2011年宁夏回族自治区初中毕业暨高中阶段招生考试

2011年宁夏回族自治区初中毕业暨高中阶段招生考试

数学试题

（本试卷满分120分，考试时间120分钟）

第I卷（选择题共24分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1．计算a2

+3a2

的结果是 （ ）

A．3a2

B．4a

2

C．3a4

D．4a4

2．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AB的长是 （ ）A．2

B．4

C．23

D．43

3．等腰梯形的上底是2 cm，腰长是4 crn，一个底角是60°，则等腰梯形的下底是（ ）

A．5 cm

B．6 cm

C．7 cm

D．8 cm

4．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x，十位数字为y，所列方程组正确的是 （ ）

A．xy8xy18yx

B．xy8x10y1810xy

C．xy810xy18yx

D．xy810xyyx

5．将“创建文明城市”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的平面展开图如图所示，那么在这个正方体中，和“创”相对的字是 （ ）

A．文

B．明 C．城 D．市

6．已知⊙O1，⊙O2的半径分别是r1=3，r2=5．若两圆相切，则圆心距O1O2的值是（ ）

A．2或4

B．6或8

C．2或8

D．4或6

7．某校A，B两队10名参加篮球比赛的队员的身高（单位：cm）如下表所示：

队员 1号 2号 3号 4号 5号 队 A队 176 175 174 171 174 B队 170 173 171 174 182 设两队队员身高的平均数分别为x,x22AB，身高的方差分别为sA,sB，则正确的选项是（ ）

A．xAx22B，sAsB B．xAx22B，sAsB C．xx22AB，sAsB

D．xAx2s2B，sAB 8．如图，△ABO的顶点坐标分别为A（1，4），B（2，1），O（0，0），如果将△ABO绕点O按

逆时针方向旋转90°，得到△A’B'O，那么点A’，B’的对应点的坐标是（ ）

A．A’（一4，2），B'（一1，1） B．A’（一4，1），B’（一1，2） C．A’（一4，1），B’（一1，1） D．A’（一4，2），B’（一1，2）

第Ⅱ卷（非选择题共96分）

二、填空题（本大题共8小题。每小题3分，共24分．请把答案填在题中横线上） 9．分解因式：a3一a=_______．

10．数轴上A，B两点对应的实数分别是2和2，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所

对应的实数为_______。

11．若线段CD是由线段AB平移得到的，点A（一2，3）的对应点为C（3，6），则点B（一5，19．（本小题满分6分）

7x一2）的对应点D的坐标是_______．

12．在一次社会实践活动中，某班可筹集到的活动经费最多900元．此次活动租车需300元，每个学生活动期间所需经费15元，则参加这次活动的学生人数最多为_______．

13．某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m％后售价为25元．根据题意可列方程为_______．

14．如图，点A，D在⊙O上，BC是⊙O的直径，若∠D=35°，则∠OAB的度数是_______．

15．如图，在△ABC中，DE//AB，CD：DA=2：3，DE=4，则AB的长为_______．

16．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的全面积为_______．（取3．14）

三、解答题（本大题共10小题。共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分6分）

计算：20110一3tan30°

+（一

13）-2

一|3一2|． 18．（本小题满分6分）

解方程：

xx113x2

x1解不等式组3x2

82320．（本小题满分6分）

有一个均匀的正六面体，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机地抛掷一次，把朝上一面的数字记为x；另有三张背面完全相同，正面上分别写有数字一2，一1，1的卡片．将其

混合看，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，把卡片正面上的数字记为y；然后计

算出S=x+y的值．

（1）用树状图或列表法表示出S的所有可能情况； （2）求出当S<2时的概率．

21．（本小题满分6分）

我市某中学九年级学生对市民“创建精神文明城市”知晓率采取随机抽样的方法进行问卷调查，问卷调查的结果划分为“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”“从未听说”五个等级，统计后的数据整理如下表：

等级 非常了比较了基本了不太了从未听解 解 解 解 说 频数 40 60 48 36 16 频率 0.2 m 0．24 0．18 0.08 （1）本次问卷调查抽取的样本容量为_____，表中m的值为_____；

（2）根据表中的数据计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度

数；

密 封 线 密 封 线 线 号考 封 场 考密 名 姓 线 封 级 班 密 校学

（3）根据上述统计结果，请你对政府相关部门提出一句话建议． 22．（本小题满分6分）

已知，F，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，BE=DF，BE//DF．求证：四

边形ABCD是平行四边形．

23．（本小题满分8分）

在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值． 24．（本小题满分8分）

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2．若将此直角三角形的一条直角边BC或AC与x轴重合，使点A或点B刚好在反比例函数y=

6x（x>0）的图象上时，设△ABC在第一象限部分的面积分别记做S1，S2（如图1、图2所示），D是斜边与y轴的交点，通过计算比较S1，S2的大小．

25．（本小题满分10分）

甲、乙两人分别乘不同的冲锋舟同时从A地逆流而上前往B地．甲所乘冲锋舟在静水中的速

度为

11712千米，分钟，甲到达B地立即返回．乙所乘冲锋舟在静水中的速度为12千米/分钟．已知A，B两地的距离为20千米，水流速度为112千米/分钟，甲、乙乘冲锋舟行驶的距离y（千米）与

所用时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．

（1）求甲所乘冲锋舟在行驶的整个过程中，y与x之间的函数关系式；

（2）甲、乙两人同时出发后，经过多少分钟相遇?

