数学的故事之一

眉县城关中学 贺旭升

前言 数学恐怕是我们花费力气最多而收效甚少的一门学科。原

因多种多样，主要是大多数人是在是提不起兴趣，尽管我们都觉得数学很重要。这样硬着头皮学肯定是事倍功半可是你要是主动地，津津有味地学也许就会事半功倍。我想培养对数学的兴趣有一条捷径，那就是学点数学的历史，数学的故事。所以我们开设数学的故事系列讲座以飨大家，今天我们主要讲讲逻辑学中经常遇到的很有意思的问题------悖论

引子--------矛和盾

矛贩子：我这个矛什么样的盾都能刺穿。 盾贩子：我这个盾什么样的矛都能抵御》 行人：有一个人分明是在说假话.

观察与切入

悖论是指看似非常明显的假命题，实际上却是真命题；看似非常明显的真命题，事实上却是假命题。换句话说，悖论就是看似丝毫没有错误，事实上却是存在矛盾的命题。具备如此性质的悖论不仅对于逻辑训练非常有帮助，而且和现代科学，小说，哲学的本质概念相符合，为了提升逻辑思维能力，有必要对悖论深入观察。

在生活中，我们会常常接触超越常识的逻辑逆说，即悖论。这些逆说如果就这么过去的话，不过是滑稽的故事罢了，但是通

过逻辑思考和更进一步的数学思考会发现线索都隐藏在其中，因此有必要在生活中试着寻找各种逆说并加以分析。 生活中数学

规则的逆说：“没有例外的规则是没有的。”规则存在的例外还是没有例外？

谎话大王的逆说：“我说的话是假的。”这句话是真话还是假话？

悖论分析

例题 p: “这句话是假的.”

命题p：我们先来说“这句话是假的”为什么从逻辑上是矛盾的。首先，我们假设命题p是真的。那么对于“这句话是假的”这句话，由于假设了命题为真，所以这句话必须是真的，因此，“这句话是假的”的命题p为假的，与假设命题p为真命题相矛盾。现在我们又假设命题p为假，那么对于“这句话是假的”的这句话，由于命题为假，所以这句话必须是假的，因此，“这句话是假的”的命题p为真，与假设命题p为假相矛盾。

悖论会让我们越想越陷入混乱之中。在历史上，悖论是让人津津乐道的对象，许多人被这样的混乱困扰，又为了克服这种混乱而不懈的努力，在这里向大家介绍历史中曾出现过的悖论。 其中之一是在公元前3世纪左右希腊哲学家芝诺提出的阿基里斯和乌龟赛跑的悖论。

芝诺悖论

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！

“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。

对于上面的悖论，要找出是什么并非容易的事，芝诺悖论很长时间都困扰这数学家们。直到19世纪，在无限成为数学的一个研究领域时，数学家们运用无限等比级数的收敛才将芝诺悖论揭开。

其二是英国说学家兼哲学家并且获得过诺贝尔文学奖的罗素在1895年提出的关于集合的悖论。

罗素悖论

将所有集合作为元素的集合是不存在的。

集合的定义是相互又明显区分的组合，尽管一个集合可以

称为任何集合的元素，而在罗素悖论中将所有集合作为元素的集合为甚不存在？为了直观的证明这个悖论，假设存在所有集合的集合U。那么那个集合U作为一个集合，又必然存在一个比U大的集合，将U作为其中的元素之一。所以，所有集合的集合是不可能存在的。但是罗素悖论需要通过数学进行严密的证明。

哈尔莫斯曾用“没有任何事物可以包含一切”来说明罗素悖论，另外，罗素为了说明自己提出飞关于集合的悖论，曾举过理发师的悖论的例子，下面就是将罗素悖论变换称生活中的情况的例子

在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。 理发师悖论与罗素悖论是等价的：

因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，

都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

罗素悖论的影响

十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论

刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……” 可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉

的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”

