期末检测试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子：
将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（ ） A．③④②① B．②④③① C．③④①② D．③①②④ 【考点】平行投影． 【分析】根据影子变化规律可知道时间的先后顺序．
【解答】解：从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长． 所以正确的是③④①②． 故选C．
【点评】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（ ）
A．sinA= B．tanA= C．cosB= D．tanB=
【考点】特殊角的三角函数值；锐角三角函数的定义． 【分析】根据三角函数的定义求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2． ∴AC=∴sinA=故选D．
=
=，tanA=
=
==
， ，cosB=
=，tanB=
=
．
【点评】解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义．
3．如图，分別将三角形、矩形、菱形、正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到下列图形，其中变化前后的两个图形不一定相似的有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【考点】相似图形．
【分析】利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，进而判断即可．
【解答】解：∵三角形、矩形对应边外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等， ∴变化前后的两个三角形、矩形都不相似， ∵菱形、正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等， ∴变化前后的两个菱形、两个正方形相似， 故选：B．
【点评】此题主要考查了相似图形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键． 4．计算：cos30°+sin60°tan45°=（ ） A．1
B．
C．
D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案． 【解答】解：原式=
+
×1=
．
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
5．将抛物线y=x2向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式为（ ）
2222
A．y=（x﹣1）+2 B．y=（x+1）﹣2 C．y=（x﹣2）﹣1 D．y=（x﹣1）﹣2 【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】几何变换． 【分析】先利用顶点式得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点利用的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向下平移2个单位，再向右平移1个单位所
2
得对应点的坐标为（1，﹣2），所以所得到的抛物线的解析式是y=（x﹣1）﹣2． 故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB和AC上的点，AD=2BD，DE∥BC，S△ABC=36，则S△ADE=（ ）
A．9 B．16
【考点】相似三角形的判定与性质． C．18 D．24
=（
）
【分析】由平行线的性质得出△ADE∽△ABC，得出相似三角形的面积比等于相似比的平方：
2
=，即可得出结果．
【解答】解：∵AD=2BD， ∴AD=AB， ∴
=，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC， ∴
=（
2
）=，
∴S△ADE=×36=16；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出面积比等于相似比的平方是解决问题的关键． 7．如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为（ ）
A． C．或（﹣4，2） 【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答． 【解答】解：线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，4）， 以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
则点B与点D是对应点，
则点D的坐标为（8×，4×），即（4，2），
故选：A． 【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 8．对于二次函数y=﹣2（x﹣1）（x+3），下列说法正确的是（ ） A．图象的开口向上 B．图象与y轴交点坐标是（0，6） C．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 D．图象的对称轴是直线x=1 【考点】二次函数的性质．
【分析】将函数图形变成顶点式，依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论． 【解答】解：A、y=﹣2（x﹣1）（x+3）， ∵a=﹣2＜0， ∴图象的开口向下，故本选项错误； B、y=﹣2（x﹣1）（x+3）
2
=﹣2x﹣4x+6， 当x=0时，y=6， 即图象与y轴的交点坐标是（0，6），故本选项正确；
2
C、y=﹣2（x﹣1）（x+3）=﹣2（x+1）+8， 即当x＞﹣1，y随x的增大而减少，故本选项错误；
2
D、y=﹣2（x﹣1）（x+3）=﹣2（x+1）+8， 即图象的对称轴是直线x=﹣1，故本选项错误． 故选B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将二次函数关系式变为顶点式，联立二次函数性质对比四个选项即可． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9．观察图1中的三种视图，在图2中与之对应的几何体是 ③ （填序号）
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】首先根据主视图中有两条虚线，发现该几何体的应该有两条从正面看不到的棱，然后结合俯视图及提供的三个几何体确定正确的序号． 【解答】解：结合主视图和俯视图发现几何体的背面应该有个凸起， 故淘汰①②，选③， 故答案为：③．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是结合三视图及三个几何体确定正确的答案，难度不大．
10．小华的爸爸存入银行1万元，先存一个一年定期，一年后将本息自动转存另一个一年定期，两年后共
2
