一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. −6的相反数是( )
A. −6
1
B. −6
C. 6
1
D. 6
2. 如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是
( )
A.
B.
C.
D.
3. 下列说法中，正确的是( )
A. 调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查 B. “太阳东升西落”是不可能事件
C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图 D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次
4. 下列计算正确的是( )
A. 𝑎7÷𝑎5=𝑎2 C. 3𝑎2⋅2𝑎3=6𝑎6
B. 5𝑎−4𝑎=1 D. (𝑎−𝑏)2=𝑎2−𝑏2
5. 在平面直角坐标系中，点(5,1)关于原点对称的点的坐标是( )
A. (−5,1) B. (5,−1) C. (1,5) D. (−5,−1)
6. 《义务教育课程标准(2022年版)》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出
明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4.则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 3，4 B. 4，3 C. 3，3 D. 4，4
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7. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活
动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本𝑥本，则购买乙种读本的费用为( )
A. 8𝑥元 B. 10(100−𝑥)元 C. 8(100−𝑥)元 D. (100−8𝑥)元
8. 如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐸//𝐶𝐹，∠𝐵𝐴𝐸=75°，则∠𝐷𝐶𝐹的度数为( )
A. 65° B. 70° C. 75° D. 105°
9. 如图，𝑃𝐴，𝑃𝐵是⊙𝑂的切线，𝐴、𝐵为切点，若∠𝐴𝑂𝐵=128°，则∠𝑃的度数为( )
A. 32° B. 52° C. 64° D. 72°
10. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，按以下步骤作图：
①分别过点𝐴、𝐵为圆心，大于2𝐴𝐵的长为半径画弧，两弧交于𝑃、𝑄两点； ②作直线𝑃𝑄交𝐴𝐵于点𝐷；
③以点𝐷为圆心，𝐴𝐷长为半径画弧交𝑃𝑄于点𝑀，连接𝐴𝑀、𝐵𝑀．
若𝐴𝐵=2√2，则𝐴𝑀的长为( )
1
A. 4 B. 2 C. √3 D. √2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若式子√𝑥−19在实数范围内有意义，则实数𝑥的取值范围是______．
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12. 分式方程𝑥=𝑥+3的解是______．
13. 如图，𝐴、𝐵、𝐶是⊙𝑂上的点，𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，垂足为点𝐷，
且𝐷为𝑂𝐶的中点，若𝑂𝐴=7，则𝐵𝐶的长为______．
25
14. 关于𝑥的一元二次方程𝑥2+2𝑥+𝑡=0有两个不相等的实数根，则实数𝑡的值为
______．
15. 为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1000名学生中，
随机抽取了100名学生进行调查．结果显示有95名学生知晓．由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有______名．
16. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被
广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”.通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：
𝑌𝑌𝐷𝑆(永远的神)：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； 𝐷𝐷𝐷𝐷(懂的都懂)：2200等于2002； 𝐽𝑋𝑁𝐷(觉醒年代)：2200的个位数字是6；
