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2023年安徽中考数学真题含解析

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2023年安徽省初中学业水平考试 数学 (试题卷) 注意事项: 1.你拿到的试卷满分为150分,考试时间为120分钟. 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页,“答题卷”共6页. 3.请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的. 4.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷”一并交回. 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分) 每小题都给出A,B,C,D四个选项,其中只有一个是符合题目要求的. 1. −5的相反数是( ) A. 5 B. −5 C. 15 D. −15 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可求解. 【详解】解:−5的相反数是5, 故选:A. 【点睛】此题主要考查相反数,解题的关键是熟知相反数的定义. 2. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是三角形,结合选项即可求解. 【详解】解:∵主视图是直角三角形, 故A,C,D选项不合题意, 故选:B. 【点睛】主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形;俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形;左视图是在物体正面从左向右观察到的图形,掌握三视图的定义是解题关键. 3. 下列计算正确的是( ) A. a+a=a 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法,同底数幂的除法,幂的乘方,合并同类项,逐项分析判断即可求解. 【详解】解:A. a4+a4=2a4,故该选项不正确,不符合题意; B. a4⋅a4=a8,故该选项不正确,不符合题意; C. a4448B. a⋅a=a 4416C. a()44=a16 D. a8÷a4=a2 ()4=a16,故该选项正确,符合题意; D. a8÷a4=a4,故该选项不正确,不符合题意; 故选:C. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法,同底数幂的除法,幂的乘方,合并同类项,熟练掌握同底数幂的乘法,同底数幂的除法,幂的乘方,合并同类项的运算法则是解题的关键. 4. 在数轴上表示不等式x−1<0的解集,正确的是( ) 2B. C. D. A. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式,然后在数轴上表示不等式的解集即可求解. 【详解】解:x−1<0 2解得:x<1, 数轴上表示不等式的解集 故选:A. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式,在数轴上表示不等式的解集,数形结合是解题的关键. 5. 下列函数中,y的值随x值的增大而减小的是( ) A. =yx2+1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质,一次函数的性质,逐项分析判断即可求解. 【详解】解:A. =yx2+1,a>0,对称轴为直线x=0, 当x<0时,y的值随x值的增大而减小,当x>0时,y的值随x值的增大而增大,故该选项不正确,不符合题意; B. y=−x2+1,a<0,对称轴为直线x=0, 当x<0时,y的值随x值的增大而增大,当x>0时,y的值随x值的增大而减小,故该选项不正确,不符合题意; B. y=−x2+1 y2x+1 C. =−2x+1 D. y=y2x+1,k>0,y的值随x值的增大而增大,故该选项不正确,不符合题意; C. =−2x+1,k<0,y的值随x值的增大而减小,故该选项正确,符合题意; D. y=故选:D. 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质,熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键. 6. 如图,正五边形ABCDE内接于O,连接OC,OD,则∠BAE−∠COD=( ) A. 60° 【答案】D 【解析】 B. ° C. 48° D. 36° 【分析】先计算正五边形的内角,再计算正五边形的中心角,作差即可. =180°−【详解】∵∠BAE360°360°,∠COD=, 55360°360°=180°−−=36°, ∴∠BAE−∠COD55故选D. 【点睛】本题考查了正五边形的外角,内角,中心角的计算,熟练掌握计算公式是解题的关键. 7. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1,则称该三位数为“平稳数”.