得本息10609元．设存款的年利率为x，则由题意列方程应为 10000（1+x）=10609 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【分析】根据题意可得一年后的本息和为：10000（1+x），则两年后的本息和为：10000（1+x）（1+x），进而得出答案． 【解答】解：设存款的年利率为x，则由题意列方程应为： 10000（1+x）2=10609． 故答案为：10000（1+x）2=10609．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出第2年的本息和是解题关键．
11．如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，则∠AFC= 45 °．
【考点】矩形的性质；等腰直角三角形．
【分析】根据矩形的性质得出AB=CE，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据SAS推出△ABC≌≌△CEF，根据全等得出∠BAC=∠FCE，AC=CF，求出△ACF是等腰直角三角形，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是全等的矩形， ∴AB=CE，BC=EF，∠B=∠E=90°， 在△ABC和△CEF中，
，
∴△ABC≌≌△CEF（SAS）， ∴∠BAC=∠FCE，AC=CF， ∵∠B=90°， ∴∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠ACB+∠FCE=90°， ∴∠ACF=90， ∴△ACF是等腰直角三角形， ∴∠AFC=45°． 故答案为：45．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能根据定理推出三角形ACF是等腰直角三角形是解此题的关键．
12．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是 210 cm．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的长，继而求得答案． 【解答】解：过点B作BD⊥AC于D， 根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm）， ∵斜坡BC的坡度i=1：5， ∴BD：CD=1：5， ∴CD=5BD=5×54=270（cm）， ∴AC=CD﹣AD=270﹣60=210（cm）． ∴AC的长度是210cm． 故答案为：210．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题．此题难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为
．
【考点】菱形的性质；平移的性质． 【分析】首先得出△MEC∽△DAC，则【解答】解：∵ME∥AD， ∴△MEC∽△DAC， ∴
=
，
=
，进而得出
=
，即可得出答案．
∵菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH， ∴AE=1cm，EC=3cm， ∴
=，
∴=，
∴图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为：故答案为：
．
=．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出=是解题关键．
2
14．已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列结论：①abc＞0，；b2﹣4ac＞0；③当x1＜x2＜0时，y1＞y2；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的有 ①②③ 个．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】首先根据对称轴公式结合a的取值可判定出b＜0，根据a、b、c的正负即可判断出①的正误；抛
2
物线与x轴有两个不同的交点，则△=b﹣4ac＞0，故②正确；根据二次函数的性质即可判断出③的正误；由图象可知：当﹣1＜x＜3时，y＜0，即可判断出④的正误．
【解答】解：根据图象可得：抛物线开口向上，则a＞0．抛物线与y交与负半轴，则c＜0， 对称轴：x=﹣
＞0，
∴b＜0， ∴abc＞0，故①正确；
2
∵它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0），则△=b﹣4ac＞0，故②正确 ∵抛物线与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）， ∴对称轴是x=1， ∵抛物线开口向上， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小， ∴当x1＜x2＜0时， y1＞y2；故③正确； 由图象可知：当﹣1＜x＜3时，y＜0，故④错误； 故正确的有①②③． 故答案为①②③．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．． 三、作图题（共4分） 15．画出如图所示几何体的主视图、左视图．
【考点】作图-三视图．
【分析】分别找到从正面，左面，上面看得到的图形即可，看到的棱用实线表示；实际存在，没有被其他棱挡住，又看不到的棱用虚线表示．
【解答】
【点评】此题主要考查了画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 四、解答题（本题共9小题，共74分） 16．解方程： （1）x2﹣6x=11（配方法） （2）（x+5）（x+1）=12． 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法． 【分析】（1）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x2﹣6x=11 2
x﹣6x+9=11+9
2
（x﹣3）=20， x﹣3= x1=3+2，x2=3﹣2； （2）（x+5）（x+1）=12， 整理得：x2+6x﹣7=0， （x+7）（x﹣1）=0， x+7=0，x﹣1=0， x1=﹣7，x2=1．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程转是解此题的关键． 17．如图，某高尔夫球手击出的高尔夫求的运动路线是一条抛物线，当球水平运动了24m时达到最高点．落球点C比击球点A的海拔低1m，它们的水平距离为50m．
（1）按如图所示的直角坐标系，求球的高度y（m）关于水平距离x（m）的函数关系式；
（2）与击球点相比，球运动到最高点时有多高？
【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据自变量，可得函数值． 【解答】解：（1）以海拔0米为x轴，过最高点为y轴，可设函数关系式：y=ax2+b，函数图象过（﹣24，0）（26，﹣1），
2
把坐标点（﹣24，0），（26，﹣1）代入y=ax+b，得
，解得
2
函数关系式为：y=﹣0.01x+5.76； （2）当x=0时，y=b=5.76， 答：球运动到最高点时最高为5.76米．
【点评】本题考查了二次函数的应用，建立平面直角坐标系是解题关键．