𝑄𝐺𝑌𝑊(强国有我)：我知道210=1024，103=1000，所以我估计2200比1060大． 其中对2200的理解错误的网友是______(填写网名字母代号)．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分） 17. 计算：|−4|+(3)−1−(√2)2+20350． 18. 解不等式组：{
3𝑥>−8−𝑥①
．
2(𝑥−1)≤6②
1
19. 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区
𝐴𝐵表示该小区一段长为20𝑚的斜坡，环境进行优化改造．如图，坡角∠𝐵𝐴𝐷=30°，
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𝐵𝐷⊥𝐴𝐷于点𝐷.为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°． (1)求该斜坡的高度𝐵𝐷；
(2)求斜坡新起点𝐶与原起点𝐴之间的距离．(假设图中𝐶，𝐴，𝐷三点共线)
20. 2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为
“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表． 成绩𝑥/分 60≤𝑥<70 70≤𝑥<80 80≤𝑥<90 90≤𝑥<100 频数 15 𝑎 45 60 频率 0.1 0.2 𝑏 𝑐 (1)表中𝑎=______，𝑏=______，𝑐=______； (2)请补全频数分布直方图；
(3)若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．
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21. 如图，𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐵⊥𝐴𝐵，𝐶𝐷⊥𝐴𝐷，垂足分别为𝐵，𝐷．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶；
(2)若𝐴𝐵=4，𝐶𝐷=3，求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．
22. 电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给
你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”． ①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．______ ②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．______ ③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．______
(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．
23. 如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂，𝐴𝐵=𝐴𝐷．
(1)求证：𝐴𝐶⊥𝐵𝐷；
(2)若点𝐸，𝐹分别为𝐴𝐷，𝐴𝑂的中点，连接𝐸𝐹，𝐸𝐹=2，𝐴𝑂=2，求𝐵𝐷的长及四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长．
3
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24. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝐸，点𝐹在边𝐴𝐷上，连接
𝐸𝐹．
(1)求证：△𝐴𝐵𝐸∽△𝐷𝐶𝐸；
⏜=𝐶𝐵⏜，∠𝐷𝐹𝐸=2∠𝐶𝐷𝐵时，则−=______；+=______；+(2)当𝐷𝐶𝐵𝐸𝐶𝐸𝐴𝐵𝐴𝐷𝐴𝐵
1𝐴𝐷
𝐴𝐸
𝐷𝐸
𝐴𝐹
𝐹𝐸
1
−
1𝐴𝐹
=______.(直接将结果填写在相应的横线上)
(3)①记四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，△𝐴𝐵𝐸，△𝐶𝐷𝐸的面积依次为𝑆，𝑆1，𝑆2，若满足√𝑆=√𝑆1+√𝑆2，试判断△𝐴𝐵𝐸，△𝐶𝐷𝐸的形状，并说明理由．
⏜=𝐶𝐵⏜，𝐴𝐵=𝑚，𝐴𝐷=𝑛，𝐶𝐷=𝑝时，𝑛，𝑝的式子表示𝐴𝐸⋅𝐶𝐸． 试用含𝑚，②当𝐷𝐶
25. 若关于𝑥的函数𝑦，当𝑡−2≤𝑥≤𝑡+2时，函数𝑦的最大值为𝑀，最小值为𝑁，令函
数ℎ=
𝑀−𝑁2
1
1
，我们不妨把函数ℎ称之为函数𝑦的“共同体函数”．
