2023年安徽省初中学业水平考试 数学 （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. −5的相反数是（ ） A. 5 B. −5 C. 15 D. −15 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：−5的相反数是5， 故选：A． 【点睛】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义． 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是三角形，结合选项即可求解． 【详解】解：∵主视图是直角三角形， 故A，C，D选项不合题意， 故选：B． 【点睛】主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形,掌握三视图的定义是解题关键. 3. 下列计算正确的是（ ） A. a+a=a 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. a4+a4=2a4，故该选项不正确，不符合题意； B. a4⋅a4=a8，故该选项不正确，不符合题意； C. a4448B. a⋅a=a 4416C. a()44=a16 D. a8÷a4=a2 ()4=a16，故该选项正确，符合题意； D. a8÷a4=a4，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键． 4. 在数轴上表示不等式x−1<0的解集，正确的是（ ） 2B. C. D. A. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解． 【详解】解：x−1<0 2解得：x<1， 数轴上表示不等式的解集 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键． 5. 下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ） A. =yx2+1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. =yx2+1，a>0，对称轴为直线x=0， 当x<0时，y的值随x值的增大而减小，当x>0时，y的值随x值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； B. y=−x2+1，a<0，对称轴为直线x=0， 当x<0时，y的值随x值的增大而增大，当x>0时，y的值随x值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意； B. y=−x2+1 y2x+1 C. =−2x+1 D. y=y2x+1，k>0，y的值随x值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； C. =−2x+1，k<0，y的值随x值的增大而减小，故该选项正确，符合题意； D. y=故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． 6. 如图，正五边形ABCDE内接于O，连接OC,OD，则∠BAE−∠COD=（ ） A. 60° 【答案】D 【解析】 B. ° C. 48° D. 36° 【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可． =180°−【详解】∵∠BAE360°360°,∠COD=， 55360°360°=180°−−=36°， ∴∠BAE−∠COD55故选D． 【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 7. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ） A. 5 9B. 12 C. 1 3D. 2 9【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解． 【详解】解：依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有， 123,132,213,231,312,321共六种可能， 只有123，321是“平稳数” ∴恰好是“平稳数”的概率为= 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 8. 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF=2，FB=1，则MG=（ ） 2163 A. 23 B. 35 2C. 5+1 D. 10 【答案】B 【解析】 CMDEDEAF==2，根据△ADE∽△CME，得出==2，【分析】根据平行线分线段成比例得出EMFBADEM213CM=AD，进而可得MB=，根据BC∥AD，得出GMB∽GDA，根据相似三角形的性质则=223得出BG=3，进而在Rt△BGM中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AF=2，FB=1， ∴AD=BC=AB=AF+FG=2+1=3，AD∥CB，AD⊥AB,CB⊥AB， ∴EF⊥AB， ∴AD∥EF∥BC DEAF=2，△ADE∽△CME， EMFB13CMDECM=AD， ∴==2，则=22ADEM2∴MB=， 3∴=∵BC∥AD， ∴GMB∽GDA， 3∴BGMB21 ===ABDA3213=BG=AB∴， 22在Rt△BGM中，MG=故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9. 