数理统计ex

CC2325=

3②抽到1株病，一株健康的概率P(A)=10C3C2C25113 5151= 6042、某人打开收音机想听电台报时（整点报时）问他等待的时间小于15分钟的概率。P(45≤A≤60)=

3、一批种子的出芽率为0.9，出芽后幼苗成活率为0.8.在该批种子中随机取一粒，试求成活的幼苗概率。A={出芽} B={幼苗成活} P(A)=0.9 P(B|A)=0.8 P(AB)=P(B|A)P(A)=0.8*0.9=0.72

4、播种用的小麦种子混合2%的二等种子，1.5%的三等种子和1%的四等种子。用一二三四等种子长出来的麦穗含有50粒以上概率为0.5 0.15 0.1 0.05 求这批种子所结出麦穗含有50粒以上的概率。 设Ai={第i等种子} P(A1)=0.955 P(A2)=0.02 P(A3)=0.015 P(A4)=0.01

B={结出含50粒以上} P(B|A1)=0.5 P(B|A2)=0.15 P(B|A3)=0.1 P(B|A3)=0.1 P(B|A4)=0.05 P(B)=

i14P(Ai)P(B|Ai)=P(Ai)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)+ P(A4)P(B|A4)

=0.955*0.5+0.02*0.15+0.015*0.1+0.01*0.05=0.48

问:由这批种子结出的含50粒以上的麦穗中是一二等种子结出的概率 P(A1|B)=

P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.955*0.5===0.9948

0.48P(B)P(B)P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.02*0.15===0.00625

0.48P(B)P(B) P(A2|B)=

5、一项血液化验有95%把握患某种疾病的人鉴别出来，但有10%的伪阳性者人群中患该病的人仅占0.0004，

有一人用此方法化验结果为阳性，问此人确定患病的概率

A={确定患病} B={结果为阳性} P（B|A）=0.95 P(B|A)=0.1 P(A)=0.0004 P(A|B)=

P(AB)P(A)*P(B|A)==0.0038 P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)6、有一个袋子装有6个分别标有1、2、3、4、5、6而外形无异的球。采用有放回摸球 A={第一次摸2号} B={第二次摸5号} C={两次之和为7} D={两次之和6} 分析独立性 P(A)=

11151111 P(B) = P(C)= P(D)= P(AB)= P(AC)= P(AD)= P(BC)= 6663636363636P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(AD)≠P(A)P(D) ∴A B C两两互相独立

7.有一均匀正八面体，第1，2，3，4红色，第1，2，3，5为白色，1，6，7，8为黑色，以A、B、C表示投一次出现红、白、黑事件，A，B是否独立？

解：P(A)=

1111 P(B)= P(C)= P(ABC)= 2228P(ABC)=P(A)P(B)P(C) P(AB)=

31≠P(A)P(B)= ∴A、B不独立 848.若在N件产品中有M件废品，进行n次有效放回调查 （1）共抽出k件废品概率

解：P（x=k）=

Ck﹒（nMMknk

）（1-）

NNmm（2）至少查出k件废品概率 解：P（x≥K）=

mkp（x=m）=Cn（

mknMMknm

）（1-）

NN9.由商店销售记录可知，某商品每月的销售数x~p（10），为了以95％以上的把握不脱销，问商店在月底至

少应进商品多少件？

10k10

解：设月底应该进a件 x≤a 则 p（x≤a）≥0.95  p（x=k）≥0.95  e≥

k0k0k!aa10k-100.95 e＜0.05 a+1≥16a≥15

k！ka110.已知某疾病发病率为

1，某单位有5000人,患病人数超过5的概率? 10001解：x~B（n，p）；x为发病的人数，x~B（5000，）

1000 P（x>5）=1-p(x≤5)=1-

p(xm)=1-C5000(

m0m055m1m9995000m)() 10001000=np=5 x~B（5000，

50001） p(5) x~p（） 100050005k5P（x>5）=p(xm)=e

m6m6k!11.设y~N（-2,4），则方程3x2yxy

50无实根的概率是多少？ 125152解：4y12(y)0y

122215 P（y）=.0.093

22212. x~N（1,4） 求p（1.2解：若x~N(,) 则

2x~N(0,1)

x2.4P（1.22.41.2)0() =0( =0()p(x1.2)

1.40.2)0()0(0.7)0(0.1) 2213.随机变量函数及其分布，x~N(,)，Y设r，v，x的分布列为（1

521115XM~N(0,1)