(1)①若函数𝑦=4044𝑥，当𝑡=1时，求函数𝑦的“共同体函数”ℎ的值； ②若函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0,𝑘,𝑏为常数)，求函数𝑦的“共同体函数”ℎ的解析式； (2)若函数𝑦=𝑥(𝑥≥1)，求函数𝑦的“共同体函数”ℎ的最大值；
(3)若函数𝑦=−𝑥2+4𝑥+𝑘，是否存在实数𝑘，使得函数𝑦的最大值等于函数𝑦的“共同体函数“ℎ的最小值．若存在，求出𝑘的值；若不存在，请说明理由．
2
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答案解析
1.【答案】𝐷
【解析】解：−6的相反数是6， 故选：𝐷．
根据相反数的意义，即可解答．
本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2.【答案】𝐵
【解析】解：根据主视图的概念，可知选B， 故选：𝐵．
主视图是从前往后得到的正投影．
本题考查三视图的概念，掌握概念是解题的关键．
3.【答案】𝐴
【解析】解：𝐴、调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查，故A符合题意； B、“太阳东升西落”是必然事件，故B不符合题意；
C、为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故C不符合题意；
D、任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数可能是13次，故D不符合题意； 故选：𝐴．
根据概率的意义，全面调查与抽样调查，条形统计图，随机事件，逐一判断即可解答． 本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，条形统计图，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
4.【答案】𝐴
【解析】解：∵𝑎7÷𝑎5=𝑎7−5=𝑎2， ∴𝐴的计算正确； ∵5𝑎−4𝑎=𝑎， ∴𝐵的计算不正确； ∵3𝑎2⋅2𝑎3=6𝑎5，
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∴𝐶选项的计算不正确； ∵(𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2， ∴𝐷选项的计算不正确， 综上，计算正确的是𝐴， 故选：𝐴．
利用同底数幂的除法法则，合并同类项的法则，单项式乘以单项式的法则和完全平方公式对每个选项的结论作出判断即可得出结论．
本题主要考查了同底数幂的除法法则，合并同类项的法则，单项式乘以单项式的法则和完全平方公式，正确使用上述法则与公式进行运算是解题的关键．
5.【答案】𝐷
【解析】解：根据中心对称的性质，可知：点(5,1)关于原点𝑂中心对称的点的坐标为(−5,−1)． 故选：𝐷．
根据平面直角坐标系中任意一点(𝑥,𝑦)，关于原点的对称点是(−𝑥,−𝑦)，然后直接作答即可．
本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．
6.【答案】𝐴
【解析】解：∵这7个数据中出现次数最多的数据是3， ∴这组数据的众数是3．
把这组数据按从小到大顺序排为： 3，3，3，4，4，5，6， 位于中间的数据为4， ∴这组数据的中位数为4， 故选：𝐴．
这7个数据中出现次数最多的数据为众数是3，中位数是把这组数据按从小到大的顺序排，位于中间的数据是4．
本题主要考查众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，中位数是指将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平
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均数这这组数据的中位数．
7.【答案】𝐶
【解析】解：设购买甲种读本𝑥本，则购买乙种读本的费用为：8(100−𝑥)元． 故选：𝐶．
直接利用乙的单价×乙的本书=乙的费用，进而得出答案． 此题主要考查了列代数式，正确表示出乙的本书是解题关键．
8.【答案】𝐶
【解析】解：如图：
∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴∠𝐷𝐺𝐸=∠𝐵𝐴𝐸=75°， ∵𝐴𝐸//𝐶𝐹，
∴∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐷𝐺𝐸=75°， 故选：𝐶．
根据平行线性质，可得∠𝐷𝐺𝐸=∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐺𝐸=75°．
本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
9.【答案】𝐵