已知反比例函数=y2MB2+BG=35 32，+3=222k(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y=−x+b的图象如图所示，则函数xy=x2−bx+k−1的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 −x+b，得出k=b−1，代入二次函【分析】设A(1,k)，则B(k,1)，k>1，将点B(k,1)，代入y==数，可得当x=1时，y=−1，则y=x2−bx+k−1，得出对称轴为直线x轴的右侧，且过定点1,1，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， b>1，抛物线对称轴在y2 设A(1,k)，则B(k,1)，根据图象可得k>1， −x+b， 将点B(k,1)代入y=−k+b， ∴1=∴k=b−1， ∵k>1， ∴b>2， bb2222∴y=x−bx+k−1x−bx+(b−1)−1x−bx+b−2=x−++b−2， 24=对称轴为直线xb>1， 22当x=1时，1−b+b−2=−1， ∴抛物线经过点1,1， ∴抛物线对称轴在x=1的右侧，且过定点1,1， 当x=0时，y=k−1=b−2>0， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出k=b−1是解题的关键． 10. 如图，E是线段AB上一点，ADE和BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P,F分别是CD,AB的中点．若AB=4，则下列结论错误的是（ ） ．． A. PA+PB的最小值为33 B. PE+PF的最小值为23 C. CDE周长的最小值为6 D. 四边形ABCD面积的最小值为33 【答案】A 【解析】 【分析】延长AD,BC，则ABQ是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当E点与F重合时，则Q,P,F三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【详解】解：如图所示， 延长AD,BC， ∠QBA=60° 依题意∠QAD=∴ABQ是等边三角形， ∵P是CD的中点， ∴PD=PC， ∵∠DEA=∠CBA， ∴ED∥CQ ∠PED,∠PCQ=∠PDE， ∴∠PQC=∴PDE≌PCQ ∴PQ=PE， ∴四边形DECQ是平行四边形， 则P为EQ的中点 如图所示， 设AQ,BQ的中点分别为G,H， =则GP11=AE,PHEB 22∴当E点在AB上运动时，P在GH上运动， 当E点与F重合时，即AE=EB， 则Q,P,F三点共线，PF取得最小值，此时AE=EB=则△ADE≌△ECB， ∴C,D到AB的距离相等， 则CD∥AB， 此时=PF1(AE+EB)=2， 23=AD23 此时ADE和BCE的边长都为2，则AP,PB最小， ∴PF=3×2=223， ∴PA=PB=2+(3)2=7 ∴PA+PB=27， 或者如图所示，作点B关于GH对称点B′，则PB=PB′，则当A,P,B′三点共线时，AP+PB=AB′ 此时AB′=AB+BB′=4+2322()2=27 故A选项错误， 根据题意可得P,Q,F三点共线时，PF最小，此时PE=PF=3，则PE+PF=23，故B选项正确； CDE周长等于CD+DE+CE=CD+AE+EB=CD+AB=CD+4， 即当CD最小时，CDE周长最小， 如图所示，作平行四边形GDMH，连接CM， 60°,∠GHM=∠GDM=60°，则∠CHM=∵∠GHQ=120° 如图，延长DE,HG，交于点N， ∠QGH=60°，∠NDG=则∠NGD=∠ADE=60° ∴△NGD是等边三角形， ∴ND=GD=HM， 在NPD与△HPC中， ∠HPC∠NPD=∠CHP=60° ∠N=PD=PC∴NPD≌HPC ∴ND=CH ∴CH=MH ∴∠HCM=∠HMC=30° ∴CM∥QF，则CM⊥DM， ∴DMC是直角三角形， 在△DCM中，DC>DM =GH=∴当DC=DM时，DC最短，DC∵CD=PC+2PC 1AB=2 2∴CDE周长的最小值为2+2+2=6，故C选项正确； ∵NPD≌HPC ∴四边形ABCD面积等于SADE+SEBC+SDEC=SADE+S平行四边NEBH ∴当△BGD的面积为0时，取得最小值，此时，D,G重合，C，H重合 ∴四边形ABCD面积的最小值为3×故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当32×2=33，故D选项正确， 4E点与F重合时得出最小值是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：38+1=_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据求一个数的立方根，有理数的加法即可求解． 【详解】解：38+1=2+1=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 12. 据统计，2023年第一季度安徽省采矿业实现利润总额74.5亿元，其中74.5亿用科学记数法表示为_____． 【答案】7.45×109 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数． 【详解】解：74.5亿=74.5×108=7.45×109． 故答案为：7.45×109． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键． 13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐1AB2−AC2=AB7,=BC6，AC=5时，CD=____． =BD角ABC的高，则BC+．