2019黑龙江大庆中考数学解析

数 学

一、选择题:本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出

来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均计零分 1．(2019黑龙江大庆,1题,3分) 有理数－8的立方根为( ) A.－2 B.2 C.±2 D.±4 【答案】B

【解析】38＝－2,故选A.

【知识点】立方根

2．(2019黑龙江大庆,2题,3分)在下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

第2题图 【答案】D 【解析】A是轴对称图形,B是轴对称图形,C是中心对称图形,D既是轴对称图形又是中心对称图形,故选D.

【知识点】中心对称图形,轴对称图形

3．(2019黑龙江大庆,3题,3分) 小明同学在\"百度\"搜索引擎中输入\"中国梦,我的梦\搜到于子涵相

关的结果条数为608000,这个数用科学记数法表示为( ) A.60.8×104 B.6.08×105 C.0.608×106 D.6.08×107 【答案】B

【解析】608000＝6.08×105,故选B. 【知识点】科学记数法 4．(2019黑龙江大庆,4题,3分) 实数m,n在数轴上的对应点如图所示,则下列各式子正确的是( )

第4题图 A.m>n B.－n>|m| C.－m>|n| D.|m|<|n| 【答案】C

【解析】由图可知,m|n|.故选C. 【知识点】数轴,绝对值

5．(2019黑龙江大庆,5题,3分) 正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随着x的增大而减小,则一次函数y＝x+k的图象大致是( )

第5题图 【答案】B

【解析】因为正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随着x的增大而减小,所以k<0,所以一次函数y＝x+k的图象随着x增大而增大,与y轴交于正半轴,故选B 【知识点】一次函数图象的性质

6．(2019黑龙江大庆,6题,3分)下列说法中不正确的是( ) A.四边相等的四边形是菱形 B.对角线垂直的平行四边形是菱形 C.菱形的对角线互相垂直且相等 D.菱形的邻边相等 【答案】C

【解析】菱形的对角线互相垂直且互相平分,不一定相等,故选C. 【知识点】菱形的判定和性质

7．(2019黑龙江大庆,7题,3分) 某企业1－6月份利润的变化情况如图所示,以下说法与图中反应的

信息相符的是( )

A.1－6月份利润的众数是130万元 B.1－6月份利润的中位数是130万元 C.1－6月份利润的平均数是130万元 D.1－6月份利润的极差是40万元

第7题图 【答案】D

【解析】A.1－6月份利润的众数是120万元,故A错误;B.1－6月份利润的中位数是125万元,故B错误;C.1－6月份利润的平均数约是128万元,故C错误;D.1－6月份利润的极差是40万元,故D正确.故选D

【知识点】众数,中位数,平均数,极差 8．(2019黑龙江大庆,8题,3分) 如图,在△ABC中BE是∠ABC的平分线,CE是外角∠ACM的平分线,CE与CE相交于点E,若∠A＝60°,则∠BEC是( )

A.15° B.30° C.45° D.60°

第8题图 【答案】B

【解析】∠ACM＝∠A+∠ABC,所以∠ECM＝∠EBC+30°,又因为∠ECM＝∠EBC+∠E,所以∠E＝30°,故选B.

【知识点】外角,角平分线

9．(2019黑龙江大庆,9题,3分)一个\"粮仓\"的三视图如图所示(单位:m),则它的体积是( )

A.21m3 B30m3 C.45m3 D.63m3

第9题图 【答案】C 【解析】由图可知\"粮仓\"是由一个圆锥和一个圆柱组成的,其中,底面直径为6m,圆柱的高为4m,圆锥的高为3m,所以体积＝×32×4+×32×3＝45m3,故选C.

【知识点】三视图,圆柱体积,圆锥体积

10．(2019黑龙江大庆,10题,3分)如图,在正方形ABCD中,边长AB＝1,将正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1,则线段CD扫过的面积为( ).

A.

