湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．（3分）A．2
的值是（ ）
B．﹣2
C．±2
D．4
2．（3分）下列二次根式中，x的取值范围是x≥3的是（ ） A．
B．
C．
D．
3．（3分）下列各组三条线段组成的三角形是直角三角形的是（ ） A．2，3，4
B．1，1，
C．6，8，11
D．2，2，3
4．（3分）下列式子是最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
5．（3分）下列各式计算错误的是（ ） A．C．
B．D．
6．（3分）下列三个命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③相等的两个实数的平方也相等．它们的逆命题成立的个数是（ ） A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
7．（3分）如图所示，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（ ）米．
A．15
B．20
C．3
D．24
8．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）cm．
A．3 B．6 C． D．6
9．（3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2018次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
1
A．（1，4） B．（5，0） C．（7，4） D．（8，3）
10．（3分）已知，如图，△ABC中，∠A＝90°，D是AC上一点，且∠ADB＝2∠C，P是
BC上任一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，下列结论：①△DBC是等腰三角形；②∠C＝30°；③PE+PF＝AB；④PE2+AF2＝BP2，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③④ C．①④ D．①②③④
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11．（3分）
＝ ．
12．（3分）在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝50°，则∠C＝ ．
13．（3分）已知是整数，则满足条件的最小正整数n是 ．
14．（3分）直角三角形中有两条边分别为5和12，则第三条边的长是 ． 15．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为 ．
16．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是 ．
2
三、解答题（共8题，共72分） 17．（8分）计算： （1）2（2）
18．（8分）在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，求AC长．
19．（8分）已知x＝2﹣，求代数式（7+4
）x2+（2+）x+的值．
20．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）连接BE交AC于点F，求证：AC平分BE．
21．（8分）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）． （1）AC的长为 ； （2）求证：AC⊥BC；
（3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形ABCD，画出平行四边形ABCD，并写出D点的坐标 ．
3
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且
AF＝BF．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4．求CG．
23．（10分）如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边所在射线ED上运动．
（1）当∠ACE＜90°时，求证：AE2+AD2＝2AC2；
（2）当∠ACE＞90°时，问题（1）中的结论，是否还成立？若成立，请画出图形，并证明；若不成立，请说明理由．
（3）若EC＝3，点A从点E运动到点D时，点B运动的路径长为 ．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△ABC，点B和原点重合．其中，∠B＝90°，∠C＝30°，C（
，0）．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长
的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点
B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的
时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）求证：AE＝DF
4
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
5
2017-2018学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．（3分）A．2 【解答】解：∵∴
＝2．
的值是（ ）
B．﹣2
表示4的算术平方根，
C．±2
D．4
故选：A．
2．（3分）下列二次根式中，x的取值范围是x≥3的是（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、根据二次根式有意义的条件可得：3﹣x≥0，解得x≤3，故此选项错误；
B、根据二次根式有意义的条件可得：6+2x≥0，解得x≥﹣3，故此选项错误； C、根据二次根式有意义的条件可得：x﹣3≥0，解得x≥3，故此选项正确； D、根据二次根式有意义的条件可得：x+3≥0，解得x≥﹣3，故此选项错误；
故选：C．
3．（3分）下列各组三条线段组成的三角形是直角三角形的是（ ） A．2，3，4
B．1，1，
C．6，8，11
D．2，2，3
【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故选项错误；
B、12+12＝（）2，能构成直角三角形，故选项正确；
C、62+82≠112，不能构成直角三角形，故选项错误； D、22+22≠32，不能构成直角三角形，故选项错误．
故选：B．
4．（3分）下列式子是最简二次根式的是（ ） A．
＝B．
C．
D．
【解答】解：A、，此选项不符合题意；
B、C、D、
是最简二次根式，符合题意； ＝|a|，此选项不符合题意； ＝2
，此选项不符合题意；
故选：B．
6
5．（3分）下列各式计算错误的是（ ） A．C．
【解答】解：A、4
