云南省昆明三中2011届高三上学期第二次月考(数学文)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么 柱体的体积公式

PABPAPB VSh

如果事件A，B相互独立，那么 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

PABPAPB 锥体的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 VSh

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 球的表面积公式 S4R2

kkPnkCnp1pnk134,k0,1,2,,n 球的体积公式 VR3，其中R表示球

3的半径

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

x2y21，Bx,yy3x，则AB的子集的个数是 1.设集合Ax,y416（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

222.定义一种运算：xyxy2xy，则cossin的值是

33（ ） A.

3131 B. 42 C.3131 D. 223.已知正项等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最大值为 （ ）

A. 不存在 B. 100 C. 50 D.25 4.要得到一个偶函数，只需将函数（ ） A.向右平移

f(x)sin(x)的图象

3个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移63631

个单位

5.若an为等比数列，Sn是它的前n项和. 若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为则S5

（ ）

A．35 B.33 C.31 D.29

6.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（2，-2），角速度为1，那么点P

到y轴距离（ ）

d

关于时间

t

5，4的函数图像大致为

7．已知圆x2(y1)22上任一点P(x,y)，其坐标均使得不等式xym0恒成立，则

实数m的取值 范围是 （ ）

A．[1,) B．(,1] C．[3,) D．(,3]

8.三棱锥SABC中，SA底面ABC，SA4,AB3，D为AB的中点，

ABC90，则点D到面SBC的距离等于

（ ）

A．

12963 B． C． D．

55552

x2y29. F1、F2分别是双曲线221的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线

ab与双曲线的一个交点为P，G是PF1F2的重心,若GAF1F20，则双曲线的离心率是 ( ) A．2

B．3

C．2

D．3

10.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、

3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的个数为 （ ）

A．12 B．24 C．16 D．20

y 11.函数ytan(x)的部分图像如图所示，则OAOBAB（ ）

421 B

A O A. 4 B. 6 C. 1 D. 2 x 

12.定义在R上的可导函数fx满足fxfx,fx2fx2，且当 x2,4时，f(x)x2xf2，则f2 116与f的大小关系是 23( ) A.f116f B.23116ff C.23116ff D. 不确定 23 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分；把答案填在答题卡相应位置上。 0x213. 若平面区域0y2是一个梯形，则实数k的取值范围是___________________.

ykx214.设a,b为不重合的两条直线，,为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若a∥且b∥，则a∥b；（2）若a且b，则a∥b；

（3）若a∥且a∥，则∥；（4）若a且a，则∥． 上面命题中，所有真命题的序号是__________________． ．．．

15．过抛物线y2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若AFFB,BABC48，则抛物线的方程为______________.

3

216．定义运算符号：“

”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3ׄ×n记

n作

i，(nNi1n).记Tnai，其中ai为数列{an}(nN)中的第i项.若

i1Tn2n2(nN),则an________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分） 已知函数f(x)31sin2xcos2x(xR). 22（I）求函数f(x)的最小值和最小正周期；

0，若m(1,sin)A（II）设△ABC的内角A,B,C对边分别为a,b,c，且c3,f(C)与n(2,sinB)

共线，求a,b的值.

18. (本小题满分12分) 为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”、 “街舞”、“动漫”、“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)

社团 模拟联合国 街舞 动漫 话剧 相关人数 24 18 b 12 抽取人数 a 3 4 c （I）求a，b，c的值；

（II）若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.

19. (本小题满分12分)

如图,侧棱垂直底面的三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中,AE2,ACAA14,AED60,点B为DE中点.

A1 B1

C1

（Ⅰ）求证:平面A1BC平面A1ABB1.

A

4

C

B

E D

（Ⅱ）设二面角A1BCA的大小为,直线AC与平面A1BC所 成的角为,求sin()的值.