1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。

罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论。

关于罗素：

罗素（1872—1970），英国哲学家、数学家、逻辑学家。英国剑桥大学三一学院毕业后留校任教。1920年曾来中国讲学。1938—1944年在美国芝加哥大学、加利福尼亚大学讲学。1950年获诺贝尔文学奖。在哲学上，早期为新实在论者，20世纪初提出逻辑原子主义和中元一元论学说。在数学上，从事过数理逻辑和数学基础的研究。以他命名的“罗素悖论”曾对20世纪的数学基础发生过重大影响，其与怀特海的巨著《数学原理》中提出的逻辑类型论成功的解决了包括罗素悖论在内的不少悖论，并且成为人类数学和数理逻辑历史上里程碑式的著作，正是这本巨著是罗素获得了崇高的声誉。在教育上，主张自由教育，认为教育的基本目的应该是培养“活力、勇气、敏感、智慧”四种品质。在政治上，反对侵略战争，倡

导和平主义。重要著作有《哲学原理》、《哲学问题》、《心的分析》、《物的分析》、《西方哲学史》、《论教育》等。

现在家介绍关于主张公理主义的希尔伯特的有趣的无

限旅馆悖论

一个旅馆,有无限多的房间,每间客房都住满了房客,此时又有一位新客人要求住房,于是房东安排一号房间的客人搬到二号,二号房间的客人搬到三号.....依次类推,结果是,一号房间空了出来,新客人就有了自己的房间......

甚至就算来了无限名的旅客，也可以全部接纳。

关于希尔伯特

希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～1943)德国著名数学

家。

他于1900年8月8日在巴黎第二届国际数学家大会上，提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的制高点，对这些问题的研究有力推动了20世纪数学的发展，在世界上产生了深远的影响。希尔伯特领

导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”。

（著名的哥德巴赫猜想也是问题之一，以陈景润为代表的中国数学家获得了重大突破，但还没有彻底解决。） 希尔伯特 生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳，中学时代他就是一名勤奋好学的学生,对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣,善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。他与17岁便拿下数学大奖的著名数学家闵可夫斯基（爱因斯坦的老师）结为好友，同进于哥尼斯堡大学，最终超越了他。1880年,他不顾父亲让他学法律的意愿,进入哥尼斯堡大学攻读数学，并于1884年获得博士学位,后留校取得讲师资格和升任副教授。1893年他被任命为正教授,1895年转入格廷根大学任教授,此后一直在数学之乡格廷根生活和工作。他于1930年退休。在此期间,他成为柏林科学院通讯院士,并曾获得施泰讷奖、罗巴切夫斯基奖和波约伊奖。1930年获得瑞典科学院的米塔格-莱福勒奖,1942年成为柏林科学院荣誉院士。希尔伯特是一位正直的科学家,第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间，他敢于公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日益加剧,许多科学家被迫移居外国，其中多数流亡与

美国,曾经盛极一时的格廷根学派衰落了,希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。但由于大量数学家的到来，美国成为了当时的数学中心。

希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了著名的格廷根学派,使格廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心,并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期,每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。按时间顺序,他的主要研究内容有:不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域中，他都做出了重大的或开创性的贡献。希尔伯特认为，科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”

在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满

解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说：“在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。”三十年后，1930年，在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中，针对一些人信奉的不可知论观点，他再次满怀信心地宣称：“我们必须知道，我们必将知道。”

希尔伯特的《几何基础》（1899）是公理化思想的代表作，书中把欧几里德几何学加以整理，成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统，并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。1904年，又着手研究数学基础问题，经过多年酝酿，于二十年代初，提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统，并从不假定实无穷的有穷观点出发，建立相应的逻辑系统。然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质，从而创立了元数学和证明论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明，以便克服悖论所引起的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。然而，1930年，年青的奥地利数理逻辑学家哥德尔(K.G?del，1906～1978)获得了否定的结果，证明了希尔伯特方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说，希尔伯特有关数学基础的方案“仍不失其重要

性，并继续引起人们的高度兴趣”。希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》（三卷，其中包括他的著名的《数论报告》）、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》等，与其他合著有《数学物理方法》、《理论逻辑基础》、《直观几何学》、《数学基础》。

其实数学中又很多有趣的悖论问题，大家有兴趣的话试着找一些悖论进行思考，既可以锻炼逻辑思维，又可以增加一点数学的兴趣。

校本教研课程《数学的故事》之

悖论的故事 贺旭升

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