数学人教A版选修4-5优化练习：第一讲 一 不等式 3 三个正数的算术-几何平均不等式 Word

1．设x，y，z>0且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( ) A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2] C．[lg 6，＋∞)

D．[3lg 2，＋∞)

解析：∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)， 而xyz≤

x＋y＋z33

＝23

， ∴lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号． 答案：B

2．函数y＝x2·(1－5x)(0≤x≤1

5)的最大值为( ) A.4675 B.2657 C.4645

D.2675

解析：∵0≤x≤1

5，∴1－5x≥0， ∴y＝x2·(1－5x)＝455

25[2x·2x·(1－5x)]

5x＋5

≤4[22x＋1－5x34253]＝

675. 当且仅当5

2x＝1－5x， 即x＝2

15时取“＝”，故选A. 答案：A

3．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列不等式正确的是( A．V≥π B．V≤π C．V≥1

8π

D．V≤1

8π 解析：如图，设圆柱半径为R，高为h，则4R＋2h＝6，即2R＋h＝3. V＝S·h＝πR2·h＝π·R·R·h≤π

R＋R＋h33



＝π，当且仅当R＝R＝h＝1时

) 取等号． 答案：B

111

－1·－1，则必有( ) 4．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，若M＝a－1·bc1

A．0≤M<8 C．1≤M<8

1

B.8≤M<1 D．M≥8

b＋ca＋ca＋ba＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c

·＝解析：M＝－1－1－1abccab8bc·ac·ab

≥＝8，

abc

当且仅当a＝b＝c时等号成立． 答案：D

5．已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是( ) 3442

A．y＝x＋2x＋x3≥3x·2x·x3＝6，∴ymin＝6

2

31133

B．y＝2＋x＋x≥32·x·＝32，∴y＝32 min

x1

C．y＝2＋x＋x≥4，∴ymin＝4

13x＋1－x＋1－2x38

D．y＝x(1－x)(1－2x)≤3[]＝81，

38

∴ymax＝81 a＋b＋c3

解析：A，B，D在使用不等式a＋b＋c≥3abc(a，b，c∈R＋)和abc≤(3)3(a，1b，c∈R＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C中，∵x>0，∴y＝2＋x＋＝2

x11

＋(x＋x)≥2＋2＝4，当且仅当x＝x，即x＝1时取等号． 答案：C

1

6．若x>0，则函数y＝4x2＋x的最小值是________． 解析：∵x>0，

1112

∴y＝4x＋x＝4x＋2x＋2x 2

≥3

3

114x2·2x·2x＝3.

1

当且仅当4x2＝2x(x>0)， 1

即x＝2时，取“＝”， 1

∴当x＝2时，

1

y＝4x2＋x(x>0)的最小值为3. 答案：3

7．若a>2，b>3，则a＋b＋

1

的最小值为________．

a－2b－3

解析：∵a>2，b>3，∴a－2>0，b－3>0， 1

∴a＋b＋

a－2b－3＝(a－2)＋(b－3)＋

3

1

＋5

a－2b－3

≥3

1

a－2·b－3·＋5

a－2b－3

＝3＋5＝8(当且仅当a＝3，b＝4时等号成立)． 答案：8

8．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________．

解析：设底面边长为x，高为h，则 32

h＝V， 4x·

43V

所以h＝3x2， 3

又S表＝2·4x2＋3xh

343V343V＝2x2＋3x·3x2＝2x2＋x

328V324V4V＝2x＋x＝2x＋x＋x

333≥2×316V2＝33×2V2，

4V3

当且仅当x2＝x，即x＝4V时，S表最小． 3答案：4V

9．已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋证明：因为x>0，y>0，x－y>0， 2x＋

1

－2y

x－2xy＋y221

≥2y＋3.

x－2xy＋y22＝2(x－y)＋

1

x－y21

x－y2＝(x－y)＋(x－y)＋

3

≥3x－y2

1

＝3， x－y2所以2x＋

1

≥2y＋3.

x2－2xy＋y210．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值．

解析：设正六棱柱容器底面边长为x(x>0)，高为h，由图可有2h＋3x＝3， 3

∴h＝2(1－x)，

V＝Sh＝6×3

2底·4x·h ＝33x2·322·(1－x)

＝23×33xx

2×2×2×(1－x) ≤9×x＋x＋1－x223＝1. 33

当且仅当x＝x

22＝1－x， 即x＝2

3时，等号成立．

所以当底面边长为2时，正六棱柱容器的容积最大，为1

33.

[B组 能力提升]

21．已知a，b，c∈R，x＝a＋b＋c3

a2＋b＋c2＋3，y＝abc，z＝ 3

，则(A．x≤y≤z B．y≤x≤z C．y≤z≤x

D．z≤y≤x

解析：∵a，b，c∈Ra＋b＋c3

＋，∴

3≥abc，

∴x≥y，又x2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac2229，z2

＝3a＋3b＋3c9

，

∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 三式相加得：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. ∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2， ∴z2≥x2，∴z≥x，即y≤x≤z. 答案：B

2．若实数x，y满足xy>0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是( ) A．1 B．2 C．3

D．4

解析：xy＋x2＝11

2xy＋2xy＋x2

) 3113134

222

≥3 x＝3

2xy·2xy·4xy＝34＝3. 答案：C

π

3．设x∈0，2，则函数y＝4sin2x·cos x的最大值为________．

解析：∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x

sin2x＋sin2x＋2cos2x3864

＝8(sinx·sinx·2cosx)≤8()＝8×

327＝27，

2

2

2

64

∴y2≤27，当且仅当sin2x＝2cos2x， 83

即tan x＝2时，等号成立．∴ymax＝9. 83答案：9 111

4．设正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．

3a＋23b＋23c＋2解析：∵a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1， ∴(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)＝9.

111∴(＋＋)·[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋2)]≥ 3a＋23b＋23c＋233·31

·33a＋23b＋23c＋2＝9.

3a＋23b＋23c＋2

1

当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立． 111即＋＋≥1. 3a＋23b＋23c＋2

111故＋＋的最小值为1. 3a＋23b＋23c＋2答案：1

111

5．设a，b，c为正实数，求证：a3＋b3＋c3＋abc≥23. 证明：因为a，b，c为正实数，由算术—几何平均不等式可得 3111111

a3＋b3＋c3≥3 a3·b3·c3，

1113

即a3＋b3＋c3≥abc(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)． 1113

所以a3＋b3＋c3＋abc≥abc＋abc. 3

而abc＋abc≥2

3222·abc＝23(当且仅当abc＝3时，等号成立)， abc

1116

所以a3＋b3＋c3＋abc≥23(当且仅当a＝b＝c＝3时，等号成立)．

6．已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小．

解析：设船速为V千米/小时，燃料费为A元/小时，则依题意有A＝k·V3，且有330＝k·103，∴k＝100. 3∴A＝100V3.

1

设每千米的航行费用为R，需时间为V小时， 13332480∴R＝(V＋480)＝V＋

V100100V3240240＝100V2＋V＋V ≥3

3

32240240

100V·V·V＝36.

3240

当且仅当100V2＝V，即V＝20时取最小值．

答：轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．