辽宁省雅礼学校二Ｏ二0年【苏科版】七年级数学下册复
习考试试卷第一次月考数学试卷
创作人：百里个一 审核人： 北堂这是 日期：二零二一年四月贰号 单位： 飞贺鹏州华龙市培正学校 一、选择题型（每小题3分，共18分） 1．计算2x•x的结果是（ ） A． 2x
B． 2x
5
3
2
C． 2x
6
D． x
5
2．下列多项式能因式分解的是（ ） A． m+n
2
B． m﹣m+1
2
C． m﹣2m+1
2
D． m﹣n
2
3．如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（ ）
A． （x+a）（x+a） B． x+a+2ax C． （x﹣a）（x﹣a） D． （x+a）a+（x+a）x 4．若a＞0且a=2，a=3，则a A． ﹣1
B． 1
x
y
x﹣y
2
2
的值为（ ） C．
D．
5．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A﹕∠B﹕∠C=1﹕2﹕3；③∠A=∠B=∠C；④∠A=∠B=2∠C；⑤∠A=∠B=∠C，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ） A． 2个
2
B． 3个 C． 4个
2
D． 5个
6．若代数式x﹣6x+b可化为（x﹣a）﹣1，则b﹣a的值是（ ） A． 5
B． ﹣5
C． 11
D． ﹣11
二、填空题型（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
7．某细胞的直径约为0.0000102米，用科学记数法表示为米． 8．因式分解：2x﹣8=． 9．若m•2=2，则m等于． 10．计算：（﹣）×（2）=．
11．整式A与m﹣2mn+n的和是（m+n），则A=．
12．已知：a+b=，ab=1，化简（a﹣2）（b﹣2）的结果是． 13．若（a﹣1）=1成立，则a的取值范围为． 14．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．
15．如果a=（﹣），b=（﹣0.1），c=（﹣），那么用“＜”将a、b、c的大小关系连接起来为．
16．如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是．
三、解答题型（本大题共有10小题，共102分．） 17．计算
（1）（ab﹣3ab）•ab；
（2）|﹣1|+（﹣2）+（7﹣π）﹣（ ）（3）（﹣2m+n）；
（4）（4x+3y）（3y﹣4x）﹣（4x+3y）． 18．因式分解： （1）4x﹣9； （2）3m﹣6mn+3n；
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
2
2
2
2
2
2
0
﹣1
2
0
﹣
﹣2
02
2
2
3
6
2
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
（3）2（x﹣y）（x+y）﹣（x+y）； （4）9（a﹣b）﹣4（a+b）． 19．利用因式分解简便计算： （1）50﹣49×51 （2）48+48×24+12．
20．据统计，某年我国水资源总量为2.64×10m，按全国1.32×10人计算，该年人均水资源量为多少m？
21．已知：a+b=﹣1，ab=﹣6，求下列各式的值： （1）ab+ab （2）a+b．
22．已知2x﹣1=3，求代数式（x+3）﹣（x﹣3）﹣（2x+1）（2x﹣1）+（2x）的值． 23．已知4=2，8=5， （1）求：2（2）求：2
2m+3nm
n
2
2
2
2
22
2
3
123
9
2
2
2
2
2
2
的值； 的值．
4m﹣6n
24．小明学习了“第八章幂的运算”后做这样一道题：若（2x﹣3）
x+3
=1，求x的值，他解出来的结果为x=1，老师说小明考虑问题不全
面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？ 小明解答过程如下：
解：因为1的任何次幂为1，所以2x﹣3=1，x=2．且2+3=5 故（2x﹣3）=（2×2﹣3）=1=1，所以x=2 你的解答是：
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
x+3
2+3
5
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
25．教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a+b=c，称为勾股定理．
（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程． （2）小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形（如图③），利用上面探究所得结论，求当a=3，b=4时梯形ABCD的周长．
（3）如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．
26．如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED． （1）探究猜想：
①若∠A=20°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并用两种不同的方法证明你的结论． （2）拓展应用：
如图②，射线FE与l1，l2交于分别交于点E、F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域a，b位于直线
2
2
2
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（选择其中一种情况说明理由）．
参考答案与试题解析
一、选择题型（每小题3分，共18分） 1．计算2x•x的结果是（ ） A． 2x
B． 2x
5
3
2
C． 2x
