1. 1 一元二次方程
1. 通过类比一元一次方程， 了解一元二次方程的概念及一般式 ax2＋bx＋＝0（a≠0）， 分清二次项及其系数、 一次项及其系数与常数项等概念。
2. 了解一元二次方程的解的概念， 会检验一个数是不是一元二次方程的解。
重点
通过类比一元一次方程， 了解一元二次方程的概念及一般式 ax2＋bx＋＝0（a≠0）和一元二次方程的解等概念， 并能用这些概念解决简单问题。
难点
一元二次方程及其二次项系数、 一次项系数和常数项的识别。
活动 1 复习旧知
1. 什么是方程？ 你能举一个方程的例子吗？
2. 下列哪些方程是一元一次方程？ 并给出一元一次方程的概念和一般形式。
（1）2x－1 （2）x＋n＝0 （3）1x＋1＝0 （4）x2＝1
3. 下列哪个实数是方程 2x－1＝3 的解？ 并给出方程的解的概念。
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
活动 2 探究新知
根据题意列方程。
1. 教材第 2 页 问题 1
提出问题：
（1）正方形的大小由什么量决定？ 本题应该设哪个量为未知数？
（2）本题中有什么数量关系？ 能利用这个数量关系列方程吗？ 怎么列方程？
（3）这个方程能整理为比较简单的形式吗？ 请说出整理之后的方程。
2. 教材第 2 页 问题 2
提出问题：
（1）本题中有哪些量？ 由这些量可以得到什么？
（2）比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？ 如果有个队参赛， 每个队比赛几场？ 一共有20 场比赛吗？ 如果不是 20 场比赛， 那么究竟比赛多少场？
（3）如果有 x 个队参赛， 一共比赛多少场呢？
3. 一个数比另一个数大 3， 且两个数之积为 0， 求这两个数。
提出问题：
本题需要设两个未知数吗？ 如果可以设一个未知数， 那么方程应该怎么列？
4. 一个正方形的面积的 2 倍等于 2， 这个正方形的边长是多少？
活动 3 归纳概念
提出问题：
（1）上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？
（2）类比一元一次方程， 我们可以给这一类方程取一个什么名字？
（3）归纳一元二次方程的概念。
1. 一元二次方程： 只含有________个未知数， 并且未知数的最高次数是________， 这样的________方程， 叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式是 ax2＋bx＋＝0（a≠0）， 其中 ax2 是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； 是常数项。
提出问题：
（1）一元二次方程的一般形式有什么特点？ 等号的左、 右分别是什么？
（2）为什么要 a≠0， b， 可以为 0 吗？
（3）2x2－x＋1＝0 的一次项系数是 1 吗？ 为什么？
3. 一元二次方程的解（根）： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）。
活动 4 例题与练习
例 1 在下列方程中， 属于一元二次方程的是________。
（1）4x2＝81； （2）2x2－1＝3； （3）1x2＋1x＝2；
（4）2x2－2x（x＋7）＝0
总结： 判断一个方程是否是一元二次方程的依据： （1）整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）含有未知数的项的最高次数是 2 注意有些方程化简前含有二次项， 但是化简后二次项系数为0， 这样的方程不是一元二次方程。
例 2 教材第 3 页 例题。
例 3 以－2 为根的一元二次方程是（
）
A. x2＋2x－1＝0 B. x2－x－2＝0
C. x2＋x＋2＝0 D. x2＋x－2＝0
总结： 判断一个数是否为方程的解， 可以将这个数代入方程， 判断方程左、 右两边的值是否相等。
练习：
1. 若（a－1）x2＋3ax－1＝0 是关于 x 的一元二次方程， 那么 a 的取值范围是________。
2. 将下列一元二次方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项系数、 一次项系数和常数项。
（1）4x2＝81； （2）（3x－2）（x＋1）＝8x－3
3. 教材第 4 页 练习第 2 题。
4. 若－4 是关于 x 的一元二次方程 2x2＋7x－＝0 的一个根， 则的值为________。
答案： 1a≠1； 2 略； 3 略； 4＝4
活动 课堂小结与作业布置
课课堂小结
我们学习了一元二次方程的哪些知识？ 一元二次方程的一般形式是什么？ 一般形式中有什么？ 你能解一元二次方程吗？
作业布置
教材第 4 页 习题 211 第 1～7 题 212 解一元二次方程
21. 21 配方法（3 时）
第 1 时 直接开平方法
理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想， 并能应用它解决一些具体问题。提出问题， 列出缺一次项的一元二次方程 ax2＋＝0， 根据平方根的意出这个方程， 然后知识迁移到解 a（ex＋f）2＋＝0 型的一元二次方程。
重点
运用开平方法解形如（x＋）2＝n（n≥0）的方程， 领会降次——转化的数学思想。
难点
通过根据平方根的意形如 x2＝n 的方程， 将知识迁移到根据平方根的意形如（x＋）2＝n（n≥0）的方程。
一、 复习引入
学生活动： 请同学们完成下列各题。
问题 1： 填空
（1）x2－8x＋________＝（x－________）2； （2）9x2＋12x＋________＝（3x＋________）2； （3）x2＋px＋________＝（x＋________）2
解： 根据完全平方公式可得： （1）16 4； （2）4 2； （3）（p2）2 p2
问题 2： 目前我们都学过哪些方程？ 二元怎样转化成一元？ 一元二次方程与一元一次方程有什么不同？ 二次如何转化成一次？ 怎样降次？ 以前学过哪些降次的方法？
二、 探索新知
上面我们已经讲了 x2＝9， 根据平方根的意义， 直接开平方得 x＝±3， 如果 x 换元为 2t＋1，即（2t＋1）2＝9， 能否也用直接开平方的方法求解呢？
（学生分组讨论）
老师点评： 回答是肯定的， 把 2t＋1 变为上面的 x， 那么 2t＋1＝±3即 2t＋1＝3， 2t＋1＝－3方程的两根为 t1＝1， t2＝－2
例 1 解方程： （1）x2＋4x＋4＝1 （2）x2＋6x＋9＝2
分析： （1）x2＋4x＋4 是一个完全平方公式， 那么原方程就转化为（x＋2）2＝1
（2）由已知， 得： （x＋3）2＝2
直接开平方， 得： x＋3＝±2
即 x＋3＝2， x＋3＝－2
所以， 方程的两根 x1＝－3＋2， x2＝－3－2
解： 略。
例 2 市计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10 2 提高到 144 2， 求每年人均住房面积增长率。
分析： 设每年人均住房面积增长率为 x， 一年后人均住房面积就应该是 10＋10x＝10（1＋x）； 二年后人均住房面积就应该是 10（1＋x）＋10（1＋x）x＝10（1＋x）2
解： 设每年人均住房面积增长率为 x，则： 10（1＋x）2＝144
（1＋x）2＝144
直接开平方， 得 1＋x＝±12
即 1＋x＝12， 1＋x＝－12
所以， 方程的两根是 x1＝02＝20%， x2＝－22
因为每年人均住房面积的增长率应为正的， 因此， x2＝－22 应舍去。
所以， 每年人均住房面积增长率应为 20%
（学生小结）老师引导提问： 解一元二次方程， 它们的共同特点是什么？
共同特点： 把一个一元二次方程“降次”， 转化为两个一元一次方程。 我们把这种思想称为“降次转化思想”。
三、 巩固练习
教材第 6 页 练习。
四、 课堂小结
本节应掌握： 由应用直接开平方法解形如 x2＝p（p≥0）的方程， 那么 x＝±p 转化为应用直接开平方法解形如（x＋n）2＝p（p≥0）的方程， 那么 x＋n＝±p， 达到降次转化之目的。 若 p＜0 则方程无解。
五、 作业布置
教材第 16 页 复习巩固 1 第 2 时 配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程， 并能熟练应用它解决一些具体问题。通过复习可直接化成 x2＝p（p≥0）或（x＋n）2＝p（p≥0）的一元二次方程的解法， 引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤。
重点
讲清直接降次有困难， 如 x2＋6x－16＝0 的一元二次方程的解题步骤。
难点
将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧。
一、 复习引入
（学生活动）请同学们解下列方程：
（1）3x2－1＝ （2）4（x－1）2－9＝0 （3）4x2＋16x＋16＝9 （4）4x2＋16x＝－7
老师点评： 上面的方程都能化成 x2＝p 或（x＋n）2＝p（p≥0）的形式， 那么可得x＝±p 或 x＋n＝±p（p≥0）。
如： 4x2＋16x＋16＝（2x＋4）2， 你能把 4x2＋16x＝－7 化成（2x＋4）2＝9 吗？
二、 探索新知
列出下面问题的方程并回答：
（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
（2）能否直接用上面前三个方程的解法呢？
问题： 要使一块矩形场地的长比宽多 6 ， 并且面积为 16 2， 求场地的长和宽各是多少？
（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是： 前三个左边是含有 x的完全平方式而后二个不具有此特征。
（2）不能。
既然不能直接降次解方程， 那么， 我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面， 我们就讲如何转化：
x2＋6x－16＝0 移项→x2＋6x＝16
两边加（6/2）2 使左边配成 x2＋2bx＋b2 的形式→x2＋6x＋32＝16＋9
左边写成平方形式→（x＋3）2＝2 降次→x＋3＝±即 x＋3＝或 x＋3＝解一次方程→x1＝2， x2＝－8