【解析】解：∵𝑃𝐴，𝑃𝐵是⊙𝑂的切线，𝐴、𝐵为切点， ∴∠𝑂𝐴𝑃=∠𝑂𝐵𝑃=90°， ∵∠𝐴𝑂𝐵=128°，
∴∠𝑃=360°−∠𝑂𝐴𝑃−∠𝑂𝐵𝑃−∠𝑃=52°， 故选：𝐵．
利用切线的性质可得∠𝑂𝐴𝑃=∠𝑂𝐵𝑃=90°，然后利用四边形内角和是360°，进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
10.【答案】𝐵
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【解析】解：由作图可知，𝑃𝑄是𝐴𝐵的垂直平分线， ∴𝐴𝑀=𝐵𝑀，
∵以点𝐷为圆心，𝐴𝐷长为半径画弧交𝑃𝑄于点𝑀， ∴𝐷𝐴=𝐷𝑀=𝐷𝐵，
∴∠𝐷𝐴𝑀=∠𝐷𝑀𝐴，∠𝐷𝐵𝑀=∠𝐷𝑀𝐵， ∵∠𝐷𝐴𝑀+∠𝐷𝑀𝐴+∠𝐷𝐵𝑀+∠𝐷𝑀𝐵=180°， ∴2∠𝐷𝑀𝐴+2∠𝐷𝑀𝐵=180°，
∴∠𝐷𝑀𝐴+∠𝐷𝑀𝐵=90°，即∠𝐴𝑀𝐵=90°， ∴△𝐴𝑀𝐵是等腰直角三角形， ∴𝐴𝑀=
√2𝐴𝐵2
=
√22
×2√2=2，
故选：𝐵．
证明△𝐴𝑀𝐵是等腰直角三角形，即可得到答案．
本题考查尺规作图中的相关计算问题，解题的关键是根据作图证明△𝐴𝑀𝐵是等腰直角三角形．
11.【答案】𝑥≥19
【解析】解：由题意得： 𝑥−19≥0， 解得：𝑥≥19， 故答案为：𝑥≥19．
根据二次根式√𝑎(𝑎≥0)，可得𝑥−19≥0，然后进行计算即可解答．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式√𝑎(𝑎≥0)是解题的关键．
12.【答案】𝑥=2
【解析】解：方程的两边同乘𝑥(𝑥+3)，得 2(𝑥+3)=5𝑥， 解得𝑥=2．
检验：把𝑥=2代入𝑥(𝑥+3)=10≠0，即𝑥=2是原分式方程的解． 故原方程的解为：𝑥=2． 故答案为：𝑥=2．
观察可得最简公分母是𝑥(𝑥+3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
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此题考查了分式方程的求解方法．注意：①解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，②解分式方程一定注意要验根．
13.【答案】7
【解析】解：∵𝑂𝐴=𝑂𝐶=7，且𝐷为𝑂𝐶的中点， ∴𝑂𝐷=𝐶𝐷， ∵𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，
∴∠𝑂𝐷𝐴=∠𝐶𝐷𝐵=90°，𝐴𝐷=𝐵𝐷， 在△𝐴𝑂𝐷和△𝐵𝐶𝐷中， 𝑂𝐷=𝐶𝐷
{∠𝐴𝐷𝑂=∠𝐵𝐷𝐶 𝐴𝐷=𝐵𝐷
∴△𝐴𝑂𝐷≌△𝐵𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐶=𝑂𝐴=7． 故答案为：7．
根据已知条件证得△𝐴𝑂𝐷≌△𝐵𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆)，则𝐵𝐶=𝑂𝐴=7．
本题主要考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟知垂径定理内容．
14.【答案】𝑡<1
【解析】解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2+2𝑥+𝑡=0有两个不相等的实数根， ∴𝛥>0，即22−4×1×𝑡>0， 解得𝑡<1， 故答案为：𝑡<1．
根据一元二次方程根的判别式可得𝛥=22−4×1×𝑡>0，然后解不等式求出𝑚的取值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：当𝛥>0时，方程有两个不相等的实数根；当𝛥=0时，方程有两个相等的实数根；当𝛥<0时，方程无实数根．
15.【答案】950
【解析】解：估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有：1000×100=950(名)． 故答案为：950．
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95
用总人数乘以样本中知晓“强省会战略”的人数所占比例即可得．
本题主要考查样本估计总体，熟练掌握样本估计总体的思想及计算方法是解题的关键．
16.【答案】𝐷𝐷𝐷𝐷，
【解析】解：(1)∵2200就是200个2相乘， ∴𝑌𝑌𝐷𝑆(永远的神)的说法正确；
∵2200就是200个2相乘，2002是2个200相乘， ∴2200不等于2002，
∴𝐷𝐷𝐷𝐷(懂的都懂)说法不正确；
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…， ∴2𝑛的尾数2，4，8，6循环， ∵200÷4=50， ∴2200的个位数字是6， ∴𝐽𝑋𝑁𝐷(觉醒年代)说法正确； ∵210=1024，103=1000，
