点、直线和圆的位置关系

一、教学目标

1. 巩固直线、圆和圆的位置关系

二、上课内容

1、回顾上节课内容

2、直线、圆和圆的位置关系知识点回顾 3、经典例题讲解 4、课堂练习

三、课后作业

见课后练习

一、上节课知识点回顾

1.以(a,b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是 (xa)2(yb)2r2 2.形如x2y2DxEyF0的方程，若表示圆，则满足条件D2E24F0； 此时圆心为(D,E)，半径为1222DE4F22。

3.已知点(x0,y0)和圆(xa)2(yb)2r2： 当(x0a)2(y0b)2r2时，点在圆外； 当(x0a)2(y0b)2r2时，点在圆上； 当(x0a)2(y0b)2r2时，点在圆内.

4、点M(x0,y0)与圆x2y2DxEyF0的位置关系：

1

M在圆内x0y0Dx0Ey0F0

M在圆上x0y0Dx0Ey0F0 M在圆外x0y0Dx0Ey0F0

222222

二、直线、圆和圆的位置关系知识点回顾

1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：

①几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，若直线与圆相离，则dr；若直线与圆相切，则dr；若直线与圆相交，则dr ②代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若0，则直线与圆相离；若0，则直线与圆相切；若0，则直线与圆相交 2.两圆的的位置关系

(1)设两圆半径分别为r1,r2，圆心距为d 若两圆相外离，则dRr ，公切线条数为4 若两圆相外切,则dRr，公切线条数为3 若两圆相交RrdRr，则，公切线条数为2 若两圆内切，则dRr，公切线条数为1 若两圆内含，则dRr，公切线条数为0

(2) 设两圆C1:x2y2D1xE1yF10，C2:x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0

2

3. 相切问题的解法：

①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解 ②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1

③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0来求解。 特殊地,已知切点P(x0,y0),圆x2y2r2的切线方程为x0xy0yr2, 圆(xa)2(yb)2r2的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2 4.圆系方程

①以点C(x0,y0)为圆心的圆系方程为(xx0)2(yy0)2r2(r0)

②过圆C:x2y2DxEyF0和直线l:axbyc0的交点的圆系方程为

x2y2DxEyF(axbyc)0

③过两圆C1:x2y2D1xE1yF10，C2:x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为

x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0（不表示圆C2）

★重难点突破★

重点:根据给定的方程判定直线与圆、圆与圆的位置关系；

利用直线和圆、圆与圆的位置关系的充要条件解决一些简单的问题； 难点:借助数形结合,利用圆的几何性质,将题目所给条件转化为圆心到直线的距离、两圆的连心线或半径的和与差

重难点:将方程的理论与圆的几何性质相结合,并加以运用 1、把握直线与圆的位置关系的三种常见题型： ①相切——求切线 ②相交——求距离

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③相离——求圆上动点到直线距离的最大（小）值； 2、解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有：

①数形结合，善于观察图形，充分运用平面几何知识，寻找解题途径

②等价转化，如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题，把公切线的条数问题转化为两圆的位置关系问题，把弦长问题转化为弦心距问题等 ③待定系数法，还要合理运用“设而不求”，简化运算过程

3、①圆与圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之和或半径之差的关系 ②公共弦满足的条件是：连心线垂直平分公共弦

三、经典例题讲解

例1：设m>0，则直线

2（x+y）+1+m=0

与圆x2+y2=m的位置关系为

A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切

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例2：已知圆M:x2(y2)21,Q是x轴上的动点,QA、QB分别切圆M于A,B两点 (1)若点Q的坐标为（1，0），求切线QA、QB的方程 (2)求四边形QAMB的面积的最小值 (3)若AB

例3：已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4

（m∈R）.

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

42，求直线MQ的方程 3

5

例4：已知圆C:(x3)2(y5)2r2和直线l:4x3y20，

（1）若圆C上有且只有4个点到直线l的的距离等于1，求半径r的取值范围； （2）若圆C上有且只有3个点到直线l的的距离等于1，求半径r的取值范围； （3）若圆C上有且只有2个点到直线l的的距离等于1，求半径r的取值范围；

例5：求与圆x2y25外切于点P(1,2)，且半径为

25的圆的方程 6

例6：已知点P是圆x2+y2=4上一动点，定点Q（4，0）. （1）求线段PQ中点的轨迹方程；

（2）设∠POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程.

四、课堂练习

选择题：

1、圆x2y22x10关于直线2xy30对称的圆的方程是（ ） Ａ．(x3)2(y2)2 Ｂ．(x3)2(y2)2 Ｃ．(x3)2(y2)22 Ｄ．(x3)2(y2)22

2、过圆O:x2y24外一点M(4,1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为 A.4xy40 B. 4xy40 C. 4xy40 D. 4xy40

1212

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3.若函数f(x)1eax的图像在x0处的切线l与圆C:x2y21相离，则点P(a,b)与圆的

b位置关系是 （ ）

A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定 填空题：

mx与圆x2y2mxny40交于M、N两点，且M、N关于直线xy02对称，则弦MN的长为

1、直线y

1x2t2(t为参数)2. 直线被圆x2y24截得的弦长为______________。

y11t2 解答题：

1. 已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r>0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系?

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五、课后练习

1、已知曲线C:xy2，点A2,0及点B2,a，以点A观察点B，要使视线不被

22曲线C挡住，则a的取值范围是（ ） A．,44, B．,11, C．4,4 D．,22, [解析] A [由图可以得到切线AB的斜率为1,1或1]

a4a4A y B O x 222. 已知直线l:xy40与圆C:x1y12，则C上各点到l的距离的最大值

与最小值之差为_______

解析: 22 [距离的最大值与最小值之差为2r]

3．自点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直

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线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程.

解析：圆（x－2）2＋（y－2）2＝1关于x轴的对称方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1.

设l方程为y－3＝k（x＋3），由于对称圆心（2，－2）到l距离为圆的半径1，从而可得k1＝－3，k2＝－4．故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.

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