三角形外接圆内接圆

一、求三角形的外接圆的半径

1、直角三角形

如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5 求△ABC的外接圆的半径. C解：∵AB＝13，BC＝12，AC＝5，

222

∴AB＝BC＋AC， ABO∴∠C＝90°，

∴AB为△ABC的外接圆的直径， ∴△ABC的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形

①已知一角和它的对边

例2如图，在△ABC 中，AB＝10，∠C＝100°， 求△ABC外接圆⊙O的半径.（用三角函数表示） C分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形.

AB解：作直径BD，连结AD.

OD则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90° ∴BD＝

AB10＝ sinDsin805. sin80∴△ABC外接圆⊙O的半径为

注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.

例3如图，已知，在△ABC 中，AB＝10，∠A＝70°，∠B＝50°

C求△ABC外接圆⊙O的半径.

D分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD，连结BD. OAB则∠D＝∠C＝180°－∠CAB－∠BAC＝60°，∠DBA＝90°

∴AD＝

AB10203 ＝＝

sinDsin603103. 3∴△ABC外接圆⊙O的半径为

②已知两边夹一角

例4如图，已知，在△ABC 中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60° 求△ABC外接圆⊙O的半径.

分析：考虑求出AB，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.

1则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE＝AC＝1，AE＝3，

2CEAODBBE＝BC－CE＝2，AB＝AE2BE2＝7

∴AD＝

AB27＝＝21 sinD3sin60∴△ABC外接圆⊙O的半径为

121. 3③已知三边

例5如图，已知，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15 求△ABC外接圆⊙O的半径.

分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，利用相似三角形就可以求出直径AD.

解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E. 则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C

∴△ADB∽△ACE ∴

2

2

2

CEAODBACAE ADAB2

2

2

2

2

2

设CE＝x, ∵AC-CE＝AE＝AB-BE ∴13-x＝15-(14-x) x=5,即CE＝5 ∴AE＝12 ∴

13126565 AD＝ ∴△ABC外接圆⊙O的半径为. AD1548二、求三角形的内切圆的半径

1、直角三角形

例6已知：在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c 求△ABC外接圆⊙O的半径.

解：可证四边形ODCE为正方形.设⊙O的半径为r， 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r， ∴(a-r)+(b-r)=c,

abcabc∴r=,即△ABC外接圆⊙O的半径为.

22AcOBbECaD2、一般三角形

①已知三边

例7已知：如图，在△ABC 中，AC＝13，BC＝14，AB＝15 求△ABC内切圆⊙O的半径r.

分析：考虑先求出△ABC的面积，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.

AFBODEC解：利用例5的方法，或利用海伦公式S△＝s(sa)(sb)(sc)(其中s=出S△ABC＝84，从而

111AB•r+BC•r+AC•r=84, ∴r=4 222abc)可求2②已知两边夹一角

例8已知：如图，在△ABC 中，cotB＝

4,AB＝5，BC＝6 3OBDCA求△ABC内切圆⊙O的半径r.

分析：考虑先通过解三角形，求出△ABC的面积及AC的长，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.

解：作△ABC的高AD.解直角三角形可得AD＝3，CD＝2，AC＝13， 因为

11131111AB•r+BC•r+AC•r=BC•AD, 可求得r=

62222③已知两角夹一边

例9已知：如图，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝45°,BC＝6 求△ABC内切圆⊙O的半径r.(精确到0.1) 分析：思路方法同上，读者可完成.

总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.

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