∴2200=(210)20=(1024)20，1060=(103)20=100020， ∵1024>1000， ∴2200>1060，
∴𝑄𝐺𝑌𝑊(强国有我)说法正确； 故答案为：𝐷𝐷𝐷𝐷．
由乘方的定义可知，2200就是200个2相乘，2002是2个200相乘；通过计算可得2𝑛的尾数2，4，8，6循环，由循环规律可确定2200的个位数字是6；由积的乘方运算可得2200=(210)20=(1024)20，1060=(103)20=100020，由此可得2200>1060，从而可求解． 本题考查实数的运算，熟练掌握乘方的性质，积的乘方运算法则，尾数的循环规律是解题的关键．
17.【答案】解：|−4|+(3)−1−(√2)2+20350
=4+3−2+1 =6．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，实数的运算，准确熟练地化简各式是解
1
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题的关键．
18.【答案】解：{
3𝑥>−8−𝑥①
，
2(𝑥−1)≤6②
解不等式①得：𝑥>−2， 解不等式②得：𝑥≤4，
∴原不等式组的解集为：−2<𝑥≤4．
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
19.【答案】解：(1)在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷
中，∵∠𝐴𝐷𝐵=90°，∠𝐵𝐴𝐷=30°，𝐵𝐴=20𝑚， ∴𝐵𝐷=2𝐵𝐴=10(𝑚)， 答：该斜坡的高度𝐵𝐷为10𝑚；
(2)在△𝐴𝐶𝐵中，∠𝐵𝐴𝐷=30°，∠𝐵𝐶𝐴=15°， ∴∠𝐶𝐵𝐴=15°， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐶=20(𝑚)，
答：斜坡新起点𝐶与原起点𝐴之间的距离为20𝑚．
【解析】(1)根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
(2)在△𝐴𝐶𝐷中，根据∠𝐶𝐵𝐷=30°，∠𝐶𝐴𝐵=15°，求出𝐴𝐶=𝐴𝐵，从而得出𝐴𝐶的长． 本题主要考查坡度坡角的定义及解直角三角形，得到𝐴𝐵=𝐴𝐶是解题的关键．
1
20.【答案】30 0.3 0.4
(1)由题意得：𝑎=150−15−45−60=30，𝑏=45÷150=0.3，𝑐=60÷【解析】解：150=0.4，
故答案为：30，0.3，0.4； (2)补全频数分布直方图如下：
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(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种， ∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为12=2．
(1)由抽取的人数减去其它三个组的频数得出𝑎的值，再由频率的定义求出𝑏、𝑐即可； (2)由(1)中𝑎的值，补全频数分布直方图即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6
1
21.【答案】(1)证明：∵𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶， ∵𝐶𝐵⊥𝐴𝐵，𝐶𝐷⊥𝐴𝐷， ∴∠𝐵=90°=∠𝐷， 在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐶中， ∠𝐵=∠𝐷
{∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶， 𝐴𝐶=𝐴𝐶
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶(𝐴𝐴𝑆)；
(2)解：由(1)知：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，
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∴𝐵𝐶=𝐶𝐷=3，𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝐷𝐶， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=×4×3=6，
2
2
1
1
∴𝑆△𝐴𝐷𝐶=6，
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆△𝐴𝐷𝐶=12， 答：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是12．