用1,2,3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数,恰好是“平稳数”的概率为( ) A. 5 9B. 12 C. 1 3D. 2 9【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出所有可能,根据新定义,得出2种可能是“平稳数”,根据概率公式即可求解. 【详解】解:依题意,用1,2,3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数,可能结果有, 123,132,213,231,312,321共六种可能, 只有123,321是“平稳数” ∴恰好是“平稳数”的概率为= 故选:C. 【点睛】本题考查了新定义,概率公式求概率,熟练掌握概率公式是解题的关键. 8. 如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,EF⊥AB于点F,连接DE并延长,交边BC于点M,交边AB的延长线于点G.若AF=2,FB=1,则MG=( ) 2163 A. 23 B. 35 2C. 5+1 D. 10 【答案】B 【解析】 CMDEDEAF==2,根据△ADE∽△CME,得出==2,【分析】根据平行线分线段成比例得出EMFBADEM213CM=AD,进而可得MB=,根据BC∥AD,得出GMB∽GDA,根据相似三角形的性质则=223得出BG=3,进而在Rt△BGM中,勾股定理即可求解. 【详解】解:∵四边形ABCD是正方形,AF=2,FB=1, ∴AD=BC=AB=AF+FG=2+1=3,AD∥CB,AD⊥AB,CB⊥AB, ∴EF⊥AB, ∴AD∥EF∥BC DEAF=2,△ADE∽△CME, EMFB13CMDECM=AD, ∴==2,则=22ADEM2∴MB=, 3∴=∵BC∥AD, ∴GMB∽GDA, 3∴BGMB21 ===ABDA3213=BG=AB∴, 22在Rt△BGM中,MG=故选:B. 【点睛】本题考查了正方形的性质,平行线分线段成比例,相似三角形的性质与判定,勾股定理,熟练掌握以上知识是解题的关键. 9. 已知反比例函数=y2MB2+BG=35 32,+3=222k(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y=−x+b的图象如图所示,则函数xy=x2−bx+k−1的图象可能为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 −x+b,得出k=b−1,代入二次函【分析】设A(1,k),则B(k,1),k>1,将点B(k,1),代入y==数,可得当x=1时,y=−1,则y=x2−bx+k−1,得出对称轴为直线x轴的右侧,且过定点1,1,进而即可求解. 【详解】解:如图所示, b>1,抛物线对称轴在y2 设A(1,k),则B(k,1),根据图象可得k>1, −x+b, 将点B(k,1)代入y=−k+b, ∴1=∴k=b−1, ∵k>1, ∴b>2, bb2222∴y=x−bx+k−1x−bx+(b−1)−1x−bx+b−2=x−++b−2, 24=对称轴为直线xb>1, 22当x=1时,1−b+b−2=−1, ∴抛物线经过点1,1, ∴抛物线对称轴在x=1的右侧,且过定点1,1, 当x=0时,y=k−1=b−2>0, 故选:A. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题,二次函数图象的性质,得出k=b−1是解题的关键. 10. 如图,E是线段AB上一点,ADE和BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形,点P,F分别是CD,AB的中点.若AB=4,则下列结论错误的是( ) .. A. PA+PB的最小值为33 B. PE+PF的最小值为23 C. CDE周长的最小值为6 D. 四边形ABCD面积的最小值为33 【答案】A 【解析】 【分析】延长AD,BC,则ABQ是等边三角形,观察选项都是求最小时,进而得出当E点与F重合时,则Q,P,F三点共线,各项都取得最小值,得出B,C,D选项正确,即可求解. 【详解】解:如图所示, 延长AD,BC, ∠QBA=60° 依题意∠QAD=∴ABQ是等边三角形, ∵P是CD的中点, ∴PD=PC, ∵∠DEA=∠CBA, ∴ED∥CQ ∠PED,∠PCQ=∠PDE, ∴∠PQC=∴PDE≌PCQ ∴PQ=PE, ∴四边形DECQ是平行四边形, 则P为EQ的中点 如图所示, 设AQ,BQ的中点分别为G,H, =则GP11=AE,PHEB 22∴当E点在AB上运动时,P在GH上运动, 当E点与F重合时,即AE=EB, 则Q,P,F三点共线,PF取得最小值,此时AE=EB=则△ADE≌△ECB, ∴C,D到AB的距离相等, 则CD∥AB, 此时=PF1(AE+EB)=2, 23=AD23 此时ADE和BCE的边长都为2,则AP,PB最小, ∴PF=3×2=223, ∴PA=PB=2+(3)2=7 ∴PA+PB=27, 或者如图所示,作点B关于GH对称点B′,则PB=PB′,则当A,P,B′三点共线时,AP+PB=AB′ 此时AB′=AB+BB′=4+2322()2=27 故A选项错误, 根据题意可得P,Q,F三点共线时,PF最小,此时PE=PF=3,则PE+PF=23,故B选项正确; CDE周长等于CD+DE+CE=CD+AE+EB=CD+AB=CD+4, 即当CD最小时,CDE周长最小, 如图所示,作平行四边形GDMH,连接CM, 