第４Ｏ卷第４期 内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版） Ｖｏ１．４０ ＮＯ．４ ２０１１年７月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｉｎｎｅｒ Ｍｏｎｇｏｌｉａ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｊｕｌｙ ２０１１ 一类拟线性椭圆方程非平凡解的估计 张瑞敏 （北京理工大学珠海学院，广东珠海５１９０８５） 摘要：研究了一类包含ｆ临界指数的椭圆问题．利用山路引理证明了拟线性椭圆方程非平凡解的存在性，并 给出这个非平凡解的一个估计． 关键词：非平凡解；Ｈａｒｄｙ不等式；拟线性椭圆方程；集中紧；临界指数 中图分类号：０ １７５．２５ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００１—８７３５（２０１１）０４—０３７３—０３ ０ 引言 拟线性偏微分方程问题主要来源于几何和物理学等问题中的数学模型．拟线性偏微分方程的非平凡解 的存在性及相关问题至今仍未完全解决，特别是包含临界指数的拟线性椭圆方程问题近年来颇受关注叫．文 献［２］利用Ｈａｒｄｙ不等式和山路几何研究了一类拟线性椭圆方程 Ａｐｕ＝［１ 。…∈ （１） 一０，ｚ∈ａ．ｆ２ 非平凡解的存在性．其中：ｎ是包含原点的有界开区域，ａｏ光滑有界；１＜户＜Ｎ，户 ＝ｊ 是临界 ｓ。ｂ。１ｅＶ指数；ｏ＜ ＜（ ） ， ＞ｏ，Ｎ＞ｉ＇／２２ ｏ本文继续文献［２］的工作，给出当 一２时问题（１）非平 凡解的一个估计，即关于问题 ．』一ＡＵ ｍ＿／￣ Ｕ＋ｌ ｕ ，ｚ∈ （２） ｌ 一ｏ，ｚ∈ａＯ 的非平凡解的一个估计．其中：ｎ是包含原点的有界开区域，ａｎ光滑有界；２。＝ 是临界ｓｏｂ。ｌｅｖ指数； ｏ＜ ＜（ＮＴ－２）。， ＞ｏ，Ｎ＞４． 记 一瓣 叫 ． ｊ（“）＝ １ ｊｌ。（Ｉ “ｌ ｄ — 一 Ｉ ｌ。）ｄｚ一 Ｊ． Ｉ Ｉ。 ｄ ， ｊ（ ）对应的Ｆｒ￣ｃｈｅｔ导数是 ，（ ， ）＝ｊｎ 一 静－－Ａｕｇ）ｄ Ｊｎ Ｉ］ｚ＂－Ｚｕ９ｄｚ， 收稿日期；２０１０—０９一１０ 基金项目ｔ国家自然科学基金资助项目（１０４７１０４７）；广东省自然科学基金资助项目（０４０２００７７） 作者简介：张瑞敏（１９８０－－），女，河南省鹤壁市人，北京理工大学珠海学院讲师，主要从事非线性椭圆型方程的研究，Ｂｍａｉｌ；ｍａｔｈｒｍ。ｈａｎｇ ＠１２６．ｃｏｒｎ． ・３７４・ 内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版） 第４Ｏ卷 Ｖ ｕ，９∈Ｈ５（ｎ）．在Ｈ５（ ）中，记等价范数 ｌｆ一（ｊ． ｌ Ｖｕｆ ｚ如）专． 本文的结论如下： 定理１ ｅｇ ｏ＜ ≤盟 ，ｏ＜ ＜ｉｔ 成立，其中Ｎ＞４，则问题（２）存在一个非平凡解． 定理２ 设“是问题（２）的一个非平凡解，则 ｌ （ｚ）Ｉ≤ｃ（１ ｌｕｌｌ， ，／ｚ，ｔ２）， ￣ｅＰ ５＞…（ ， 一 １ 定理的证明 足理１的让明见文献Ｌ２－Ｊ． 对问题（２）的非平凡解做一个估计．首先引进Ｍｏｒｒｅｙ空间： Ｍ ）一｛，∈Ｌ｝ｏｃ（ｎ Ｊ Ｊ ｏｆ３１Ｊ（ｘ，ｒ）ｌ厂（ ）Ｉ ｄｙ＜＋。。｝， 其中１＜ｓ＜ｏ。， ５ ＋ Ｓ 一１． 其次引进一个重要结论． 引理［。 设ｆ∈Ｍ （ｎ），ｓ口＞Ｎ，则 ｊ．。 ｄ ≤ ， 其中ｄ＝ｄｉａｍ（ ），Ｃ—ｌｌｆｌＩＭｓ（ ，Ｋ：Ｋ（ａ，Ｎ）． 定理２的证明 设Ｕ是问题（２）的任意一个非平凡解，根据文献［１］， 可以表示为 ｃｚ 一 ｊ． 等 ＋ ＋ＪＩ。 ＋ ｃ ， 其中 （ ）是调和函数．因此只要研究 ｃｚ ＝ 。－『＝ ＇ｊ ＋ ＋ 上 即可．由于｝ｚ ｌ ≤Ｉ ｚ—Ｙ｝ ＋，｝Ｙ Ｉｐ，故 ≤ｃｃ ，（ｊ．。研 ＋．『。 ＋ Ｊ＿ １ｎ ｌ：ｚ一３ ，ｌⅣ＿卜ｐ Ｊ＋－ｆ ｎ ｌｚ— ｌＹ ＋－Ⅳ－。 Ｊ『 １ｎ Ｉ Ｙｚ— Ｉ ＋ Ⅳ＿。 。Ｊ ｎ ｌｚ— ｊＹ ） Ｎ－。 ，，’ 其中Ｃ（ ， ）是常数．记 Ｊ． 研鬻 ， ， ｊ＿ ．『 ， Ｊ ．『。 ， ．『。 乌 ． 由于只有Ｉ ，Ｉ ，Ｊ 是（３）式的高阶部分，ＩＲＥ仅研究Ｉ ，Ｉ ，Ｉ。就够了． 利用Ｈ６１ｄｅｒ不等式 Ｊ『－ Ｂ…ｎｎ （ ，ｒ】刊 ｌ ｙ Ｉ （ ≤（、Ｊ ｎｎ Ｂ（ｘ ，ｒ） ｌ ｕ １ｄ ） （、 ｎｎ Ｊｌ加Ｂ（ｘ． ・ Ｉ Ｉ ｄ ）卜 ≤ ｃ ｚ（ 刊Ｉ ｌ ｄ ）卜 ． ‘利用文献［３］的引理４，当ａ一２，ｓ＞ Ｎ卢＞ ２Ｎ时，，有 ｃ３， 第４期 张瑞敏：～类拟线性椭圆方程非平凡解的估计 ・３７５・ Ｊ． 