当2BC 【答案】1 【解析】 【分析】根据公式求得BD，根据CD=BC−BD，即可求解． =AB7,=BC6，AC=5， 【详解】解：∵49−251AB2−AC21=+65 =BDBC+∴=2BC26∴CD=BC−BD=6−5=1, 故答案为：1． 【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键． 14. 如图，O是坐标原点，RtOAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB=∠2,AOB=°30，反比例函=y数k(k>0)的图象经过斜边OB的中点C． x （1）k=__________； （2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2−BD2的值为____________． 【答案】 ①. 3 ②. 4 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出A,B的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出C的坐标，进而即可求解； （2）根据题意，求得直线AC,BD，联立BD与反比例函数解析式，得出D的坐标，进而根据两点距离公式求得OB2，BD2，进而即可求解． 2,AOB=°30， 【详解】解：（1）∵AB=∠∴=OA23,=OB2=AB4 ∴A23,0,B23,2， ∵C是OB的中点， ∴C()()(3,1， k(k>0)的图象经过斜边OB的中点C． x)=y∵反比例函数∴k=3； 3 x∴反比例数解析式为y=故答案为：3； （2）∵A23,0，C()(3,1 )ykx+b 设直线AC的解析式为==023k+b ∴=3k+b13k=−解得：3 b=2∴直线AC的解析式为y=−x+2， ∵DB∥AC， 设直线BD的解析式为y333xb，将点B23,2代入并解得b=4， 3()∴直线BD的解析式为y=−x+4， 33∵反比例数解析式为y=3 x3y=−x+43 联立y=3x=x23+3=x23−3 解得：或y=2−3y=2+3=x23+3时， BD2=23+3−23当y=2−3()+(2−2+3)22=9+3=12 =2x23−32时， BD=23−23+3+2+3−2当y=2+3()()2=9+3=12 OB=2(23)2+=2216 ∴OB2−BD2=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） x2+2x+115. 先化简，再求值：，其中=xx+1【答案】x+1；2 2−1． 【解析】 【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． x2+2x+1 【详解】解： x+1x+1)(=x+12 =x+1， 当=x2−1时， ∴2−1+1=2． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 16. 根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价． 【答案】调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40,50元 【解析】 【分析】设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为x,y元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为x,y元，根据题意得， yx+10= x1+10%+1=y−5()x=40 解得：y=50答：调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40,50元 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 四、（本大题共2小题、每小题8分、满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D均为格点（网格线的交点）． （1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1； （2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2； （3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质找到A,B关于直线CD的对称点，A1,B1，连接A1,B1，则线段A1B1即为所求； （2）根据平移的性质得到线段A2B2即为所求； （3）勾股定理求得AM=BM=12+32=10，MN=12+32=10，则AM=MN证明=90°，则AM⊥MN，则点M,N即为所求． NPM≌MQA得出∠NMP+∠AMQ【小问1详解】 解：如图所示，线段A1B1即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，线段A2B2即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，点M,N即为所求 如图所示， ∵AM=BM=∴AM=MN， 12+32=10，MN=12+32=10， =MQ=1,MP=AQ=3， 又NP∴NPM≌MQA， ∠MAQ， ∴∠NMP==90°， 又∠MAQ+∠AMQ=90° ∴∠NMP+∠AMQ∴AM⊥MN， ∴MN垂直平分AB． 【点睛】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18. 