2012年江苏省海门中学中考自主招生考试数学试卷

2012年江苏省海门中学中考自主招生考试

数学试题 注意事项1. 本试卷共9页，满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和 答题卡一并交回。 0.5毫米黑色水笔填写在试卷及答题2. 答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号用卡指定的位置。 一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分） 1、下列计算正确的是( )

3. 答案必须按要求填涂、书写在答题卡上, 在试卷或草稿纸上答题一律无效。 A、(a)2(a)32(a)5 B、(a)2(a)3(a)6

C、(a3)2a6 D、(a)6(a)3(a)3 答案：D

2、小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 输入 „ 1 2 3 4 5 输出 „ „ „ 12 25 310 417 526 那么，当输入数据是8时，输出的数据是( ) A、

8888 B、 C、 D、

67616365答案：C

3、下面是某同学在一次测验中解答的填空题：

（1）若xa,则xa

22（2）方程2x(x1)x1的解为x0．

（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5． 其中答案完全正确的题目个数为( )．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：A

4、如图，已知直线l的解析式是y4x4 ，并且与x轴、y3轴分别交于A、B两点。一个半径为1.5的⊙C,圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当⊙C与直线l相切时,则该圆运动的时间为( )

A.3秒或6秒 B.6秒 C.3秒 D.6秒或16秒 答案: D

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5、已知

11x1，则x的值为（ ）． xxA．5 B．5 C．3 D．5或1 答案：B

6、如图，ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF//AB，若⊙O的半径为

43，则DE的长为( ) 35131 C.51 D. 22A.

31 B.

答案：C

7、已知函数yx22xc（c为常数）的图象上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)。若

x11x2且x1x22，则y1与y2的大小关系是( )

A.y1y2 B. y1y2 C. y1y2 D. y1与y2的大小不确定 答案:B

二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分） 8、计算：

22222

121＝

答案：252x19、已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ____ 。

xa0答案：a3

10、一个密码箱的密码，每个数位上的数字都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于答案：4 11、定义：答案：4

12、在平面直角坐标系中,直线y1，则密码的位数至少需要___________位. 2012abx1adbc。现有cd21x0，则x__________

4x8与x轴、y轴分别交于A、B两点，把直线34yx8沿过点A的直线翻折，使B与x轴上的点C重合，折痕与y轴交于点D，则

3直线CD的解析式为_______________________

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答案：y33x3，yx12 44313、已知方程x6x100有一根x0满足kx0k1,k为正整数,则k_______.

答案：3

14、如图ABBCCAAD3，AHCD于

H，CPBC交AH于点P，AP2，则BD____________________

答案：

32 2

三、解答题（本大题共8题，共80分） 15、（本题满分10分）

0(1)在RtABC中,C90,A的正弦、余弦之间有什么关系？请给出证明过程。（2）已知锐角满足：sin1x，cos12x，求tan的值。 解:（1）sinAcosA1 „„„„„„„„„„„„„„„„5分

222222（2）由sincos1，得(1x)(12x)1所以可解得x1或x1（舍），5易得 tan3 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 416、（本题满分10分）

(1)图(1)是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图(2)、(3)、(4)、(5)的木块。

我们知道，图(1)的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图(2)，(3)，(4)，(5)中木块的顶点数，棱数，面数填入下表： 图 (1) (2) 顶点数 8 棱数 12 面数 6 - 3 - 中考资源网期待您的投稿！zkzyw@163.com

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(3) (4) (5) (2)观察上表，请你归纳上述各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系，这种数量关系是：_______________. 解：(1)

图 (2) (3) (4) (5) 顶点数 6 8 8 1O 棱 数 9 12 13 15 面 数 5 6 7 7

(2)顶点数+面数=棱数+2．

17、（本题满分10分）

阳光公司生产某种产品，每件成本3元，售价4元，年销售量为20万件，为获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的销量是原销量的y倍，且y与x之间满足：

3(0x1)10x1771yx2x(1x3)

10101019（x3)10如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费。

（1） 试求出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并注明x的取值范围； （2） 若

1x5，要使利润S随广告费x的增大而增大，求x的取值范围。 25x20(0x1)2解:(1)S2x13x14(1x3)

