一、精心选一选(每小题2分，共16分)
1.直角三角形的两直角边分别是3和4，则它的面积为()
A.24 B.12 C.6 D.7
2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是()
A.3a+2a=5a2 B.a6÷a2=a3 C.(﹣3a3)2=9a6 D.(a+2)2=a2+4
4.若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000021用科学记数法表示为()
A.21×10﹣4 B.2.1×10﹣6 C.2.1×10﹣5 D.2.1×10﹣4
5.若点M(﹣3，2)和点N(a，b)关于y轴对称，则 的值为()
A. B. C.﹣ D.﹣
6.如图，在等边三角形ABC中，AB=2，点D为BC的中点，DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，则图中长度为1的线段有()
A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
7.如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CE∥AB，得到∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE，由于∠BCD=180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，这个证明方法体现的数学思想是()
A.数形结合 B.特殊到一般 C.一般到特殊 D.转化
8.已知点P(0，1)，Q(5，4)，点M在x轴上运动，当MP+MQ的值最小时，点M的坐标为()
A.(0，0) B.(1，0) C.(3，0) D.(5，0)
二、填空题(每小题3分，共24分)
9.五边形的内角和为.
10.分解因式：a(a﹣2)﹣2(a﹣2)=.
11.已知|x﹣y+2|+ =0，则x2﹣y2的值为.
12.当x=时，分式 的值为0.
13.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是.
14.如图，一张三角形纸片ABC，AB=AC=5.折叠该纸片使点A落在边BC的中点上，折痕经过AC上的点E，则线段AE的长为.
15.如图，△ABC与△ECD都是等边三角形，AB≠EC，下列结论中：①BE=AD;②∠BOD=120°;③OA=OD.正确的序号是.
16.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE= ，则BC=.
三、解答题
17.解方程： = +1.
18.如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张?
四、完成下列各题
19.先化简，再化简： ÷ ﹣1，其中x=2﹣1.
20.如图，已知△ABC，∠C=90°，AC
(1)用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作法，保留作图痕迹);
(2)连结AD，若∠B=32°，求∠CAD的度数.
21.已知，如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE=DE，求证：AC=BD.
2016-2017学年山西省吕梁市孝义市八年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选(每小题2分，共16分)
1.直角三角形的两直角边分别是3和4，则它的面积为()
A.24 B.12 C.6 D.7
【考点】勾股定理.
【分析】由直角三角形面积公式即可得出答案.
【解答】解：直角三角形的面积= ×3×4=6;
故选：C.
2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误;
B、是轴对称图形，故此选项正确;
C、不是轴对称图形，故此选项错误;
D、不是轴对称图形，故此选项错误;
故选：B.
3.下列运算正确的是()
A.3a+2a=5a2 B.a6÷a2=a3 C.(﹣3a3)2=9a6 D.(a+2)2=a2+4
【考点】同底数幂的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;完全平方公式.
【分析】根据合并同类项法则;同底数幂相除，底数不变指数相减;积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘底数不变指数相加;完全平方公式;对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解：A、3a+2a=5a，故A错误;
B、a6÷a2=a4，故B错误;
C、(﹣3a3)2=9a6，故C正确;
D、(a+2)2=a2+4a+4，故D错误.
故选：C.
4.若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000021用科学记数法表示为()
A.21×10﹣4 B.2.1×10﹣6 C.2.1×10﹣5 D.2.1×10﹣4
【考点】科学记数法—表示较小的数.
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解：将数据0.000021用科学记数法表示为2.1×10﹣5.
故选：C.
5.若点M(﹣3，2)和点N(a，b)关于y轴对称，则 的值为()
A. B. C.﹣ D.﹣
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解.
【解答】解：∵点M(﹣3，2)和点N(a，b)关于y轴对称，
∴a=3，y=2，
所以， = .
故选A.
6.如图，在等边三角形ABC中，AB=2，点D为BC的中点，DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，则图中长度为1的线段有()
A.3条 B.4条 C.5条 D.6条
【考点】等边三角形的性质;平行线的性质.
【分析】根据等边三角形的性质进行解答即可.
【解答】解：∵等边三角形ABC中，AB=2，点D为BC的中点，DE∥AB，
∴图中长度为1的线段有BD，DC，DE，AE，EC，CF，
故选D
7.如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CE∥AB，得到∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE，由于∠BCD=180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，这个证明方法体现的数学思想是()
A.数形结合 B.特殊到一般 C.一般到特殊 D.转化
【考点】三角形内角和定理;平行线的判定.
【分析】根据三角形内角和定理的证明过程，可寻找到转化的解题思想，此题得解.
【解答】证明：∵∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE，∠BCD=∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，
∴∠BCA+∠BAC+∠ABC=180°.
此方法中用到了替换，体现了转化的思想.
故选D.
8.已知点P(0，1)，Q(5，4)，点M在x轴上运动，当MP+MQ的值最小时，点M的坐标为()
A.(0，0) B.(1，0) C.(3，0) D.(5，0)
【考点】轴对称-最短路线问题;坐标与图形性质.
【分析】作P点关于x 的对称点P′，根据轴对称的性质，PM=P′M，MP+MQ的最小值可转化为QP′的最小值，再求出P′Q所在的直线的解析式，即可求出直线与x轴的交点.