可以验证： x1＝2， x2＝－8 都是方程的根， 但场地的宽不能是负值， 所以场地的宽为 2 ，长为 8
像上面的解题方法， 通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法， 叫配方法。
可以看出， 配方法是为了降次， 把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程解。
例 1 用配方法解下列关于 x 的方程：
（1）x2－8x＋1＝0 （2）x2－2x－12＝0
分析： （1）显然方程的左边不是一个完全平方式， 因此， 要按前面的方法化为完全平方式；
（2）同上。
解： 略。
三、 巩固练习
教材第 9 页 练习 1， 2（1）（2）。
四、 课堂小结
本节应掌握：
左边不含有 x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有 x 的完全平方形式， 右边是非负数， 可以直接降次解方程的方程。
五、 作业布置
教材第 17 页 复习巩固 2， 3（1）（2）。 第 3 时 配方法的灵活运用了解配方法的概念， 掌握运用配方法解一元二次方程的步骤。通过复习上一节的解题方法， 给出配方法的概念， 然后运用配方法解决一些具体题目。
重点
讲清配方法的解题步骤。
难点
对于用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程， 通常把常数项移到方程右边后， 两边加上的常数是一次项系数一半的平方； 对于二次项系数不为 1 的一元二次方程， 要先化二次项系数为 1， 再用配方法求解。
一、 复习引入
（学生活动）解下列方程：
（1）x2－4x＋7＝0 （2）2x2－8x＋1＝0
老师点评： 我们上一节， 已经学习了如何解左边不含有 x 的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题， 那么这两道题也可以用上面的方法进行解题。
解： 略。 （2）与（1）有何关联？
二、 探索新知
讨论： 配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）先将已知方程化为一般形式；
（2）化二次项系数为 1；
（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方， 使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为（x＋p）2＝q 的形式， 如果 q≥0， 方程的根是 x＝－p±q； 如果 q＜0， 方程无实根。
例 1 解下列方程：
（1）2x2＋1＝3x （2）3x2－6x＋4＝0 （3）（1＋x）2＋2（1＋x）－4＝0
分析： 我们已经介绍了配方法， 因此， 我们解这些方程就可以用配方法完成， 即配一个含有 x 的完全平方式。
解： 略。
三、 巩固练习
教材第 9 页 练习 2（3）（4）（5）（6）。
四、 课堂小结
本节应掌握：
1. 配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤。
2. 配方法是解一元二次方程的通法， 它的重要性， 不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方， 利用非负数的性质判断代数式的正负性。 在今后学习二次函数， 到高中学习二次曲线时， 还将经常用到。
五、 作业布置
教材第 17 页 复习巩固 3（3）（4）。
补充： （1）已知 x2＋2＋z2－2x＋4－6z＋14＝0， 求 x＋＋z 的值。
（2）求证： 无论 x， 取任何实数， 多项式 x2＋2－2x－4＋16 的值总是正数 2122 公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程， 了解公式法的概念， 会熟练应用公式法解一元二次方程。
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程， 引入 ax2＋bx＋＝0（a≠0）的求根公式的推导， 并应用公式法解一元二次方程。
重点
求根公式的推导和公式法的应用。
难点
一元二次方程求根公式的推导。
一、 复习引入
1. 前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”， 比如， 方程（1）x2＝4 （2）（x－2）2＝7提问 1 这种解法的（理论）依据是什么？提问 2 这种解法的局限性是什么？ （只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。 ）
2. 面对这种局限性， 怎么办？ （使用配方法， 把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。 ）
（学生活动）用配方法解方程 2x2＋3＝7x
（老师点评）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结， 老师点评）。
（1）先将已知方程化为一般形式；
（2）化二次项系数为 1；
（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方， 使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为（x＋p）2＝q 的形式， 如果 q≥0， 方程的根是 x＝－p±q； 如果 q＜0， 方程无实根。
二、 探索新知
用配方法解方程：
（1）ax2－7x＋3＝0 （2）ax2＋bx＋3＝0
如果这个一元二次方程是一般形式 ax2＋bx＋＝0（a≠0）， 你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根， 请同学完成下面这个问题。
问题： 已知 ax2＋bx＋＝0（a≠0）， 试推导它的两个根 x1＝－b＋b2－4a2a， x2＝－b－b2－
4a2a（这个方程一定有解吗？ 什么情况下有解？ ）
分析： 因为前面具体数字已做得很多， 我们现在不妨把 a， b， 也当成一个具体数字， 根据上面的解题步骤就可以一直推下去。
解： 移项， 得： ax2＋bx＝二次项系数化为 1， 得 x2＋bax＝－a
配方， 得： x2＋bax＋（b2a）2＝－a＋（b2a）2
即（x＋b2a）2＝b2－4a4a2
∵4a2>0， 当 b2－4a≥0 时， b2－4a4a2≥0
∴（x＋b2a）2＝（b2－4a2a）2
直接开平方， 得： x＋b2a＝±b2－4a2a
即 x＝－b±b2－4a2a
∴x1＝－b＋b2－4a2a， x2＝－b－b2－4a2a
由上可知， 一元二次方程 ax2＋bx＋＝0（a≠0）的根由方程的系数 a， b， 而定， 因此：
（1）解一元二次方程时， 可以先将方程化为一般形式 ax2＋bx＋＝0， 当 b2－4a≥0 时， 将 a，b， 代入式子 x＝－b±b2－4a2a 就得到方程的根。
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式。
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
公式的理解
（4）由求根公式可知， 一元二次方程最多有两个实数根。
例 1 用公式法解下列方程：
（1）2x2－x－1＝0 （2）x2＋1＝－3x
（3）x2－2x＋12＝0 （4）4x2－3x＋2＝0
分析： 用公式法解一元二次方程， 首先应把它化为一般形式， 然后代入公式即可。
补： （5）（x－2）（3x－）＝0
三、 巩固练习
教材第 12 页 练习 1（1）（3）（5）或（2）（4）（6）。
四、 课堂小结
本节应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程的步骤： 1）将所给的方程变成一般形式， 注意移项要变号，尽量让 a>0； 2）找出系数 a， b， ， 注意各项的系数包括符号； 3）计算 b2－4a， 若结果为负数，
方程无解； 4）若结果为非负数， 代入求根公式， 算出结果。
（4）初步了解一元二次方程根的情况。
五、 作业布置
教材第 17 页 习题 4， 2123 因式分解法
掌握用因式分解法解一元二次方程。
通过复习用配方法、 公式法解一元二次方程， 体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程， 并应用因式分解法解决一些具体问题。
重点
用因式分解法解一元二次方程。
难点
让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便。
一、 复习引入
（学生活动）解下列方程：
（1）2x2＋x＝0（用配方法） （2）3x2＋6x＝0（用公式法）
老师点评： （1）配方法将方程两边同除以 2 后， x 前面的系数应为 12， 12 的一半应为 14，因此， 应加上（14）2， 同时减去（14）2（2）直接用公式求解。
二、 探索新知
（学生活动）请同学们口答下面各题。
（老师提问）（1）上面两个方程中有没有常数项？
（2）等式左边的各项有没有共同因式？
（学生先答， 老师解答）上面两个方程中都没有常数项； 左边都可以因式分解。
因此， 上面两个方程都可以写成：
（1）x（2x＋1）＝0 （2）3x（x＋2）＝0
因为两个因式乘积要等于 0， 至少其中一个因式要等于 0， 也就是（1）x＝0 或 2x＋1＝0， 所
以 x1＝0， x2＝－12
（2）3x＝0 或 x＋2＝0， 所以 x1＝0， x2＝－2（以上解法是如何实现降次的？ ）
因此， 我们可以发现， 上述两个方程中， 其解法都不是用开平方降次， 而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式， 再使这两个一次式分别等于 0， 从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。
例 1 解方程：
（1）10x－49x2＝0 （2）x（x－2）＋x－2＝0 （3）x2－2x－14＝x2－2x＋34 （4）（x－1）2＝（3－
2x）2
思考： 使用因式分解法解一元二次方程的条是什么？
