2020高考文科数学复习第七章 第4节 [空间中的垂直关系]]课时练

第七章第4节[空间中的垂直关系]课时练

A组基础对点练1．(2019·惠州模拟)PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BC解析：由PA⊥平面ACB⇒PA⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故B，D不符合题意；无法判断AC⊥PB，故C符合题意．答案：C2．(2019·石家庄模拟)已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则()A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直解析：垂直于平面β的平面与平面α重合、平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B不正确；垂直于平面β的平面可能垂直于直线l，故C不正确；由面面垂直的判定定理知，垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故D正确．答案：D3．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，则下列命题正确的是()A．若m∥n，nα，则m∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则α⊥β解析：若m∥n，nα，则m∥α或mα，故A不正确；若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与α相交或n∥α或nα，故B不正确；若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则由直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β.答案：D4．(2019·长春质检)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD中，下列说法正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ACD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ACD⊥平面ABD解析：由题意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC.因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD.答案：D5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中E为棱CD的中点，则()1A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.答案：C6．(2019·南昌调研)如图所示，四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是平面是正三角()A．PB⊥ACB．PD⊥平面C．AC⊥PDD．平面PBDABCD解析：如图所示，对于选项A，取PB的中点O，连CO.∵在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正形，平面PAB⊥平面PBC，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC，ABCD⊥平面接AO，三角∵AC平面AOC，∴PB⊥AC，故选项A正确；对于选项B，设AC与BD交于点M，易知M为AC的中点，若PD⊥平面ABCD，则PD⊥BD，由已知条件知点D满足AC⊥BD且位于BM的延长线上，∴点D的位置不确定，∴PD与BD不一定垂直，∴PD⊥平面ABCD不一定成立，故选项B不正确；对于选项C，∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，∵PD平面PBD，∴AC⊥PD，故选项C正确；对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故选项D正确．故选B.答案：B7.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：如图所示，连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8.如图所示，四棱锥PABCD中，AP⊥平面PCD，AD1∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的2中点．求证：(1)AP∥平面BEF；2(2)BE⊥平面PAC.证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC，如图所示．1由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，2所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点．又F为PC的中点，因此在△PAC中，可得AP∥OF.又OF平面BEF，AP平面BEF.所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.所以四边形BCDE为平行四边形，因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP，AC平面PAC，所以BE⊥平面PAC.9．(2019·唐山统考)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，E为棱PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)若PD＝AD＝2，PB⊥AC，求点P到平面AEC的距离．解析：(1)证明：如图所示，连接BD，交AC于点F，连接EF，∵底面ABCD为矩形，∴F为BD中点，又E为PD中点，∴EF∥PB，又PB平面AEC，EF∴PB∥平面AEC.(2)∵PD⊥平面ABCD，AC平面AEC，平面ABCD，∴PD⊥AC，3又PB⊥AC，PB∩PD＝P，∴AC⊥平面PBD，∵BD平面PBD，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD为正方形．又E为PD的中点，∴P到平面AEC的距离等于D到平面AEC的距离，设D到平面AEC的距离为h，111由题意可知AE＝EC＝5，AC＝22，S△AEC＝×22×3＝6，由VDAEC＝VEADC得S△AEC·h＝S△

23366，∴点P到平面AEC的距离为.ADC·ED，解得h＝33B组能力提升练10．直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF相交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为()123C.2解析：设B1F＝x，A.B．1D．2因为AB1⊥平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝2，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，1则DE＝h.2又2×2＝h22＋22，233所以h＝，DE＝.33236在Rt△DB1E中，B1E＝22－32＝.62621x2＋22＝x，得x＝.由面积相等得×622答案：A11．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是(A．若m∥α，n∥α，则m∥n)B．若m⊥α，nα，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析：选项A.若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交、异面，故A错误；B．若m⊥α，nα，则m⊥n，显然成立；4C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，故C错误；D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α或n∥α或n与α相交．答案：B12.如图所示，三棱锥A－BCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝BD＝2，E是棱CD上的任意一点，F，G分别是AC，BC的中点，则在下面命题中：①平面ABE⊥平面BCD；②平面EFG∥平面ABD；1③四面体FECG体积的最大值是.真命题的个数是()3A．0B．1C．2D．3解析：①正确，因为AB⊥平面BCD，且AB平面ABE，由面面垂直的判定定理可知平面ABE⊥平面BCD；②错误，若两平面平行，则必有AD∥EF，而点E是棱CD上任意一点，故该命题为假命题；1③正确，由已知易得GF⊥平面GCE，且GF＝AB＝1，212而S△GCE＝GC·CE·sin45°＝CE≤1，2411故VF－GCE＝S△GCE·FG≤.33故正确的命题为①③.答案：C13．已知平面α，β和直线m.给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m(1)当满足条件________时，有m∥β.(2)当满足条件________时，有m⊥β.解析：(1)当mα，且α∥β时，有m∥β，故填③⑤.(2)当m⊥α，且α∥β时，有m⊥β，故填②⑤.答案：(1)③⑤(2)②⑤14．(2019·北京东城区模拟)如图所示，在四棱锥E-BCD中，AE平面ADE，AB⊥平面ADE，CD＝3AB.α；④α⊥β；⑤α∥β.⊥DE，CD⊥(1)求证：平面ACE⊥平面CDE；(2)在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若的值；若不存在，说明理由．解析：(1)证明：因为CD⊥平面ADE，AE面ADE，平存在，求出EFED5所以CD⊥AE.又AE⊥DE，CD∩DE＝D，所以AE⊥平面CDE，因为AE平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE.(2)在线段DE上存在一点F，且EF1＝，使AF∥平面BCE.ED3设F为线段DE上一点，EF1且＝.ED3过点F作FM∥CD交CE于点M，1连接BM，AF，则FM＝CD.3因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以CD∥AB.又FM∥CD，所以FM∥AB.因为CD＝3AB，所以FM＝AB.所以四边形ABMF是平行四边形，所以AF∥BM.又AF平面BCE，BM所以AF∥平面BCE.平面BCE，6