边坡稳定性计算中锚固力计入方式的讨论

1 问题的提出

预应力锚杆或锚索是边坡加固工程普遍应用的方法之一。锚杆或锚索提供的锚固力对滑体直接提供了抵抗滑动的力和力矩,同时增加了滑面上的法向应力,从而提高了滑动面的抗剪应力。在实际工程中,可对传统的极限平衡法加以改进,将锚固力作为条块上的集中荷载,计算在锚固力作用下的边坡的稳定。考虑到大部分极限平衡法都是针对滑动面建立力平衡方程,目前通常是将锚固力Pi施加于锚杆穿过的滑动面所在的条块底部,其他条块上Pi为零。然而这种方法会导致滑面正应力分布的不合理,滑面个别地方正应力急剧反常增加,因此计算过程在理论上不够合理[3],计算结果也不能保证在任何情况下都是可靠的。本文假设3种锚固力计入方式:(1)假设锚固力施加在锚杆的内端,即位于条块的底部;(2)假设锚固力施加在锚杆的外端,即位于条块的顶部;(3)假设锚固力均匀施加在锚杆穿越的条块内,作用点为条块中心线与锚杆的交点。使用Morgenstern-Price法和不平衡推力法计算锚固力作用下的安全系数K和满足一定安全系数条件所需的锚固力的大小,并对上述3种计入方式所得计算结果进行分析和比较。

2 基本公式

图1为一个具有任意滑面的边坡,作用于滑坡体上的力有:自重、地震力、孔隙水压力和锚固力。将滑体划分成若干垂直条块,其中的第i土条如图1(b)所示,其高度为hi,宽度为bi,底面倾角为αi。该土条上作用的力有重力Wi,地震力KcWi(Kc为地震影响系数),土条底面的法向反力Ni及阻力Ti(Ti=(Nitanφi+cibisecαi)/Fs,φi和ci分别为摩擦角和滑面的黏聚力,K为安全系数),条块间法向力Ei和Ei+1,条块间切向力Xi和Xi+1,孔隙水压力的合力Ui,锚固力Pi(锚固力作用点与底面的垂直距离为Hi)。

Morgenstern-Price法假设条块间法向力与切向力的比值用条间力函数f(x)和比例系

数λ的乘积表示,即Xi=λfiEi。

安全系数的计算公式为

图1 滑体与条块示意

比例系数λ的计算公式为

λ=

∑

n-1

i=1

[bi(Ei+Ei-1)+KcWihi-2PiHi]

∑

n-1

i=1

[bi(fiEi+fi-1Ei-1)]

(2)

式(2)中条块间法向力由下式计算

EiΦi=Ψi-1Ei-1Φi-1+KTi-Ri(3)

按照锚固力计入方式的不同,在式(1)和式(2)中选用不同的Pi和Hi。对于计入方式1,在锚杆穿

越滑面之点所在条块底面上Pi为集中荷载,Hi=0,其他Pi=0;计入方式2的Pi为锚杆穿越坡面之点

所在条块顶面的集中荷载,Hi分别为锚杆穿越坡面之点所在条块的高度,其他Pi=0;计入方式3将集

中荷载均匀分布在锚杆穿越滑体过程中的若干条块上,在锚杆与条块中心线交点上沿

锚杆对条块施加

荷载,Pi=P/n(n为锚杆所穿越滑体条块数量),Hi分别为锚杆与这些条块中心线交点到底面的垂直

距离,其他Pi=0。

不平衡推力法假定条间推力的作用方向与上一条块的滑面方向平行,安全系数的计算公式为

K=

∑

n-1

i=1

Ri∏

n-1

j=1

Ψj+Rn

∑

n-1

i=1

Ti∏

n-1

j=1

Ψj+Tn

(4)

式中:Ri=[Wicosαi-(KcWi+Usi-Usi-1)sinαi+Pisin(ωi-αi)-Ui]·tanφi+cibisecαi;Ti=[Wisinαi-

(KcWi+Usi-Usi-1)cosαi+Picos(ωi-αi)-Ui];Ψi=cos(αi-1-αi)-sin(αi-1-αi)tanφi/K;Usi-1和Usi

分别为条块左、右侧面的孔隙水压力。

式(4)中Pi的选用与上述Morgenstern-Price法相同y

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3 算例分析

取如图2所示边坡,地震影响系数为0·1。

图2 土坡剖面示意

表1为采用Morgenstem-Price法计算一定锚固力作用下

的安全系数K。由表1可知,在本算例中,以计入方式1所

得安全系数K1在3种计入方式中是最保守的,这是因为计

入方式1忽略了锚固力对滑体提供抵抗滑动的力矩作用,

后两种计入方式所得安全系数K2、K3与K1的差值在11%

和4%以内,同时随锚固力的增大,上述差值也逐渐增大,

但计入方式3增大的幅度小于计入方式2。此外采用计入

方式1在锚固力P=400kN时锚固力作用点以下的条块间

就出现了小于零的水平条间力-2·976kN,但采用计入方式

3直至P=600kN时滑体内最小水平条间力14·52kN,此时采用前两种计入方式所得的条块间最小水平

条间力则达-0·84和-40·64kN,可见采用计入方式3更为符合实际情况。

表1 不同计入方式安全系数比较(Morgenstern-Price法)

P/kNK1K2K3(K2-K1)/K1(%) (K3-K1)/K1(%)

