2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅱ.文)含答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)

文科数学（必修+选修Ⅰ）

注意事项：

1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，

考试时间120分钟．

2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的

位置上．

3． 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹

清楚

5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或

在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题）

本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：

如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式

P(AB)P(A)P(B)

S4πR

其中R表示球的半径 球的体积公式

2如果事件A，B相互独立，那么

P(AB)P(A)P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

kkPn(k)Cnp(1p)nk(k0，1，2，…，n)

43πR 3 其中R表示球的半径

V一、选择题

1．cos330（ ）

A．

1 2

B．1 2 C．

3 2

D．3 22．设集合U{1，2，3，，4}A{1，，2}B{2，4}，则A．{2}

B．{3}

C．{1，2，4}

U(AB)（ ）

D．{1，4}

3．函数ysinx的一个单调增区间是（ ）

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A．，

B．，

3C．，

D．3，2 4．下列四个数中最大的是（ ） A．(ln2) 5．不等式

2B．ln(ln2) C．ln2

D．ln2

x20的解集是（ ） x3B．(2，)

C．(，3)A．(3，2) (2，) D．(，2)(3，)

6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB，CDA．

2 33 6 B．

1 33 4

C．1 3

1则（ ） CACB，

32D．

33 27．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） A．

B．

C．

2 2 D．

x218．已知曲线y的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）

42A．1

xB．2 C．3 D．4

9．把函数ye的图像按向量a(2， 3)平移，得到yf(x)的图像，则f(x)（ ）A．e2

x

B．e2

x

C．ex2

D．ex2

10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方

法共有（ ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种

11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A．

1 3 B．

3 32 C．

1 2 D．

3 2y21的左、12．设F1，F2分别是双曲线x右焦点．若点P在双曲线上，且PF1PF20，9则PF1PF2（ ） A．10

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B．210

C．5

D．25 2020年最新

第Ⅱ卷（非选择题）

本卷共10题，共90分

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．

14．已知数列的通项an5n2，则其前n项和Sn ．

15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2．

116．(12x)1的展开式中常数项为 ．（用数字作答）

x28三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 设等比数列{an}的公比q1，前n项和为Sn．已知a32，S45S2，求{an}的通项公式． 18．（本小题满分12分） 在△ABC中，已知内角A，边BC23．设内角Bx，周长为y． （1）求函数yf(x)的解析式和定义域； （2）求y的最大值． 19．（本小题满分12分）

从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)0.96． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P(B)．

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥SABCD中，

底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F 分别为AB，SC的中点． （1）证明EF∥平面SAD；

（2）设SD2DC，求二面角AEFD的大小．

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S

F

C

D A

E

B

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21．（本小题满分12分）

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x3y4相切． （1）求圆O的方程；

（2）圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使PA，PO，PB成等比数列，求

PAPB的取值范围．

22．（本小题满分12分） 已知函数f(x)13axbx2(2b)x1 3在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值，且0x11x22． （1）证明a0；

（2）若z=a+2b,求z的取值范围。

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2007年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案

评分说明：

1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主

要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．A 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B 二、填空题

113．

20三、解答题

5n2n14．

215．242

a1(1qn)17．解：由题设知a10，Sn，

1qa1q22，2a(1q)1．则a(1q4)5 ②

11q1q由②得1q5(1q)，(q4)(q1)0，(q2)(q2)(q1)(q1)0， 因为q1，解得q1或q2．

n1当q1时，代入①得a12，通项公式an2(1)；

422211n1，通项公式an(2)． 22218．解：（1）△ABC的内角和ABC，由A，B0，C0得0B．

当q2时，代入①得a1

应用正弦定理，知

ACBC23sinBsinx4sinx，

sinAsinBC2sinC4sinx． sinA

AB2020年最新

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因为yABBCAC， 22

所以y4sinx4sinx230x3，

（2）因为y4sinxcosx12sinx23 

43sinx23x5，

所以，当x，即x时，y取得最大值63． 19．（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”， A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．

则A0，A1互斥，且AA0A1，故

P(A)P(A0A1)

P(A0)P(A1)

(1p)2C12p(1p)

1p2 于是0.961p2．

解得p10.2，p20.2（舍去）．

（2）记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 则BB0．

若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有1000.220件，P(BC2803160)C2． 100495

P(B)P(B0)1P(B0)1316179495495 20．解法一：

（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．

连结AG，FG ∥1CD，又CD ∥2AB， 故FG ∥AE，AEFG为平行四边形． 2020年最新

故

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EF∥AG，又AG平面SAD，EF平面SAD． 所以EF∥平面SAD．

（2）不妨设DC2，则SD4，DG2，△ADG为等

腰直角三角形．

取AG中点H，连结DH，则DH⊥AG． 又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB所以DH⊥面AEF．

取EF中点M，连结MH，则HM⊥EF． 连结DM，则DM⊥EF．

故DMH为二面角AEFD的平面角

S

F

AGA，

H G

M C

D A

z S E

B

tanDMHDH22． HM1所以二面角AEFD的大小为arctan2． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz．

设A(a，0，，0)S(0，0，b)，则B(a，a，，0)C(0，a，，0)

F aabEa，，0，F0，，， 222bEFa，0，．

2bb0，，则AGa，0，． 取SD的中点G0，22A x G M D E B A C y EFAG，EF∥AG，AG平面SAD，EF平面SAD，

所以EF∥平面SAD．

，，，0)C(0，1，，0)S(0，0，，2)E1，，0，F0，，1． （2）不妨设A(1，0，0)，则B(11111111MD，，，EF(1，0，，1)MDEF0，MD⊥EF EF中点M，，，222222，0，EAEF0，EA⊥EF， 又EA0，所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角．

1212122020年最新

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cosMD，EAMDEAMDEA3． 33． 3所以二面角AEFD的大小为arccos21．解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x3y4的距离，

即 r42． 1322

得圆O的方程为xy4．

0)B(x2，，0)x1x2．由x24即得 （2）不妨设A(x1，，

A(2，，0)B(2，0)．

设P(x，y)，由PA，PO，PB成等比数列，得

(x2)2y222(x2)2y2x2y2，

即 xy2．

PAPB(2x，y)(2x，y)

x24y22(y1).2

22xy4，由于点P在圆O内，故2 2xy2.由此得y1．

所以PAPB的取值范围为[2，0)．

222．解：求函数f(x)的导数f(x)ax2bx2b．

2（Ⅰ）由函数f(x)在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值，知x1，x2是f(x)0的两个根．

所以f(x)a(xx1)(xx2)

当xx1时，f(x)为增函数，f(x)0，由xx10，xx20得a0．

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f(0)02b0（Ⅱ）在题设下，0x11x22等价于f(1)0 即a2b2b0．

f(2)04a4b2b02b0化简得a3b20．

4a5b20此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2b0，a3b20， 4a5b20．

2)C(4，2)． 所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：A，，B(2，，z在这三点的值依次为

所以z的取值范围为

4677b

16，6，8． 716，8． 72 1 O

B(2，2)

C(4，2)

46A， 772 4

a

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