高三数学抛物线的知识

标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率 焦半径 焦点弦公式 y2pxp0 l2y0,0OFx y ppe1PFx0px2x轴 ,0 2 2 ABp(x1x2) y22pxp0 FOx0,0 pppe1PFx0,0x轴 2x 2 2 ABp(x1x2) l x22py p0 0,0 y轴 ppe1PFy0py0, 22 2 ABp(y1y2) x22pyp0 0,0 y轴 pppe1PFy00,22y  2 ABp(y1y2) 通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：d2p 2x2pt抛物线y22px(p0)的参数方程：（t为参数）

y2pt 二．基本题型

1．过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于Ax1,y1，Bx2,y2两点，如果x1x26，那么|AB|= （A）10 （B）8 （C）6 （D）4

2．已知M为抛物线y24x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P3,1，则|MP||MF|的最小值为（ ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 3．过抛物线yax则

2a0的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF、QF的长分别是p、q，

1411

=（ ） （A）2a （B） （C）4a （D）

2aapq

1y 24．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（ ）

2(A) x＝8y (B) x＝4y (C) x＝2y (D) x2

2

2

2

5．抛物线y＝8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是 (A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，22） (D) （1，±22）

6．过抛物线y24x焦点F的直线l它交于A、B两点，则弦AB的中点的轨迹方程是 ______ 7．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为 2

8．抛物线y＝－6x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是

x2y21的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB，求△OAB9．以双曲线

169的面积． （答案：

512） 2510．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22pxp0上，求这个正三角形的边长 （答案：边长为43p） （12答案：x2y28px0）

11．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22pxp0上，求正三角形外接圆的方程 12．已知ABC的三个顶点是圆x2y29x0与抛物线y22pxp0的交点，且ABC的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程 （答案：y24x）

13．已知直角OAB的直角顶点O为原点，A、B在抛物线y22pxp0上，（1）分别求A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线AB是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求O点在线段AB上的射影M的轨迹方程 答案：（1）y1y24p2； x1x24p2 ；（2）直线AB过定点2p,0;（3）点M的轨迹方程为xpy2p222x0 14．已知直角OAB的直角顶点O为原点，A、B在抛物线y2pxp0上，原点在直线AB上的射影为

D2,1，求抛物线的方程 （答案：y25x） 2215．已知抛物线y2pxp0与直线yx1相交于A、B两点，以弦长AB为直径的圆恰好过原点，

2求此抛物线的方程 （答案：yx）

216．已知直线yxb与抛物线y2pxp0相交于A、B两点，若OAOB，（O为坐标原点）且

SAOB25，求抛物线的方程 （答案：y22x）

17．顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y2x1截得的弦长为15，求抛物线的方程 （ 答案：y12x或y4x） 22

参考答案：

1．B 2．B 3．C 4．A 5．D

6．y22x1 7．x＝±8y 8．(x9．

2

32)y29 2512 2510．边长为43p

11．分析：依题意可知圆心在x轴上，且过原点，故可设圆的方程为：x2y2Dx0， 又∵ 圆过点A6p,23， ∴ 所求圆的方程为x2y28px0

12．y24x

13．（1）y1y24p2； x1x24p2 ；（2）直线AB过定点2p,0 （3）点M的轨迹方程为xpy2p22x0

14．y225x 215．yx 16．y2x

17．y12x或y4x

222