 413 B.

 2 C. D.2

第10题图 【答案】B

【思路分析】先画出点C和点D的运动轨迹,形成图形,找到CD扫过的图形,即为两个半圆的面积

差. 【解题过程】如图,两个半圆的面积差即为CD扫过的面积,因为AB＝1,所以AC＝2,所以S＝

11AC2AB2＝,故选B. 222

第10题答图

【知识点】圆的面积,旋转

二、填空题:本大题共8小题,满分24分,只填写最后结果,每小题填对得3分. 11．(2019黑龙江大庆,11题,3分)a5÷a3＝________. 【答案】a2

【解析】a5÷a3＝a5－3＝a2 【知识点】同底数幂的除法

12．(2019黑龙江大庆,12题,3分)分解因式:a2b+ab2－a－b＝________. 【答案】(a+b)(ab－1)

【解析】a2b+ab2－a－b＝ab(a+b)－(a+b)＝(a+b)(ab－1). 【知识点】分解因式

13．(2019黑龙江大庆,13题,3分)一个不透明的口袋中共有8个白球,5个黄球,5个绿球,2个红球,

这些球除颜色外都相同,从口袋中随机摸出一个球,这个求是白球的概率是________. 【答案】

【解析】从口袋中摸出一个球,共有20种等可能的结果,其中摸到白球的结果有8种,所以摸到白球的概率为

82=. 20525【知识点】求概率

14．(2019黑龙江大庆,14题,3分)如图,在△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,AD与BE相交于点

G,若DG＝1,则AD＝________.

第14题图 【答案】8

【解析】过点D作DF∥BE交AC于点F,所以

ADAF3,因为DG＝1,所以AD＝3 DGEFEFBDAF1,因为AE＝EC,所以3,所以FCDCEF第14题答图

【知识点】平行线分线段成比例

15．(2019黑龙江大庆,15题,3分)归纳\"T\"字形,用棋子摆成的\"T\"字形如图所示,按照图①,图②的规律摆下去,摆成第n个\"T\"字形需要的棋子个数为______. 【答案】3n+2

【解析】第1个图形有5个棋子,第2个图形有8个棋子,第3个图形有11个棋子,所以第n个图形有(3n+2)个棋子

第15题图

【知识点】找规律

16．(2019黑龙江大庆,16题,5分)我国古代数学家赵爽的\"勾股方圆图\"是由四个全等的直角三角形

与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a－b)2的值是______.

第16题图

【答案】1

【解析】(a－b)2＝a2+b2－2ab,其中,由勾股定理可得,a2+b2＝13,直角三角形面积＝(13－1)÷4＝3,即

1ab3,所以ab＝6所以(a－b)2＝a2+b2－2ab＝13－12＝1. 2【知识点】勾股定理,完全平方公式

17．(2019黑龙江大庆,17题,5分)已知x＝4是不等式ax－3a－1<0的解,x＝2不是不等式ax－3a－

1<0的解,则实数a的取值范围是______. 【答案】a≤－1

【解析】∵x＝4是不等式ax－3a－1<0的解,所以4a－3a－1<0,a<1,因为x＝2不是不等式ax－3a－1<0的解,所以2a－3a－1≥0,所以a≤－1,所以a≤－1. 【知识点】不等式

18．(2019黑龙江大庆,18题,8分)如图抛物线y＝

12x(p>0),点F(0,p),直线l:y＝－p,已知抛物线上的4p点到点F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分别为A1,B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F＝a,B1F＝b,则△A1OB1的面积＝______(只用a,b表示).

第18题图 【答案】

ab 4【思路分析】先由边相等得到∠A1FB1＝90°,进而得到A1B1的长度,由等面积法得到点F到A1B1的距离,进而得到△A1OB1的高,求出三角形面积.

【解题过程】设∠A＝x,则∠B＝180°－x,由题可知,AA1＝AF,BB1＝BF,所以∠AFA1＝

x2180x,∠2BFB1＝,所以∠A1FB1＝90°,所以△A1FB1是直角三角形,A1B1＝a2b2,所以点F到A1B1的距离为

abab22,因为点F(0,p),直线l:y＝－p,△A1OB1的高为

ab2ab22,所以△A1OB1的面积＝

ab1ab·a2b2·＝ 22242ab【知识点】等边对等角,勾股定理,二次函数,三角形面积

三、解答题:本大题共10小题,满分66分,要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19．(2019黑龙江大庆,19题,4分)计算(2019－)0+|1－3|－sin60°. 【思路分析】根据实数的运算法则和特殊角度的三角函数计算可得. 【解题过程】原式＝1+3－1－

33＝ 22【知识点】零指数幂,绝对值,特殊角度的三角函数

20．(2019黑龙江大庆,20题,4分)已知:ab＝1,b＝2a－1,求代数式的值. 【思路分析】由已知条件,利用等式的基本性质,变形得到结果.

【解题过程】因为b＝2a－1,所以2a－b＝1,又因为ab＝1,所以＝1,所以＝－1 【知识点】等式的基本性质

2b

1a

1a2b1a

2b

21．(2019黑龙江大庆,21题,5分)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同,求该工厂原来平均每天生产多少台机器? 【思路分析】由已知列出分式方程,解之可得.