(1)由𝐴𝐶平分∠𝐵𝐴𝐷，𝐶𝐷⊥𝐴𝐷，【解析】得∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶，根据𝐶𝐵⊥𝐴𝐵，得∠𝐵=90°=∠𝐷，用𝐴𝐴𝑆可得△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶；
(2)由(1)△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐶，𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝐷𝐶，得𝐵𝐶=𝐶𝐷=3，求出𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=6，即可得四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是12．
本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
1
22.【答案】√ × ×
【解析】解：(1)设“三多“的每群狗有𝑥条，则“一少“的狗有(300−3𝑥)条， 300−3𝑥>0
根据题意得：{，
300−3𝑥<𝑥解得75<𝑥<100， ∵𝑥为奇数，
∴𝑥可取77，79，81......99，共12个， ∴①正确，②③错误， 故答案为：√，×，×；
(2)设“三多“的每群狗有𝑚条，“一少“的狗有𝑛条， 3𝑚+𝑛=300
根据题意得：{，
𝑚−𝑛=40𝑚=85解得{，
𝑛=45
答：“三多“的每群狗有85条，“一少“的狗有45条．
(1)设“三多“的每群狗有𝑥条，则“一少“的狗有(300−3𝑥)条，可得75<𝑥<100，又𝑥为奇数，即知𝑥可取77，79，81......99，共12个，从而可判断①正确，②③错误； 3𝑚+𝑛=300
(2)设“三多“的每群狗有𝑚条，“一少“的狗有𝑛条，可得：{，即可解
𝑚−𝑛=40得“三多“的每群狗有85条，“一少“的狗有45条．
本题考查不等式组及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式组和方程组．
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23.【答案】(1)证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，𝐴𝐵=𝐴𝐷，
∴▱𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形， ∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷；
(2)解：∵点𝐸，𝐹分别为𝐴𝐷，𝐴𝑂的中点， ∴𝐸𝐹是△𝐴𝑂𝐷的中位线， ∴𝑂𝐷=2𝐸𝐹=3，
由(1)可知，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，
∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝐵𝐷=2𝑂𝐷=6，
在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐷中，由勾股定理得：𝐴𝐷=√𝐴𝑂2+𝑂𝐷2=√22+32=√13， ∴菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长=4𝐴𝐷=4√13．
【解析】(1)由菱形的判定得▱𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，再由菱形的性质即可得出结论； (2)由三角形中位线定理得𝑂𝐷=2𝐸𝐹=3，再由菱形的性质得𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝐵𝐷=2𝑂𝐷=6，然后由勾股定理得𝐴𝐷=√13，即可求出菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长． 本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】0 1 0
⏜=𝐴𝐷⏜， 【解析】(1)证明：∵𝐴𝐷
∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐵𝐷，即∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐷𝐶𝐸， 又∵∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐴𝐸𝐵， ∴△𝐴𝐵𝐸∽△𝐷𝐶𝐸； (2)解：∵△𝐴𝐵𝐸∽△𝐷𝐶𝐸， ∴𝐷𝐶=𝐶𝐸=𝐷𝐸， ∴𝐴𝐸⋅𝐶𝐸=𝐵𝐸⋅𝐷𝐸， ∴𝐵𝐸−𝐶𝐸=
𝐴𝐸
𝐷𝐸
𝐴𝐸⋅𝐶𝐸−𝐵𝐸⋅𝐷𝐸
𝐵𝐸⋅𝐶𝐸
𝐴𝐵
𝐵𝐸