﹣
＝3
B．D．
，此选项计算正确；
B、C、D、
×＝，此选项计算正确；
＝（
）2﹣（
）2＝3﹣2＝1，此选项计算错误；
÷＝＝3，此选项计算正确；
故选：C．
6．（3分）下列三个命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③相等的两个实数的平方也相等．它们的逆命题成立的个数是（ ） A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【解答】解：①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立； ②两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；
③相等的两个实数的平方也相等的逆命题是两个实数的平方相等，这两个数相等，不成立； 故选：B．
7．（3分）如图所示，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（ ）米．
A．15
B．20
C．3
D．24
【解答】解：因为AB＝9米，AC＝12米， 根据勾股定理得BC＝
＝15米，
于是折断前树的高度是15+9＝24米． 故选：D．
8．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）cm．
7
A．3 B．6 C． D．6
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为6cm，圆柱高为3cm， ∴AB＝3cm，BC＝BC′＝3cm， ∴AC2＝32+32＝18， ∴AC＝3
cm，
cm．
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝6故选：B．
9．（3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2018次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A．（1，4） B．（5，0） C．（7，4） D．（8，3）
【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2018÷6＝336…2，
∴当点P第2018次碰到矩形的边时为第336个循环组的第2次反弹， 点P的坐标为（7，4）． 故选：C．
8
10．（3分）已知，如图，△ABC中，∠A＝90°，D是AC上一点，且∠ADB＝2∠C，P是
BC上任一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，下列结论：①△DBC是等腰三角形；②∠C＝30°；③PE+PF＝AB；④PE2+AF2＝BP2，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③④ C．①④ D．①②③④
【解答】解：在△BCD中，∠ADB＝∠C+∠DBC， ∵∠ADB＝2∠C， ∴∠C＝∠DBC， ∴DC＝DB，
∴△DBC是等腰三角形，故①正确； 无法说明∠C＝30°，故②错误；
连接PD，则S△BCD＝BD•PE+DC•PF＝DC•AB， ∴PE+PF＝AB，故③正确；
过点B作BG∥AC交FP的延长线于G， 则∠C＝∠PBG，∠G＝∠CFP＝90°， ∴∠PBG＝∠DBC，四边形ABGF是矩形， ∴AF＝BG，
在△BPE和△BPG中，
，
∴△BPE≌△BPG（AAS）， ∴BG＝BE， ∴AF＝BE，
9
在Rt△PBE中，PE2+BE2＝BP2， 即PE2+AF2＝BP2，故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：B．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11．（3分）【解答】解：
＝ 2＝
． ＝
×
＝2
．
12．（3分）在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝50°，则∠C＝ 50° ．
【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠A， ∴∠A＝50°， ∴∠C＝50°， 故答案为50° 13．（3分）已知
是整数，则满足条件的最小正整数n是 2 ．
【解答】解：∵8＝22×2， ∴n的最小值是2． 故答案为：2．
14．（3分）直角三角形中有两条边分别为5和12，则第三条边的长是 13或【解答】解：①当12为斜边时，则第三边＝②当12是直角边时，第三边＝故答案为：13或
．
＝13．
＝
；
．
15．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为 6 ．
10
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8， ∴BC＝8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形， ∴CE＝8﹣3＝5， 在Rt△CEF中，CF＝设AB＝x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即（x+4）2＝x2+82， 解得x＝6，则AB＝6． 故答案为：6．
16．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是
﹣1 ．
＝
＝4，
【解答】解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′
C的长取最小值，如图所示．
根据折叠可知：A′E＝AE＝AB＝1．
在Rt△BCE中，BE＝AB＝1，BC＝3，∠B＝90°， ∴CE＝
＝
，
﹣1．
∴A′C的最小值＝CE﹣A′E＝故答案为：
﹣1．
11
三、解答题（共8题，共72分） 17．（8分）计算： （1）2
（2）
【解答】解：（1）原式＝4﹣2
+12
＝14
；
（2）原式＝
＝15．
18．（8分）在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，求AC长．
【解答】解：∵AD是中线，AB＝13，BC＝10， ∴BD＝BC＝5．
∵52+122＝132，即BD2+AD2＝AB2， ∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC， 又∵BD＝CD， ∴AC＝AB＝13．
19．（8分）已知x＝2﹣，求代数式（7+4）x2+（2+）x+的值．
【解答】解：x2＝（2﹣）2＝7﹣4
，
则原式＝（7+4
）（7﹣4）+（2+
）（2﹣）+
12
＝49﹣48+1+＝2+
．
