河海大学2009年博士研究生入学考试真题《概率论与数理统计》(最终)

(答案必需写在考点提供的答题纸上

)

科目代码 : 2003 科目名称：

概率论与数理统计

一、(13分) 设 , 是两个独立且从命同一分布的随机变量， i=1,2, 设X=max ( +,

),Y=min ( ,

的分布律为P{ =i}=1/2,

), 别离求 X,Y的分布律。

二、(10分) 设总体X的密度函数为 1 x 1 0< x<

f(x, )= 此中>0 的未知参数。 其它 0

1 2 X ,X ,...X n 是来自总体X的样本，试求未知参数 的矩估计量和极大似然估计量。

{

三、(14分) 由点(0,3) 任意作一直线与y轴交成角X,X从命( 求此直线与x轴交点的横坐标的期望和方差。

/ 2,/p2 ) 上的均匀分布，

四、(14分) 设(X,Y) 为从 D={(x,y):(x 1 )2+(y+2)2 <1} 中随机取出的一点的坐标。 1.求(X,Y) 的联合密度函数； 3.求条件期望E(Y|X)。

的条件密度； 2. 对任意给定的 下，求 Y

X=x

五、(14分) 将编号1,2,...n 的n只球随机地放进编号也是1,2,...n 的n只盒子中去， 一只盒子装一只球，求至少有一只球装入与球同号的盒子中的概率。

n

a=1

六、(14分) 设 X1,X2,...X n是来自总体X的样本， ai>0, i =1,2,...n,且 i ,试证，

i=1

1.

n

n

i=1

i i 是E a X X的无偏估计； 2. 在所有形如

i=1

ai Xi 的估计量中，以 X最有效。

七、(11分) 按照 某市公路交通部分某年的前6个月交通变乱记录( 合计238次), 统计 的星期一至星期日发生的交通变乱次数如下： 1 2 3 4 5 6 7 次数

36 23 29 31 34 60 25

(5)=11.071,( 局部 2分布上 分位点 2

(7)=14.067)2 2 (6)=12.592,

问交通变乱的发生是否与星期几无关 ( =0.05) ？ 八、(10分) 设X 1,X2,...X

6

是来自N(0,1) 的样本，求常数 a,b使统计量Y从命

a(X1+X 2+X3) ____________

Y=

(X4+X5)2+bX6 2

2

分布，

t 分布，F分布之一，并确定所从命分布的自由度。

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