利用直线倾斜角求椭圆焦半径 Word版含解析(数理化网)

今天我们研究利用直线倾斜角求椭圆焦半径.根据椭圆的第二定义，可以推导出椭圆焦半

径含倾斜角的公式，而且当倾斜角为直角时，焦点弦最短。

先看例题：

x2y2例：已知椭圆C:221(a＞b＞0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.已知过点

abF1(－2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C于A,B两点,求证:|AB|解：

42;

2cos2c2,2a28,a根据题目条件，可知∴可以解得：2 4,b4.c222abcx2y221.离心率e∴椭圆C的方程为

284又F1(－2,0)是椭圆C的左焦点，设l为椭圆的左准线,则l:x=－4. 作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,l与x轴交于点H(如图).

∵点A在椭圆上, ∴|AF1|2|AA1| 222(|F1H||AF1|cos)2|AF1|cos. 22∴|AF1|

2. 2cos同理：|BF1|2.

2cos∴|AB|=|AF1|+|BF1|

22

2cos2cos42.

2cos2另解：当



时,记k=tanθ.则AB:y=k(x+2), 2

2

2

将其代入方程x+2y=8 得(1+2k)x+8kx+8(k－1)=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1,x2是此二次方程的两个根.

2

2

2

2

8k28(k21)x1x2,x1x2. 2212k12k|AB|(x1x2)2(y1y2)2 (1k2)(x1x2)2 (1k2)[(x1x2)24x1x2] 8k2232(k21)(1k)[()]. 2212k12k242(1k2).① 212k∵k=tanθ,代入①式得|AB|2

2

42.②

2cos2当



时,|AB|22仍满足②式. 2

42.

2cos2∴|AB|注意：另解思考上更直接，但明显运算量较大。

规律整理：

对于焦点在x轴上的椭圆：

x2y221(ab0)，2ab 22ab左焦点F1,焦准距pccc|BF1||AF1||BF1|ep

1ecosep

1ecosep

1ecos

x2y21(ab0)，a2b2 22ab右焦点F，焦准距pccc|BF|ep

1ecosep

1ecos|AF|

再看一个例题，加深印象

x2y23例：已知椭圆C：221(ab0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直

2ab线l与椭圆C相交于A，B两点，若AF3FB，则k=________

解：根据前面的公式，分别表示出

|AF|epep，|BF|

1ecos1ecosep3ep

1ecos1ecos3 3根据题意有：

所以cos进而tan2k2

总结： 1.椭圆的焦点在x轴上，利用直线倾斜角可以直接写出椭圆焦半径。 2.本文的公式都是以倾斜角为锐角的情形推导的，若倾斜角为直角或者钝角仍然成立。 3.当倾斜角为直角时，焦点弦最短即为椭圆的通径。 练习：

x2y21，过点F1(－2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A,B和1.已知椭圆C: 84D,E,求|AB|＋|DE|的最小值.

x2y22.设椭圆C:221(ab0)的左焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点，

ab直线l的倾斜角为60°,AF2FB. 求椭圆C的离心率; 答案 1.

解：设直线AB倾斜角为θ,由于DE⊥AB,

|AB|4242|DE|,.

2cos22sin24242 222cos2sin|AB||DE|122122. 2212sincos2sin224当 2.

3162或时,|AB|+|DE|取得最小值.

344 解： |AF|epep|BF|

1ecos1ecosep2ep

1ecos1ecoscos2 31 2e

另解：设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1<0,y2>0. 直线l的方程为y3(xc),其中ca2b2. y3(xc),22224联立x2y2得(3ab)y23bcy3b0

221ba3b2(c2a)3b2(c2a),y2解得y1

3a2b23a2b2因为AF2FB,所以y12y2.

3b2(c2a)3b2(c2a)2•即 22223ab3ab得离心率ec2. a3另解：与直接用焦半径公式比较，计算繁琐。