6
D． x
5
考点：同底数幂的乘法．
分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答． 解答：解：2x•x=2x． 故选B．
点评：本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
2．下列多项式能因式分解的是（ ） A． m+n
2
3
2
5
B． m﹣m+1
2
C． m﹣2m+1
2
D． m﹣n
2
考点：因式分解的意义． 专题：计算题．
分析：利用因式分解的意义判断即可． 解答：解：A、原式不能分解； B、原式不能分解；
C、原式=（m﹣1），能分解； D、原式不能分解． 故选：C．
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
2
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
点评：此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（ ）
A． （x+a）（x+a） B． x+a+2ax C． （x﹣a）（x﹣a） D． （x+a）a+（x+a）x 考点：整式的混合运算． 专题：计算题．
分析：根据正方形的面积公式，以及分割法，可求正方形的面积，进而可排除错误的表达式． 解答：解：根据图可知，
S正方形=（x+a）=x+2ax+a=（x+a）a+（x+a）x 故选C．
点评：本题考查了整式的混合运算、正方形面积，解题的关键是注意完全平方公式的掌握．
4．若a＞0且a=2，a=3，则a A． ﹣1
B． 1
x
y
x﹣y
2
2
22
2
的值为（ ） C．
D．
考点：同底数幂的除法． 专题：计算题．
分析：根据同底数幂相除，底数不变，指数相减的性质逆用计算即可． 解答：解：∵a=2，a=3， ∴a
x﹣y
x
y
=a÷a=．
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
xy
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
故选：C．
点评：本题主要考查同底数幂的除法的性质，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．
5．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A﹕∠B﹕∠C=1﹕2﹕3；③∠A=∠B=∠C；④∠A=∠B=2∠C；⑤∠A=∠B=∠C，能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ） A． 2个
B． 3个
C． 4个
D． 5个
考点：三角形内角和定理．
分析：确定三角形是直角三角形的条件是有一角是直角．根据三角形内角和定理，结合已知条件可分别求出各角的度数，然后作出判断． 解答：解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴若 ①∠A+∠B=∠C，则∠C=90°．三角形为直角三角形； ②∠A﹕∠B﹕∠C=1﹕2﹕3，则∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．三角形为直角三角形；
③∠A=∠B=∠C，则∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．三角形为直角三角形；
④∠A=∠B=2∠C，则∠A=∠B=72°，∠C=36°．三角形不是直角三角形；
⑤∠A=∠B=∠C，则∠A=∠B=45°，∠C=90°．三角形为等腰直角三角形． 故选C．
点评：此题考查三角形内角和定理和直角三角形的判定，难度不大．
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
6．若代数式x﹣6x+b可化为（x﹣a）﹣1，则b﹣a的值是（ ） A． 5
B． ﹣5
C． 11
D． ﹣11
22
考点：完全平方公式． 专题：配方法．
分析：根据完全平方公式的结构，按照要求x﹣6x+b=x﹣6x+9﹣9+b=（x﹣3）+b﹣9=（x﹣a）﹣1，即可知a=3，b﹣9=﹣1，然后将求得的a、b的值代入b﹣a，并求值即可．
解答：解：∵x﹣6x+b=x﹣6x+9﹣9+b=（x﹣3）+b﹣9=（x﹣a）﹣1， ∴a=3，b﹣9=﹣1，即a=3，b=8，故b﹣a=5． 故选A．
点评：本题考查了完全平方公式的应用．能够熟练运用完全平方公式，是解答此类题的关键．
二、填空题型（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
7．某细胞的直径约为0.0000102米，用科学记数法表示为1.02×10米．
考点：科学记数法—表示较小的数．
分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 解答：解：0.0000102=1.02×10， 故答案为：1.02×10．
﹣5
﹣5
﹣n
﹣5
2
2
2
2
2
2
2
2
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8．因式分解：2x﹣8=2（x+2）（x﹣2） ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可． 解答：解：2x﹣8=2（x﹣4）=2（x+2）（x﹣2）． 故答案为：2（x+2）（x﹣2）．
点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
9．若m•2=2，则m等于8． 考点：同底数幂的乘法．
分析：根据乘除法的关系，把等式变形，根据同底数幂的除法，底数不变指数相减．
解答：解；m=2÷2=2 故答案为：8．
点评：此题主要考查了同底数幂的除法，题目比较基础，一定要记准法则才能做题．