【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“”的个数为 ； （2）第1个图案中“★”的个数可表示为1×223，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案224×53×4，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”中“★”的个数可表示为22的个数可表示为______________． 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3++n等于第n个图案中“”的个数的2倍． 【答案】（1）3n （2）n×(n+1) 2（3）n=11 【解析】 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：第1个图案中有3个， ， ， ， 第2个图案中有3+3=6个第3个图案中有3+2×3=9个第4个图案中有3+3×3=12个…… ∴第n个图案中有3n个故答案为：3n． 【小问2详解】 ， 1×2， 223， 第2个图案中“★”的个数可表示为23×4， 第3个图案中“★”的个数可表示为24×5，……， 第4个图案中“★”的个数可表示为2第1个图案中“★”的个数可表示为第n个图案中“★”的个数可表示为n×(n+1)， 2【小问3详解】 解：依题意，1+2+3+……+n=第n个图案中有3n个， n×(n+1)， 2n(n+1)∴=3n×2， 2解得：n=0（舍去）或n=11． 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，O,R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m,R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB（精确到0.1m）．参考数据：sin24.2°≈0.41,cos24.2°≈0.91,tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60,cos36.9°≈0.80,tan36.9°≈0.75． 【答案】无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9米 【解析】 【分析】解RtAOR，求得AO，OR，在RtBOR中，求得BO，根据AB=BO−AO，即可求解． 【详解】解：依题意，∠ARO=24.2°，∠BRO=36.9°，AR=40， 在RtAOR中，∠ARO=24.2°， ∴AO=AR×sin∠ARO=40×sin24.2°，RO=AR×cos∠ARO=40×cos24.2°， 在RtBOR中，OB=OR×tan∠BRO=40×cos24.2°×tan36.9°， ∴AB=BO−AO =40×cos24.2°×tan36.9°−40×sin24.2° ≈40×0.91×0.75−40×0.41 ≈10.9（米） 答：无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 20. 已知四边形ABCD内接于O，对角线BD是O的直径． （1）如图1，连接OA,CA，若OA⊥BD，求证；CA平分∠BCD； （2）如图2，E为O内一点，满足AE⊥BC,CE⊥AB，若BD=33，【答案】（1）见解析 （2）BC=32 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可． (2)证明四边形AECD平行四边形，后用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 ∵对角线BD是O的直径，OA⊥BD ∴AB=AD， ∴∠BCA=∠DCA， ∴CA平分∠BCD． 小问2详解】 ∵对角线BD是O的直径， ∴∠BAD=∠BCD=90°， ∴DC⊥BC,DA⊥AB ∵AE⊥BC,CE⊥AB， ∴DCAE,DACE， ∴四边形AECD平行四边形， ∴DC=AE， ∵BD=33，AE=3， ∴BD=33，DC=3， AE=3，求弦BC的长． 【∴=BC−3(33)=2232． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 人数 6 7 8 9 10 1 2 a b 2 已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为______________分； （2）a=______________，b=______________； （3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】（1）1,8 （2）2，3 （3）优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图得出七年级活动成绩为7分的学生数的占比为10%，即可得出七年级活动成绩为7分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解； （2）根据中位数的定义，得出第5名学生为8分，第6名学生为9分，进而求得a，b的值，即可求解； （3）分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为7分的学生数的占比为1−50%−20%−20%=10% ∴样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是1010%=1， 根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为8分，故答案为：1,8． 【小问2详解】 ∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分， ∴第5名学生为8分，第6名学生为9分， ∴a=5−1−2=2， b=10−1−2−2−2=3， 故答案为：2，3． 