高二数学椭圆试题(有答案)

高二数学椭圆试题

一：选择题 1.已知方程

表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）

C． ﹣1＜m＜2

D． m＞2或﹣2＜m＜

﹣1

A．m＞2或m＜﹣1 B． m＞﹣2

解：椭圆的焦点在x轴上 ∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0

解得m＞2或m＜﹣1 又∵2+m＞0 ∴m＞﹣2

∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1 故选D

2.已知椭圆A．4

，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于（ ） B． 5

C． 7

D． 8

解：将椭圆的方程转化为标准形式为显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，

，解得m=8

故选D

3．椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是（ ） A．

B．

C．

D．

，

解：由椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1，化成标准方程：

由于

，

∴椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是2a=2故选B．

=

．

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4．已知点F1、F2分别是椭圆

+

=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2

的周长为8，则椭圆的离心率为（ ） A．B．

C．

D．

解：由椭圆定义有4a=8 ∴a=2，所以k+2=a2=4 ∴k=2．

从而b2=k+1=3，c2=a2﹣b2=1，所以

，

故选A 5．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ） A．B．

（x≠0）

C．

（x≠0）

D．

（x≠0） （x≠0）

解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4）， ∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12， ∵12＞8

∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a=6，c=4 ∴b2=20，

∴椭圆的方程是故选B． 6．方程A．

B．

=10，化简的结果是（ ） C．

D．

解：根据两点间的距离公式可得：

表示点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，

表示

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点P（x，y）与点F2（﹣2，0）的距离， 所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10， 因为|F1F2|=2＜10，

所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且a=5，c=2， 所以b2=21．

所以椭圆的方程为：故选D．

7．设θ是三角形的一个内角，且（ ） A．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的双曲线

．

，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示的曲线是

B． 焦点在x轴上的椭圆 D．焦 点在y轴上的椭圆

，π），

解：因为θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=，所以，θ∈（ 且|sinθ|＞|cosθ|，所以θ∈（

，

），从而cosθ＜0，

从而x2sinθ﹣y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆． 故选 D．

8.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）

A．B． C．

D．

解：设点P在x轴上方，坐标为∵△F1PF2为等腰直角三角形 ∴|PF2|=|F1F2|，即故椭圆的离心率e=故选D

，即

，

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9.从椭圆

上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与

x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） A．B． C． D．

解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0），

则∴y0=

，

+=1，

∴P（﹣c，），

又A（a，0），B（0，b），AB∥OP， ∴kAB=kOP，即∴b=c．

设该椭圆的离心率为e，则e2=

=

=

=，

=

=

，

∴椭圆的离心率e=故选C．

10.若点O和点F分别为椭圆

．

的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则

的最大值为（ ）

A．2

B． 3

C． 6

D． 8

解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有因为所以

=，

，

，解得，

=，

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此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2， 因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，故选C．

11.如图，点F为椭圆

=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆

取得最大值

，

短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（ ）

A．

B．

C．

D．

解：设线段PF的中点为M，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM是△FPF′的中位线，

∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知 PF=2a﹣PF′=2a﹣2b， 又 MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF=c，

直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2， 可求得离心率 e==

，故答案选 B．

顶点A（a，0），B（0，b），若右焦点F到直线AB的距

，则椭圆的离心率e=（ ）

B．

C．

D．

12．椭圆离等于A．

解：由题意可得直线AB的方程为∴F（c，0）到直线AB的距离d=

即bx+ay﹣ab=0，F（c，0） =

，|AF|=a﹣c

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则

∴a2=3b2 ∴a2=3a2﹣3c2 即3c2=2a2 ∴

=

故选B

13．已知椭圆

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，且|PF1||PF2|

．则椭圆的离心率的取值范围为（ ）

C．

[

，1）

D．

[，]

的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中c= A．

[

，

]

B．

[

，1）

解：∵|PF1|•|PF2|的最大值=a2， ∴由题意知2c2≤a2≤3c2， ∴∴故选A．

，

．故椭圆m的离心率e的取值范围

．

14．在椭圆

椭圆离心率的取值范围是（ ）

中，F1，F2分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该

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A．

B．

C．

D．

解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a﹣c，故，故

，即

，又e＜1，

．

，即a≤3c

，

故该椭圆离心率的取值范围是故选B． 二：填空题

15.已知F1、F2是椭圆C：

（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且

．若△PF1F2的面积为9，则b= 3 ．

解：由题意知△PF1F2的面积=∴b=3，

故答案为3．

，

16．若方程

解：∵

+

表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 4＜k＜7 ．

=1表示焦点在y轴上的椭圆，

∴k﹣1＞7﹣k＞0． ∴4＜k＜7．

故k的取值范围是4＜k＜7． 故答案为：4＜k＜7． 17.已知椭圆

的焦距为2

，则实数t= 2，3，6 ．

解：当t2＞5t＞0即t＞5时，a2=t2，b2=5t 此时c2=t2﹣5t=6

解可得，t=6或t=﹣1（舍）

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当0＜t2＜5t即0＜t＜5时，a2=5t，b2=t2 此时c2=a2﹣b2=5t﹣t2=6 解可得，t=2或t=3