10．计算：（﹣）×（2）=﹣． 考点：幂的乘方与积的乘方．
分析：直接利用积的乘方运算法则将原式变形，进而求出即可． 解答：解：（﹣）×（2）
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
6
3
6﹣3
3
62
2
2
﹣n
=2=8，
3
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
=（﹣）×（2）×（﹣） =[（﹣）×2]×（﹣） =1×（﹣） =﹣．
故答案为：﹣．
点评：此题主要考查了积的乘方运算，正确利用积的乘方运算法则求出是解题关键．
11．整式A与m﹣2mn+n的和是（m+n），则A=4mn． 考点：完全平方公式．
分析：已知两数的和和其中一个加数，求另一个加数，用减法．列式计算．
解答：解：A=（m+n）﹣（m﹣2mn+n） =m+2mn+n﹣m+2mn﹣n =4mn．
故答案为：4mn．
点评：此题考查整式的运算，涉及完全平方公式的应用，属基础题． 12．已知：a+b=，ab=1，化简（a﹣2）（b﹣2）的结果是2． 考点：整式的混合运算—化简求值． 专题：整体思想．
分析：根据多项式相乘的法则展开，然后代入数据计算即可． 解答：解：（a﹣2）（b﹣2） =ab﹣2（a+b）+4，
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
2
2
2
22
2
2
2
2
2
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
当a+b=，ab=1时，原式=1﹣2×+4=2． 故答案为：2．
点评：本题考查多项式相乘的法则和整体代入的数学思想． 13．若（a﹣1）=1成立，则a的取值范围为a≠1． 考点：零指数幂．
分析：根据零指数幂：a=1（a≠0）可得a﹣1≠0，再解即可． 解答：解：由题意得：a﹣1≠0， 解得：a≠1， 故答案为：a≠1．
点评：此题主要考查了零指数幂，关键是掌握a=1（a≠0）． 14．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为360°． 考点：多边形内角与外角；三角形的外角性质．
分析：根据∠CNE为△CDN的外角，得到∠CNE=∠C+∠D，根据∠FMN为△ABM的外角，得到∠FMN=∠A+∠B，由四边形内角和为360°，所以∠CNE+∠FMN+∠E+∠F=360°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°． 解答：解：如图，
∵∠CNE为△CDN的外角， ∴∠CNE=∠C+∠D，
∵∠FMN为△ABM的外角， ∴∠FMN=∠A+∠B，
∵四边形内角和为360°， ∴∠CNE+∠FMN+∠E+∠F=360°，
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
0
0
0
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°， 故答案为：360°．
点评：本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，将已知角转化在同一个四边形中，再根据四边形内角和为360°求解．
15．如果a=（﹣），b=（﹣0.1），c=（﹣），那么用“＜”将a、b、c的大小关系连接起来为c＜a＜b． 考点：负整数指数幂；零指数幂．
分析：根据零次幂，负整数指数幂分别计算出结果，再比较大小即可． 解答：解：a=（﹣）=1； b=（﹣0.1）=10， c=（﹣）=， ∵＜1＜10， ∴c＜a＜b，
故答案为：c＜a＜b．
点评：本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．
16．如图，边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是2m+3． 考点：完全平方公式的几何背景． 专题：几何图形问题．
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
﹣2
﹣
00
﹣
﹣2
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
分析：由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长． 解答：解：依题意得剩余部分为 （m+3）﹣m=m+6m+9﹣m=6m+9， 而拼成的矩形一边长为3，
∴另一边长是（6m+9）÷3=2m+3． 故答案为：2m+3．
点评：本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则． 三、解答题型（本大题共有10小题，共102分．） 17．计算
（1）（ab﹣3ab）•ab；
（2）|﹣1|+（﹣2）+（7﹣π）﹣（ ）（3）（﹣2m+n）；
（4）（4x+3y）（3y﹣4x）﹣（4x+3y）．
考点：整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂． 分析：（1）利用乘法分配律求解即可；
（2）利用绝对值，零指数幂及负整数指数幂法则求解即可； （3）利用完全平方公式求解即可；
（4）利用平主差及完全平方公式求解即可． 解答：解：（1）（ab﹣3ab）•ab=ab﹣ab；
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
2
23
22
2
2
2
0
﹣1
22
2
2
2
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
（2）|﹣1|+（﹣2）+（7﹣π）﹣（ ）=1+4+1﹣3 =3；
（3）（﹣2m+n）=4m﹣4mn+n；
（4）（4x+3y）（3y﹣4x）﹣（4x+3y） =9y﹣16x﹣（16x+24xy+9y） =9y﹣16x﹣16x﹣24xy﹣9y =﹣32x﹣24xy．