解： 略 （方程一边为 0， 另一边可分解为两个一次因式乘积。 ）
练习： 下面一元二次方程解法中， 正确的是（5）
A. （x－3）（x－）＝10×2， ∴x－3＝10， x－＝2， ∴x1＝13， x2＝7
B. （2－x）＋（x－2）2＝0， ∴（x－2）（x－3）＝0， ∴x1＝2， x2＝3
C.（x＋2）2＋4x＝0， ∴x1＝2， x2＝－2
D. x2＝x， 两边同除以 x， 得 x＝1
三、 巩固练习
教材第 14 页 练习 1， 2
四、 课堂小结
本节要掌握：
（1）用因式分解法， 即用提取公因式法、 十字相乘法等解一元二次方程及其应用。
（2）因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘， 另一边为 0， 再分别使各一次因式等于0
五、 作业布置
教材第 17 页 习题 6， 8， 10， 112124 一元二次方程的根与系数的关系
1. 掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用。
2. 培养学生分析、 观察、 归纳的能力和推理论证的能力。
3. 渗透由特殊到一般， 再由一般到特殊的认识事物的规律。
4. 培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。
重点
根与系数的关系及其推导
难点
正确理解根与系数的关系。 一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、 两根的积与系数的关系。
一、 复习引入
1. 已知方程 x2－ax－3a＝0 的一个根是 6， 则求 a 及另一个根的值。
2. 由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系。 其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系， 这种关系比较复杂， 是否有更简洁的关系？
3. 由求根公式可知， 一元二次方程 ax2＋bx＋＝0（a≠0）的两根为 x1＝－b＋b2－4a2a， x2＝－b－b2－4a2a 观察两式右边， 分母相同， 分子是－b＋b2－4a 与－b－b2－4a 两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？
二、 探索新知
解下列方程， 并填写表格：
方程 x1 x2 x1＋x2 x1?x2
x2－2x＝0
x2＋3x－4＝0
x2－x＋6＝0
观察上面的表格， 你能得到什么结论？
（1）关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0（p， q 为常数， p2－4q≥0）的两根 x1， x2 与系数 p， q 之间有什么关系？
（2）关于 x 的方程 ax2＋bx＋＝0（a≠0）的两根 x1， x2 与系数 a， b， 之间又有何关系呢？ 你能证明你的猜想吗？
解下列方程， 并填写表格：
方程 x1 x2 x1＋x2 x1?x2
2x2－7x－4＝0
3x2＋2x－＝0
x2－17x＋6＝0
小结： 根与系数关系：
（1）关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0（p， q 为常数， p2－4q≥0）的两根 x1， x2 与系数 p， q 的关系是： x1＋x2＝－p， x1?x2＝q（注意： 根与系数关系的前提条是根的判别式必须大于或等于零。 ）
（2）形如 ax2＋bx＋＝0（a≠0）的方程， 可以先将二次项系数化为 1， 再利用上面的结论。
即： 对于方程 ax2＋bx＋＝0（a≠0）
∵a≠0， ∴x2＋bax＋a＝0
∴x1＋x2＝－ba， x1?x2＝a
（可以利用求根公式给出证明）
例 1 不解方程， 写出下列方程的两根和与两根积：
（1）x2－3x－1＝0
（2）2x2＋3x－＝0
（3）13x2－2x＝0 （4）2x2＋6x＝3
（5）x2－1＝0 （6）x2－2x＋1＝0
例 2 不解方程， 检验下列方程的解是否正确？
（1）x2－22x＋1＝0 （x1＝2＋1， x2＝2－1）
（2）2x2－3x－8＝0 （x1＝7＋734， x2＝－734）
例 3 已知一元二次方程的两个根是－1 和 2， 请你写出一个符合条的方程。 （你有几种方法？ ）
例 4 已知方程 2x2＋x－9＝0 的一个根是－3， 求另一根及的值。
变式一： 已知方程 x2－2x－9＝0 的两根互为相反数， 求；
变式二： 已知方程 2x2－x＋＝0 的两根互为倒数， 求
三、 课堂小结
1. 根与系数的关系。
2. 根与系数关系使用的前提是： （1）是一元二次方程； （2）判别式大于等于零。
四、 作业布置
1. 不解方程， 写出下列方程的两根和与两根积。
（1）x2－x－3＝0 （2）9x＋2＝x2 （3）6x2－3x＋2＝0
（4）3x2＋x＋1＝0
2. 已知方程 x2－3x＋＝0 的一个根为 1， 求另一根及的值。
3. 已知方程 x2＋bx＋6＝0 的一个根为－2， 求另一根及 b 的值 213 实际问题与一元二次
方程（2 时）
第 1 时 解决代数问题
1. 经历用一元二次方程解决实际问题的过程， 总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤。
2. 通过学生自主探究， 会根据传播问题、 百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解， 熟悉解题的具体步骤。
3. 通过实际问题的解答， 让学生认识到对方程的解必须要进行检验， 方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准。
重点
利用一元二次方程解决传播问题、 百分率问题。
难点
如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长（降低）过程， 找到传播问题和百分率问题中的数量关系。
一、 引入新
1. 列方程解应用题的基本步骤有哪些？ 应注意什么？
2. 科学家在细胞研究过程中发现：
（1）一个细胞一次可成 2 个， 经过 3 次后共有多少个细胞？
（2）一个细胞一次可成 x 个， 经过 3 次后共有多少个细胞？
（3）如是一个细胞一次可成 2 个， 后原有细胞仍然存在并能再次， 试问经过 3次后共有多少个细胞？
二、 教学活动
活动 1： 自学教材第 19 页探究 1， 思考教师所提问题。
有一人患了流感， 经过两轮传染后， 有 121 人患了流感， 每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（1）如何理解“两轮传染”？ 如果设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人， 第一轮传染后共有________人患流感。 第二轮传染后共有________人患流感。
（2）本题中有哪些数量关系？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
解答： 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人， 则依题意第一轮传染后有（x＋1）人患了流感， 第二轮有 x（1＋x）人被传染上了流感。 于是可列方程：
1＋x＋x（1＋x）＝121
解方程得 x1＝10， x2＝－12（不合题意舍去）
因此每轮传染中平均一个人传染了 10 个人。
变式练习： 如果按这样的传播速度， 三轮传染后有多少人患了流感？
活动 2： 自学教材第 19 页～第 20 页探究 2， 思考老师所提问题。
两年前生产 1 吨甲种药品的成本是 000 元， 生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元， 随着生产技术的进步， 现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元， 生产 1 吨乙种药品的成本是 3600元， 哪种药品成本的年平均下降率较大？
（1）如何理解年平均下降额与年平均下降率？ 它们相等吗？
（2）若设甲种药品年平均下降率为 x， 则一年后， 甲种药品的成本下降了________元， 此时成本为________元； 两年后， 甲种药品下降了________元， 此时成本为________元。
（3）增长率（下降率）公式的归纳： 设基准数为 a， 增长率为 x， 则一月 （或一年）后产量为 a（1±x）；二月 （或二年）后产量为 a（1±x）2；n 月 （或 n 年）后产量为 a（1±x）n；如果已知 n 月 （n 年）后总产量为， 则有下面等式： ＝a（1±x）n
（4）对甲种药品而言根据等量关系列方程为： ________________
三、 课堂小结与作业布置
课堂小结
1. 列一元二次方程解应用题的步骤： 审、 设、 找、 列、 解、 答。 最后要检验根是否符合
实际。
2. 传播问题解决的关键是传播的确定和等量关系的建立。
3. 若平均增长（降低）率为 x， 增长（或降低）前的基准数是 a， 增长（或降低）n 次后的量是 b，则有： a（1±x）n＝b（常见 n＝2）。
4. 成本下降额较大的药品， 它的下降率不一定也较大， 成本下降额较小的药品， 它的下降率不一定也较小。
作业布置
教材第 21－22 页 习题 213 第 2－7 题。 第 2 时 解决几何问题
1. 通过探究， 学会分析几何问题中蕴含的数量关系， 列出一元二次方程解决几何问题。
2. 通过探究， 使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换， 使列方程更容易。
3. 通过实际问题的解答， 再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验， 方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准。
重点
通过实际图形问题， 培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力。
难点
在探究几何问题的过程中， 找出数量关系， 正确地建立一元二次方程。
活动 1 创设情境