【解题过程】设原来每天生产x台机器,则现在每天生产(x+50)台,根据题意得:

450600,解之,得xxx50＝150,经检验,x＝150是原分式方程的解.答:该工厂原来平均每天生产150台机器.

【知识点】分式方程的应用

22．(2019黑龙江大庆,22题,6分)如图,一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港.

(1)求A,C两港之间的距离(结果保留到0.1km,参考数据:2≈1.414,3≈1.732); (2)确定C港在A港的什么方向.

第22题图

【思路分析】(1)由方位角及AB,BC的长度,可得△ABC是等腰直角三角形,进而得到AC长度;(2)根据方位角等角度,得到∠MAC的度数. 【解题过程】(1)因为B港在A港沿北偏东60°方向,所以∠ABQ＝30°,因为C港在B港的北偏西30°,所以∠CBQ＝60°,所以∠ABC＝90°,因为AB＝BC＝10km,所以△ABC是等腰直角三角形,所以AC＝2AB＝102≈14.1km;

(2)由(1)可知,∠CAB＝45°,所以∠MAC＝15°,所以C港在A港的北偏东15°的方向. 【知识点】方位角,三角函数 23．(2019黑龙江大庆,23题,7分)某校为了解七年级学生的体重情况,随机抽取了七年级m名学生进行调查,将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的频数分布表和扇形统计图.

组别 体重(千克) 人数 A 37.5≤x<42.5 10 B 42.5≤x<47.5 n C 47.5≤x<52.5 40 D 52.5≤x<57.5 20 E 57.5≤x<62.5 10 第23题图

请根据图表信息回答下列问题:

(1)填空:①m＝______;②n＝______;③在扇形统计图中,C组所在扇形的圆心角的度数等于______度;

(2)若把每组中各个体重值用这组数据的中间值代替(例如:A组数据的中间值为40千克),则被调查学生的平均体重是多少千克?

(3)如果该校七年级有1000名学生,请估算七年级体重低于47.5千克的学生大约有多少人? 【思路分析】(1)20÷20%＝100(人),100－10－40－20－10＝20(人),36040144;(2)总体重除以总100人数可得;(3)用样本百分比计算总体中体重低于47.5千克的人数. 【解题过程】(1)①m＝100;②n＝20;③144度;

(2)(10×40+20×45+40×50+20×55+10×60)÷100＝50(千克).答:被调查学生的平均体重是50千克. (3)1000×

10+20＝300(人),答:七年级体重低于47.5千克的学生大约有300人. 100【知识点】扇形统计图,总数频数百分比之间的关系,加权平均数,样本估计总体

24．(2019黑龙江大庆,23题,7分)如图,反比例函数yA(m,2m),B两点.

(1)求一次函数的表达式;

(2)求出点B的坐标,并根据图象直接写出满足不等式

2m第24题图

【思路分析】(1)由点A求出m的值和反比例函数的表达式,进而求出一次函数的表达式;(2)求出点B的坐标,根据图象可得不等式的解集.

【解题过程】(1)因为点A(m,2m)在反比例函数y2x2m2m图象上,所以2m,所以m＝1,所以点A(1,2)xm反比例函数y,将点A代入一次函数可得,2＝k－1,k＝3,所以一次函数表达式为:y＝3x－1; (2)令＝3x－1,解之,得,x1＝1,x2＝,所以B(,－3),根据图象可得不等式

21. 32x23232m25．(2019黑龙江大庆,23题,7分)如图在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,M,N在对角线AC上,且AM＝CN,E,F分别是AD,BC的中点.

(1)求证:△ABM≌△CDN;

(2)点G是对角线AC上的点,∠EGF＝90°,求AG的长.

第25题图 【思路分析】(1)由矩形的性质可以得到对应边对应角相等,进而证得全等;(2)以EF为直径作圆,找到点G的位置,进而计算求得AG的长度. 【解题过程】(1)在矩形ABCD中,AB∥CD,所以∠BAM＝∠DCN,又因为AB＝CD,AM＝CN,所以△ABM≌△CDN(SAS);

(2)以EF为直径作圆,交AC于点G1,G2,连接EG1,FG1,EG2,FG2,则∠EG1F＝∠EG2F＝90°,因为EF＝AB＝3,所以G1H＝G2H＝EF＝,在Rt△ABC中,AC＝AB2BC2＝5,所以AH＝AC＝,所以AG1＝1,AG2＝4.