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
20﹣1
点评：本题主要考查了整式的混合运算，零指数幂及负整数指数幂，解题的关键是正确利用零指数幂及负整数指数幂法则及整式的混合运算顺序．
18．因式分解： （1）4x﹣9； （2）3m﹣6mn+3n；
（3）2（x﹣y）（x+y）﹣（x+y）； （4）9（a﹣b）﹣4（a+b）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：（1）直接利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出即可； （3）首先提取公因式（x+y），进而合并同类项即可； （4）直接利用平方差公式分解因式得出即可． 解答：解：（1）4x﹣9=（2x+3）（2x﹣3）；
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
22
2
2
2
2
2
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
（2）3m2﹣6mn+3n2
=3（m2
﹣2mn+n2
） =3（m﹣n）2
；
（3）2（x﹣y）（x+y）﹣（x+y）2
； =（x+y）[2（x﹣y）﹣（x+y）] =（x+y）（x﹣3y）；
（4）9（a﹣b）2
﹣4（a+b）2
=[3（a﹣b）+2（a+b）][3（a﹣b）﹣2（a+b）] =（5a﹣b）（a﹣5b）．
点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
19．利用因式分解简便计算： （1）502
﹣49×51 （2）482
+48×24+122
．
考点：因式分解-运用公式法．
分析：（1）直接利用平方差公式计算得出即可； （2）直接利用完全平方公式分解因式得出即可． 解答：解：（1）502
﹣49×51 =502
﹣（50﹣1）（50+1） =502
﹣502
+1 =1；
（2）482
+48×24+122
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
=（48+12） =3600．
点评：此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
20．据统计，某年我国水资源总量为2.64×10m，按全国1.32×10人计算，该年人均水资源量为多少m？ 考点：整式的除法． 专题：计算题．
分析：根据水资源总量除以总人数即可得到结果．
解答：解：根据题意得：（2.64×10）÷（1.32×10）=2×10（m），
则该年人均水资源量为2×10m．
点评：此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．已知：a+b=﹣1，ab=﹣6，求下列各式的值： （1）ab+ab （2）a+b．
考点：因式分解-提公因式法；完全平方公式．
分析：（1）直接提取公因式，进而将已知代入求出即可； （2）将原式利用完全平方公式变形进而代入已知求出即可． 解答：解：（1）∵a+b=﹣1，ab=﹣6， ∴ab+ab=ab（a+b）=﹣6×（﹣1）=6； （2）∵a+b=﹣1，ab=﹣6，
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
2
22
22
2
33
3
12
9
3
3
123
9
2
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
∴a+b=（a+b）﹣2ab=（﹣1）﹣2×（﹣6）=1+12=13．
点评：此题主要考查了提取公因式法以及完全平方公式分解因式，正确将原式变形得出是解题关键．
22．已知2x﹣1=3，求代数式（x+3）﹣（x﹣3）﹣（2x+1）（2x﹣1）+（2x）的值．
考点：整式的混合运算—化简求值．
分析：先求出方程的解，算乘法，合并同类项，最后代入求出即可． 解答：解：2x﹣1=3， 解得：x=2，
（x+3）﹣（x﹣3）﹣（2x+1）（2x﹣1）+（2x） =x+6x+9﹣x+6x﹣9﹣4x+1+4x =12x+10 =12×2+10 =34．
点评：本题考查了解一元一次方程，整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中． 23．已知4=2，8=5， （1）求：2（2）求：2
2m+3nm
n
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2222
的值； 的值．
4m﹣6n
考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；同底数幂的除法． 分析：（1）直接利用积的乘方运算法则结合同底数幂的乘法运算法则求出即可；
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
（2）利用幂的乘方运算法则结合同底数幂的除法运算法则求出即可． 解答：解：（1）∵4=2，8=5， ∴2=2，2=5， ∴2
2m+3n2m
3n
m
n
=2×2=2×5=10；
m
n
2m3n
（2）∵4=2，8=5， ∴2=2，2=5， ∴2=（2）=4， 2=5=25， ∴2
4m﹣6n6n
24m
2m
2
2m
3n
=4÷25=．
点评：此题主要考查了同底数幂的乘方以及同底数幂的除法运算和幂的乘方等知识，正确将原式变形得出是解题关键．
24．小明学习了“第八章幂的运算”后做这样一道题：若（2x﹣3）
x+3
=1，求x的值，他解出来的结果为x=1，老师说小明考虑问题不全
面，聪明的你能帮助小明解决这个问题吗？ 小明解答过程如下：
解：因为1的任何次幂为1，所以2x﹣3=1，x=2．且2+3=5 故（2x﹣3）=（2×2﹣3）=1=1，所以x=2 你的解答是：