01

612

5316）求YX2的分布列

2解：X2,Y6;X1,Y3;X0,Y2;X1,Y3;X3,Y11

Y2,3,6,11

P(Y2)P(X222)P(X0)1 63 5P(Y3)P(X223)P(X1)P(X1)P(Y6)P(X226)P(X2)1 51 6P(Y11)P(X2211)P(X3)14.射手甲、乙在数学期望同等条件下射击，命中环数分别为：

X甲（10 9 8 7） X乙（10 9 8 7） 0.5 0.2 0.2 0.1 0.2 0.6 0.1 0.1 设每个人射击N次：

x甲 （10*N*0.5+9*N*0.2+8*N*0.2+7*N*0.1）/N=9.1 x乙（10*N*0.2+9*N*0.6+8*N*0.1+7*N*0.1）/N=8.9

15.掷一枚骰子，为了至少有95%的把握，使出现6点的概率与1/6 之差不超过0.01.问至少要掷多少次？ 设Xn为n次试验中出现6的次数 Xn~B（n，

1n5n） xn= Dxn= 6636xnxx15为出现6点的频率。 n= Dn= n6nn3652xn1xn1P（ ≤0.01）≥0.95  P（≤0.01）≥12=12*36nn6n6只要15≥0.95的n n≥27778

2*36n23.设某次考试成绩服从正态分布，随机抽取36位考生成绩，x=66.5，s=15.问在=0.05下，是否可以认为考试的平均成绩为70.

（1）H0：=70. H1：70 （2）检验统计量： t0xu0s/n66.5701.4

15/6（3）拒绝域：w1{ttt0.05(35)}{tt2.03} （4）下结论：t0w1，支持H0，即可认为成绩均值为70.

16.设生产某产品的次品概率为P（未知），要生产多少件产品才能以99%的把握推判含次品发生的频率与P之差不超过0.05？

设Xn为n件产品中的次品数 Xn~B(n,P) xn=nP Dxn=npq f次 =

xn np(xnp0.05)0.99 n11xxpq4p(np0.05)1212 pq 即 10.99 24nn0.05*n2中心极限定理 17.一个系统由100个独立部件组成，每个部件正常工作概率为0.9，已知整个系统至少有

85个部件正常工作，系统才正常。求系统正常工作的概率

设x为100个部件中正常工作的个数， x~B(100,0.9) x90 Dx9

kp(x85)p(xk)C100*0.9k*0.1100k

k85k85100100np=90 nq=10 满足中心极限定理 则x~N(90,9)

p(x85)1p(x85)1p(x908590x90555)Y1p(Y)10()0() 33333318.有4个球，分别标明1.2.3.4 采用有放回重复抽样，抽取样本容量为2的样本。求x的抽样分布列（分顺序）

1 2 3 4

1（1.1）1 （1.2）1.5 （1.3）2 （1.4）2.5

2（2.1）1.5 （2.2）2 （2.3）2.5 （2.4）3 3（3.1）2 （3.2）2.5 （3.3）3 （3.4）3.5 4 (4.1)2.5 (4.2)3 (4.3)3.5 (4.4)4 x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

m 1 2 3 4 3 2 1 P(A) 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16 21.某厂对一批产品检验，采取重复抽样抽得200只样品，优质率为85% 在可靠性为90%下，求优质率的点估计及区间估计？ n=200 1-=90%

=0.1 Va=V0.1=1.645 V0.1w（1-w）0.85*0.15=1.645=0.042 n200W0.85点估计{0.042{ 190%Ww,w0.850.042,0.850.042

190%区间估计{W(w-,w=)=(0.85-0.042,0.85=0.042) 1-=90%

设X1,….Xn 来自N(μ,)的总体,μ及未知,求μ及极大似然估计: x~N(μ, )*f(x)=22221e221x2x2X1…Xn

1X12221似然函数 L(μ, )= f(X1), f(X2)…f(Xn)=1e2…1e21Xn222

=

12n2n22e12Xii122

2nn1(xi)22 对数化 lnL(,)ln(2)ln() 22222(xi)2lnL(,2)xi0ux2n3 令 22n(x)1n222ln(,)i(xx)si122ni12222()设x1...xn为来自参数为的泊松分布总体的,序列，其观测值为x1...xn，求的极大似然估计 1. 似然函数L(x)p(x1x1,x2x2,,xnxn) p(xk)kk!e

(联合分布概率)p(x1x2)p(xnxn)nx1x1!nexii1nenx1!xn!