26．（本小题满分10分）

在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上（M不与A，B重

合，N不与A，C重合），且MN//BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．

（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上?

（2）设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y．试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少?

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数学试题参考答案

1．B【解析】本题考查整式的加减，整式加减的实质是合并同类项，合并同类项时字母及其指数不变，系数相加减，a2+3a2=4a2，所以本题选B．

2．C【解析】本题考查矩形的性质及锐角三角两数值的应用．根据矩形的性质可知∠DBA=30 °，AB=3AD=2

3，本题选C．

3．B【解析】本题考查等腰梯形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半．作DE⊥BC于E，AF⊥BC于F，由CD=4．∠B=∠C=60°，得BF=CE=2，所以等腰梯形的下底是2+2+2=6，本题选B．

4．B【解析】本题考查数字问题，列方程解应用题，若个位数字为x代表x，十位数字为y代表10y，百位数字为b代表100b．根据题意得xy81810xy，本题选B

10yx5．B【解析】本题考查正方体的空间立体图形与平面展开图的对应关系，解决这种类型试题的一般方法：一是根据正方体展开图的特点，通过空间想象得出答案；二是通过动手折叠或展开正方体确定正确结果；三是注意无公共顶点的不相邻的面．本题可确定和“创”相对的字是“明”，故本题选B．

6．C【解析】本题考查圆与圆的位置关系，设两圆的半径分别为R，r，两圆心的距离为d，当圆心距d>R+r时，两圆外离；当圆心距d=R+r时，两圆外切；当圆心距R一r7．D【解析】本题考查平均数、方差的计算，xA =（176+175+174+171+174）÷5=174，xB=

（170+173+171+174+182）÷5=174；s21A=5（[176—174）2+（175—174）2+（174—174）2

+（171—174）2

+（174—174）2]=

14，s2125B=5 [（170—174）2+（173—174）+（171—174）2+（174—174）2+（182—174）2]=18，所以x22A=xB，sA8．B【解析】本题考查图形的旋转变换，先根据题意画出旋转后的图形，再根据图形写出点的坐标，将△ABO绕点O按逆时针方向旋转90°，得到点A’，B’的坐标分别为（一4，1）、（一1，2），故本题选B．

9．a（a+1）（a一1） 【解析】本题考查因式分解，因式分解的步骤：一提公因式；二用公式．a3一a=a（a2—1）=a（a+1）（a一1）．

10．4一2【解析】本题考查学生的数形结合能力，根据题意画出草图，然后计算．AB的距离为2一2，所以BC的距离为2一2，所以C点的坐标为2+2一2=4一2．

11．（0，1）【解析】本题考查线段的平移，由点A的对应点C的坐标可以得到平移规律为向右平

移5个单位，再向上平移3个单位，把点B的坐标向右平移5个单位，再向上平移3个单位，得到点D的坐标为（0，1）．

12．40【解析】本题考查学生列不等式解决实际问题的能力，设最多为x人，则15x+300≤900，解得x≤40，所以参加这次活动的学生人数最多是40．

13．36（1一m％）2=25【解析】本题考查列方程解决实际问题的能力，根据题意得36（1一m％）

2

=25．

14．350【解析】本题考查圆中角的关系及等腰三角形的性质，∠OAB=∠B=∠D=350． 15．10【解析】本题考查平行线分线段成比例，由DE//AB，

得

DE4CDABABCACDCDAB25，解得AB=10 16．9．42【解析】本题考查三视图的识别与计算，首先根据三视图判断此几何体为圆锥，圆锥底面圆周长为2，面积为，侧面面积为12×底面圆周长×母线长=12×2×2=2，所以这个几何体的全面积为+2=3≈9．42．

17．本题考查实数的计算，注意负指数幂等于正指数幂的倒数；非零数的零次方等于1．

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解：原式：1—3×33+9一（2一3） （4分） =1一3+9—2+3 =8． （6分）

18．本题考查分式方程的解法，首先两边乘以最简公分母，化分式方程为整式方程，然后解整式

方程，最后要检验．

解：两边同乘（x一1）（x+2），

得x（x+2）一（x一1）（x+2）=3（x一1）， （2分）

整理得2x=5，解得x=52． （5分）

经检验x=52是原方程的根． （6分）

19．本题考查不等式组的解法，首先解两个不等式，再根据数轴或两不等式的解集写出不等式组的解集．

解：解①得x≥1， （2分） 解②得x<8， （4分）

∴不等式组的解集为1≤x<8． （6分） 20．本题考查用列表法或画树状图法求概率．

解：（1）用列表法：

x 1 2 3 4 5 6 S y —2 一0 1 2 3 4 1 一1 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 （4分）