考点：零指数幂；有理数的乘方．
分析：分别从底数等于1，底数等于﹣1且指数为偶数，指数等于0且底数不等于0去分析求解即可求得答案．
解答：解：①∵1的任何次幂为1，所以2x﹣3=1，x=2．且2+3=5，
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
x+3
2+3
5
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
∴（2x﹣3）=（2×2﹣3）=1=1， ∴x=2；
②∵﹣1的任何偶次幂也都是1， ∴2x﹣3=﹣1，且x+3为偶数， ∴x=1，
当x=1时，x+3=4是偶数， ∴x=1；
③∵任何不是0的数的0次幂也是1， ∴x+3=0，2x﹣3≠0， 解的：x=﹣3，
综上：x=2或3或1．
点评：此题考查了零指数幂的性质与有理数的乘方．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用．
25．教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a+b=c，称为勾股定理．
（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．
2
2
2
x+32+35
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
（2）小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形（如图③），利用上面探究所得结论，求当a=3，b=4时梯形ABCD的周长．
（3）如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．
考点：勾股定理的证明．
分析：（1）根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；
（2）由（1）中结论先求出c的值，再根据周长公式即可得出梯形ABCD的周长；
（3）先根据高的定义画出BD，由（1）中结论求出AC的长，再根据△ABC的面积不变列式，即可求出高BD的长．
解答：（1）证明：由图得，×ab×4+c=（a+b）×（a+b）， 整理得，2ab+c=a+b+2ab， 即a+b=c；
（2）解：∵a=3，b=4， ∴c=
=5，
2
2
2
2
2
2
2
梯形ABCD的周长为：a+c+3a+c═4a+2c=4×3+2×5=22； （3）解：如图4，BD是△ABC的高． ∵S△ABC=AC•BD=AB×3，AC=∴BD=
=
=．
=5，
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
点评：本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，梯形的周长，三角形的高与面积，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． 26．如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED． （1）探究猜想：
①若∠A=20°，∠D=40°，则∠AED等于多少度？
②猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并用两种不同的方法证明你的结论． （2）拓展应用：
如图②，射线FE与l1，l2交于分别交于点E、F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（选择其中一种情况说明理由）． 考点：平行线的性质．
分析：（1）①延长DE交AB于F，根据平行线的性质求出∠DFA=∠D=40°，∠AED=∠A+∠DFA，代入求出即可；
②过E作EF∥AB，根据平行线的性质得出∠A=∠AEF，∠D=∠DEF，即可求出答案；
（2）根据题意画出符合的四种情况，根据图形和平行线的性质得出答案即可．
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
解答：（1）解：①延长DE交AB于F，如图1，∵AB∥CD，∠D=40°， ∴∠DFA=∠D=40°， ∵∠A=20°，
∴∠AED=∠A+∠DFA=20°+40°=60°； ②∠AED=∠A+∠D，
证明：方法一、延长DE交AB于F，如图1， ∵AB∥CD， ∴∠DFA=∠D，
∴∠AED=∠A+∠DFA；
方法二、过E作EF∥AB，如图2，∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD，
∴∠A=∠AEF，∠D=∠DEF， ∴∠AED=∠AEF+∠DEF=∠A+∠D；
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
（2）
当P在a区域时，如图3，∠PEB=∠PFC+∠EPF； 当P点在b区域时，如图4，∠PFC=∠PEB+∠EPF；
当P点在区域c时，如图5，∠EPF+∠PEB+∠PFC=360°；
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
当P点在区域d时，如图6，∠EPF=∠PEB+∠
PFC．
证明：图3， ∵AB∥CD， ∴∠PMB=∠PFC，
∵∠PMB=∠PEB+∠EPF， ∴∠PFC=∠PEB+∠EPF．
点评：本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角性质的应用，能画出符合的各个情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号 审核人： 北堂这是 单位： 飞贺鹏州华龙市培正学校 创作人：百里个一 日期：二零二一年四月贰号
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