𝐴𝐸
=0，
∵∠𝐶𝐷𝐵+∠𝐶𝐵𝐷=180°−∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐷𝐴𝐵=2∠𝐶𝐷𝐵， 又∵∠𝐷𝐹𝐸=2∠𝐶𝐷𝐵， ∴∠𝐷𝐹𝐸=∠𝐷𝐴𝐵， ∴𝐸𝐹//𝐴𝐵， ∴∠𝐹𝐸𝐴=∠𝐸𝐴𝐵， ⏜=𝐶𝐵⏜， ∵𝐷𝐶
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∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐹𝐴𝐸=∠𝐹𝐸𝐴， ∴𝐹𝐴=𝐹𝐸， ∵𝐸𝐹//𝐴𝐵， ∴△𝐷𝐹𝐸∽△𝐷𝐴𝐵， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷， ∴
𝐴𝐹𝐴𝐵𝐴𝐹𝐸𝐹
𝐷𝐹
+
𝐹𝐸𝐴𝐷𝐴𝐹
=
𝐸𝐹𝐴𝐵𝐴𝐹
+
𝐴𝐹𝐴𝐷𝐸𝐹
=
𝐷𝐹𝐴𝐷
+
𝐴𝐹𝐴𝐷
=
𝐴𝐷𝐴𝐷
=1，
∵𝐴𝐵+𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐴𝐷=1， ∴
𝐴𝐹𝐴𝐵1
+
𝐴𝐹𝐴𝐷1
=1，
1
∴𝐴𝐵+𝐴𝐷−𝐴𝐹=0， 故答案为：0，1，0；
(3)解：①△𝐴𝐵𝐸，△𝐷𝐶𝐸都为等腰三角形， 理由：记△𝐴𝐷𝐸、△𝐸𝐵𝐶的面积为𝑆3、𝑆4， 则𝑆=𝑆1+𝑆₂+𝑆3+𝑆4， ∵
𝑆1𝑆3
=
𝑆4𝑆2
=
𝐵𝐸𝐷𝐸
，
∴𝑆1𝑆2=𝑆3𝑆4 ①， ∵√𝑆=√𝑆1+√𝑆2， 即𝑆=𝑆1+𝑆2+2√𝑆1𝑆2， ∴𝑆3+𝑆4=2√𝑆1𝑆2 ②， 由①②可得√𝑆3√𝑆4， 即(√𝑆3−√𝑆4)2=0， ∴𝑆3=𝑆4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸+𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝑆△𝐴𝐵𝐸+𝑆△𝐸𝐵𝐶， 即𝑆△𝐴𝐵𝐷=𝑆△𝐴𝐷𝐶， ∴𝐶𝐷//𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐷𝐵𝐴， ∵∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐵𝐷，∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐶𝐴𝐵， ∴∠𝐸𝐷𝐶=∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐸𝐵𝐴=∠𝐸𝐴𝐵， ∴△𝐴𝐵𝐸，△𝐷𝐶𝐸都为等腰三角形； ⏜=𝐵𝐶⏜， ②∵𝐷𝐶
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∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐵， ∵∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐸𝐵𝐴， ∴△𝐷𝐴𝐶∽△𝐸𝐴𝐵， ∴
𝐴𝐷𝐸𝐴
=
𝐴𝐶𝐴𝐵
，
∵𝐴𝐵=𝑚，𝐴𝐷=𝑛，𝐶𝐷=𝑝， ∴𝐸𝐴⋅𝐴𝐶=𝐷𝐴×𝐴𝐵=𝑚𝑛， ∵∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶， ∴∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐶𝐴𝐷， 又∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐷𝐶𝐴， ∴△𝐷𝐶𝐸∽△𝐴𝐶𝐷， ∴𝐴𝐶=𝐶𝐷，
∴𝐸𝐴⋅𝐴𝐶+𝐶𝐸⋅𝐴𝐶=𝐴𝐶2=𝑚𝑛+𝑝2， 则𝐴𝐶=√𝑚𝑛+
𝑝2，.𝐸𝐶
𝑚𝑛𝐶𝐷
𝐶𝐸
=
𝐶𝐷2𝐴𝐶
=
𝑝2√𝑚𝑛+𝑝2，
∴𝐴𝐸=𝐴𝐶−𝐶𝐸=∴𝐴𝐸⋅𝐶𝐸=
𝑚𝑛𝑝2𝑚𝑛+𝑝2√𝑚𝑛+𝑝2，
．
(1)根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，即可得证；
(2)由(1)的结论，根据相似三角形的性质可得𝐴𝐸⋅𝐶𝐸=𝐵𝐸⋅𝐷𝐸，即可得出𝐵𝐸−𝐶𝐸=0，根据已知条件可得𝐸𝐹//𝐴𝐵，𝐹𝐴=𝐹𝐸，即可得出△𝐷𝐹𝐸∽△𝐷𝐴𝐵，根据相似三角形的性质可得𝐴𝐵=𝐴𝐷，根据恒等式变形，进而即可求解；
(3)①记△𝐴𝐷𝐸、△𝐸𝐵𝐶的面积为𝑆3，𝑆4，则𝑆=𝑆1+𝑆2+𝑆3+𝑆4，𝑆1𝑆2=𝑆3𝑆4，根据已知条件可得𝑆3=𝑆4，进而可得𝑆△𝐴𝐵𝐷=𝑆△𝐴𝐷𝐶，得出𝐶𝐷//𝐴𝐵，结合同弧所对的圆周角相等即可证明△𝐴𝐵𝐸、△𝐷𝐶𝐸是等腰三角形；
②证明△𝐷𝐴𝐶∽△𝐸𝐴𝐵，△𝐷𝐶𝐸∽△𝐴𝐶𝐷，根据相似三角形的性质，得出𝐸𝐴⋅𝐴𝐶+𝐶𝐸⋅𝐴𝐶=𝐴𝐶=𝑚𝑛+𝑝则𝐴𝐶=√𝑚𝑛+计算𝐴𝐸⋅𝐶𝐸即可求解．
本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，对于相似恒等式的推导是解题的关键．