60°,∠GHM=∠GDM=60°,则∠CHM=∵∠GHQ=120° 如图,延长DE,HG,交于点N, ∠QGH=60°,∠NDG=则∠NGD=∠ADE=60° ∴△NGD是等边三角形, ∴ND=GD=HM, 在NPD与△HPC中, ∠HPC∠NPD=∠CHP=60° ∠N=PD=PC∴NPD≌HPC ∴ND=CH ∴CH=MH ∴∠HCM=∠HMC=30° ∴CM∥QF,则CM⊥DM, ∴DMC是直角三角形, 在△DCM中,DC>DM =GH=∴当DC=DM时,DC最短,DC∵CD=PC+2PC 1AB=2 2∴CDE周长的最小值为2+2+2=6,故C选项正确; ∵NPD≌HPC ∴四边形ABCD面积等于SADE+SEBC+SDEC=SADE+S平行四边NEBH ∴当△BGD的面积为0时,取得最小值,此时,D,G重合,C,H重合 ∴四边形ABCD面积的最小值为3×故选:A. 【点睛】本题考查了解直角三角形,等边三角形的性质,勾股定理,熟练掌握等边三角形的性质,得出当32×2=33,故D选项正确, 4E点与F重合时得出最小值是解题的关键. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分) 11. 计算:38+1=_____________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据求一个数的立方根,有理数的加法即可求解. 【详解】解:38+1=2+1=3, 故答案为:3. 【点睛】本题考查了求一个数的立方根,熟练掌握立方根的定义是解题的关键. 12. 据统计,2023年第一季度安徽省采矿业实现利润总额74.5亿元,其中74.5亿用科学记数法表示为_____. 【答案】7.45×109 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数. 【详解】解:74.5亿=74.5×108=7.45×109. 故答案为:7.45×109. 【点睛】本题考查了科学记数法,科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原来的数,变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数,确定a与n的值是解题的关键. 13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中,对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明,证明过程中创造性地设计直角三角形,得出了一个结论:如图,AD是锐1AB2−AC2=AB7,=BC6,AC=5时,CD=____. =BD角ABC的高,则BC+.当2BC 【答案】1 【解析】 【分析】根据公式求得BD,根据CD=BC−BD,即可求解. =AB7,=BC6,AC=5, 【详解】解:∵49−251AB2−AC21=+65 =BDBC+∴=2BC26∴CD=BC−BD=6−5=1, 故答案为:1. 【点睛】本题考查了三角形的高的定义,正确的使用公式是解题的关键. 14. 如图,O是坐标原点,RtOAB的直角顶点A在x轴的正半轴上,AB=∠2,AOB=°30,反比例函=y数k(k>0)的图象经过斜边OB的中点C. x (1)k=__________; (2)D为该反比例函数图象上的一点,若DB∥AC,则OB2−BD2的值为____________. 【答案】 ①. 3 ②. 4 【解析】 【分析】(1)根据已知条件得出A,B的坐标,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的得出C的坐标,进而即可求解; (2)根据题意,求得直线AC,BD,联立BD与反比例函数解析式,得出D的坐标,进而根据两点距离公式求得OB2,BD2,进而即可求解. 2,AOB=°30, 【详解】解:(1)∵AB=∠∴=OA23,=OB2=AB4 ∴A23,0,B23,2, ∵C是OB的中点, ∴C()()(3,1, k(k>0)的图象经过斜边OB的中点C. x)=y∵反比例函数∴k=3; 3 x∴反比例数解析式为y=故答案为:3; (2)∵A23,0,C()(3,1 )ykx+b 设直线AC的解析式为==023k+b ∴=3k+b13k=−解得:3 b=2∴直线AC的解析式为y=−x+2, ∵DB∥AC, 设直线BD的解析式为y333xb,将点B23,2代入并解得b=4, 3()∴直线BD的解析式为y=−x+4, 33∵反比例数解析式为y=3 x3y=−x+43 联立y=3x=x23+3=x23−3 解得:或y=2−3y=2+3=x23+3时, BD2=23+3−23当y=2−3()+(2−2+3)22=9+3=12 =2x23−32时, BD=23−23+3+2+3−2当y=2+3()()2=9+3=12 OB=2(23)2+=2216 ∴OB2−BD2=4, 故答案为:4. 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形,反比例函数与一次函数交点问题,熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键. 三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分) x2+2x+115. 