ∴BP＝
②连接OP， ∵∠ABC＝30°， ∴∠PAB＝60°， ∴∠POB＝120°． ∵点O时AB的中点， ∴S△POB＝
S△PAB＝×AP•PB＝×2×2
＝
，
＝
＝2
；
∴S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB ＝＝π﹣
．
﹣
7、如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为弧BE的中点，连接AD交BC于F，AC＝FC，连接BD． （1）求证：AC是△O的切线；
（2）已知△O的半径R＝5cm，AB＝8cm，求△ABD的面积．
（1）证明：连接OA，OD． △点D是弧BE的中点， △△BOD＝△EOD＝90°， △△ODF+△OFD＝90° 又△△OFD＝△AFC， △△ODF+△AFC＝90° 又△AC＝FC， △△AFC＝△CAF， △OA＝OD， △△ODF＝△OAF， △△OAF+△CAF＝90°， 即△OAC＝90°， 故AC是△O的切线；
（2）解：过点B作BG△AD于G， △△BOD＝90°，OB＝OD＝R＝5， △
△点D是弧BE的中点， △△BAD＝45°， △△AGB＝90°，
△△ABG＝△BAD＝45°，即BG＝AG． △2BG2＝AB2＝82， △又△
，
，
△
故S△ABD＝AD•BG＝
＝28（cm2）．
8、如图，在△ABC中，AB＝AC，△O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与△O交于点F，延长BA到点G，使得△BGF＝△GBC，连接FG． （1）求证：FG是△O的切线； （2）若△O的径为4． △当OD＝3，求AD的长度；
△当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．
（1）证明：连接AF， △BF为△O的直径， △△BAF＝90°，△FAG＝90°， △△BGF+△AFG＝90°， △AB＝AC， △△ABC＝△ACB，
△△ACB＝△AFB，△BGF＝△ABC， △△BGF＝△AFB，
△△AFB+△AFG＝90°，即△OFG＝90°， 又△OF为半径，
△FG是△O的切线；
（2）解：△连接CF，则△ACF＝△ABF， △AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO， △△ABO△△ACO（SSS），
△△ABO＝△BAO＝△CAO＝△ACO， △△CAO＝△ACF， △AO△CF， △
＝
，
△半径是4，OD＝3， △DF＝1，BD＝7， △
＝
＝3，即CD＝AD，
△△ABD＝△FCD，△ADB＝△FDC， △△ADB△△FDC， △
＝
，
△AD•CD＝BD•DF， △AD•CD＝7，即AD2＝7， △AD＝
△△△ODC为直角三角形，△DCO不可能等于90°， △存在△ODC＝90°或△COD＝90°， 当△ODC＝90°时， △△ACO＝△ACF， △OD＝DF＝2，BD＝6， △AD＝CD，
△AD•CD＝AD2＝12， △AD＝2
，AC＝4
，
（取正值）；
△S△ABC＝×4×6＝12；
当△COD＝90°时， △OB＝OC＝4，
△△OBC是等腰直角三角形， △BC＝4
，
延长AO交BC于点M， 则AM△BC， △MO＝2△AM＝4+2△S△ABC＝×4
， ， ×（4+2
）＝8+8．
+8，
△△ABC的面积为12或8
9、如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
（3）在（2）中的条件下，∠ABD＝30°，将△ABD以点A为中心逆时针旋转120°，求BD扫过的图形的面积（结果用π表示）．
证明：（1）连接DO，如图，
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD， 又∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB． 在△COD和△COB中
∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO＝∠CBO． ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO＝90°， ∴∠CDO＝90°，
∴OD⊥CE， 又∵点D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线； （2）设圆O的半径为R， 则OD＝R，OE＝R+1， ∵CD是圆O的切线， ∴∠EDO＝90°， ∴ED2+OD2＝OE2， ∴9+R2＝（R+1）2， ∴R＝4，
∴圆O的半径为4；
（3）∵∠ABD＝30°，AB＝2R＝8， ∴AD＝4，
∴BD扫过的图形的面积＝
＝16π．
10、如图1，点E在矩形ABCD的边AD上，AD＝6，tan∠ACD＝，连接CE，线段CE绕点C旋转90°，得到线段CF，以线段EF为直径做⊙O． （1）请说明点C一定在⊙O上的理由；
（2）点M在⊙O上，如图2，MC为⊙O的直径，求证：点M到AD的距离等于线段DE的长； （3）当△AEM面积取得最大值时，求⊙O半径的长；
（4）当⊙O与矩形ABCD的边相切时，计算扇形OCF的面积．
（1）解：点C一定在⊙O上的理由如下： 连接OC，如图1所示： 由旋转的性质得：∠ECF＝90°，
∵EF是⊙O的直径，O为圆心， ∴OE＝OF， ∴OC＝OE＝OF， ∴点C一定在⊙O上；
（2）证明：由旋转的性质得：∠ECF＝90°，CE＝CF， ∵OE＝OF， ∴CO⊥EF，
∵MC为⊙O的直径，
∴CM⊥EF，OC＝OM，∠MEC＝90°， ∴EM＝CE，
过点M作MN⊥AD于N，如图2所示： ∵∠DEC+∠DCE＝90°，∠DEC+∠DEM＝90°， ∴∠DEM＝∠DCE， 在△MEN和△CED中，∴△MEN≌△CED（AAS），
∴MN＝DE，即点M到AD的距离等于线段DE的长； （3）解：∵点E在矩形ABCD的边AD上，AD＝6， ∴∠D＝90°，设AE＝x，则DE＝6﹣x，
由（2）得：点M到AD的距离等于线段DE的长， ∴S△AEM＝
×x×（6﹣x）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，
，
∴当x＝3时，△AEM面积取得最大值， 此时，DE＝6﹣3＝3， ∵tan∠ACD＝∴CD＝
＝，
＝4，
由勾股定理得：CE2＝DE2+CD2，即CE2＝32+42， ∴CE＝5，
由（2）得：CM⊥EF，OC＝OM，∠MEC＝90°，
∴∠CEF＝45°， 在Rt△CEF中，EF＝
＝
＝5
，
∴⊙O半径的长为；
（4）解：当⊙O与矩形ABCD的边相切时，只有点O与点D重合时存在， 此时⊙O半径r＝CD＝4，∠COF＝90°， ∴扇形OCF的面积＝
＝4π．
11、AB是⊙O的直径，C为垂足，如图，弦DE垂直平分半径OA，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO．若DE＝2
，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分及△PBF的面积．
解：（1）∵OC⊥DE， ∴DC＝EC＝DE＝×2
＝
，
∵弦DE垂直平分半径OA， ∴OC＝OA＝OE， 在Rt△OCE中，∵OE＝2OC， ∴∠E＝30°， ∴OC＝∴OE＝2， 即⊙O的半径为2；
（2）连结OF，BF，BE，作BH⊥DF于H，如图， ∵∠DPA＝45°， ∴∠DDC＝45°，
∴∠EOF＝2∠EPF＝90°，△PCD为等腰直角三角形， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形EOF﹣S△OEF ＝＝π﹣2；
∵BC＝AB﹣AC＝4﹣1＝3， 而DC＝∴BD＝
，
＝2
，
﹣•2•2 CE＝1，
∵BC垂直平分DE， ∴BD＝BE＝2
，
∵BD＝DE＝BE， ∴△BED为等边三角形， ∴∠BED＝60°， ∴∠BFD＝∠BED＝60°， ∵△PCD为等腰直角三角形， ∴PC＝DC＝
，
