17数列应用题

一、知识框架

在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份相关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相对应的数列模型来解决.在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数相关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律.

二、基础自测

1. 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 个.

2.一个剧场设置了20排座位，第一排有38个，往后每一排比前一排多2个，这个剧场共

有 个座位.

3. 某市2003年共有1万辆燃油型公交车.相关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：

(1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？

1到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的3？

(2)

4．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金实行生态环境建设，并以此发展旅游产

1业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少5．本年度当地旅游

业收入估计为400万元，因为该项建设对旅游业的促动作用，估计今后的旅游业收入每年

1会比上一年增加4．

（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn 的表达式．

（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

三、典型例题

例1．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

例2．某企业2003年的纯利润为500 万元，因设备老化等原因，企业的生产水平逐年下降，若不实行技术改造，预计从今年起每年比上一年纯利润减少20万元。今年初该企业一次性投资600万元实行技术改造，预计在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为

500(11)n2万元(n为正整数).

(1)设从今年起的前n年，该企业不实行技术的改造的累计纯利润为An万元，实行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式；

(2)以上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，实行技术改造后的累计纯利润超过不实行技术改造的累计纯利润？

例3.某工厂去年新开发的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元的科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元，预计产量每年递增10万只，投入n次后，每只产品的固定成本为

g(n)kn1（k为常数，nZ且n0）．若产品销售价保持不变，第n次投入后的年纯利润

为f(n)万元（年纯利润＝年收入－年固定成本－年科技成本）．

（1）求k的值，并求出f(n)的表达式；

（2）问从今年起，第几年纯利润最高？最高纯利润为多少万元？

四、巩固提升

1.已知一个凸多边形的内角度数组成公差为5的等差数列，且最小角是120，则它

是 边形.

2．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.

3．某人计划年初向银行贷款10万元用于买房．他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4％，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多

少元（精确到1元）？

2A(m)的4． 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为

宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第

2一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m，以后每

2增高一层，其建筑费用就增加30元/m.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并

2求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.