1. 长方形的周长________， 面积________， 长方体的体积公式________。
2. 如图所示：
（1）一块长方形铁皮的长是 10 ， 宽是 8 ， 四角各截去一个边长为 2 的小正方形， 制成一个长方体容器， 这个长方体容器的底面积是________， 高是________， 体积是________。
（2）一块长方形铁皮的长是 10 ， 宽是 8 ， 四角各截去一个边长为 x 的小正方形， 制成一个长方体容器， 这个长方体容器的底面积是________， 高是________， 体积是________。
活动 2 自学教材第 20 页～第 21 页探究 3， 思考老师所提问题
要设计一本书的封面， 封面长 27 ， 宽 21 ， 正是一个与整个封面长宽比例相同的矩形， 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一， 上下边衬等宽， 左右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽度（精确到 01 ）。
（1）要设计书本封面的长与宽的比是________， 则正矩形的长与宽的比是________。
（2）为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为 9∶ 7？ 试与同伴交流一下。
（3）若设上、 下边衬的宽均为 9x ， 左、 右边衬的宽均为 7x ， 则矩形的长为________，宽为________， 面积为________2
（4）根据等量关系： ________， 可列方程为： ________
（５）你能写出解题过程吗？ （注意对结果是否合理进行检验。 ）
（6）思考如果设正矩形的长与宽分别为 9x 和 7x ， 你又怎样去求上下、左右边衬的宽？
活动 3 变式练习
如图所示， 在一个长为 0 米， 宽为 30 米的矩形空地上， 建造一个花园， 要求花园的面积占整块面积的 7%， 等宽且互相垂直的两条路的面积占 2%， 求路的宽度。
答案： 路的宽度为米。
活动 4 课堂小结与作业布置
课课堂小结
1. 利用已学的特殊图形的面积（或体积）公式建立一元二次方程的数学模型， 并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系。
2. 根据面积与面积（或体积）之间的等量关系建立一元二次方程， 并能正确解方程， 最后对所得结果是否合理要进行检验。
作业布置
教材第 22 页 习题 213 第 8， 10 题。
第二十二 二次函数
22. 1 二次函数的图象和性质
22. 11 二次函数
1. 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程， 进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2. 理解二次函数的概念， 掌握二次函数的形式。
3. 会建立简单的二次函数的模型， 并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
重点
二次函数的概念和解析式。
难点
本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂， 要求学生有较强的概括能力。
一、 创设情境， 导入新
问题 1 现有一根 12 长的绳子， 用它围成一个矩形， 如何围法， 才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时， 它的面积最大， 他说的有道理吗？
问题 2 很多同学都喜欢打篮球， 你知道吗： 投篮时， 篮球运动的路线是什么曲线？ 怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型解决， 今天我们学习“二次函数”（板书题）。
二、 合作学习， 探索新知
请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量与 x 之间的关系：
（1）圆的半径 x（5）与面积（2）；
（2）王先生存入银行 2 万元， 先存一个一年定期， 一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期， 设一年定期的年存款利率为 x， 两年后王先生共得本息元；
（3）拟建中的一个温室的平面图如图， 如果温室外围是一个矩形， 周长为 120 ， 室内通道的尺寸如图， 设一条边长为 x （5）， 种植面积为（2）。
（一）教师组织合作学习活动：
1. 先个体探求， 尝试写出与 x 之间的函数解析式。
2. 上述三个问题先易后难， 在个体探求的基础上， 小组进行合作交流， 共同探讨。
（1）＝πx2 （2）＝20000（1＋x）2＝20000x2＋40000x＋20000 （3）＝（60－x－4）（x－2）＝－x2＋8x－112
（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
让学生充分发表意见， 提出各自看法。
教师归纳总结： 上述三个函数解析式经化简后都具有＝ax2＋bx＋（a， b， 是常数， a≠0）的形式。
板书： 我们把形如＝ax2＋bx＋（其中 a， b， 是常数， a≠0）的函数叫做二次函数（quadrati funtin），称 a 为二次项系数， b 为一次项系数， 为常数项。
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、 一次项系数和常数项。
三、 做一做
1. 下列函数中， 哪些是二次函数？
（1）＝x2 （2）＝－1x2 （3）＝2x2－x－1
（4）＝x（1－x） （5）＝（x－1）2－（x＋1）（x－1）
2. 分别说出下列二次函数的二次项系数、 一次项系数和常数项：
（1）＝x2＋1 （2）＝3x2＋7x－12 （3）＝2x（1－x）
3. 若函数＝（2－1）x2－为二次函数， 则的值为________。
四、 课堂小结
反思提高， 本节你有什么收获？
五、 作业布置
教材第 41 页 第 1， 2 题 2212 二次函数＝ax2 的图象和性质
通过画图， 了解二次函数＝ax2（a≠0）的图象是一条抛物线， 理解其顶点为何是原点， 对称轴为何是轴， 开口方向为何向上（或向下）， 掌握其顶点、 对称轴、 开口方向、 最值和增减性与解析式的内在关系， 能运用相关性质解决有关问题。
重点
从“数”（解析式）和“形”（图象）的角度理解二次函数＝ax2 的性质， 掌握二次函数解析式＝ax2与函数图象的内在关系。
难点
画二次函数＝ax2 的图象。
一、 引入新
1. 下列哪些函数是二次函数？ 哪些是一次函数？
（1）＝3x－1 （2）＝2x2＋7 （3）＝x－2
（4）＝3（x－1）2＋1
2. 一次函数的图象， 正比例函数的图象各是怎样的呢？ 它们各有什么特点， 又有哪些性质呢？
3. 上节我们学习了二次函数的概念， 掌握了它的一般形式， 这节我们先探究二次函数中最简单的＝ax2 的图象和性质。
二、 教学活动
活动 1： 画函数＝－x2 的图象。
（1）多媒体展示画法（列表， 描点， 连线）。
（2）提出问题： 它的形状类似于什么？
（3）引出一般概念： 抛物线， 抛物线的对称轴、 顶点。
活动 2： 在坐标纸上画函数＝－0x2， ＝－2x2 的图象。
（1）教师巡视， 展示学生的作品并进行点拨； 教师再用多媒体展示正确的画图过程。
（2）引导学生观察二次函数＝－0x2， ＝－2x2 与函数＝－x2 的图象， 提出问题： 它们有什么共同点和不同点？
（3）归纳总结：
共同点： ①它们都是抛物线； ②除顶点外都处于 x 轴的下方； ③开口向下； ④对称轴是轴；
⑤顶点都是原点（0， 0）。
不同点： 开口大小不同。
（4）教师强调指出： 这三个特殊的二次函数＝ax2 是当 a＜0 时的情况。 系数 a 越大， 抛物线开口越大。
活动 3： 在同一个直角坐标系中画函数＝x2， ＝0x2， ＝2x2 的图象。
类似活动 2： 让学生归纳总结出这些图象的共同点和不同点， 再进一步提炼出二次函数＝ax2（a≠0）的图象和性质。
二次函数＝ax2（a≠0）的图象和性质图象（草图） 开口方向 顶点 对称轴 最高或最低点 最值
a＞0 当 x＝____时，有最____值，是________a＜0 当 x＝____时，有最____值，是________
活动 4： 达标检测
（1）函 数＝ － 8x2 的图象开口 向 ________， 顶点是________， 对称轴是________， 当x________时， 随 x 的增大而减小。
（2）二次函数＝（2－）x2 的图象如图所示， 则的取值范围为________。
（3）如图， ①＝ax2； ②＝bx2； ③＝x2； ④＝dx2 比较 a， b， ， d 的大小， 用“＞”连接________。
答案： （1）下， （0， 0）， x＝0， ＞0； （2）＞2； （3）a＞b＞d＞
三、 课堂小结与作业布置
课课堂小结
1. 二次函数的图象都是抛物线。
2. 二次函数＝ax2 的图象性质：
（1）抛物线＝ax2 的对称轴是轴， 顶点是原点。
（2）当 a＞0 时， 抛物线的开口向上， 顶点是抛物线的最低点； 当 a＜0 时， 抛物线的开口向下， 顶点是抛物线的最高点； |a|越大， 抛物线的开口越小。
作业布置
教材第 32 页 练习。
22. 13 二次函数＝a（x－h）2＋的图象和性质
1. 经历二次函数图象平移的过程； 理解函数图象平移的意义。
2. 了解＝ax2， ＝a（x－h）2， ＝a（x－h）2＋三类二次函数图象之间的关系。
3. 会从图象的平移变换的角度认识＝a（x－h）2＋型二次函数的图象特征。
重点
从图象的平移变换的角度认识＝a（x－h）2＋型二次函数的图象特征。
难点
对于平移变换的理解和确定， 学生较难理解。
一、 复习引入
二次函数＝ax2 的图象和特征：
1. 名称________； 2 顶点坐标________； 3 对称轴________； 4 当 a＞0 时， 抛物线的开口向________， 顶点是抛物线上的最________点， 图象在 x 轴的________（除顶点外）； 当 a＜0时， 抛物线的开口向________， 顶点是抛物线上的最________点， 图象在 x 轴的________（除顶点外）。
二、 合作学习