﹣1，
，
∴OP＝PC﹣OC＝∴PB＝2﹣（
﹣1）＝3﹣
在Rt△PBH中，∠BPH＝∠DPC＝45°，
∴BH＝PH＝PB＝，
在Rt△BHF中，∠HBF＝30°， ∴HF＝
BH＝
•
+＝
＝
＝．
， ，
∴PF＝PH+HF＝∴S△PBF＝•
•
12、BE为⊙O的直径，C为线段BE延长线上一点，CA为⊙O的切线，A为切点，AE，AO．∠C如图，连AB，＝30°．
（1）求∠ABC的度数； （2）求证：BO＝CE；
（3）已知⊙O的半径为6，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
（1）解：∵CA为⊙O的切线， ∴∠OAC＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠C＝60°，
由圆周角定理得，∠ABC＝∠AOC＝30°； （2）证明：在Rt△AOC中，∠C＝30°， ∴OA＝OC， ∵OA＝OB＝OE， ∴OB＝CE；
（3）解：在Rt△AOC中，AC＝∴图中阴影部分的面积＝×6×6
﹣
＝6，
＝18
﹣6π．
13、如图，已知⊙O的两条直径AB，CD互相垂直，过BA延长线上一点P作PE切⊙O于点E，过点E作EF⊥AB于点F，连接AE． （1）求证：∠PEA＝∠AEF；
（2）若AP＝AE，PE＝6．求PB的长；
（3）连接PD交⊙O于点G，连接OG，FD，若∠AOG＝∠FDO，OD＝2．求四边形AGDB的面积．
（1）证明：连接OE． ∵PE切⊙O于点E， ∴∠PEO＝90°． ∴∠PEA+∠OEA＝90°． ∵EF⊥AB，
∴∠AGF+∠GAO＝90°． ∵OE＝OA， ∴∠OEA＝∠OAE， ∴∠PEA＝∠AEF．
（2）解：∵AP＝AE， ∴∠EPA＝∠PEA． ∴∠EPA＝∠PEA＝∠AEF． ∴∠EPA+∠PEF＝90°． ∴3∠EPA＝90°． ∴∠EPA＝30°．
∴tan∠EPO＝∴OE＝2∴OP＝
＝＝，
＝4，
∴PB＝PO+OB＝PO+OE＝6∴PB的长为6
．
（3）解：过点G作GH⊥OA于点H． ∵∠EFO＝∠PEO＝90°，∠EOF＝∠POE， ∴△OFE∽△OEP． ∴
＝
，
∵OE＝OD， ∴
＝
，
∵∠FOD＝∠DOP，设∠FOD＝∠DOP＝α， ∴△FOD∽△DOP． ∴∠FDO＝∠DPO． ∵∠POG＝∠FDO， ∴∠POG＝∠DPO＝α． ∴∠OGD＝2α， ∵OG＝OD，
∴∠ODG＝∠OED＝2α． ∵∠POD＝90°， ∴α+2α＝90°． ∴α＝30°． ∴∠PDO＝60°． ∵GH⊥AO，
∴GH＝OG＝OD＝1． 在Rt△POD中，
tan∠PDO＝∴OP＝2
＝＝，
∴AP＝OP﹣OA＝OP﹣OD＝2∴S四边形AGDB＝S△DBP﹣S△GAP ＝BP•OD﹣AP•GH ＝×（2＝3+
+2）×2﹣×（2
﹣2．
1 ﹣2）×
∴四边形AEDB的面积为3+．
14、AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，已知：延长BD到点C，使AB＝AC，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为 E．
（1）求证：DC＝BD； （2）求证：DE为⊙O的切线； （3）若AB＝12，AD＝6
，连接OD，求扇形BOD的面积．
证明：（1）连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 又∵AB＝AC， ∴DC＝BD； （2）连接半径OD，
∵OA＝OB，CD＝BD， ∴OD∥AC， ∴∠ODE＝∠CED， 又∵DE⊥AC， ∴∠CED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE． ∴DE是⊙O的切线； （3）∵AB＝12，AD＝6∴sinB＝
＝
＝
， ，
∴∠B＝60°， ∴∠BOD＝60°， ∴S扇形BOD＝
＝6π．
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