先化简,再求值:,其中=xx+1【答案】x+1;2 2−1. 【解析】 【分析】先根据分式的性质化简,最后将字母的值代入求解. x2+2x+1 【详解】解: x+1x+1)(=x+12 =x+1, 当=x2−1时, ∴2−1+1=2. 【点睛】本题考查了分式化简求值,解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解. 16. 根据经营情况,公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整:甲地上涨10%,乙地降价5元,已知销售单价调整前甲地比乙地少10元,调整后甲地比乙地少1元,求调整前甲、乙两地该商品的销售单价. 【答案】调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40,50元 【解析】 【分析】设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为x,y元,根据题意,列出二元一次方程组,解方程组即可求解. 【详解】解:设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为x,y元,根据题意得, yx+10= x1+10%+1=y−5()x=40 解得:y=50答:调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40,50元 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,根据题意列出二元一次方程组是解题的关键. 四、(本大题共2小题、每小题8分、满分16分) 17. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D均为格点(网格线的交点). (1)画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1; (2)将线段AB向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到线段A2B2,画出线段A2B2; (3)描出线段AB上的点M及直线CD上的点N,使得直线MN垂直平分AB. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【解析】 【分析】(1)根据轴对称的性质找到A,B关于直线CD的对称点,A1,B1,连接A1,B1,则线段A1B1即为所求; (2)根据平移的性质得到线段A2B2即为所求; (3)勾股定理求得AM=BM=12+32=10,MN=12+32=10,则AM=MN证明=90°,则AM⊥MN,则点M,N即为所求. NPM≌MQA得出∠NMP+∠AMQ【小问1详解】 解:如图所示,线段A1B1即为所求; 【小问2详解】 解:如图所示,线段A2B2即为所求; 【小问3详解】 解:如图所示,点M,N即为所求 如图所示, ∵AM=BM=∴AM=MN, 12+32=10,MN=12+32=10, =MQ=1,MP=AQ=3, 又NP∴NPM≌MQA, ∠MAQ, ∴∠NMP==90°, 又∠MAQ+∠AMQ=90° ∴∠NMP+∠AMQ∴AM⊥MN, ∴MN垂直平分AB. 【点睛】本题考查了轴对称作图,平移作图,勾股定理与网格问题,熟练掌握以上知识是解题的关键. 18. 【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空: (1)第n个图案中“”的个数为 ; (2)第1个图案中“★”的个数可表示为1×223,第2个图案中“★”的个数可表示为,第3个图案224×53×4,第4个图案中“★”的个数可表示为,……,第n个图案中“★”中“★”的个数可表示为22的个数可表示为______________. 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律,求正整数n,使得连续的正整数之和1+2+3++n等于第n个图案中“”的个数的2倍. 【答案】(1)3n (2)n×(n+1) 2(3)n=11 【解析】 【分析】(1)根据前几个图案的规律,即可求解; (2)根据题意,结合图形规律,即可求解. (3)根据题意,列出一元二次方程,解方程即可求解. 【小问1详解】 解:第1个图案中有3个, , , , 第2个图案中有3+3=6个第3个图案中有3+2×3=9个第4个图案中有3+3×3=12个…… ∴第n个图案中有3n个故答案为:3n. 【小问2详解】 , 1×2, 223, 第2个图案中“★”的个数可表示为23×4, 第3个图案中“★”的个数可表示为24×5,……, 第4个图案中“★”的个数可表示为2第1个图案中“★”的个数可表示为第n个图案中“★”的个数可表示为n×(n+1), 2【小问3详解】 解:依题意,1+2+3+……+n=第n个图案中有3n个, n×(n+1), 2n(n+1)∴=3n×2, 2解得:n=0(舍去)或n=11. 【点睛】本题考查了图形类规律,解一元二次方程,找到规律是解题的关键. 五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分) 19. 如图,O,R是同一水平线上的两点,无人机从O点竖直上升到A点时,测得A到R点的距离为40m,R点的俯角为24.2°,无人机继续竖直上升到B点,测得R点的俯角为36.9°.