柯西不等式的应用1

柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。本文仅就使用柯西不等式的技巧做一粗略归纳。主要就是使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式。 一、巧拆常数：

例：设a、b、c为正数且各不相等。 求证：

2ab2bc2ca9abc

分析：∵a、b、c均为正

∴为证结论正确只需证：2(abc)[1ab1bc1ca]9

而2(abd)(ab)(bc)(ca) 又9(111)2

1ab1bc1ca1ab证明：2(abc)()1bc1ca

) [(ab)(bc)(ca)]( (111)29又a、b、c各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。 二、重新安排某些项的次序：

例：a、b为非负数，a+b=1，x1,x2R 求证：(ax1bx2)(bx1ax2)x1x2

分析：不等号左边为两个二项式积，a,bR,x1,x2R，每个两项式可以使柯西 不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。

证：(ax1bx2)(bx1ax2) (ax1bx2)(ax2bx1)(a (ab)x1x2x1x22x1x2bx1x2)

2 （∵a+b=1）

三、结构的改变从而达到使用柯西不等式：

例若a>b>c

求证：

1ab1bc4ac

分析：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了

ac(ab)(bc) ac ∴ ac0

∴结论改为(ac)(1ab21ab1bc)4

证明：(ac)(1bc)[(ab)(bc)](1ab)bc

1 (11)4 ∴

1ab1bc4ac

四、添项：

例：a,b,cR 求证：

abcbcaacabbca32

11cab1ca1 1ab)

分析：左端变形

bc1 (abc)(bc ∴只需证此式abcbcacCb92即可

abc1ab1bcbacccb证明3(11)()11)(1) (abc)( 121bcca[(bc)(ca)(ab)](12(111)abcbac2ca1ab)

 92cab92332注：柯西不等式：a、bR，则ab2ab

推论：(ab)(1ab1112(abc)()9(111) 其中a、b、cR

abc1)4(11) 其中a、bR

2