或画树状图：

（4分）

（2）由列表或画树状图知S的所有可能情况有18种，其中S<2的有5种， ∴P（S<2）=

518． （6分） 21．本题考查统计的有关概念、计算及利用统计知识指导社会生活． 解：（1）抽取的样本容量为200，表中m的值为0．3．（2分）

（2）“非常了解”的频数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角的度数为3600×0．2=72°． 分）

（3）结合表中统计的数据，利用统计的语言叙述合理．（6分） 22．本题考查平行四边形的判定，可以有多种方法． 解法一：∵DF//BE ∴∠DFA=∠BEC，

∴∠DFC=∠BEA． （2分） 在△ABE和△CDF中，

∵DF=BE，∠DFC=∠BFA，AE=CF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）． （3分）

∴∠EAB=∠FCD，AB=CD，∴AB//CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． （6分） 解法二：∵DF//BE，∴∠DFA=∠BEC． （2分）

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE， 在△AFD和△CEB中，

∵DF=BE，∠DFA=∠BEC，AF=CE，

4 （ ∴△AFD ≌△CEB（SAS）， （3分） ∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，

∴AD//CB∴四边形ABCD是平行四边形。 （6分）

23．本题考查切线的证明及圆中的有关计算，切线垂直于过切点的半径．

解：（1）证明：连接OP，则OP=OB．∴∠OBP=∠OPB．

∵AB=AC∴∠OBP=∠C ∴∠OPB=∠C， ∴OP//AC． （3分） ∵PD⊥AC，∴DP⊥OP．

∴PD是⊙O的切线． （5分） （2）连接AP，则AP⊥BC，

在Rt △APB中，∠ABP=30°， ∴BP=AB×cos30°=3， （7分） ∴BC=2BP=23． （8分）

24．本题考查梯形面积的计算，关键是根据反比例函数及特殊三角形的性质，分别表示梯形的底与高，从而计算面积．

解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，BC=2，

∴AC=BCtan3023． （1分） 在图1中，∵点A在反比例函数y=6x（x>0）的图象上，

∴A点的横坐标x6233，

∴OC=3，BO=2一3． （2分） 在Rt△BOD中，∠DBO=60°，

DO=BO×tan60°=23一3， （3分） ∴S11=2（OD+AC）×OC =

12 [（23一3+23）3×3 =6一323． （4分）

在图2中，∵B在反比例函数y6x （x>0）的图象上，

∴B点的横坐标x=

62=3， ∴OC=3，AO=23一3． （5分） 在Rt△AOD中，∠DAO=30°，

DO=AO×tan30°=（23一3）×33=2一3． （6分） ∴S12=

2（DO+BC）×OC=12 [（2一3）+2]×3 =6一323， （7分）

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∴S1=S2． （8分）

25．本题考查学生对函数图象意义的理解，注意应当分类讨论，当甲由A到B的过程中两冲锋舟

的距离在逐渐增大；当甲由B回到A的过程中两冲锋舟的距离在逐渐减小，然后逐渐增大．两人

相遇时间即为两人共同走20千米所用时问或由交点坐标为两函数解析式所组成的方程组的解来求得．

解：（1）甲从A地到B地：

y11x12112， 即y56x （2分） 甲从A地到达B地所用时间为20÷

56=24（分钟）， ∴0≤x<24时，y56x （3分）

甲从B地回到A地所用时间为20÷（

1112112）=20（分钟）．设甲从B地回到A地的函数关系式为y=kx+6（k≠0），将（24，20），（44，0）中的坐标分别代入y=kx+b（k≠0）得k=-1，b=44，

∴24≤x<44时，y=一z+44． （6分）

（2）解法一：设甲、乙两人出发2分钟后相遇，根据题意，得

712112111x1212x24=20， （8分） 解得x883∴甲、乙两人出发883分钟后相遇． （10分） 解法二：乙从A地到B地的函数关系式为y=12x ，

依题意得y1x （8分）2 yx44解方程组得x883 ∴甲、乙两人出发883分钟后相遇． （10分）

26．本题考查三角形中位线的性质、三角形相似及二次函数的有关性质．注意应当分类讨论，当0解：（1）点P恰好在BC上时，由对称性知MN是△ABC的中位线，

∴当MN=

12BC=3时，点P在BC上． （2分） （2）由已知得,△ABC底边上的高h=5232=4．

①当0由△AMN∽△ABC得AO=

23x， y=S121△PMN=S△AMN=2122x3x3x即y3x

当x=3时，y的值最大，最大值是3． （5分）

②当3由①知AO=23x ∴AP=43x ∴PD=AP—AD=43x一4．

∵△PEF∽△ABC．

42SPEFS2x4PDAD3 ABC4

S2即PEFx3S ABC9

4x32， 31242∴y= S△AMN一S△PEF= xx3

33∵S△ABC=12，∴S△PEF==一x2+8x一12． （8分）

当x=4时，y最大，y的最大值是4． （10分）

密 封 线 密 封 线