求无人机从A点到B点的上升高度AB(精确到0.1m).参考数据:sin24.2°≈0.41,cos24.2°≈0.91,tan24.2°≈0.45,sin36.9°≈0.60,cos36.9°≈0.80,tan36.9°≈0.75. 【答案】无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9米 【解析】 【分析】解RtAOR,求得AO,OR,在RtBOR中,求得BO,根据AB=BO−AO,即可求解. 【详解】解:依题意,∠ARO=24.2°,∠BRO=36.9°,AR=40, 在RtAOR中,∠ARO=24.2°, ∴AO=AR×sin∠ARO=40×sin24.2°,RO=AR×cos∠ARO=40×cos24.2°, 在RtBOR中,OB=OR×tan∠BRO=40×cos24.2°×tan36.9°, ∴AB=BO−AO =40×cos24.2°×tan36.9°−40×sin24.2° ≈40×0.91×0.75−40×0.41 ≈10.9(米) 答:无人机从A点到B点的上升高度AB约为10.9米. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握三角函数的定义是解题的关键. 20. 已知四边形ABCD内接于O,对角线BD是O的直径. (1)如图1,连接OA,CA,若OA⊥BD,求证;CA平分∠BCD; (2)如图2,E为O内一点,满足AE⊥BC,CE⊥AB,若BD=33,【答案】(1)见解析 (2)BC=32 【解析】 【分析】(1)利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可. (2)证明四边形AECD平行四边形,后用勾股定理计算即可. 【小问1详解】 ∵对角线BD是O的直径,OA⊥BD ∴AB=AD, ∴∠BCA=∠DCA, ∴CA平分∠BCD. 小问2详解】 ∵对角线BD是O的直径, ∴∠BAD=∠BCD=90°, ∴DC⊥BC,DA⊥AB ∵AE⊥BC,CE⊥AB, ∴DCAE,DACE, ∴四边形AECD平行四边形, ∴DC=AE, ∵BD=33,AE=3, ∴BD=33,DC=3, AE=3,求弦BC的长. 【∴=BC−3(33)=2232. 【点睛】本题考查了垂径定理的推论,直径所对的圆周角是直角,平行四边形的判定和性质,勾股定理,熟练掌握垂径定理的推论,平行四边形的判定和性质,勾股定理是解题的关键. 六、(本题满分12分) 21. 端午节是中国的传统节日,民间有端午节吃粽子的习俗,在端午节来临之际,某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动,对学生的活动情况按10分制进行评分,成绩(单位:分)均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果,现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理,并绘制统计图表,部分信息如下: 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 人数 6 7 8 9 10 1 2 a b 2 已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分. 请根据以上信息,完成下列问题: (1)样本中,七年级活动成绩为7分的学生数是______________,七年级活动成绩的众数为______________分; (2)a=______________,b=______________; (3)若认定活动成绩不低于9分为“优秀”,根据样本数据,判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高,并说明理由. 【答案】(1)1,8 (2)2,3 (3)优秀率高的年级不是平均成绩也高,理由见解析 【解析】 【分析】(1)根据扇形统计图得出七年级活动成绩为7分的学生数的占比为10%,即可得出七年级活动成绩为7分的学生数,根据扇形统计图结合众数的定义,即可求解; (2)根据中位数的定义,得出第5名学生为8分,第6名学生为9分,进而求得a,b的值,即可求解; (3)分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩,即可求解. 【小问1详解】 解:根据扇形统计图,七年级活动成绩为7分的学生数的占比为1−50%−20%−20%=10% ∴样本中,七年级活动成绩为7分的学生数是1010%=1, 根据扇形统计图,七年级活动成绩的众数为8分,故答案为:1,8. 【小问2详解】 ∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分, ∴第5名学生为8分,第6名学生为9分, ∴a=5−1−2=2, b=10−1−2−2−2=3, 故答案为:2,3. 【小问3详解】 优秀率高的年级不是平均成绩也高,理由如下, 七年级优秀率为20%+20%=40%,平均成绩为:7×10%+8×50%+9×20%+10×20%=8.5, 八年级优秀率为13+28.3×100%=50%>40%,平均成绩为:×(6+7×2+2×8+3×9+2×10)=1010<8.5, ∴优秀率高的年级为八年级,但平均成绩七年级更高, ∴优秀率高的年级不是平均成绩也高 【点睛】本题考查了扇形统计图,统计表,中位数,众数,求一组数据的平均数,从统计图表获取信息是解题的关键. 