在同一坐标系中画出函数＝12x2， ＝12（x＋2）2， ＝12（x－2）2 的图象。
（1）请比较这三个函数图象有什么共同特征？
（2）顶点和对称轴有什么关系？
（3）图象之间的位置能否通过适当的变换得到？
（4）由此， 你发现了什么？
三、 探究二次函数＝ax2 和＝a（x－h）2 图象之间的关系
1. 结合学生所画图象， 引导学生观察＝12（x＋2）2 与＝12x2 的图象位置关系， 直观得出＝12x2 的图象――→向左平移两个单位＝12（x＋2）2 的图象。
教师可以采取以下措施： ①借助几何画板演示几个对应点的位置关系， 如：
（0， 0）――→向左平移两个单位（－2， 0）；
（2， 2）――→向左平移两个单位（0， 2）；
（－2， 2）――→向左平移两个单位（－4， 2）。
②也可以把这些对应点在图象上用彩色粉笔标出， 并用带箭头的线段表示平移过程。
2. 用同样的方法得出＝12x2 的图象――→向右平移两个单位＝12（x－2）2 的图象。
3. 请你总结二次函数＝a（x－h）2 的图象和性质。
＝ax2（a≠0）的图象――→当 h＞0 时， 向右平移 h 个单位当 h＜0 时， 向左平移|h|个单位＝a（x－h）2 的图象。函数＝a（x－h）2 的图象的顶点坐标是（h， 0）， 对称轴是直线 x＝h
4. 做一做
（1）抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
＝2（x＋3）2
＝－3（x－1）2
＝－4（x－3）2
（2）填空：
①抛物线＝2x2 向________平移________个单位可得到＝2（x＋1）2；
②函数＝－（x－4）2 的图象可以由抛物线________向________平移________个单位而得到。
四、 探究二次函数＝a（x－h）2＋和＝ax2 图象之间的关系
1. 在上面的平面直角坐标系中画出二次函数＝12（x＋2）2＋3 的图象。
首先引导学生观察比较＝12（x＋2）2 与＝12（x＋2）2＋3 的图象关系， 直观得出： ＝12（x＋2）2的图象――→向上平移 3 个单位＝12（x＋2）2＋3 的图象。 （结合多媒体演示）再引导学生观察刚才得到的＝12x2 的图象与＝12（x＋2）2 的图象之间的位置关系， 由此得出： 只要把抛物线＝12x2 先向左平移 2 个单位， 在向上平移 3 个单位， 就可得到函数＝12（x＋2）2＋3 的图象。
2. 做一做： 请填写下表：
函数解析式 图象的对称轴 图象的顶点坐标
＝12x2
＝12（x＋2）2
＝12（x＋2）2＋3
3 总结＝a（x－h）2＋的图象和＝ax2 图象的关系＝ax2（a≠0）的图象――→当 h＞0 时， 向右平移 h 个单位当 h＜0 时， 向左平移|h|个单位＝a（x－h）2 的图象――→当＞0 时， 向上平移个单位当＜0 时， 向下平移||个单位＝a（x－h）2＋的图象。
＝a（x－h）2＋的图象的对称轴是直线 x＝h， 顶点坐标是（h， ）。
口诀： （h， ）正负左右上下移（h 左加右减， 上加下减）
从二次函数＝a（x－h）2＋的图象可以看出：
如果 a＞0， 当 x＜h 时， 随 x 的增大而减小， 当 x＞h 时， 随 x 的增大而增大； 如果 a＜0，当 x＜h 时， 随 x 的增大而增大， 当 x＞h 时， 随 x 的增大而减小。
4. 练习： 本第 37 页 练习
五、 课堂小结
1. 函数＝a（x－h）2＋的图象和函数＝ax2 图象之间的关系。
2. 函数＝a（x－h）2＋的图象在开口方向、 顶点坐标和对称轴等方面的性质。
六、 作业布置
教材第 41 页 第题 2214 二次函数＝ax2＋bx＋的图象和性质（2 时）
第 1 时 二次函数＝ax2＋bx＋的图象和性质
1. 掌握用描点法画出二次函数＝ax2＋bx＋的图象。
2. 掌握用图象或通过配方确定抛物线＝ax2＋bx＋的开口方向、 对称轴和顶点坐标。
3. 经历探索二次函数＝ax2＋bx＋的图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标以及配方的过程，
理解二次函数＝ax2＋bx＋的性质。
重点
通过图象和配方描述二次函数＝ax2＋bx＋的性质。
难点
理解二次函数一般形式＝ax2＋bx＋（a≠0）的配方过程， 发现并总结＝ax2＋bx＋与＝a（x－h）2＋的内在关系。
一、 导入新
1. 二次函数＝a（x－h）2＋的图象， 可以由函数＝ax2 的图象先向________平移________个单位， 再向________平移________个单位得到。
2. 二次函数＝a（x－h）2＋的图象的开口方向________， 对称轴是________， 顶点坐标是________。
3. 二次函数＝12x2－6x＋21， 你能很容易地说出它的图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标， 并画出图象吗？
二、 教学活动
活动 1： 通过配方， 确定抛物线＝12x2－6x＋21 的开口方向、 对称轴和顶点坐标， 再描点画图。
（1）多媒体展示画法（列表， 描点， 连线）；
（2）提出问题： 它的开口方向、 对称轴和顶点坐标分别是什么？
（3）引导学生合作、 讨论观察图象： 在对称轴的左右两侧， 抛物线从左往右的变化趋势。
活动 2： 1 不画出图象， 你能直接说出函数＝－x2＋2x－3 的图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标吗？
2. 你能画出函数＝－x2＋2x－3 的图象， 并说明这个函数具有哪些性质吗？
（1）在学生画函数图象的同时， 教师巡视、 指导；
（2）抽一位或两位同学板演， 学生自纠， 老师点评；
（3）让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？ 这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？
活动 3： 对于任意一个二次函数＝ax2＋bx＋（a≠0）， 如何确定它的图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标？ 你能把结果写出吗？
（1）组织学生分组讨论， 教师巡视；
（2）各组选派代表发言， 全班交流， 达成共识， 抽学生板演配方过程； 教师展示二次函数＝ax2＋bx＋（a＞0）和＝ax2＋bx＋（a＜0）的图象。
（3）引导学生观察二次函数＝ax2＋bx＋（a≠0）的图象， 在对称轴的左右两侧， 随 x 的增大有什么变化规律？
（4）引导学生归纳总结二次函数＝ax2＋bx＋（a≠0）的图象和性质。
活动 4： 已知抛物线＝x2－2ax＋9 的顶点在坐标轴上， 求 a 的值。
活动： 检测反馈
1. 填空：
（1）抛物线＝x2－2x＋2 的顶点坐标是________；
（2）抛物线＝2x2－2x－1 的开口________， 对称轴是________；
（3）二次函数＝ax2＋4x＋a 的最大值是 3， 则 a＝________
2. 写出下列抛物线的开口方向、 对称轴和顶点坐标。
（1）＝3x2＋2x； （2）＝－2x2＋8x－8
3. 求二次函数＝x2＋2x＋3（＞0）的图象的对称轴， 并说出该图象具有哪些性质。
4. 抛物线＝ax2＋2x＋的顶点是（－1， 2）， 则 a， 的值分别是多少？
答案： 1（1）（1， 1）； （2）向上， x＝12； （3）－1； 2（1）开口向上， x＝－13， （－13， －13）； （2）
开口向下， x＝2， （2， 0）； 3 对称轴 x＝－1， 当＞0 时， 开口向上， 顶点坐标是（－1， 3－）；4a＝1， ＝3
三、 课堂小结与作业布置
课堂小结
二次函数＝ax2＋bx＋（a≠0）的图象与性质。
作业布置
教材第 41 页 第 6 题。 第 2 时 用待定系数法求二次函数的解析式
1. 掌握二次函数解析式的三种形式， 并会选用不同的形式， 用待定系数法求二次函数的解析式。
2. 能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向， 顶点坐标， 对称轴， 最值和增减性。
3. 能根据二次函数的解析式画出函数的图象， 并能从图象上观察出函数的一些性质。
重点
二次函数的解析式和利用函数的图象观察性质。
难点
利用图象观察性质。
一、 复习引入
1. 抛物线＝－2（x＋4）2－的顶点坐标是________， 对称轴是________， 在________________侧， 即 x________－4 时， 随着 x 的增大而增大； 在________________侧， 即 x________－4时， 随着 x 的增大而减小； 当 x＝________时， 函数最________值是________。
2. 抛物线＝2（x－3）2＋6 的顶点坐标是________， 对称轴是________， 在________________侧， 即 x________3 时， 随着 x 的增大而增大； 在________________侧， 即 x________3 时，随着 x 的增大而减小； 当 x＝________时， 函数最________值是________。
二、 例题讲解
例 1 根据下列条求二次函数的解析式：
（1）函数图象经过点 A（－3， 0）， B（1， 0）， （0， －2）；
（2）函数图象的顶点坐标是（2， 4）， 且经过点（0， 1）；
（3）函数图象的对称轴是直线 x＝3， 且图象经过点（1， 0）和（， 0）。
说明： 本题给出求抛物线解析式的三种解法， 关键是看题目所给条。 一般说： 任意给定抛物线上的三个点的坐标， 均可设一般式去求； 若给定顶点坐标（或对称轴或最值）及另一个点坐标， 则可设顶点式较为简单； 若给出抛物线与 x 轴的两个交点坐标， 则用分解式较为快捷。
例 2 已知函数＝x2－2x－3，
（1）把它写成＝a（x－h）2＋的形式； 并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？
（2）写出函数图象的对称轴、 顶点坐标、 开口方向、 最值；
（3）求出图象与坐标轴的交点坐标；
（4）画出函数图象的草图；
（５）设图象交 x 轴于 A， B 两点， 交轴于 P 点， 求△APB 的面积；
（6）根据图象草图， 说出 x 取哪些值时， ①＝0； ②0?