另一方面 ≤ｃＫ ． 『ｎｎＢ（ ｆｙｆ＃ｕ ｚ（ｙ）ｄｙ≤（ ｌ ｆ ｚ＂ｄｙ） （ … Ｉ ｆ ｄ ）卜 ， 同样，利用文献［３］的引理４，当ａ一２，ｓ＞虿Ｎ， ＞ 一２时，有 ．ｆ。 最后 ｘ，ｒ） ≤ｃＫ ． Ｊ ｎ ＪＩ ａＮＢ（１ Ｉ＃ｕ ｚ’（ｙ）ｄｙ≤ｒＮ＃Ｉ Ｉ Ｉ。 ｄｙ≤ＣｒＯＰ Ｉ－Ｉｆ ． 当口一２，ｓ＞虿Ｎ卢＞１一 ２时有 ，，．ｆ 与 ≤ｃＫ ． 根据上面的讨论，当 ＞ｍａｘ｛２Ｎ ， ２Ｎ一２，１一 ２），即 ＞ｍａｘ｛２＿ Ｎ，ｌ一 ２）Ｗｔ，￣－ ｌ Ｘ Ｉ Ｉ ｚｌ（ｚ）ｌ≤ｃ（１ ＩＵＩＩ， ， ，ｎ）＜ＣＸＤ． 定理证完． 参考文献 ［１］Ｄｏｎｇｓｈｅｎｇ Ｋａｎｇ．Ｏｎ ｔｈｅ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｃｒｉｔｉｃａｌ ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｓｏｂｏｌｅｖ－Ｈａｒｄｙ ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ＇ ２００７，６６：１０３７－１０５０． ［２］姚仰新。张瑞敏，王荣鑫．一类拟线性椭圆方程非平凡解的存在性［Ｊ］．华南理工大学学报，２００７（３５）：１１４・１１７・ ［３］Ａｂｄｅ１１ａｏｕｉ Ｂ，Ｐｅａｒｌ Ｉ．Ｓｏｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｃｒｉｔｉｃａｌ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ［Ｊ］．Ｐｒｏｅｅｄｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ Ｒｏｙａｌ ｏｃｉｅｔＳｙ ｏｆ Ｅｄｉｎｂｕｒｇｈ，２００２・１３２Ａ：卜２４． Ｅｓｔｉｍａｔｅ ｏｆ Ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｑｕａｓｉｌｉｎｅａｒ Ｅｌｌｉｐｔｉｃ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＺＨＡＮＧ Ｒｕｉ—ｍｉｎ （Ｚｈ“ｈａｌ Ｃａｍｐｕｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ｚｈｕｈａｉ ５１９０８５，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ａｎ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｃｒｉｔｉｃａｌ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ａｎ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｂｙ ｖｉｒｔｕｅ ｏｆ ｍｏｕｎｔｉｏｎ ｐａｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｏｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｈａｎｄ．ａｎ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｏｆ ａ ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ，ｗｈｉｃｈ ｐｌａｙｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｒｏｌｅ ｉｎ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｃｒｉｔｉｃａｌ Ｓｏｂｏｌｅｖ—Ｈａｒｄｙ ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｔｒｉｖｉａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；Ｈａｒｄｙ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；ｑｕａｓｉ—ｌｉｎｅａｒ ｅｌｌｉｐｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ－ ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ；ｃｒｉｔｉｃａｌ ｅｘｐｏｎｅｎｔ 【责任编辑陈汉忠】