七、(本题满分12分) 22. 在Rt△ABC中,M是斜边AB的中点,将线段MA绕点M旋转至MD位置,点D在直线AB外,连接AD,BD. (1)如图1,求∠ADB的大小; (2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB. (ⅰ)如图2,连接CD,求证:BD=CD; =AC8,=BC6,求tan∠ABE的值. (ⅱ)如图3,连接BE,若【答案】(1)∠ADB=90° (2)(ⅰ)见解析;(ⅱ)2 【解析】 【分析】(1)根据旋转的性质得出MA=MD=MB,根据等边对接等角得出1∠MAD=∠MDA,∠MBD=∠MDB,在△ABD中,根据三角形内角和定理即得出∠MAD+∠MDA+∠MBD+∠MDB=180°,进而即可求解; (2)(ⅰ)延长AC,BD交于点F,证明四边形AEDM是菱形,进而根据平行线分线段成比例得出,AF=AB,根据等腰三角形的性质,得出D是BF的中点,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即可得证; EH3,=AH4,(ⅱ)如图所示,过点E作EH⊥AB于点H,由AHE∽ACB,得出=BH=AB−AH=10−4=6,进而根据正切的定义即可求解. 【小问1详解】 解:∵MA=MD=MB ∠MDA,∠MBD=∠MDB, ∴∠MAD=在△ABD中,∠MAD+∠MDA+∠MBD+∠MDB=180° ∴∠ADB=∠ADM+∠BDM=180°=90° 2【小问2详解】 证明:(ⅰ)证法一: 如图,延长BD、AC,交于点F,则∠BCF=90°, ∵ME⊥AD,∠ADB=90° ∴EM∥BD. 又∵DE∥AB, ∴四边形BDEM是平行四边形. ∴DE=BM. , ∵M是AB的中点,∴AM=BM. ∴DE=AM. ∴四边形AMDE是平行四边形. ∵ME⊥AD, ∴AMDE是菱形. ∴AE=AM. ∵EM∥BD, ∴AEAM=. AFAB∴AB=AF. ∵∠ADB=90°,即AD⊥BF, ∴BD=DF,即点D是RtBCF斜边的中点. ∴BD=CD. 证法二: ∵∠ACB=∠ADB=90°,M是斜边AB的中点, ∴点A、C、D、B在以M为圆心,AB为直径的M上. ∵ME⊥AD, ∴ME垂直平分AD. ∴EA=ED. ∴∠EAD=∠EDA. ∵DE∥AB, ∴∠BAD=∠EDA. ∴∠EAD=∠BAD. ∴BD=CD. 证法三: ∵ME⊥AD,∠ADB=90° ∴EM∥BD. 又∵DE∥AB, ∴四边形BDEM是平行四边形. ∴DE=BM. , ∵M是AB的中点,∴AM=BM. ∴DE=AM. ∴四边形AMDE是平行四边形. ∵ME⊥AD, ∴AMDE是菱形. ∴∠EAD=∠MAD. ∵∠ACB=∠ADB=90°,M是斜边AB的中点, ∴点A、C、D、B在以M为圆心,AB为直径的M上. ∴BD=CD. (2)如图所示,过点E作EH⊥AB于点H, =AC8,=BC6, ∵∴AB=AEAM=AC+BC=10,则=221=AB5, 2∠BAC,∠ACB=∠AHE=90°, ∵∠EAH=∴AHE∽ACB, ∴=EHBCAHAE5==, ACAB10=EH3,=AH4, ∴∴BH=AB−AH=10−4=6, =∴tanABEEH31 ==BH62【点睛】本题考查了三角形内角和定理,菱形的性质与判定,平行线分线段成比例,相似三角形的性质与判定,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,勾股定理,求正切,熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键. 八、(本题满分14分) ax+bx(a≠0)经过点A(3,3),对称轴为直线23. 在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,抛物线y=2x=2. (1)求a,b的值; (2)已知点B,C在抛物线上,点B的横坐标为t,点C的横坐标为t+1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D,过点C作x轴的垂线交直线OA于点E. (ⅰ)当03)22−t+t+2(03分别求得梯形的面积,根据四边形的面积为3建立方程,解2方程进而即可求解. 【小问1详解】 39a+3b=, 解:依题意,b−=22a解得:a=−1, b=4∴y=−x2+4x; 【小问2详解】 (ⅰ)设直线OA的解析式为y=kx, ∵A(3,3), ∴3=3k 解得:k=1, ∴直线y=x, 如图所示,依题意,Bt,−t+4t,Ct+1,−(t+1)+4(t+1),D(t,t),E(t+1,t+1), 2()(2) 2−t+3t(03)22−t+t+2(02, ∴CE=t2−t−2, 当23时,BD=t2−3t, =∴S梯形BDCE12t−3t+t2−t−2)×1=t2−2t−1, (232∴t−2t−1=, 2解得:t=2+142−14(舍去)或t=(舍去) 22 综上所述,t=5. 2【点睛】本题考查了二次函数综合问题,面积问题,待定系数法求二次函数解析式,分类讨论,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

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