1 频域滤波基础
对⼀幅数字图像，基本的频率滤波操作包括： 1）将图像变换到频率域； 2）根据需要修改频率域数值； 3）反变换到图像域。 使⽤公式表达为 ，
H(u,v) 为滤波器（滤波传递函数），F(u,v) 为图像函数的傅⾥叶变换。
在将图像变换到频率域之前，对其中⼼化处理可使变换后结果更利于观察与分析，因此，乘以 以实现中⼼化。 在反变换到图像域后，得到的图像是 ，将其乘以 使图像平移还原，因此，乘以 还原平移。
在对数字图像进⾏频移滤波时，需要关注卷积缠绕和振铃现象，这是在设计滤波函数时需要尽⼒避免的。 1）卷积缠绕
给定⾮周期信号，对其进⾏离散傅⾥叶变换或者反变换后得到周期信号，⽽周期信号卷积操作可能产⽣缠绕。
卷积操作是对两个信号滑动乘积进⾏累加，当累加区间⼤于任意信号周期，就可能对⼀个信号周期外的值进⾏重复累加。
解决卷积缠绕的⽅法就是在傅⾥叶变换（或反变换前）进⾏0填充处理，0填充使得信号周期不⼩于卷积区间，从⽽避免了卷积缠绕。 2）振铃
使⽤0填充可以避免卷积缠绕，但可能产⽣振铃现象。
公式 使⽤频域乘积进⾏滤波处理，其等价操作为空间域的卷积 。
当 H(u,v) 为理想低通滤波器（盒函数），其反傅⾥叶变换 h(x,y) 包含⽆限震荡频率，⽆限震荡频率使得在卷积时必然产⽣振铃现象。 如果对其进⾏0填充以避免卷积缠绕，必然对 f(x,y）信号截断， 对截断后的 f(x,y) 变换到频率域，发现之前的盒函数在边缘上出现了震荡，使振铃现象更加严重。
综上描述，对于理想低通滤波器，振铃现象不可避免，如果0填充以避免卷积缠绕将使得振铃现象更加明显。 ⼀个折中⽅案就是对图像进⾏0填充，但不对滤波器进⾏填充， 由于图像0填充在⼀定程度降低了卷积缠绕的影响， 同时由于图像0填充使得理想低通滤波器引起的振铃现象减弱，从⽽得到相对理想的结果。
⼀个更好的⽅案是使⽤⾼斯低通滤波器，由于⾼斯函数的傅⾥叶变换（或反傅⾥叶变换）均为⾼斯函数，⾼斯函数没有震荡周期，故天然没有振铃现象。
仅需要对图像0填充以避免卷积缠绕即可得到较好的滤波结果。 通过讨论，可以得到频域滤波的完整步骤如下：
1）将给定⼀幅 M*N 的图像 f(x,y) 0填充为 2M*2N 的图像 ； 2）对 乘以 平移到中⼼，并对器进⾏傅⾥叶变换 ； 3）使⽤滤波器滤波 ；
4）对滤波后频率进⾏反傅⾥叶变换 ，
其中，real 表⽰取反傅⾥叶变换的实部，这是因为数值计算过程中不可避免的误差⽽导致虚部寄⽣分量， 抵消到傅⾥叶变换前的平移到中⼼操作； 5）从 中取左上 M*N 图像即为滤波后结果。
2 低通滤波器
1）理想低通滤波器（ILPF）
理想低通滤波器定义为 ，D(u,v) 为 (u,v) 到中⼼点距离，
由于理想低通滤波器为⼀盒函数，其空域卷积核存在震荡特性，这使得理想低通滤波天然存在振铃现象。 2）布特沃斯低通滤波器（BLPF）
布特沃斯低通滤波器定义为 ，当 n 越⼤时，布特沃斯滤波器越接近理想滤波器， 因此，变换到空间域后其卷积核的震荡性随着 n 增⼤⽽增⼤。
当 n=1 时，变换到空间域其卷积核没有震荡，但其频率截⽌曲线过于平滑，图像平滑效果较差。
当 n=2 时，变换到空间域其卷积核有轻微震荡，但其产⽣的振铃现象不⼤，同时具有较好的平滑性，因此 n=2 可作为⼀个折中⽅案， 使⽤不同的截⽌频率 ，可以控制图像平滑程度，达到不同滤波效果。 3）⾼斯低通滤波器（GLPF）
⾼斯低通滤波器定义为 ， 为滤波截⽌频率。
由于⾼斯函数的傅⾥叶变换（或反傅⾥叶变换）均是⾼斯函数，因此，其卷积核没有振铃现象。 综上，似乎⾼斯低通滤波器是最优的选择，⼀般情况下这个结论是正确的。
但是由于2阶布特沃斯低通滤波器具有更陡峭的频率截⽌曲线，同时其振铃现象较⼩， 在⼀些需要对频率严格分割的情况下，2阶布特沃斯低通滤波器应该是⼀个较好的选择。 理想低通滤波器会产⽣较严重的振铃现象，因此⼀般都不是⼀个较好的选择！
3 ⾼通滤波器
有了低通滤波器，对其进⾏适当取反操作，即可以得到合适的⾼通滤波器。 1）理想⾼通滤波器（IHPF） 理想⾼通滤波器定义为 ，
同样的，由于其反傅⾥叶变换具有震荡性，因此同样会产⽣振铃现象，这⼀般不是⼀个好的的选择。 2）布特沃斯⾼通滤波器（BHPF） 布特沃斯⾼通滤波器定义为 ,
2阶布特沃斯⾼通滤波器的反傅⾥叶变换具有可以接受的较⼩震荡性，这是⼀个⾼通滤波的选择。 3）⾼斯⾼通滤波器（GHPF） ⾼斯⾼通滤波器定义为 ，
⾼斯⾼通滤波器的反傅⾥叶变换没有震荡特性，因此滤波后不会产⽣振铃，这是⼀个好的⾼通滤波选择。
参考资料 Digital Image Processing Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods
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