高二数列求和专题答案

n2＋n(n－1)2＋(n－1)

例1.解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.

22a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.

(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n，则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．

2(1－22n)2n1

记A＝2＋2＋…＋2，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝2＋－2，

1－2

1

2

2n

B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 引申探究解 由(1)知bn＝2n＋(－1)n·n.

n＋1

2－2nn

当n为偶数时，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝＋＝2n＋1＋－2；

221－2

当n为奇数时，Tn＝(2＋2＋…＋2)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]＝2

1

2

n

n＋1

n－1n5－2＋－n＝2n＋1－－.

222



∴T＝

2

n

n

2n＋1＋－2，n为偶数，

25n＋1n－－，n为奇数.22

例2 解(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式，所以an＝6n＋5.

a1＝b1＋b2，11＝2b1＋d，b1＝4，

设数列{bn}的公差为d.由即可解得所以bn＝3n＋1.

a2＝b2＋b3，d＝3，17＝2b1＋3d，

(6n＋6)n＋1

(2)由(1)知，cn＝2n＋1，又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tnn＝3(n＋1)·(3n＋3)＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]．两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝

4(1－2n)n＋2

－(n＋1)×2＝－3n·3×2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2. 4＋

1－2

a1＝9，10a1＋45d＝100，2a1＋9d＝20，a1＝1，

变式训练解 (1)由题意有即解得或2

a1d＝2d＝2a1d＝2，d＝9.

an＝2n－1，

故n1

bn＝2－

a＝9n＋

或

2.b＝9·9

nn

n－1

1

，

(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故

2n－12n－13579

cn＝n1，于是Tn＝1＋＋2＋3＋4＋…＋n1，①

22222－2－

2n－12n－12n＋32n＋31135791111

Tn＝＋2＋3＋4＋5＋…＋n.②，①－②可得Tn＝2＋＋2＋…＋n2－n＝3－n，故Tn＝6－n1. 2222222222222－2－

222例3 解 (1)由a2n＋2an＝4Sn＋3，可知an＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.两式相减，得an＋1－an＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 22即2(an＋1＋an)＝an＋1－an＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由an>0，可得an＋1－an＝2.

又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.

所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1. 1111－1(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝.

anan＋1(2n＋1)(2n＋3)22n＋12n＋3

111111－1n

设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3－5＋5－7＋…＋2n＋12n＋3＝. 23(2n＋3)1

例4解析 由f(4)＝2，可得4＝2，解得a＝，则f(x)＝x2.

2

a

11

∴an＝＝f(n＋1)＋f(n)

1n＋1＋n

＝n＋1－n，

S2 017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2 017－2 016)＋(2 018－2 017)＝2 018－1.

112变式 解 (1)∵S2n＝anSn－2，an＝Sn－Sn－1 (n≥2)，∴Sn＝(Sn－Sn－1)Sn－2，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，① 11

由题意得Sn－1·Sn≠0，①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，

SnSn－1

11111∴数列S是首项为＝＝1，公差为2的等差数列．∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝. S1a1Snn2n－1

Sn111－1(2)∵bn＝＝＝，

2n＋1(2n－1)(2n＋1)22n－12n＋1

11111111－1n

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝2n＋1＝. 233522n＋12n－12n＋1

111

例5.(1)解 当n＝k∈N＋时，Sn＝－n2＋kn取得最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，k＝4.

222

1799

当n＝1时，a1＝S1＝－＋4＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n. 当n＝1时，上式也成立．综上，an＝－n.

22229－2ann－1n－1n23n3n

(2)证明 ∵n＝n1，∴Tn＝1＋＋2＋…＋n2＋n1， ①，2Tn＝2＋2＋＋…＋n3＋n2. ②

2－22－－2－－22222n＋211n1n

②－①，得2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋n2－n1＝4－n2－n1＝4－n1. 22－2－2－2－2－

n＋2

∴Tn＝4－n1.∴Tn<4.

2－