追根溯源见真 “功”

摘要： 关于高中物理功的计算公式𝑤=𝐹𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃中位移l的表述一直以来有两种观点：位移l为力作用点的位移；位移l为物体的位移。本文通过三个例题进行辨析得出，当物体形状发生变化或物体在外力作用下发生转动时, 物体不能再看作质点， “物体的位移”在此处已失去了确切含义，所以计算功时位移l为力作用点的位移。 关键词：功；作用点的位移；物体的位移

1 问题的提出

在高中物理中功的计算公式为𝑤=𝐹𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃，关于功计算式中位移l的表述一直以来有两种观点，观点一：位移l为力作用点的位移，观点二：位移l为物体的位移。在高考题中也出现了类似矛盾的情况比如下面两道题目：

题1：（2006全国I·20）一位质量为m的运动员从下蹲状态向上起跳，经Δt时间，身体伸直并刚好离开地面，速度为v。在此过程中，

1

A.地面对他的冲量为mv+mgΔt，地面对他做的功为2 mv2 B.地面对他的冲量为mv+mgΔt，地面对他做的功为零 1

C.地面对他的冲量为mv，地面对他做的功为2 mv2 D.地面对他的冲量为mv－mgΔt，地面对他做的功为零 【高考答案】B．

题2：（2013天津·2）我国女子短道速滑队在今年世锦赛上实现女子3000m接力三连冠。观察发现，“接棒”的运动员甲提前站在“交捧”的运动员乙前面，并且开始向前滑行，待乙追上甲时，乙猛推甲一把，使甲获得更大的速度向前冲出。在乙推甲的过程中，忽略运动员与冰面间在水平方向上的相互作用，则

A．甲对乙的冲量一定等于乙对甲的冲量 B．甲、乙的动量变化一定大小相等方向相反 C．甲的动能增加量一定等于乙的动能减少量 D．甲对乙做多少负功，乙对甲就一定做多少正功 【高考答案】B

根据观点一：位移l为力作用点的位移，题1的答案为B，题2的答案为

基金项目：本文系河北省教育科学十三五规划2016年度课题“培养高中学生物理问题表征能力的研究”（课题编号）阶段性研究成果之一

BD。根据观点二：位移l为物体的位移，题1没有正确答案，题2的答案为B。

任何一种观点来解这两道高考题都和当年高考答案产生了矛盾，那么该怎么计算功呢？哪一个表述是准确的呢?下面我们通过三个例题进行深入剖析，抽丝剥茧，仔细辨析一下两种功的计算方法。 2 问题的分析

例1：解放前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用，如图所示，假设驴拉磨的平均作用力大小为500N，运动的半径为1m，则驴拉磨转动一周所做的功为（ ）。

A．0 B．500 J C．500π J D．1000π J

【分析与解答】“驴拉磨”磨盘转动时质心位移为零，但是拉力对磨盘做了功，功的计算应该用力与力作用点位移的乘积，而力乘以物体的位移不能合理解释。本题中驴对磨的拉力沿圆周切线方向，拉力作用点的速度方向也在圆周切线方向，故可认为拉磨过程中拉力方向始终与速度方向相同，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等于拉力的大小与拉力作用点沿圆周运动弧长的乘积，由题意知，磨转动一周，弧长L=2πR=2πm，所以拉力所做的功W=FL=500×2πJ=1000πJ．故选：D

例2：在《探究弹性势能的表达式》实验中，如图所示，先将弹簧的一端固定，使弹簧处于自然长度（弹性势能为零），然后在另一端施加一个拉力F，求在弹簧被拉长L的过程中拉力做功。

【分析与解答】在求解弹簧弹力做功的时候，据力乘以力作用点的位移求解是简捷易懂的; 但若采用第二种理解方式，问题就出现了，弹簧这样自身形状发生了变化，物休(弹簧)的位移是多大？与转动情况类似，

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此处“物体的位移” 已失去了确切含义，观点二的理解也就无法解决，功的计算应为力与力作用点位移的乘积。

拉力对弹簧做正功，则弹簧对外做负功，即弹簧克服拉力做功，此时弹性势能增加；根据功的公式：W=Fx在弹簧被拉长L的过程中，弹力作用点的位移为L，弹力做功等于F与x轴所围成的面积，为W=

11F0L，则拉力做功也是F0L 22。

例3：如图所示的装置是运动员负重跑步机， 已知人的质量为m1，绳拴在腰间沿水平方向跨过 滑轮（不计滑轮摩擦、质量）悬挂质量为m2的重 物，人用力向后蹬使传送带以速率v转动（设人

的重心相对地面不动），简述这个过程中皮带对人的做功情况。

【分析与解答】如果按照观点一可以得到：人在迈步的过程中，一般只有一只脚和皮带接触，在用力向后蹬传送带的过程中，脚受到向前的力，力作用点运动的位移向后，皮带对人做负功，如此往复迈步，整个过程都做负功，所以皮带对人做负功；但是按照观点二：人的位移为零，所以传送带对人不做功，这个结论显然是错误的。 3 问题的结论

通过以上三个例题可以看出，如果物体上各点的运动情况都相同，物体可以看作质点，物体在外力作用下运动时, 其本身位移也就是力作用点的位移, 因此，上述两种描述是完全等价的；但是当物体形状发生变化或物体在外力作用下发生转动时, 物体不能再看作质点，情况显然与质点不同，观点二中 “物体的位移”在此处已失去了确切含义，所以在计算功时，位移l应为力作用点的位移。

回看例2的天津高考题，乙在推甲的过程中，人的胳膊要从弯曲状态变为伸直，人的上臂会对小臂产生力的作用，在肘关节处有力且作用点有位移，这属于乙的一部分（上臂）对另一部分（前臂）做功，不是乙对甲做功；在乙在推甲的过程中，接触点的位移是相同的，力是大小相等的，所以甲对乙做功和乙对甲做功的大小相等，高考答案给的不妥。

在人教版物理课本（2010版）中有这样一段话“到了19世纪20年代，法国的科里奥利扩展了这一思想，明确地把作用与物体上的力和受力点沿力的方向的位

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题编号）阶段性研究成果之一

移的乘积叫做“力的功”。从课本的论述来看，也是利用观点一理解功的计算式中的位移是正确的，观点二在使用时要受到物体是否可视为质点的限制。综上所述，利用功的计算公式𝑤=𝐹𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃计算功时，位移l应该为力的作用点的位移。

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