【小问3详解】 优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下， 七年级优秀率为20%+20%=40%，平均成绩为：7×10%+8×50%+9×20%+10×20%=8.5， 八年级优秀率为13+28.3×100%=50%>40%，平均成绩为：×(6+7×2+2×8+3×9+2×10)=1010<8.5， ∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高， ∴优秀率高的年级不是平均成绩也高 【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD,BD． （1）如图1，求∠ADB的大小； （2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB． （ⅰ）如图2，连接CD，求证：BD=CD； =AC8,=BC6，求tan∠ABE的值． （ⅱ）如图3，连接BE，若【答案】（1）∠ADB=90° （2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）2 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出MA=MD=MB，根据等边对接等角得出1∠MAD=∠MDA,∠MBD=∠MDB，在△ABD中，根据三角形内角和定理即得出∠MAD+∠MDA+∠MBD+∠MDB=180°，进而即可求解； （2）（ⅰ）延长AC,BD交于点F，证明四边形AEDM是菱形，进而根据平行线分线段成比例得出，AF=AB，根据等腰三角形的性质，得出D是BF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证； EH3,=AH4，（ⅱ）如图所示，过点E作EH⊥AB于点H，由AHE∽ACB，得出=BH=AB−AH=10−4=6，进而根据正切的定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵MA=MD=MB ∠MDA,∠MBD=∠MDB， ∴∠MAD=在△ABD中，∠MAD+∠MDA+∠MBD+∠MDB=180° ∴∠ADB=∠ADM+∠BDM=180°=90° 2【小问2详解】 证明：（ⅰ）证法一： 如图，延长BD、AC，交于点F，则∠BCF=90°， ∵ME⊥AD，∠ADB=90° ∴EM∥BD． 又∵DE∥AB， ∴四边形BDEM是平行四边形． ∴DE=BM． ， ∵M是AB的中点，∴AM=BM． ∴DE=AM． ∴四边形AMDE是平行四边形． ∵ME⊥AD， ∴AMDE是菱形． ∴AE=AM． ∵EM∥BD， ∴AEAM=． AFAB∴AB=AF． ∵∠ADB=90°，即AD⊥BF， ∴BD=DF，即点D是RtBCF斜边的中点． ∴BD=CD． 证法二： ∵∠ACB=∠ADB=90°，M是斜边AB的中点， ∴点A、C、D、B在以M为圆心，AB为直径的M上． ∵ME⊥AD， ∴ME垂直平分AD． ∴EA=ED． ∴∠EAD=∠EDA． ∵DE∥AB， ∴∠BAD=∠EDA． ∴∠EAD=∠BAD． ∴BD=CD． 证法三： ∵ME⊥AD，∠ADB=90° ∴EM∥BD． 又∵DE∥AB， ∴四边形BDEM是平行四边形． ∴DE=BM． ， ∵M是AB的中点，∴AM=BM． ∴DE=AM． ∴四边形AMDE是平行四边形． ∵ME⊥AD， ∴AMDE是菱形． ∴∠EAD=∠MAD． ∵∠ACB=∠ADB=90°，M是斜边AB的中点， ∴点A、C、D、B在以M为圆心，AB为直径的M上． ∴BD=CD． （2）如图所示，过点E作EH⊥AB于点H， =AC8,=BC6， ∵∴AB=AEAM=AC+BC=10，则=221=AB5， 2∠BAC,∠ACB=∠AHE=90°， ∵∠EAH=∴AHE∽ACB， ∴=EHBCAHAE5==， ACAB10=EH3,=AH4， ∴∴BH=AB−AH=10−4=6， =∴tanABEEH31 ==BH62【点睛】本题考查了三角形内角和定理，菱形的性质与判定，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求正切，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 八、（本题满分14分） ax+bx(a≠0)经过点A(3,3)，对称轴为直线23. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=2x=2． （1）求a,b的值； （2）已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E． （ⅰ）当0
3)22−t+t+2(03分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为3建立方程，解2方程进而即可求解． 【小问1详解】 39a+3b=， 解：依题意，b−=22a解得：a=−1， b=4∴y=−x2+4x； 【小问2详解】 （ⅰ）设直线OA的解析式为y=kx， ∵A(3,3)， ∴3=3k 解得：k=1， ∴直线y=x， 如图所示，依题意，Bt,−t+4t,Ct+1,−(t+1)+4(t+1)，D(t,t)，E(t+1,t+1)， 2()(2) 2−t+3t(03)22−t+t+2(02， ∴CE=t2−t−2， 当23时，BD=t2−3t， =∴S梯形BDCE12t−3t+t2−t−2)×1=t2−2t−1， (232∴t−2t−1=， 2解得：t=2+142−14（舍去）或t=（舍去） 22 综上所述，t=5． 2【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