说明： （1）对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形， 做到线段和坐标的互相转化；
（2）利用函数图象判定函数值何时为正， 何时为负， 同样也要充分利用图象， 要使系数的符号 图象特征
a 的符号
a>0 抛物线开口向____
a－b2a>0
抛物线对称轴在轴的____侧
b＝0 抛物线对称轴是____轴
－b2a0 抛物线与轴交于____
＝0 抛物线与轴交于____
1. 总结出二次函数的图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系， 表述何时方程有两个不等的实根， 两个相等的实根和没有实根。
2. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
3. 会用计算方法估计一元二次方程的根。
重点
方程与函数之间的联系， 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
难点
二次函数的图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
一、 复习引入
1. 二次函数： ＝ax2＋bx＋（a≠0）的图象是一条抛物线， 它的开口由什么决定呢？补充： 当 a 的绝对值相等时， 其形状完全相同， 当 a 的绝对值越大， 则开口越小， 反之成立。
2. 二次函数＝ax2＋bx＋（a≠0）的图象和性质：
（1）顶点坐标与对称轴；
（2）位置与开口方向；
（3）增减性与最值。
当 a＞0 时， 在对称轴的左侧， 随着 x 的增大而减小； 在对称轴的右侧， 随着 x 的增大而增大； 当 x＝－b2a 时， 函数有最小值 4a－b24a
当 a＜0 时， 在对称轴的左侧， 随着 x 的增大而增大； 在对称轴的右侧， 随着 x 的增大而减小； 当 x＝－b2a 时， 函数有最大值 4a－b24a
二、 新教学
探索二次函数与一元二次方程：
二次函数＝x2＋2x， ＝x2－2x＋1， ＝x2－2x＋2 的图象如图所示。
（1）每个图象与 x 轴有几个交点？
（2）一元二次方程 x2＋2x＝0， x2－2x＋1＝0 有几个根？ 验证一下一元二次方程 x2－2x＋2＝0 有根吗？
（3）二次函数＝ax2＋bx＋的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2＋bx＋＝0 的根有什么关系？
归纳： 二次函数＝ax2＋bx＋的图象和 x 轴交点有三种情况：
①有两个交点，
②有一个交点，
③没有交点。
当二次函数＝ax2＋bx＋的图象和 x轴有交点时， 交点的横坐标就是当＝0 时自变量 x的值，即一元二次方程 ax2＋bx＋＝0 的根。
当 b2－4a＞0 时， 抛物线与 x 轴有两个交点， 交点的横坐标是一元二次方程 0＝ax2＋bx＋的两个根 x1 与 x2； 当 b2－4a＝0 时， 抛物线与 x 轴有且只有一个公共点； 当 b2－4a＜0时， 抛物线与 x 轴没有交点。
举例： 求二次函数图象＝x2－3x＋2 与 x 轴的交点 A， B 的坐标。
结论： 方程 x2－3x＋2＝0 的解就是抛物线＝x2－3x＋2 与 x 轴的两个交点的横坐标。 因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。
即： 若一元二次方程 ax2＋bx＋＝0 的两个根是 x1， x2， 则抛物线＝ax2＋bx＋与 x 轴的两个交点坐标分别是 A（x1， 0）， B（x2， 0）。
例 1 已知函数＝－12x2－7x＋12，
（1）写出函数图象的顶点、 图象与坐标轴的交点， 以及图象与轴的交点关于图象对称轴的对称点， 然后画出函数图象的草图；
（2）自变量 x 在什么范围内时， 随着 x 的增大而增大？ 何时随着 x 的增大而减少； 并求出函数的最大值或最小值。
三、 巩固练习
请完成本练习： 第 47 页 1， 2
四、 课堂小结
二次函数与一元二次方程根的情况的关系。
五、 作业布置
教材第 47 页 第 3， 4， ， 6 题 223 实际问题与二次函数（2 时）
第 1 时 用二次函数解决利润等代数问题
能够理解生活中字表达与数学语言之间的关系， 建立数学模型。 利用二次函数＝ax2＋bx＋（a≠0）图象的性质解决简单的实际问题， 能理解函数图象的顶点、 端点与最值的关系， 并能应用这些关系解决实际问题。
重点
把实际生活中的最值问题转化为二次函数的最值问题。
难点
1. 读懂题意， 找出相关量的数量关系， 正确构建数学模型。
2. 理解与应用函数图象顶点、 端点与最值的关系。
一、 复习旧知， 引入新
1. 二次函数常见的形式有哪几种？
二次函数＝ax2＋bx＋（a≠0）的图象的顶点坐标是________， 对称轴是________； 二次函数的图象是一条________， 当 a＞0 时， 图象开口向________， 当 a＜0 时， 图象开口向________。
2. 二次函数知识能帮助我们解决哪些实际问题呢？
二、 教学活动
活动 1： 问题： 从地面竖直向上抛出一小球， 小球的高度 h（单位： ）与小球的运动时间 t（单位： s）之间的关系式是 h＝30t－t2（0≤t≤6）。 小球运动的时间是多少时， 小球最高？ 小球运动中的最大高度是多少？
活动 2： 问题： 某商场的一批衬衣现在的售价是 60 元， 每星期可卖出 300， 市场调查反映：如果调整价格， 每涨价 1 元， 每星期要少卖出 10； 每降价 1 元， 每星期可多卖出 20， 已知该衬衣的进价为每 40 元， 如何定价才能使利润最大？
1. 问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价， 获取的利润会一样吗？
2. 如果你是老板， 你会怎样定价？
3. 以下问题提示， 意在降低题目梯度， 提示考虑 x 的取值范围。
（1）若设每衬衣涨价 x 元， 获得的利润为元， 则定价为________元， 每利润为________元，每星期少卖________， 实际卖出________。 所以＝________何时有最大利润， 最大利润为多少元？
（2）若设每衬衣降价 x 元， 获得的利润为元， 则定价为________元， 每利润为________元，每星期多卖________， 实际卖出________。 所以＝________何时有最大利润， 最大利润为多少元？根据两种定价可能， 让学生自愿分成两组， 分别计算各自的最大利润； 老师巡视， 及时发现学生在解答过程中的不足， 加以辅导； 最后展示学生的解答过程， 教师与学生共同评析。
活动 3： 达标检测
某商场购进一种每价格为 100 元的新商品， 在商场试销发现： 销售单价 x（元/）与每天销售量（5）之间满足如图所示的关系。
（1）求出与 x 之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润与销售单价 x 之间的函数关系式； 若你是商场负责人， 会将售价定为多少， 保证每天获得的利润最大， 最大利润是多少？
答案： （1）＝－x＋180； （2）＝（x－100）＝－（x－140）2＋1 600， 当售价定为 140 元， 最大为 1600 元。
三、 课堂小结与作业布置
课课堂小结
通过本节的学习， 大家有什么新的收获和体会？ 尤其是数形结合方面你有什么新的体会？
作业布置
教材第 1～2 页 习题第 1～3 题， 第 8 题。
第 2 时 二次函数与几何综合运用
能根据具体几何问题中的数量关系， 列出二次函数关系式， 并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题， 体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型。
重点
应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题。
难点
函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得。
一、 引入新
上节我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题， 这节我们共同研究二次函数与几何的综合应用。
二、 教学过程
问题 1： 教材第 49 页探究 1
用总长为 60 的篱笆围成矩形场地， 矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化。 当 l 为多少米时， 场地的面积 S 最大？
分析：
提问 1： 矩形面积公式是什么？
提问 2： 如何用 l 表示另一边？
提问 3： 面积 S 的函数关系式是什么？
问题 2： 如图， 用一段长为 60 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 墙长 32 ， 这个矩形的长、 宽各为多少时， 菜园的面积最大， 最大面积是多少？
分析：
提问 1： 问题 2 与问题 1 有什么不同？
提问 2： 我们可以设面积为 S， 如何设自变量？
提问 3： 面积 S 的函数关系式是什么？
答案： 设垂直于墙的边长为 x 米， S＝x（60－2x）＝－2x2＋60x
提问 4： 如何求解自变量 x 的取值范围？ 墙长 32 对此题有什么作用？
答案： 0＜60－2x≤32， 即 14≤x＜30
提问： 如何求最值？
答案： x＝－b2a＝－602×（－2） ＝1 时， Sax＝40
问题 3： 将问题 2 中“墙长为 32 ”改为“墙长为 18 ”， 求这个矩形的长、 宽各为多少时， 菜园的面积最大， 最大面积是多少？
提问 1： 问题 3 与问题 2 有什么异同？
提问 2： 可否模仿问题 2 设未知数、 列函数关系式？
提问 3： 可否试设与墙平行的一边为 x 米？ 则如何表示另一边？
答案： 设矩形面积为 S 2， 与墙平行的一边为 x 米， 则 S＝60－x2?x＝－x22＋30x
提问 4： 当 x＝30 时， S 取最大值。 此结论是否正确？
提问： 如何求自变量的取值范围？
答案： 0＜x≤18
提问 6： 如何求最值？
答案： 由于 30＞18， 因此只能利用函数的增减性求其最值。 当 x＝18 时， Sax＝378
小结： 在实际问题中求解二次函数最值问题， 不一定都取图象顶点处， 要根据自变量的取值范围确定。 通过问题 2 与问题 3 的对比， 希望学生能够理解函数图象的顶点、 端点与最值的关系， 以及何时取顶点处、 何时取端点处才有符合实际的最值。
三、 回归教材
阅读教材第 1 页的探究 3， 讨论有没有其他“建系”的方法？ 哪种“建系”更有利于题目的解答？
四、 基础练习
1. 教材第 1 页的探究 3， 教材第 7 页第 7 题。
2. 阅读教材第 2～4 页。
五、 课堂小结与作业布置
课课堂小结
1. 利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题。
2. 实际问题的最值求解与函数图象的顶点、 端点都有关系， 特别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处。