综上可得，t=2或t=3或t=6 故答案为：2，3，6

18.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则

=

．

解：利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8 由正弦定理得故答案为

=

19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a

为半径作圆M，若过

．

作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为

解：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形， 故解得故答案为

， ， ．

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20.若椭圆

的焦点在x轴上，过点（1，）做圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，

B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是

．

解：设切点坐标为（m，n）则

即

∵m2+n2=1 ∴m

即AB的直线方程为2x+y﹣2=0

∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 ∴2c﹣2=0；b﹣2=0 解得c=1，b=2 所以a2=5

故椭圆方程为

故答案为三：解答题

21.已知F1，F2为椭圆

的左、右焦点，P是椭圆上一点．

（1）求|PF1|•|PF2|的最大值； （2）若∠F1PF2=60°且△F1PF2的面积为

，求b的值．

解：（1）∵P点在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=|2a=20，

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∵|PF1|＞0，|PF2|＞0，∴|PF1|•|PF2|≤∴|PF1|•|PF2|有最大值100． （2）∵a=10，|F1F2|=2c． 设|PF1|=t1，|PF2|=t2，

则根据椭圆的定义可得：t1+t2=20①， 在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，

所以根据余弦定理可得：t12+t22﹣2t1t2•cos60°=4c2②， 由①2﹣②得3t1•t2=400﹣4c2， 所以由正弦定理可得：

=100，

=

所以c=6， ∴b=8．

22.如图，F1、F2分别是椭圆C：

．

（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，

B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°． （Ⅰ）求椭圆C的离心率； （Ⅱ）已知△AF1B的面积为40

，求a，b 的值．

解：（Ⅰ）∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e==． （Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，

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在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120° ⇔（2a﹣m）2=m2+a2+am．⇔m=

．

△AF1B面积S=|BA||F1F2|sin60° ⇔

⇔a=10， ∴c=5，b=5

=40

．

23.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点． （1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为F（﹣2，0），从而有

（a＞0，b＞0），且可知左焦点为 ，解得c=2，a=4，

又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，

．

由

得3x2+3tx+t2﹣12=0，

2因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）﹣4×3（t2﹣12）≥0，解得﹣4

≤t≤4，

另一方面，由直线OA与l的距离4=由于±2

∉[﹣4

，4

，从而t=±2，

]，所以符合题意的直线l不存在．

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24.设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线

ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． （1）求E的离心率；

（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程

解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|， 得

l的方程为y=x+c，其中

．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组

化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0 则

因为直线AB斜率为1，得

，故a2=2b2

所以E的离心率

（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知由|PA|=|PB|，得kPN=﹣1， 即

，．

得c=3，从而

故椭圆E的方程为．

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25.设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直

线被椭圆截得的线段长为．

（Ⅰ） 求椭圆的方程；

（Ⅱ） 设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若

解：（I）根据椭圆方程为

．

，求k的值．

∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为∴

=

， ，∴=

， ． ；

，

∵离心率为解得b=

，c=1，a=

∴椭圆的方程为

（II）直线CD：y=k（x+1）， 设C（x1，y1），D（x2，y2），

由

消去y得，（2+3k2）x2+6kx+3k2﹣6=0，

∴x1+x2=﹣，x1x2=

，又A（﹣，0），B（，0），

∴=（x1﹣

，y1）•（

﹣x2．﹣y2）+（x2+

，y2）•（

﹣x1．﹣y1）

=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2， =6+

=8，解得k=

．

26.设椭圆E：，O为坐标原点

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（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且

？若存在，写出该圆的方程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．

解：（1）因为椭圆E：过M（2，

），N（

（a，b＞0）

，1）两点，

所以解得

所以椭圆E的方程为

（2）假设存在圆心在原点的圆，

使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，

且，设该圆的切线方程为y=kx+m解方程组

得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0， 则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，

即8k2﹣m2+4＞0

，

要使，

需使x1x2+y1y2=0， 即

，

所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以又8k2﹣m2+4＞0，

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所以，所以，

即或，

因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为

，

，

，所求的圆为

此时圆的切线y=kx+m都满足

，

或

，

而当切线的斜率不存在时切线为存在圆心在原点的圆

，

与椭圆的两个交点为或

使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．

因为，

所以，

①当k≠0时

因为所以，

所以，

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所以2当k=0时，

当且仅当

时取”=”．

27.已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭

分

圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线别交于M，N两点． （1）求椭圆C的方程；

（2）求线段MN的长度的最小值；

（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．

解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0）， 上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1 故椭圆C的方程为

（4分）

（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），

得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0

从而，由

设S（x1，y1），则

得，从而

即，（6分）

又B（2，0）由得，

∴，（8分）

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故又k＞0，∴∴

当且仅当

，即

时等号成立．

时，线段MN的长度取最小值（10分）

（2）另解：设S（xs，yS），线斜率存在， 由kAM=kAS，可得

依题意，A，S，M三点共线，且所在直

同理可得：又

所以，0号， 即

=

不仿设yM＞0，yN＜

当且仅当yM=﹣yN时取等

时，线段MN的长度取最小值．

（3）由（2）可知，当MN取最小值时，此时BS的方程为

，∴

（11分）

，

要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于所以T在平行于BS且与BS距离等于设直线l'：x+y+t=0，则由

的直线l'上． ，解得

或

．

，此时点T有两个满足条

又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得件．（14分）

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