人教版2022年初升高数学暑假精编专题《 乘法公式与因式分解》知识衔接(解析版)

通用版2022-2023学年暑假初升高数学衔接课程（解析版）

专题一： 乘法公式与因式分解衔接班

【回忆初中那一点点】

一．乘法公式

秘诀1：平方差公式 (ab)(ab)a2b2；

秘诀2：完全平方公式 (ab)2a22abb2; (ab)2a22abb2. 二．因式分解

（一）因式分解：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解

.常用招式：提取公因式法和公式法

1.公式法：主要是平方差公式和完全平方公式的逆用。 (1)ab(ab)(ab) 体验1:16x2(4x)(4x) 22体验2：4x2y2(2xy)(2xy) (2)a2abb(ab) 体验1：44aa2(2a) 体验2：22222221221mm1(m1)2 25552 (3)a2abb(ab) 体验1：x28x16 (x4) 1112122a2a()(a) a2aaa1111反思对于a222(a)2，很难构想这个完全平方的结构a22a()2 aaaa体验2：a22 2.提取公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。 提取公因式功法体验：分解因式

体验1.4x6y2(2x3y) 体验2.4xy26y2y(2xy3) 体验3.xy(3xy) 体验4.2x3y(2x3y) 体验5：3(ab)a(ab)(ab)(3a) 课后反思：

1.体验3争议：xy(xy)，回忆分解因式的概念“把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解”读懂横线的核心特征，最简怎么去理解,

12161213121616【初中初级秘籍练级区】

1．把下列各式分解因式：

（1）4x2y2 （2）3x312x2y12xy2 （3）a22a4b24b 思考（4）ax2ay22axyab2 【分析】

（1）原式（2xy）(2xy)

3x(x2y)2 （2）原式3x（x24xy4y2）（a24b2）(2a4b)(a2b)(a2b)2(a2b)(a2b)(a2b2) （3）原式（4）原式a[(x22xyy2)b2]a[(xy)2b2]a(xyb)(xyb)

反思：（3）问题，不知道如何入手，看到这类型问题，第一步想的是结构，里面有什么，可以分组吗？平方公式可用吗？分解因式的几个思路：①公式，提出公因式，分组

2．如果3x25x10，那么代数式5x(3x2)(3x2)(3x2)的值是（ ）

A． 6 B． 2 C． -2 D． -6

【分析】：5x(3x2)(3x2)(3x2)(3x2)(2x2)6x210x42(3x25x)4

又3x25x103x25x1

所以5x(3x2)(3x2)(3x2)(3x2)(2x2)2(3x25x)4246 3．若a,b满足ab1，且a2b21,则ab等于（ ）

A． －1 B． 0 C． D． 1 【分析】根据完全平方公式得出ab的值．

设 ∴ab1，a2b21，∴(ab)2a22abb21，所以ab0，故选B． 4．已知a2a40，则代数式a(2a1)(a2)(a2)的值是______．

【分析】：先将所求式子化简，然后将a2a4整体代入计算即可求答案．

a(2a1)(a2)(a2)2a2aa24a2a4

因为a2a4，所以∴原式＝4+4＝8．故答案为：8．

【高中先行这一步】

一、十字相乘法(常年江湖中行走，十字相乘法是行走江湖的必备轻身之术)

什么是十字相乘法？什么情况下适用？神秘的羊皮纸听说可以悟出来 功法残缺笔记:快问师傅吧，信息量太大了，无法在这里悟出来 (xa)(xb)x2(ab)xab 我们来完善残缺的十字分解法的功法： 十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常x2(ab)xab(xa)(xb) 数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 21.适应于形如axbxc的多项式分解因式， x2(ab)xab(xa)(xb) 22.可用判别式b4ac进行判定 1 a xa 据说：当Δ为完全平方数时，可在整数范围对该1 b xb 多项式进行十字相乘 【高中功法体验区】

体验1.把b2b12分解因式

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

注：分解二次项系数时，只取正因数，因为取负因数的结果与正因数结果相同.

b2b12 1 －3 1 4 结果 b2b12(b3)(b4) 体验2 把2x27x3分解因式.

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 注：分解二次项系数时，只取正因数，因为取负因数的结果与正因数结果相同. 3x220x12

1 －6 3 －2 结果 3x220x12(x6)(3x2)

体验3（等级晋级）把5x26xy8y2分解因式.

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8即可，而y2可分解成两个y，用十字交叉线分解： 反思:首先还是要体验多一个问题：(AxB)(CxD)ACx2(ADBC)xBD，然后找规律。

容易出现的几个典型问题：系数是带符号的，在写因式的时候，是横着写的。涉及有分数，注意会提公因式化整。

5x26xy8y2 结果 1 2y 5x26xy8y2(x2y)(5x4y) 5 －4y 【高中高级秘籍练级区】

1.分解因式：（1）x2x72 （2）6y219y15 （3）m2m (4)10(a2)229(a2)10 解：（1）x2x72(x8)(x9) （2）6y219y15(2y3)(3y5) （3）m2m(6m27m3)(2m3)(3m1) 761216167612

（4）注意，把多项式a2看为主元，则

10(a2)229(a2)10[5(a2)2][2(a2)5](5a8)(2a1) 反思：体验（3）小题，再习惯了整数的运算，突然出现的分数就显得很 二、还有哪些乘法公式可以帮助我们运算呢？

秘诀3：立方和公式 (ab)(a2abb2)a3b3； 秘诀:4：立方差公式 (ab)(a2abb2)a3b3；

秘诀:5：三数和平方公式 (abc)2a2b2c22(abbcac)；

本区为高手阅读区，童鞋勿越界： 秘诀:6：两数和立方公式 (ab)a3ab3abb； 秘诀:7：两数差立方公式 (ab)a3ab3abb． 论证秘诀3：(ab)(aabb)aababababbab 其他的怎样证明呢？来，让我们也展示自己的身手，我们并不是浪得虚名的。 22322223333322333223 1.分解因式体验：

体验1.8m3(2m)(42mm2) 体验2.x31(x1)(x2x1)

体验3.22x2y22(2x2yxy)(2xy)2

2.功法提升

体验1.(x1)(x1)(x2x1)(x2x1)．

222解法一：原式=(x21)(x1)x

=(x21)(x4x21)

=x61．

解法二：原式=(x1)(x2x1)(x1)(x2x1) =(x31)(x31) =x61．

体验2.已知abc4，abbcac4，求a2b2c2的值． 解： a2b2c2(abc)22(abbcac)8．

反思：引导学生的联想能力，熟悉概念公式结构，从结构寻找答案。

【华山之巅】我来测一测

1．把下列各式因式分解：

（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）4m24m15； （4）x2xy6y2 （5）x2(a1)xa 1.【解析】

（1）x2－3x＋2＝(x－1)(x－2) （2）x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3 ）4m24m15(2m3)(2m5) （4）x2xy6y2(x3y)(x2y) （5）x2(a1)xa＝(xa)(x1)

反思：涉参的十字相乘法，方法是不会变的