作业布置
教材第 2 页 习题第 4～7 题， 第 9 题。
第二十三 旋转
23. 1 图形的旋转
1. 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念， 了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题。
2. 通过复习平移、 轴对称的有关概念及性质， 从生活中的数学开始， 经历观察， 产生概念， 应用概念解决一些实际问题。
3. 旋转的基本性质。
重点旋转及对应点的有关概念及其应用。
难点旋转的基本性质。
一、 复习引入
（学生活动）请同学们完成下面各题。
1. 将如图所示的四边形 ABD 平移， 使点 B 的对应点为点 D， 作出平移后的图形。
2. 如图， 已知△AB 和直线 l， 请你画出△AB 关于 l 的对称图形△A′B′′
3. 圆是轴对称图形吗？ 等腰三角形呢？ 你还能指出其它的吗？
（口述）老师点评并总结：
（1）平移的有关概念及性质。
（2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）的对称图形并口述它具有的一些性质。
（3）什么叫轴对称图形？
二、 探索新知
我们前面已经复习平移等有关内容， 生活中是否还有其它运动变化呢？ 回答是肯定的， 下面我们就研究。
1. 请同学们看讲台上的大时钟， 有什么在不停地转动？ 旋转围绕什么点呢？ 从现在到下时针转了多少度？ 分针转了多少度？ 秒针转了多少度？
（口答）老师点评： 时针、 分针、 秒针在不停地转动， 它们都绕时钟的中心。 从现在到下时针转了________度， 分针转了________度， 秒针转了________度。
2. 再看我自制的好像风车风轮的玩具， 它可以不停地转动。 如何转到新的位置？ （老师点评略）
3. 第 1， 2 两题有什么共同特点呢？
共同特点是如果我们把时钟、 风车风轮当成一个图形， 那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度。像这样， 把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转， 点叫做旋转中心， 转动的角叫做旋转角。如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′， 那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
下面我们运用这些概念解决一些问题。
例 1 如图， 如果把钟表的指针看做三角形 AB， 它绕点按顺时针方向旋转得到△EF， 在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是什么？ 旋转角是什么？
（2）经过旋转， 点 A， B 分别移动到什么位置？
解： （1）旋转中心是， ∠AE， ∠BF 等都是旋转角。
（2）经过旋转， 点 A 和点 B 分别移动到点 E 和点 F 的位置。
自主探究：
请看我手里拿着的硬纸板， 我在硬纸板上挖下一个三角形的洞， 再挖一个点作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上， 先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△AB）， 然后围绕旋转中心转动硬纸板， 在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△A′B′′）， 移去硬纸板。
（分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明）
1. 线段 A 与 A′， B 与 B′， 与′有什么关系？
2. ∠AA′， ∠BB′， ∠′有什么关系？
3. △AB 与△A′B′′的形状和大小有什么关系？
老师点评： 1A＝A′， B＝B′， ＝′， 也就是对应点到旋转中心的距离相等。
2. ∠AA′＝∠BB′＝∠′， 我们把这三个相等的角， 即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角。
3. △AB 和△A′B′′形状相同和大小相等， 即全等。
综合以上的实验操作得出：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前、 后的图形全等。
例 2 如图， △AB 绕点旋转后， 顶点 A 的对应点为点 D， 试确定顶点 B 的对应点的位置，
以及旋转后的三角形。
分析： 绕点旋转， A 点的对应点是 D 点， 那么旋转角就是∠AD， 根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 即∠BB′＝∠AD， 又由对应点到旋转中心的距离相等， 即 B＝B′， 就可确定 B′的位置， 如图所示。
解： （1）连接 D；
（2）以 B 为一边作∠BE， 使得∠BE＝∠AD；
（3）在射线 E 上截取 B′＝B， 则 B′即为所求的 B 的对应点；
（4）连接 DB′， 则△DB′就是△AB 绕点旋转后的图形。
三、 课课堂小结
（学生总结， 老师点评）
本节应掌握：
1. 对应点到旋转中心的距离相等；
2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3. 旋转前、 后的图形全等及其它们的应用。
四、 作业布置
教材第 62～63 页 习题 4，５ ， 6
23. 2 中心对称
23. 21 中心对称
1. 正确认识什么是中心对称、 对称中心， 理解关于中心对称图形的性质特点。
2. 能根据中心对称的性质， 作出一个图形关于某点成中心对称的对称图形。
重点
中心对称的概念及性质。
难点
中心对称性质的推导及理解。
复习引入
问题： 作出下图的两个图形绕点旋转 180°后的图案， 并回答下列的问题：
1. 以为旋转中心， 旋转 180°后两个图形是否重合？
2. 各对应点绕旋转 180°后， 这三点是否在一条直线上？
老师点评： 可以发现， 如图所示的两个图案绕旋转 180°后都是重合的， 即甲图与乙图重合，△AB 与△D 重合。像这样， 把一个图形绕着某一个点旋转 180°， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称， 这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
探索新知
（老师）在黑板上画一个三角形 AB， 分两种情况作两个图形：
（1）作△AB 一顶点为对称中心的对称图形；
（2）作关于一定点为对称中心的对称图形。
第一步， 画出△AB
第二步， 以△AB 的点（或点）为中心， 旋转 180°画出△A′B′和△A′B′′， 如图（1）和图（2）所示。从图（1）中可以得出△AB 与△A′B′是全等三角形；分别连接对称点 AA′， BB′， ′， 点在这些线段上且平分这些线段。
下面， 我们就以图（2）为例证明这两个结论。
证明： （1）在△AB 和△A′B′′中， A＝A′， B＝B′， ∠AB＝∠A′B′， ∴△AB≌△A′B′， ∴AB＝A′B′， 同理可证： A＝A′′， B＝B′′， ∴△AB≌△A′B′′；
（2）点 A′是点 A 绕点旋转 180°后得到的， 即线段 A 绕点旋转 180°得到线段 A′， 所以点在线段 AA′上， 且 A＝A′， 即点是线段 AA′的中点。
同样地， 点也在线段 BB′和′上， 且 B＝B′， ＝′， 即点是 BB′和′的中点。
因此， 我们就得到
1. 关于中心对称的两个图形， 对称点所连线段都经过对称中心， 而且被对称中心所平分。
2. 关于中心对称的两个图形是全等图形。
例题精讲
例 1 如图， 已知△AB 和点， 画出△DEF， 使△DEF 和△AB 关于点成中心对称。
分析： 中心对称就是旋转 180°， 关于点成中心对称就是绕旋转 180°， 因此， 我们连 A， B，并延长， 取与它们相等的线段即可得到。
解： （1）连接 A 并延长 A 到 D， 使 D＝A， 于是得到点 A 的对称点 D， 如图所示。
（2）同样画出点 B 和点的对称点 E 和 F
（3）顺次连接 DE， EF， FD， 则△DEF 即为所求的三角形。
例 2 （学生练习， 老师点评）如图， 已知四边形 ABD 和点， 画四边形 A′B′′D′， 使四边形A′B′′D′和四边形 ABD 关于点成中心对称（只保留作图痕迹， 不要求写出作法）。
课课堂小结（学生总结， 老师点评）
本节应掌握：
中心对称的两条基本性质：
1. 关于中心对称的两个图形， 对应点所连线都经过对称中心， 而且被对称中心所平分；
2. 关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用。
作业布置
教材第 66 页 练习
2322 中心对称图形
了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念， 掌握这两个概念的应用。复习两个图形关于中心对称的有关概念， 利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其他的运用。
重点
中心对称图形的有关概念及其它们的运用。
难点
区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形。
一、 复习引入
1. （老师口问）口答： 关于中心对称的两个图形具有什么性质？
（老师口述）： 关于中心对称的两个图形， 对称点所连线段都经过对称中心， 而且被对称中心所平分。关于中心对称的两个图形是全等图形。
2. （学生活动）作图题。
（1）作出线段 A 关于点的对称图形， 如图所示。
（2）作出三角形 AB 关于点的对称图形， 如图所示。
延长 A 使＝A， 延长 B 使 D＝B， 连接 D， 则△D 即为所求， 如图所示。
二、 探索新知
从另一个角度看， 上面的（1）题就是将线段 AB 绕它的中点旋转 180°， 因为 A＝B， 所以，就是线段 AB 绕它的中点旋转 180°后与它本身重合。
上面的（2）题， 连接 AD， B， 则刚才的关于中心对称的两个图形就成了平行四边形， 如图所示。
∵A＝， B＝D， ∠AB＝∠D
∴△AB≌△D
∴AB＝D
也就是， ABD 绕它的两条对角线交点旋转 180°后与它本身重合。因此， 像这样， 把一个图形绕着某一个点旋转 180°， 如果旋转后的图形能够与原的图形重合， 那么这个图形叫做中心对称图形， 这个点就是它的对称中心。
（学生活动）例 1 从刚才讲的线段、 平行四边形都是中心对称图形外， 每一位同学举出三个图形， 它们也是中心对称图形。
老师点评： 老师边提问学生边解答的特点。
（学生活动）例 2 请说出中心对称图形具有什么特点？
老师点评： 中心对称图形具有匀称美观、 平稳的特点。
例 3 求证： 如图， 任何具有对称中心的四边形是平行四边形。
分析： 中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点， 也是对应点间的线段中点， 因此，直接可得到对角线互相平分。