2. 对数化：ln()xlnnln(x!x!)

i1i1xidlnL()00 4.求得3. 令

dnxi1ninx



19.设一批产品的强度服从期望为14.方差为4的分布.每箱中该种产品有100件.问每件产品的平均强度超过14.5的概率?

设 x为每件产品的强度 Ex=14 Dx=4 xi为第i件产品的强度 Exi=14 Dxi=4

1100x=xi为平均强度,则x~N(14,0.04) 100i1P(x＞14.5)=1-P(x≤14.5)=1-P(

x1414.51451() 0.20.2220.某单位有260架分机,每个分机有4%的时间利用外线,每架分机是否用外线相互独立.问总机准备多少条

线才能至少以95%的把握保证各分机中可用外线时不必等候? 设x表示260架分机中可用外线个数,x~B(260,0.04),np=10.4 nq＞5 由中心极限定理1得x~N(10.4,9.98).备几条外线. P(x≤n)≥0.95Px-10.49.98≤

n-10.49.98≥0.95 设Y=

x-10.49.98~N(0,1) P(Y≤

n-10.49.98)≥0.95 P(Y≤a)≥

0.95 a≥1.65 ∴n＞15.6n=16

24.某研究者估计本市居民电脑拥有率为30%. 现随机抽取200个家庭，其中68个家庭拥有电脑，问在0.1下，该研究者估计是否可信。

（1）H0:W0.3 H1:W0. 3 w （2）v0680.34 200wW0W(1w)n0.340.31.235

0.30.7200 （3）W1{vvv0.1}{vv1.645} （4）下结论：

v0W1 支持H0.即认为本市居民电脑拥有率为30%.

25.在酿造啤酒中会形成可致癌物DNDA。观测得新旧两种工艺，形成的DNDA的含量。

旧 6 4 5 5 6 5 5 6 4 6 7 4 新 2 1 2 2 1 0 3 2 1 0 1 3 设两种都服从正态分布，且方差相等。试在0.5下，检验u2u12.

（1）H0:u2u12 H1:u2u12 （2）检验统计量：Txxuu1210n11sn21s2n1n2221211n1n24.363

（3）拒绝域：w1{TTt0.1(22)}{TT1.717} （4）下结论：w1，支持H0.

27.两种药物A,B经试验，当734人用完A后，有16%的人头痛，当725人用完B后，有4%人头痛。试问下使用药物A的人中头痛的发生率高于使用B的人。 （1）H0:p1p20 H1:p1p20

p1p2p1p2（2）检验统计量：vpqpqn1n2（3）拒绝域：w1{vvv0.02}{vv2.33} （4）

0.160.047.6

0.10.90.10.9734725v0w. 拒绝H0 支持H1

29.有一片树林有A,B,C,D四个树种，观测频率数分别为5, 10, 10, 20，在0.05下，检验四个树种占的比例分别为0.2, 0.25, 0.25, 0.3

(1) H0:pA0.2,pB0.25,pC0.25,pD0.3 H1:至少有一个不等

(2) vA5， vB10， vC10， vD20.

EA450.29 EB450.254545 EC ED450.3 13.44(viEi)2x5.185

Eii124(3)拒绝域：w1{xxx0.05(41)}{xx7.815} (4)下结论：x2w1， 支持H0，即可认为。

2222231.为考察温度对某种化工产品得率的影响，选取5种不同温度，各重复三次试验。试问温度对得率有无显著影响。 温度 60 65 70 75 80 产品得率 yi 3 90 92 88 90 ○2 97 93 92 94 ○4 96 96 93 95 ○4 84 83 88 85 ○5 84 86 82 84 ○（1）H0：r1r2r5 H1：至少两个不等。

2153（2）cyij120422.4

ami1j1ss353.6

ss1303.6 ss250

， f总=14 10f14， f25(31)ms1ss1/f175.9 ms2ss2/f25 Fms1/ms215.2

方差分析表：

变差来源 组间 组内 总计 高差平方和 303.6 50 353.6 自由度 4 10 14 平均平方和 75.9 5 F值 临界差 ∵F0w1. 拒绝H0，即不同温度对得率有显著影响。

LSD:t(f2)E0.05(10)2.228,m3,Ms25 LSD:t(f2)Ms224.068 myiyk yi y395 yk y584 y485 y294 y190 y485 11k 10k 6k 5k 1 10k 9k 4 y190 y294 5k 1

3与5,2与5,1与5 4与3,2与4,1与4 1与3 这个处理间有差异