12321252

第25题答图

【知识点】矩形性质,三角形全等,圆周角定理,勾股定理

26．(2019黑龙江大庆,23题,8分)如图,在Rt△ABC中,∠A＝90°,AB＝8cm,AC＝6cm,若动点D从B出发,沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B,A重合的情况),运动速度为2cm/s,过点D作DE∥BC交AC于点E,连接BE,设动点D运动的时间为x(s),AE的长为y(cm). (1)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围; (2)当x为何值时,△BDE的面积S有最大值?最大值为多少?

第26题图

【思路分析】(1)由先证明三角形相似,进而由比例式得到AE的表达式;(2)用含有x的式子表示出△

BDE的面积,利用二次函数求得最值.

【解题过程】(1)因为DE∥BC,所以∠ADE＝∠ABC,因为∠A＝∠A,所以△ADE∽△ABC,所以

ADAE333,因为AB＝8,BD＝2x,所以AD＝8－2x,AC＝6,所以AE＝4x,所以y＝4x=6x,0ABAC222≤x≤4;

(2)△BDE中BD边上的高为AE,所以S＝BDAE2x4x4xxx26,所以当x＝2时,△BDE的面积S有最大值为6. 【知识点】相似三角形,二次函数最值

27．(2019黑龙江大庆,23题,9分)如图,O是△ABC的外接圆,AB是直径,D是AC中点,直线OD与O相交于E,F两点,P是O外一点,P在直线OD上,连接PA,PC,AF,且满足∠PCA＝∠ABC. (1)求证:PA是O的切线; (2)证明:EF2＝4OD·OP;

(3)若BC＝8,tan∠AFP＝,求DE的长.

2312123232322

第27题图

【思路分析】(1)由D是中点和垂径定理可得PA＝PC,通过倒角,得到PA⊥AB,进而证明切线;(2)通过证明相似得到比例式,进而通过等量代换证明等积式;(3)由三角函数设出未知数,得到方程,即可求得DE的长.

【解题过程】(1)因为点D是AC中点,所以OD⊥AC所以PA＝PC,所以∠PCA＝∠PAC,因为AB是O的直径,所以∠ACB＝90°,所以∠B+∠BAC＝90°,所以∠PAC+∠BAC＝90°,所以PA⊥AB,所以PA是O的切线;

(2)因为∠PAO＝∠ADO＝90°,∠AOD＝∠POA,所以△PAO∽△ADO,所以OD·OP,所以EF2＝AB2＝(2AO)2＝4AO2＝4OD·OP;

(3)因为tan∠AFP＝,在Rt△AFD中,设AD＝2x,FD＝3x,连接AE,易证△ADE∽△FDA,所以ED＝

24131351AD＝x,所以EF＝x,EO＝x,DO＝x,又在△ABC中,DO为中位线,所以DO＝BC＝4,所以333662524432x＝4,x＝,所以ED＝x＝. 653523AOOD,所以AO2＝POOA

第27题图

【知识点】切线的判定,相似三角形,三角函数,中位线

28．(2019黑龙江大庆,23题,9分)如图,抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2,抛物线与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,且点A的坐标为(－1,0). (1)求抛物线的函数表达式;

(2)将抛物线y＝x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折,保留抛物线在x轴上的点和x轴上方的图象,得到的新图象与直线y＝t恒有四个交点,从左到右四个交点依次即为D,E,F,G.当以EF为直径的圆过点Q(2,1)时,求t的值;

(3)在抛物线y＝x2+bx+c上,当m≤x≤n时,y的取值范围是m≤y≤7,请直接写出x的取值范围.

第28题图

【思路分析】(1)由对称轴可求出b的值,再由点A坐标求出c的值,则表达式可求;(2)通过半径作为等量关系,表示出E的坐标,代入函数,得到方程,即可解得t的值;(3)由函数的增减性得到两种对应关系,通过解方程得到m和n的值.

【解题过程】(1)抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2,所以2,所以b＝－4,所以y＝x2－4x+c,代入点A坐标(－1,0),可得c＝－5,所以函数表达式为y＝x2－4x－5;

(2)如图,由对称变换可知,翻折后的抛物线表达式为y＝－x2+4x+5,顶点坐标为(2,9),图象与直线y＝t恒有四个交点,所以0第28题图

(3)令y＝7,得7＝x2－4x－5,解之得x1＝－2,x2＝6,当x＝6时,y＝7,即n＝6,当x＝m时y＝m,即m＝m2－4m－5,解之得m＝5355+355+35,因为227,所以x 的范围为－2≤x≤27 【知识点】抛物线表达式,一元二次方程,二次函数的增减性