【解答】解：作P点关于x 的对称点P′，
∵P点的坐标为(0，1)，
∴P′(0，﹣1)PM=P′M，
连接P′Q，则P′Q与x轴的交点应为满足QM+PM的值最小，
即为M点.
设P′Q所在的直线的解析式为：y=kx+b，
于是有方程组 ，
解得： .
∴y=x﹣1，
当y=0时，x=1，
∴M(1，0).
故选B.
二、填空题(每小题3分，共24分)
9.五边形的内角和为 540° .
【考点】多边形内角与外角.
【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)?180°计算即可.
【解答】解：(5﹣2)?180°=540°.
故答案为：540°.
10.分解因式：a(a﹣2)﹣2(a﹣2)= (a﹣2)2 .
【考点】因式分解-提公因式法.
【分析】根据提取公因式法即可求出答案.
【解答】解：原式=(a﹣2)(a﹣2)=(a﹣2)2，
故答案为：(a﹣2)2
11.已知|x﹣y+2|+ =0，则x2﹣y2的值为 ﹣4 .
【考点】因式分解-运用公式法;非负数的性质：绝对值;非负数的性质：算术平方根.
【分析】由|x﹣y+2|+ =0，根据非负数的性质，可求得x﹣y与x+y的值，继而由x2﹣y2=(x﹣y)(x+y)求得答案.
【解答】解：∵|x﹣y+2|+ =0，
∴x﹣y+2=0，x+y﹣2=0，
∴x﹣y=﹣2，x+y=2，
∴x2﹣y2=(x﹣y)(x+y)=﹣4.
故答案为：﹣4.
12.当x= ﹣ 时，分式 的值为0.
【考点】分式的值为零的条件.
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值.
【解答】解：由分式的值为零的条件得2x+1=0，2x﹣1≠0，
由2x+1=0得x=﹣ ，
2x﹣1≠0得x≠ ，
故x=﹣ .
故答案是：﹣
13.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 50° .
【考点】线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可.
【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠DBC=15°，
∴∠ABC=∠A+15°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=∠A+15°，
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°.
故答案为：50°.
14.如图，一张三角形纸片ABC，AB=AC=5.折叠该纸片使点A落在边BC的中点上，折痕经过AC上的点E，则线段AE的长为 2.5 .
【考点】翻折变换(折叠问题).
【分析】如图，D为BC的中点，AD⊥BC，因为折叠该纸片使点A落在BC的中点D上，所以折痕EF垂直平分AD，根据平行线等分线段定理，易知E是AC的中点，故AE=2.5.
【解答】解：如图所示，
∵D为BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵折叠该纸片使点A落在BC的中点D上，
∴折痕EF垂直平分AD，
∴E是AC的中点，
∵AC=5
∴AE=2.5.
故答案为：2.5.
15.如图，△ABC与△ECD都是等边三角形，AB≠EC，下列结论中：①BE=AD;②∠BOD=120°;③OA=OD.正确的序号是 ①② .
【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
【分析】证明△BCE≌△ACD(SAS)，即可判断.
【解答】解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=∠BAC=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
∵∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，故①正确.
∵∠AOB=∠EBC+∠ADC，
∴∠AOB=∠EBC+∠BEC=∠DCE=60°.
∵∠AOB+∠BOD=180°，
∴∠BOD=120°，故②正确，
不能证明OA=OD，③错误，
故选：①②.
16.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE= ，则BC= 3 .
【考点】含30度角的直角三角形;角平分线的性质.
【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得.
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE= ，
又∵直角△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2 ，
∴BC=CD+BD= +2 =3 .
故答案为：3 .
三、解答题
17.解方程： = +1.
【考点】解分式方程.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解：去分母得：3=2x+3x﹣3，
移项合并得：5x=6，
解得：x=1.2，
经检验x=1.2是分式方程的解.
18.如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张?
【考点】多项式乘多项式.
【分析】根据长乘以宽，表示出大长方形的面积，即可确定出三类卡片的张数.
【解答】解：∵(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，
∴需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张.
四、完成下列各题
19.先化简，再化简： ÷ ﹣1，其中x=2﹣1.
【考点】分式的化简求值;负整数指数幂.
【分析】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值.
【解答】解：原式= ? ﹣1=x﹣1，
当x= 时，原式=﹣ .
20.如图，已知△ABC，∠C=90°，AC
(1)用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作法，保留作图痕迹);
(2)连结AD，若∠B=32°，求∠CAD的度数.
【考点】作图—基本作图;线段垂直平分线的性质.
【分析】(1)作线段AB的垂直平分线，交BC于一点，这点就是D点位置;
(2)根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC的度数，再根据等边对等角可得∠DAB的度数，进而可得答案.
【解答】解：(1)如图所示：点D即为所求;
(2)∵△ABC，∠C=90°，∠B=32°，
∴∠BAC=58°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB=32°，
∴∠CAD=58°﹣32°=26°.
21.已知，如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE=DE，求证：AC=BD.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】利用SAS证明△AEC≌△BED，即可得到AC=BD.
【解答】证明：∵CE=DE，
∴∠ECD=∠EDC，
∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC，
∴∠AEC=∠BED，
又∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED.
∴AC=BD.