20.(本小题满分12分) 已知数列an中，a1111，且当x时，函数f(x)anx2an1x取得极值. 222（Ⅰ）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）数列bn满足：b12，bn12bn的通项公式通项及前n项和Sn.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆C的右准线上的点P(2,3)，满足线段PF1的中垂线过点F2．直线l：ykxm为动直线，且直线l与椭圆C交于不同的两点A、B． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足OAOBOQ（O为坐标原点），求实数的取值范围.

22．（本小题满分12分） 已知aR，函数fxx21b，证明：n是等差数列，并求数列bnnan12xa．

23（Ⅰ）若函数fx在区间0,内是减函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求函数fx在区间1,2上的最小值ha.



5

昆明三中高2011届第二次月考

文科数学答案

选择题：ABDAC BACDC BA

22二、填空题：13.2,； 14.（2）、（4）； 15.y4x； 16.n2

n1三、解答题：

17．（本小题满分10分）已知函数f(x)31sin2xcos2x(xR). 22（I）求函数f(x)的最小值和最小正周期；（II）设△ABC的内角A,B,C对边分别为

a,b,c，且c3,f(C)0，若m(1,sinA)与n(2,sinB)共线，求a,b的值.

解

：

（

I

）

∵

f(3x)21xcsxin2o2s21 xs26i-----------------2分

∴函数

f(x)的最小值为-2，最小正周期为T22.

--------------------------4分

（II）由题意可知，f(C)sin(2C∵

0C∴

)10,sin(2C)1， 6611∴2C2C,C666623 .

--------------------6分

∵m(1,sinA)与n(2,sinB)共线∴

-----------7分

∵cab2abcos---------8分 由

①

②

解

得

22212sAinasBinb ①

3a2b2ab3 ②

，

a1,b2.

----------------------------10分

6

18. (本小题满分12分)

为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”、 “街舞”、“动漫”、“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)

社团 模拟联合国 街舞 动漫 话剧 相关人数 24 18 b 12 抽取人数 a 3 4 c （I）求a，b，c的值；

（II）若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.

解：（I）由表可知抽取比例为

1

，故6

a＝4，b＝24，c＝2.

(4分)

（II）设“动漫”4人分别为：A1，A2，A3，A4；“话剧”2人分别为：B1，B2.则从中任选 2人的所有基本事件为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(A1，B1)，

(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)共15个， (8分)

其中2人分别来自这两个社团的基本事件为：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)， (A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)共8个， (10分) 所以这(12分)

19.（本小题满分12分） 如图,侧棱垂直底面的三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC位于

平行四边形ACDE中,AE2,ACAA14,AED60,点B为DE中点.

2人分别来自这两个社团的概率P＝

8

. 15

（Ⅰ）求证:平面A1BC平面A1ABB1.

（Ⅱ）设二面角A1BCA的大小为,直线AC与平面A1BC所成的角为,求

sin()的值.

证明：（Ⅰ）∵AE2,AC4,AED60,点B为DE中点.

222∴AB2,BC23,ABBC16AC，∴ABBC.

A1 C1

B1

A E B

C D

7

又AA1面ABC,BC面ABC，∴AA1BC, 而AA1ABA,∴BC平面A1ABB1

∵BC平面A1BC，∴平面A1BC平面A1ABB1. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知A1BBC,ABBC

∴A1BA为二面角A1BCA的平面角,即A1BA, 在RtA1AB中,AB2,AA14,A1B25, z A1 B1 A E C1 sinsinA1BAAB5AA125,cos. A1B5A1B5以A为原点,建立空间直角坐标系Axyz如图所示,

C y B D 其中A1(0,0,4),B(3,1,0),C(0,4,0),AC(0,4,0),

x A1B(3,1,4),BC(3,3,0),设n(x,y,z)为平面A1BC的一个法向量,则

nA1B03xy4z0x3y ,∴即 zynBC03x3y0|ACn|45令y1,得平面A1BC的一个法向量n(3,1,1),则sin,

5|AC||n|45又02, ∴cos1sin225, 5∴

sin()sincoscossin25255515555, 即

sin()1.