20．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD． （1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）连接BE交AC于点F，求证：AC平分BE．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形DOCE是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴OC＝AC＝BD＝OD， ∴四边形OCED为菱形； （2）连接BE交AC于点F，
∵四边形OCED为菱形， ∴OD＝CE，OD∥CE， ∴∠OBF＝∠CEF， ∵矩形ABCD， ∴BO＝OD， ∴OB＝CE， 在△BOF与△ECF中
，
∴△BOF≌△ECF， ∴BF＝EF， 即AC平分BE．
21．（8分）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，
13
3），B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣1）． （1）AC的长为 2
；
（2）求证：AC⊥BC；
（3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形ABCD，画出平行四边形ABCD，并写出D点的坐标 （0，4），（4，2），（﹣4，﹣4）． ．
【解答】（1）解：AC＝故答案为：2
；
，
（2）∵BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，AC2＝20， ∵BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴AC⊥BC；
（3）如图所示：D点的坐标（0，4），（4，2），（﹣4，﹣4）， 故答案为：（0，4），（4，2），（﹣4，﹣4）．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且
AF＝BF．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
14
（2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4．求CG．
【解答】（1）证明：∵F为BE中点，AF＝BF， ∴AF＝BF＝EF，
∴∠BAF＝∠ABF，∠FAE＝∠AEF，
在△ABE中，∠BAF+∠ABF+∠FAE+∠AEF＝180°， ∴∠BAF+∠FAE＝90°， 又四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为矩形；
（2）解：连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H， ∵F为BE的中点，FG⊥BE， ∴BG＝GE， ∵S△BFG＝5，CD＝4， ∴S△BGE＝10＝BG•EH， ∴BG＝GE＝5， 在Rt△EGH中，GH＝在Rt△BEH中，BE＝∴CG＝BC﹣BG＝4
﹣5．
＝3，
＝BC，
23．（10分）如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边所在射线ED上运动．
（1）当∠ACE＜90°时，求证：AE2+AD2＝2AC2；
（2）当∠ACE＞90°时，问题（1）中的结论，是否还成立？若成立，请画出图形，并证明；若不成立，请说明理由．
15
（3）若EC＝3，点A从点E运动到点D时，点B运动的路径长为 3 ．
【解答】（1）证明：连接BD， ∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形 ∴∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS） ∴BD＝AE，∠BDC＝∠E， ∵∠E+∠CDE＝90°， ∴∠BDC+∠CDE＝90°， 即∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，BD2+AD2＝AB2， ∵AB2＝2AC2， ∴AE2+AD2＝2AC2．
（2）结论仍然成立． 如图所示：
理由：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
16
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS） ∴BD＝AE，∠BDC＝∠E， ∵∠E+∠CDE＝90°， ∴∠BDC+∠CDE＝90°， 即∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，BD2+AD2＝AB2， ∵AB2＝2AC2， ∴AE2+AD2＝2AC2．
（3）∵△ACE≌△BCD， ∴EA＝BD， ∵DE＝3
，
，
∴点B运动的路径长为3故答案为3
．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△ABC，点B和原点重合．其中，∠B＝90°，∠C＝30°，C（
，0）．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长
的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点
B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的
时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）求证：AE＝DF
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
17
【解答】（1）证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t， ∴DF＝CD＝t． 又∵AE＝t， ∴AE＝DF．
（2）解：四边形AEFD能够成为菱形． 理由如下： 设AB＝x，
∵∠B＝90°，∠C＝30°， ∴AC＝2AB＝2x．
由勾股定理得，（2x）2﹣x2＝（5）2，
解得：x＝5， ∴AB＝5，AC＝10． ∴AD＝AC﹣DC＝10﹣2t． ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF． 又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
若使四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD， 即t＝10﹣2t， 解得：t＝．
即当t＝时，四边形AEFD为菱形．
（3）解：当t＝秒或4秒时，△DEF为直角三角形，理由如下： 分情况讨论：
①当∠EDF＝90°时，AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，
18
∴t＝．
②∠DEF＝90°时，AD＝AE，即10﹣2t＝t， ∴t＝4．
③∠EFD＝90°时，此种情况不存在． 故当t＝秒或4秒时，△DEF为直角三角形．
19
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