18．小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏，游戏规则如下：由小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小明获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小颖和小凡每次出这三种手势的可能性相同：
（1）请用树状图或列表的方法表示一次游戏中所有可能出现的结果； （2）这个游戏规则对三人公平吗？请说明理由． 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法． 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出两人手势相同的情况，求出小凡获胜的概率即可；
（2）找出小明与小颖获胜的情况数，求出两人获胜的概率，比较即可得到结果． 【解答】解：（1）列出表格，如图所示： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （剪刀，石头） （布，石头） 剪刀 （石头，剪刀） （剪刀，剪刀） （布，剪刀） 布 （石头，布） （剪刀，布） （布，布） 由列表可知所有等可能的情况有9种； （2）小明获胜的情况有3种，小颖获胜的情况有3种， ∴P（小明获胜）=P（小颖获胜）==， ∴P（小凡获胜）=，
∴这个游戏对三人公平．
【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平
19．在某次反潜演习中，我军舰A测得离开海平面的下潜潜艇C的俯角为37°，位于军舰A正上方1100米的反潜飞机B測得此时潜艇C的俯角为67°，求前艇C离开海平面的下潜深度． （参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin67°≈
，cos67°≈
，tan26°≈
）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】作CD⊥AB于点D．设AD=x米，在直角△ACD中利用三角函数利用x表示出CD，然后在直角△ACD中利用三角函数即可列方程求得x的值． 【解答】解：作CD⊥AB于点D．设AD=x米， ∵在直角△ACD中，∠ACD=37°，tan∠ACD=
，
∴CD====． ，
∴BD=AB+AD=1100+x，
∵直角△ACD中，∠DBC=23°，tan∠ACD=
∴=，
解得：x=． 米．
答：潜艇下潜深度是
【点评】本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形． 20．如图，正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=
（k2≠0）的图象交于点A、B两点，已知点A的
横坐标为1，点B的纵坐标为﹣3． （1）请直接写出A、B两点的坐标； （2）求处这两个函数的表达式； （3）根据图象写出正比例函数的值不小于反比例函数的值的x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）根据题意得出A、B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质从而求得A（1，3），B（﹣1，﹣3）， （2）把A（1，3）代入y=k1x（k1≠0）与y=
即可求得k1，k2；
（3）根据图象和交点A、B的坐标即可求得．
【解答】解：（1）∵正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=
∴A、B关于原点成中心对称，
∵点A的横坐标为1，点B的纵坐标为﹣3． ∴A（1，3），B（﹣1，﹣3），
（k2≠0）的图象交于点A、B两点，
（2）把A（1，3）代入正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=
（k2≠0），得k1=3，k2=3，
∴这两个函数的表达式为y=3x和y=；
（3）由图象可知：正比例函数的值不小于反比例函数的值的x的取值范围为﹣1≤x＜0或x＞1．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据题意求得A、B的坐标是解题的关键．
21．已知，如图，在▱ABCD中，AC是对角线，AB=AC，点E、F分别是BC、AD的中点，连接AE，CF．
（1）四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论； （2）当△ABC的角满足什么条件时，四边形AECF是正方形？证明你的结论．
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质． 【分析】（1）平行四边形的性质得出AD=BC，AD∥BC，求出AF=CE，AF∥CE，求出四边形AECF是平行四边形，求出∠AEC=90°，即可得出答案； （2）求出AE=EC=BC，即可得出答案． 【解答】（1）四边形AECF是矩形， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC，
∵E、F分别是BC、AD的中点， ∴AF=AD，CE=BC，
∴AF=CE，AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AB=AC，E为BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴∠AEC=90°， ∴四边形AECF是矩形；
（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形AECF是正方形， 证明：∵∠BAC=90°，E为BC的中点， ∴AE=EC=BC，
∵四边形AECF是矩形， ∴四边形AECF是正方形， ∴当△ABC满足∠BAC=90°°时，四边形AECF是正方形．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
22．某商店购进一批单价为30元的日用商品，如果以单价40元销售，那么每星期可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．设销售单价为x（元）（x＞40）时，该商品每星期获得的利润y（元）． （1）求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）求出销售单价为多少元时，每星期获得的利润最大？最大利润是多少？ 【考点】二次函数的应用；二次函数的最值；根据实际问题列二次函数关系式． 【专题】应用题；函数思想；二次函数的应用． 【分析】（1）根据“实际销量=原计划销量﹣因价格提高减少的销量”表示出销售量，再根据：每周利润=每件利润×实际销售量可列出函数关系式；由销售量≥0确定x的取值范围； （2）将（1）中函数关系式配方成顶点式，依据顶点式可得其最大值． 【解答】解：（1）根据题意，当销售单价定为x元时，其每周销售量为：400﹣20（x﹣40），
则该商品每星期获得的利润y=（x﹣30）[400﹣20（x﹣40）]=﹣20x2+1800x﹣36000，
2