38x(x3)(2)在S5x20(0x1)中，S随x的增大而增大。

S2x213x142(x132281)(1x3) 48当1x3时，S随x的增大而增大。

11若x5，要使利润S随广告费x的增大而增大，则x的取值范围为x3。

22

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18、（本题满分10分）

已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且ABa1,以AB为一边在圆O内作正三角形ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DBABa，DC的延长线交圆O于点E，求AE的长。 解：如图，连接OE，OA，OB。设∠CDB = x°,则∵CD = AB = DB， ∴∠BCD = x°。

∵∠ACB = 60°，∴∠ECA = 120°- x°。 ∵∠ABO = ∠ABD / 2 =（∠ABC +∠CBD）/2 = （60°+180°- 2x）/2=120° - x°，

∴△ACE ≌ △ABO ，AE= OA = 1.

19、已知n为正整数，二次方程x2(2n1)xn20的两根为n,n，求下式的值：

111 (31)(31)(41)(41)(201)(201)

2解：由韦达定理，有nn(2n1)，nnn。于是，对正整数n3，有

1112(n1)(n1)nnnn1n(2n1)1原式=

1111()n(n2)2n2n

11111111(1)()() 23224218201111531) (1

221920760

20、（本题满分8分）

解方程：2[x]x2{x}(x0)

}0.13） （注：[x]表示实数x的整数部分，{x}表示x的小数部分,如[2.13]2,{2.13解：原方程可变为2[x][x]{x}2{x} 即3{x}[x]

因0{x}1，故0[x]3，于是[x]只可能为0,1,2，且x[x]{x}当[x]0时，x0；当[x]1时，x

4[x] 348；当[x]2时，x。 33中考资源网期待您的投稿！zkzyw@163.com

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21、（本题满分10分）

设绝对值小于1的全体实数的集合为S，在S中定义一种运算“”，

ab

1ab(1) 证明：结合律(ab)ca(bc)成立.

(2) 证明：如果a与b在S中，那么ab也在S中.

2（说明：可能用到的知识: |a|1即a1）

abcab1ab（1）（a*b)*c=*c==abcabc因为此式关于a,b,c对称，所以即

ab1ab1bccaab1c1ab使得ab得(a*b)*c=a*(b*c)成立，这样就利用对称性减少了一半计算 （2）当-122、（本题满分12分）

如图，对称轴为x3的抛物线yax22x与x轴相交于点B、O.

(1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；

(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l.点P是l上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；

(3)在（2）的条件下，当t取最大值时，抛

物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边.

直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

23.解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称,

∴点B坐标为（6，0）.

将点B坐标代入yax2x得：

2abab2)<1成立，从而用比较法<1成立，也即证(1ab1ab若存在,

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36a+12=0, ∴a=1. 3

∴抛物线解析式为y12x2x.„„„„„„„„„„2分 3当x=3时，y3233,

∴顶点A坐标为（3，3）. „„„„„„„„„„3分 （说明：可用对称轴为x132b,求a值,用顶点式求顶点A坐标.） 2a（2）设直线AB解析式为y=kx+b.

∵A(3,3),B(6,0), ∴6kb0k1 解得, ∴yx6.

b63kb3∵直线l∥AB且过点O, ∴直线l解析式为yx. ∵点p是l上一动点且横坐标为t,

∴点p坐标为（t,t）.„„„„„„„„„„4分 当p在第四象限时（t＞0），

SSAOBSOBP

=12×6×3+=9+3t. ∵0＜S≤18, ∴0＜9+3t≤18, ∴-3＜t≤3. 又t＞0, ∴0＜t≤3.5分 当p在第二象限时（t＜0）,

作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N. 则

1×6×t 2- 7 - 中考资源网期待您的投稿！zkzyw@163.com

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SS梯形ANMP+SANB-SPMO1113+(-t)(3t)33(t)(t) 222191(t3)2t2222==-3t+9. ∵0＜S≤18, ∴0＜-3t+9≤18, ∴-3≤t＜3. 又t＜0, ∴-3≤t＜0.6分

∴t的取值范围是-3≤t＜0或0＜t≤3.

(3)存在，点Q坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.9分 （说明：点Q坐标答对一个给1分）

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