证明： 如图， 是四边形 ABD 的对称中心， 根据中心对称性质， 线段 A， BD 必过点， 且 A＝， B＝D， 即四边形 ABD 的对角线互相平分， 因此， 四边形 ABD 是平行四边形。
三、 课堂小结（学生归纳， 老师点评）
本节应掌握：
1. 中心对称图形的有关概念；
2. 应用中心对称图形解决有关问题。
四、 作业布置
教材第 70 页 习题 8， 9， 10
2323 关于原点对称的点的坐标理解点 P 与点 P′关于原点对称时它们的横纵坐标的关系， 掌握 P（x， ）关于原点的对称点为P′（－x， －）的运用。
复习轴对称、 旋转， 尤其是中心对称， 知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用。
重点
两个点关于原点对称时， 它们的坐标符号相反， 即点 P（x， ）关于原点的对称点 P′（－x， －）及其运用。
难点
运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题。
一、 复习引入
（学生活动）请同学们完成下面三题。
1. 已知点 A 和直线 l， 如图， 请画出点 A 关于 l 对称的点 A′
2. 如图， △AB 是正三角形， 以点 A 为中心， 把△AB 顺时针旋转 60°， 画出旋转后的图形。
3. 如图△AB， 绕点旋转 180°， 画出旋转后的图形。
老师点评： 老师通过巡查， 根据学生解答情况进行点评。 （略）
二、 探索新知
（学生活动）如图， 在直角坐标系中， 已知 A（－3， 1）， B（－4， 0）， （0， 3）， D（2， 2）， E（3，－3）， F（－2， －2）， 作出 A， B， ， D， E， F 点关于原点的中心对称点， 并写出它们的坐标，并回答：
这些坐标与已知点的坐标有什么关系？
老师点评： 画法： （1）连接 A 并延长 A；
（2）在射线 A 上截取 A′＝A；
（3）过 A 作 AD′⊥x 轴于点 D′， 过 A′作 A′D″⊥x 轴于点 D″
∵△AD′与△A′D″全等，
∴AD′＝A′D″， A＝A′，
∴A′（3， －1），
同理可得 B， ， D， E， F 这些点关于原点的中心对称点的坐标。
（学生活动）分组讨论（每四人一组）： 讨论的内容： 关于原点作中心对称时， ①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？ 纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？ ②坐标与坐标之间符号又有什么特点？
提问几个同学口述上面的问题。
老师点评： （1）从上可知， 横坐标与横坐标的绝对值相等， 纵坐标与纵坐标的绝对值相等。 （2）坐标符号相反， 即 P（x， ）关于原点的对称点 P′（－x， －）。两个点关于原点对称时， 它们的坐标符号相反，即点 P（x， ）关于原点的对称点为 P′（－x， －）。
例 1 如图， 利用关于原点对称的点的坐标的特点， 作出与线段 AB 关于原点对称的图形。
分析： 要作出线段 AB 关于原点的对称线段， 只要作出点 A、 点 B 关于原点的对称点 A′，
B′即可。
解： 点 P（x， ）关于原点的对称点为 P′（－x， －）， 因此， 线段 AB 的两个端点 A（0， 1）， B（3，0）关于原点的对称点分别为 A′（0， －1）， B（－3， 0）。
连接 A′B′
则就可得到与线段 AB 关于原点对称的线段 A′B′
（学生活动）例 2 已知△AB， A（1， 2）， B（－1， 3）， （－2， 4）， 利用关于原点对称的点的坐标的特点， 作出△AB 关于原点对称的图形。
老师点评分析： 先在直角坐标系中画出 A， B， 三点并连接组成△AB， 要作出△AB 关于原点的对称三角形， 只需作出△AB 中的 A， B， 三点关于原点的对称点， 依次连接， 便可得到所求作的△A′B′′
三、 巩固练习
教材第 69 页 练习。
四、 课堂小结
点 P（x， ）关于原点的对称点为 P′（－x， －）。
五、 作业布置
教材第 70 页 习题 3， 4
23. 3 题学习 图案设计
利用平移、 轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计， 设计出称心如意的图案。
通过复习平移、 轴对称、 旋转的知识， 然后利用这些知识让学生开动脑筋， 敝开胸怀大胆联想， 设计出一幅幅美丽的图案。
重点
设计图案。
难点
如何利用平移、 轴对称、 旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案。
一、 复习引入
（学生活动）请同学们完成下面的各题。
1. 如图， 已知线段 D 是线段 AB 平移后的图形， D 是 B 点的对称点， 作出线段 AB， 并回答 AB 与 D 有什么位置关系（第 2 题图，第 3 题图）
2. 如图， 已知线段 D， 作出线段 D 关于对称轴 l 的对称线段′D′， 并说明 D 与对称线段′D′之间有什么关系？
3. 如图， 已知线段 D， 作出线段 D 关于 D 点旋转 90°的旋转后的图形， 并说明这两条线段之间有什么关系？
老师点评：
1. AB 与 D 平行且相等；
2. 过 D 点作 DE⊥l， 垂足为 E 并延长， 使 ED′＝ED， 同理作出′点， 连接′D′， 则′D′即为所求。 D 的延长线与′D′的延长线相交于一点， 这一点在 l 上并且 D＝′D′
3. 以 D 点为旋转中心， 旋转后 D⊥′D， 垂足为 D， 并且 D＝′D
二、 探索新知
请用以上所讲的平移、 轴对称、 旋转等图形变换中的一种或几种组合完成下面的图案设计。
例 1 （学生活动）学生亲自动手操作题。
按下面的步骤， 请每一位同学完成一个别致的图案。
（1）准备一张正三角形纸片（前准备）（如图 a）；
（2）把纸片任意撕成两部分（如图 b， 如图）；
（3）将撕好的如图 b 沿正三角形的一边作轴对称， 得到新的图形；
（4）将（3）得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转， 得到如图（d）（如图保持不动）；
（５）把如图（d）平移到如图（5）的右边， 得到如图（e）；
（6）对如图（e）进行适当的修饰， 使得到一个别致美丽的如图（f）的图案。
老师必要时可以给予一定的指导。
三、 课堂小结
本节应掌握：
利用平移、 轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案。
第二十四 圆
24. 1 圆的有关性质
24. 11 圆
经历圆的概念的形成过程， 理解圆、 弧、 弦等与圆有关的概念， 了解等圆、 等弧的概念。
重点
经历形成圆的概念的过程， 理解圆及其有关概念。
难点
理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义。
活动 1 创设情境， 引出题
1. 多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体。
2. 提出问题： 我们看到的物体给我们什么样的形象？
活动 2 动手操作， 形成概念
在没有圆规的情况下， 让学生用铅笔和细线画一个圆。
教师巡视， 展示学生的作品， 提出问题： 我们画的圆的位置和大小一样吗？ 画的圆的位置和大小分别由什么决定？
教师强调指出： 位置由固定的一个端点决定， 大小由固定端点到铅笔尖的细线的长度决定。
1. 从以上圆的形成过程， 总结概念： 在一个平面内， 线段 A 绕它固定的一个端点旋转一周， 另一个端点所形成的图形叫做圆。 固定的端点叫做圆心， 线段 A 叫做半径。 以点为圆心的圆， 记作“⊙”， 读作“圆”。
2. 小组讨论下面的两个问题：
问题 1： 圆上各点到定点（圆心）的距离有什么规律？
问题 2： 到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
3. 小组代表发言， 教师点评总结， 形成新概念。
（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径 r）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
因此， 我们可以得到圆的新概念： 圆心为， 半径为 r 的圆可以看成是所有到定点的距离等于定长 r 的点的集合。 （一个图形看成是满足条的点的集合， 必须符合两点： 在图形上的每个点， 都满足这个条； 满足这个条的每个点， 都在这个图形上。 ）
活动 3 学以致用， 巩固概念
1. 教材第 81 页 练习第 1 题。
2. 教材第 80 页 例 1
多媒体展示例 1， 引导学生分析要证明四个点在同一圆上， 实际是要证明到定点的距离等于定长， 即四个点到的距离相等。
活动 4 自学教材， 辨析概念
1. 自学教材第 80 页例 1 后面的内容， 判断下列问题正确与否：
（1）直径是弦， 弦是直径； 半圆是弧， 弧是半圆。
（2）圆上任意两点间的线段叫做弧。
（3）在同圆中， 半径相等， 直径是半径的 2 倍。
（4）长度相等的两条弧是等弧。 （教师强调： 长度相等的弧不一定是等弧， 等弧必须是在同圆或等圆中的弧。 ）
（５）大于半圆的弧是劣弧， 小于半圆的弧是优弧。
2. 指出图中所有的弦和弧。
活动 达标检测， 反馈新知
教材第 81 页 练习第 2， 3 题。
活动 6 课堂小结， 作业布置
课堂小结
1. 圆、 弦、 弧、 等圆、 等弧的概念。 要特别注意“直径和弦”“弧和半圆”以及“同圆、 等圆”这些概念的区别和联系。 等圆和等弧的概念是建立在“能够完全重合”这一前提条下的， 它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据。
2. 证明几点在同一圆上的方法。
3. 集合思想。
作业布置
1. 以定点为圆心， 作半径等于 2 厘米的圆。
2. 如图， 在 Rt△AB 和 Rt△ABD 中， ∠＝90°， ∠D＝90°， 点是 AB 的中点。
求证： A， B， ， D 四个点在以点为圆心的同一圆上。
答案： 1 略； 2 证明 A＝B＝＝D 即可。
24． 12 垂直于弦的直径
理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题。通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理， 并辅以逻辑证明加予理解。
重点
垂径定理及其运用。
难点
探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题。
一、 复习引入
①在一个平面内， 线段 A 绕它固定的一个端点旋转一周， 另一个端点所形成的图形叫做圆。 固定的端点叫做圆心， 线段 A 叫做半径。
以点为圆心的圆， 记作“⊙”， 读作“圆”。
②连接圆上任意两点的线段叫做弦， 如图线段 A， AB；
③经过圆心的弦叫做直径， 如图线段 AB。
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