20.(本小题满分12分) 已知数列an中，a11112，且当x时，函数f(x)anxan1x取得极值。 222（Ⅰ）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）数列bn满足：b12，bn12bn1b，证明：n是等差数列，并求数列bnnan12 8

的通项公式通

项及前n项和Sn.

解：（Ⅰ）f(x)anxan1 „„1分 由题意f()0得分

111∴数列an是首项为，公比为的等比数列，∴an „„„„5

222分

（Ⅱ）由(1)知bn12bn2n1n121anan1 „„32，∴bn12bn2n1

bn1bn2bn2n1bn2n1 ∴n1nnn11 n122222 ∴分

∴

bn是以1为首项，1位公差的等差数列 „„„„7n2bnbnn2n „„„„„,∴1(n1)n2n8分

Sn12222n2n

122(n1)2nn2n1

2nn1 2Sn

两式相减得:Sn222n2(1n)2n12 „„„„„„„„

11分

∴Sn(n1)2n12 „„„„„„

12分

21.（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆C的右准线上的点P(2,3)，满足线段PF1的中垂线过点F2．直线l：ykxm为动直线，且直线l与椭圆C交于不同的两点A、B． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足OAOBOQ（O为坐标原点），求实数的取值范围.

x2y2解:（Ⅰ）设椭圆C的方程为221(ab0)，半焦距为c，依题意有

ab

9

a2c1,2, 解得 b1． c(2c)2(2c)23.a2.x2y21． „„„„„„„„„„„4分 所求椭圆方程为2（Ⅱ）由ykxm,22x2y2，得(12k)x4kmx2m20．

2224kmxx,1212k2设点A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则 22m2xx.12212ky1y2k(x1x2)2m2m． 212k（1）当m0时，点A、B关于原点对称，则0． （2）当m0时，点A、B不关于原点对称，则0，

4km1xxQ(x1x2),Q(12k2),由OAOBOQ，得 即 2myy1(yy)..QQ122(12k)点Q在椭圆上，有[224km22m2]2[]2， 22(12k)(12k)222化简，得4m(12k)(12k)．

12k20，有4m22(12k2)．„„„„„„①

又16km4(12k)(2m2)8(12km)，

222222由0，得12k2m2．„„„„„„„„„„„②

将①、②两式，得4mm．

222m0，24，则22且0．

综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是22． „„„„„„

12分

【注】 此题可根据图形得出当m0时0，当A、B两点重合时2． 如果学生由此得出的取值范围是22可酌情给分．

10

22．（本小题满分12分） 已知aR，函数fxx2xa．

23（Ⅰ）若函数fx在区间0,内是减函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求函数fx在区间1,2上的最小值ha. 解

：

（

Ⅰ

）

∵

f(x)x3ax2 ∴

f(x)3x22ax ......1分

∵ 函数fx在区间0,内是减函数，∴f(x)3x2ax0在区间0,上恒成

22323立. ......2分 即

a3x2在区间

20,3上恒成

立. .......3分 ∵

332x1 ∴ a1，故实数a的取值范围为2231, .......4分

（Ⅱ）∵f'x3xx22a，令f'x0得x0或a． 33①若a0，则当1x2时，f'x0，所以fx在区间1,2上是增函数， 所以haf11a． ②若0a32，即0a1，则当1x2时，f'x0，所以fx在区间1,2上23是增函数，所以haf11a． ③若

3222a3，即1a2，则当1xa时，f'x0；当ax2时，233322f'x0．所以fx在区间1,a上是减函数，在区间a,2上是增函数．

33所以haf42aa3．

273 11

④若a3，即

2a2，则当1x2时，f'x0，所以fx在区间1,2上是减函3数．所以haf284a．

综上所述，函数fx在区间1,2的最小值：

1a,ha427a3,84a,„12分

a32,32a3, a3.„„„„„„12