2
2
𝐸𝐹
𝐷𝐹
𝐴𝐸
𝐷𝐸
.𝐸𝐶𝑝2，=
𝐶𝐷2𝐴𝐶
=
𝐴𝐸=𝐴𝐶−𝐶𝐸=，√𝑚𝑛+𝑝2，√𝑚𝑛+𝑝2𝑝2
𝑚𝑛
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25.【答案】解：(1)①∵𝑡=1，
∴≤𝑥≤， 22∵函数𝑦=4044𝑥，
∴函数的最大值𝑀=6066，函数的最小值𝑁=2022， ∴ℎ=2022；
②当𝑘>0时，函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏在𝑡−2≤𝑥≤𝑡+2有最大值𝑀=𝑘𝑡+2𝑘+𝑏，有最小值𝑁=𝑘𝑡−2𝑘+𝑏， ∴ℎ=𝑘；
当𝑘<0时，函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏在𝑡−2≤𝑥≤𝑡+2有最大值𝑀=𝑘𝑡−2𝑘+𝑏，有最小值𝑁=𝑘𝑡+2𝑘+𝑏， ∴ℎ=−𝑘；
综上所述：ℎ=±𝑘； (2)当𝑡−2≥1时，𝑡≥2，
2
函数𝑦=𝑥(𝑥≥1)最大值𝑀=𝑡−1，最小值𝑁=𝑡+1，
2213
111
1
111
1
13
22
∴ℎ=
4
4𝑡2−13
，
1
当𝑡=2时，ℎ有最大值2；
当𝑡−2<1，𝑡+2≥1时，即2≤𝑡<2，
2
函数𝑦=𝑥(𝑥≥1)最大值𝑀=2，最小值𝑁=𝑡+1，
2
1113
2
∴ℎ=1−
2
2𝑡+11
，
∴0≤ℎ<，
2∴ℎ的最大值为2；
(3)存在实数𝑘，使得函数𝑦的最大值等于函数𝑦的“共同体函数“ℎ的最小值，理由如下： ∵𝑦=−𝑥2+4𝑥+𝑘=−(𝑥−2)2+4+𝑘， ∴函数的对称轴为直线𝑥=2，𝑦的最大值为4+𝑘， ①当2≤𝑡−2时，即𝑡≥2，
此时𝑀=−(𝑡−2−2)2+4+𝑘，𝑁=−(𝑡+2−2)2+4+𝑘， ∴ℎ=𝑡−2，
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1
1
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5
1
∴ℎ的最小值为2， 由题意可得2=4+𝑘， 解得𝑘=−2；
②当𝑡+2≤2时，即𝑡≤2，
此时𝑁=−(𝑡−2−2)2+4+𝑘，𝑀=−(𝑡+2−2)2+4+𝑘， ∴ℎ=2−𝑡， ∴ℎ的最小值为2， 由题意可得2=4+𝑘， 解得𝑘=−2；
③当𝑡−2≤2≤𝑡，即2≤𝑡≤2，
此时𝑁=−(𝑡+2−2)2+4+𝑘，𝑀=4+𝑘， ∴ℎ=(𝑡−)2，
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1
∴ℎ的最小值为8， 由题意可得8=4+𝑘， 解得𝑘=−8；
④当𝑡<2≤𝑡+2，即2≤𝑡<2，
此时𝑁=−(𝑡−2−2)2+4+𝑘，𝑀=4+𝑘， ∴ℎ=(𝑡−)2，
2
2
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1
ℎ的最小值为8， 由题意可得8=4+𝑘， 解得𝑘=−8；
综上所述：𝑘的值为−8或−2．
【解析】(1)①由题意求出𝑀=6066，𝑁=2022，再由定义可求ℎ的值；
𝑀=𝑘𝑡+2𝑘+𝑏，𝑁=𝑘𝑡−2𝑘+𝑏，ℎ=𝑘；当𝑘<0②分两种情况讨论：②当𝑘>0时，
1
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1
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时，𝑀=𝑘𝑡−2𝑘+𝑏，有𝑁=𝑘𝑡+2𝑘+𝑏，ℎ=−𝑘；
141
𝑀=1，𝑁=1，ℎ=(2)分两种情况讨论：ℎ当𝑡−2≥1时，则，所以有最大值；2𝑡−𝑡+4𝑡−12
2
2
11
22
1121𝑁=1，𝑡+2≥1时，𝑀=2，当𝑡−2<1，则ℎ=1−2𝑡+1，可求ℎ的取值为0≤ℎ<2，𝑡+
22
从而可得ℎ的最大值为2；
𝑀=−(𝑡−2−2)2+4+𝑘，𝑁=−(𝑡+2−2)2+(3)分四种情况讨论：①当2≤𝑡−2时，𝑁=−(𝑡−2−4+𝑘，ℎ=𝑡−2，由题意可得2=4+𝑘，解得𝑘=−2；②当𝑡+2≤2时，𝑀=−(𝑡+−2)2+4+𝑘，ℎ=2−𝑡，2)2+4+𝑘，由题意可得2=4+𝑘，解得𝑘=−2；2③当𝑡−2≤2≤𝑡，即2≤𝑡≤2，
𝑁=−(𝑡+−2)2+4+𝑘，𝑀=4+𝑘，ℎ=(𝑡−)2，由题意可得=4+𝑘，解得𝑘=
2228−8；④当𝑡<2≤𝑡+2，𝑁=−(𝑡−2−2)2+4+𝑘，𝑀=4+𝑘，ℎ=(𝑡−)2，由
22题意可得8=4+𝑘，解得𝑘=−8．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，根据定义结合所学的一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质综合解题，分类讨论是解题的关键．
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