即y=﹣20x+1800x﹣36000， ∵其每周销售量400﹣20（x﹣40）≥0且x＞40， ∴40＜x≤60； （2）由（1）知y=﹣20x2+1800x﹣36000，
2
配方得：y=﹣20（x﹣45）+4500， ∵﹣20＜0，且40＜45＜60， ∴当x=45时，y最大值=4500，
答：销售单价为45元时，每星期获得的利润最大，最大利润是4500元．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用能力，将实际问题根据相等关系建立二次函数关系是关键．
23．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形．
探究一：巳知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍． 因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF=AE=﹣x 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 222x+（﹣x）=1 解得，x1=x2=
∴BE=BF，即点B是EF的中点． 同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点． 所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍
探究二：巳知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）
探究三：巳知边长为1的正方形ABCD， 不存在 一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）
探究四：巳知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）
【考点】四边形综合题．
【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可； 探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答； 探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答． 【解答】解：探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF=AE=﹣x 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 x2+（﹣x）2=12
2
整理得x﹣x+1=0 2
b﹣4ac=3﹣4＜0， 此方程无解，
不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍； 探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4， 所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF=AE=2﹣x 在Rt△AEB中，由勾股定理，得
x2+（2﹣x）2=12
2
整理得2x﹣4x+3=0 2
b﹣4ac=16﹣24＜0， 此方程无解，
不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍， 故答案为：不存在；
探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n， 所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x， ∵Rt△AEB≌Rt△BFC ∴BF=AE=﹣x 在Rt△AEB中，由勾股定理，得 222x+（﹣x）=1
2
整理得2x﹣2x+n﹣1=0 2
b﹣4ac=8﹣4n＜0， 此方程无解，
不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及一元二次方程的解法，读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．
24．已知，如图，在△ABC中，已知AB=AC=5cm，BC=6cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线QD从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s，且QD⊥BC，与AC，BC分别交于点D，Q；当直线QD停止运动时，点P也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜3）s．解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥AC？ （2）设四边形APQD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APQD：S△ABC=23：45？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】相似形综合题． 【分析】（1）设当ts时PQ∥AC，再用t表示出BP与BQ的长，根据相似三角形的性质即可得出结论；
（2）分别过点A、P作AN⊥BC，PN⊥BC于点N、M，根据勾股定理求出AN的长，再由相似三角形的性质求出PM的长，根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）分别用t表示出四边形APQD与三角形ABC的面积，进而可得出结论． 【解答】解：（1）当ts时PQ∥AC，
∵点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线QD从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s， ∴BP=t，BQ=6﹣t． ∵PQ∥AC， ∴△BPQ∽△BAC，
∴=，即=，解得t=（s）．
+
t）=12﹣
t﹣
2
2
答：当t为s时，PQ∥AC；
（2）过点A、P作AN⊥BC，PN⊥BC于点N、M， ∵AB=AC=5cm，BC=6cm， ∴BN=CN=3cm， ∴AN=
=
=4cm．
， +
t．
2
∵AN⊥BC，PN⊥BC， ∴△BPM∽△BAN， ∴
=
，即=
，解得PM=
=﹣
∴S△BPQ=BQPM=（6﹣t）
∵AB=AC=5cm，∴∠C=45°，∴QC=DQ， ∴S△CDQ=CQDQ=t2． ∵S△ABC=BCAN=×6×4=12，
t（0＜t＜3）；
∴y=S四边形APQD=S△ABC﹣S△CDQ﹣S△BPQ=12﹣t﹣（﹣
（3）存在．
∵由（2）知，S四边形APQD=S△ABC﹣S△CDQ﹣S△BPQ=12﹣t﹣（﹣ ∴
=
，解得t1=﹣12+
，t2=﹣12﹣
+t）=12﹣t﹣
2
t，S△ABC=12，
（舍去）．
答：当t=（﹣12+）s时，S四边形APQD：S△ABC=23：45．
【点评】本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形等知识，根据题
意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
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