0 1.059 1.059 1.059 0.00 0.00

50 1.098 1.121 1.100 2.11 0.13

100 1.138 1.181 1.141 3.74 0.26

150 1.179 1.239 1.184 5.02 0.41

200 1.221 1.296 1.229 6.09 0.61

250 1.265 1.353 1.275 6.90 0.77

300 1.310 1.410 1.323 7.62 0.98

350 1.356 1.468 1.373 8.26 1.23

400 1.403*1.527 1.425 8.83 1.52

450 1.452*1.588 1.479 9.37 1.84

500 1.502*1.650 1.535 9.89 2.20

550 1.553*1.714 1.593 10.40 2.59

600 1.606*1.781*1.654 10.91 3.03

注:(1)K1、K2和K3分别为上述3种加载方式所得安全系数;(2)*表示体内出现了小于零的水平条间力。

图3~图5是P=300kN时,由Morgenstem-Price法3种计入方式所得到的条间力和滑面正应力分布

特征。由图可知,单纯地将锚固力作为集中荷载施加在条块的顶部或底部,都会在所施加的条块底部引

起滑面正应力的急剧增大,水平条间力E和垂直条间力X也发生了急速的变化,与此同时计入方式3

则可以很好地避免滑面正应力和条间力分布出现这种不合理的情况。尽管不合理的条间力分布对应的

安全系数与合理的条间力分布对应的安全系数之间只有很小的差别[7],但前两种计入

方式造成的这种

明显的不合理性将难以保证计算总是合理有效的。

图3 条间力和滑面正应力分布特征(计入方式1)

表2为采用不平衡推力法计算一定锚固力作用下的安全系数K。由表2可知,在本算例中,由不平

衡推力法也可以得到与Morgenstern-Price法所得相类似的结论,但后两种计入方式所得安全系数K2、K3

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与K1的差值大于Morgenstem-Price法所得的差值,分别在51%和16%以内,尤其是采用计入方式2在锚

固力较大时,所得安全系数远远超过了另外两种计入方式所得,这在工程中显然是难以接受的。

图4 条间力和滑面正应力分布特征(计入方式2)

图5 条间力和滑面正应力分布特征(计入方式3)

图6 三种计入方法条块间推力分布比较(不平衡推力法)

表2 不同计入方式安全系数比较(不平衡推力法)

P/kNK1K2K3

(K2-K1)/K1

(%)

(K3-K1)/K1

(%)

0 1.016 1.016 1.016 0·00 0·00

50 1.053 1.092 1.065 3.752 1.156

100 1.091 1.172 1.116 7.425 2.232

150 1.129 1.257 1.169 11.332 3.512

200 1.170 1.347 1.225 15.192 4.719

250 1.211 1.443 1.283 19.124 5.950

300 1.254*1.545 1.345 23.147 7.207

350 1.298*1.653 1.409 27.282 8.496

400 1.344*1.768 1.476 31.553 9.820

450 1.391*1.892*1.547 35.985 11.186

500 1.440*2.025*1.621 40.607 12.595

550 1.490*2.167*1.700 45.452 14.056

600 1.542*2.321*1.782*50.555 15.572

注:(1)K1、K2和K3分别为上述3种加载方式所得安全

系数;(2)*表示体内出现了小于零的水平条间力。

图7 不同安全系数所需锚固力比较

(Morgenstern-Price法)

图8 不同安全系数所需锚固力比较

(不平衡推力法)

图6是P=300kN和P=600kN时,3种计入方式所得到的条间推力条间分布。由图6可知,对于上

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述两种情况,采用计入方式3时,条间推力虽然也在锚杆的两端出现拐点,但在所穿越的条块内基本上

是连续变化的,而另外两种计入方式则在在锚固力施加的位置出现了较大的变化。此外,P=600kN时,

采用计入方式3在锚固力作用点以下的条块间的最小推力为-0·57kN,而另外两种计入方式的最小推

力则分别为-100·84和-44·95kN。

对于不稳定或是不满足稳定性要求的边坡,需要施加一定的锚固力使其安全系数达到要求。图7、

图8分别为采用Morgenstem-Price法和不平衡推力法计算满足一定安全系数要求所需的锚固力大小。

对于Morgenstem-Price法,在本算例中,以计入方式1所需的锚固力为准,当安全系数K≤1·8时,另外两

种计入方式所需的锚固力与前者的差值分别在38%和8%以内,由此可见,虽然采用3种计入方法计算

得到的安全系数差别不大,但计算满足一定安全系数要求所需的锚固力时,计入方式2与其他两种计入

方式之间就有了明显的差异,使用不平衡推力法计算时这种差异更加明显。

4 结论

(1)采用Morgenstem-Price法计算锚固力作用下边坡的安全系数K时,3种计入方式所得安全系数的

差别不大,与目前通常将锚固力作为集中荷载施加在条块底部的计入方式1相比较,文中提及的另外两

种计入方式所得安全系数的差值在11%和4%以内,但计入方式3所得条间力和滑面正应力分布更为

合理;(2)采用不平衡推力法计算锚固力作用下边坡的安全系数K时,3种计入方式所得安全系数有一

定的差别,与目前通常将锚固力作为集中荷载施加在条块底部的计入方式1相比较,文中提及的另外两

种计入方式所得安全系数的差值在51%和16%以内,但第3种计入方式的条间推力更

为合理;(3)计算

满足一定安全系数要求所需的锚固力大小时,Morgenstem-Price法采用第1和第3种计入方式所得锚固

力较为接近,第2种计入方式的差别是最大的;不平衡推力法采用3种计入方式计算时所得锚固力的差

别则较大。

参 考 文 献:

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[ 5 ] GB50021-2001,岩土工程勘察设计规范[S].

[ 6 ] 朱大勇,李焯芬,黄茂松,等.对三种著名边坡稳定性计算方法的改进[J].岩石力学与工程学报,2005,24(2):

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