一、动态问题概述 1.就运动类型而言,有函数中的动点问题、图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。 2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题，有点动、线动、面动三大类。 3.就图形变化而言,有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等。 4.动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。 另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。 二、动点与函数图象问题常见的四种类型： 1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图 2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。 3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。 4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型：
1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。
2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。 3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。 四、动点问题常见的四种类型：
1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，通过全等或相似，探究构成的新图形与原图形的边或角
1
专题知识回顾
的关系。
2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似，得出它们的边或角的关系。
3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，探究构成的新图形的边角等关系。
4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，探究是否存在动点构成的三角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题。 五、解决动态问题一般步骤：
（1）用数量来刻画运动过程。因为在不同的运动阶段，同一个量的数学表达方式会发生变化，所以需要分类讨论。有时符合试题要求的情况不止一种，这时也需要分类讨论。 （2）画出符合题意的示意图。
（3）根据试题的已知条件或者要求列出算式、方程或者数量间的关系式。
专题典型题考法及解析
【例题1】（点动题）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点E 是 BC 中点，点 F 是边 CD 上的任意一点，当△AEF 的周长最小时，则 DF 的长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D
【解析】如图，作点E 关于直线CD 的对称点 E′，连接 AE′，交 CD 于点 F.
2
∵在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点 E 是 BC 中点， ∴BE＝CE＝CE′＝4. ∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴CF∥AB，△CE′F∽△BE′A. CE′/BE′=CF/AB 4/(8+4)=CF/6 解得 CF＝2.
∴DF＝CD－CF＝6－2＝4. 热点二：线动
【例题2】（线动题）如图 ，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3°的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点 E，第 24 秒，点 E 在量角器上对应的读数是________．
【答案】144°
【解析】连接 OE，∵∠ACB＝90°，
∴A，B，C 在以点 O 为圆心，AB 为直径的圆上． ∴点 E，A，B，C 共圆．
3
∵∠ACE＝3°×24＝72°， ∴∠AOE＝2∠ACE＝144°.
∴点 E 在量角器上对应的读数是 144°.
【例题3】（面动题）如图 Z10-4，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2，宽为 1 的长方形 CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形 ABEF.现将小长方形 CEFD 绕点 C 按顺时针旋转至 CE′F′D′，旋转角为α.
(1)当点 D′恰好落在 EF 边上时，求旋转角α的值；
(2)如图 Z10-5，G 为 BC 中点，且 0°＜α＜90°，求证：GD′＝E′D；
(3)小长方形 CEFD 绕点 C 按顺时针旋转一周的过程中，△ DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形、矩形的性质以及三角形全 等的判定与性质．
(1)∵长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′F′D′， ∴CD′＝CD＝2.
在 Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，∴∠CD′E＝30°. ∵CD∥EF，∴∠α＝30°.
（2）证明：∵G 为 BC 中点，∴CG＝1.∴CG＝CE. ∵长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′F′D′， ∴∠D′CE′＝∠DCE＝90°，CE＝CE′＝CG. ∴∠GCD′＝∠E′CD＝90°＋α.
4
（3）能．理由如下：
∵四边形 ABCD 为正方形，∴CB＝CD. ∵CD＝CD′，
∴△BCD ′与△ DCD′为腰相等的两个等腰三角形． 当∠BCD′＝∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′. ①当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，
②当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，
综上所述，当旋转角a的值为135°或315°时，△DCD′与△CBD′全等．
专题典型训练题
一.选择题
1.（2019•四川省达州市）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（ ）
5
A．
【答案】C．
B． C． D．
【解析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决． 当0≤t≤2时，S＝当2＜t≤4时，S＝二次函数关系，开口向下， 由上可得，选项C符合题意。
2．（2019•山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
＝﹣
，即S与t是二次函数关系，有最小值（0，0），开口向上，
＝
，即S与t是
A．2 【答案】D．
【解析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．如图：
B．4
C．
D．
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1， 当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2， ∴P1P2∥CE且P1P2＝CE
6
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP 由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF ∴点P的运动轨迹是线段P1P2， ∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点， ∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2 ∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90° ∴∠DP2P1＝90° ∴∠DP1P2＝45°
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2， ∴BP的最小值为BP1的长 在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2 ∴BP1＝2
∴PB的最小值是2
3．（2019•山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．
【答案】D．
D．
7
【解析】由题意当0≤x≤3时，y＝3，当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣由题意当0≤x≤3时，y＝3，
当3＜x＜5时，y＝×3×（5﹣x）＝﹣x+
．
x+．由此即可判断．
4.（2019•湖北武汉）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A.B）上两点，C是上一动点，∠ACB的
角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C.E两点的运动路径长的比是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【解析】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
如图，连接EB．设OA＝r．易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是
，点C的运动轨迹是
，
由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°， ∵E是△ACB的内心，∴∠AEB＝135°， ∵∠ACD＝∠BCD，
8
∴＝，∴AD＝DB＝r，∴∠ADB＝90°，
，点C的运动轨迹是
，
易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α
∴＝＝．
5.（2019•湖南衡阳）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和
BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设
运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（ ）
A B C D
【答案】C．
【解析】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离＜a时，如图1，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a﹣t；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△
AC′H2
2
＝（2a﹣t）＝t﹣2at+2a，根据函数关系式即可得到结论；
222
∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵EF⊥BC，ED⊥AC， ∴四边形EFCD是矩形， ∵E是AB的中点，
9
∴EF＝AC，DE＝BC， ∴EF＝ED，
∴四边形EFCD是正方形， 设正方形的边长为a，
如图1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a﹣t； 当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）＝t﹣2at+2a， ∴S关于t的函数图象大致为C选项。
2
2
22
2
6.（2019•浙江衢州）如图所示，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C，设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（ ）
A B C D
【答案】 C
【解析】动点问题的函数图象。结合题意分情况讨论：①当点P在AE上时，②当点P在AD上时，③当点P在DC上时，根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式. ①当点P在AE上时，
∵正方形边长为4，E为AB中点， ∴AE=2，
∵P点经过的路径长为x，
10
∴PE=x， ∴y=S△CPE=
·PE·BC=
×x×4=2x，
②当点P在AD上时，
∵正方形边长为4，E为AB中点， ∴AE=2，
∵P点经过的路径长为x， ∴AP=x-2，DP=6-x，
∴y=S△CPE=S正方形ABCD-S△BEC-S△APE-S△PDC ，
=4×4- ×2×4- ×2×（x-2）- ×4×（6-x）， =16-4-x+2-12+2x， =x+2，
③当点P在DC上时，
∵正方形边长为4，E为AB中点， ∴AE=2，
∵P点经过的路径长为x， ∴PD=x-6，PC=10-x， ∴y=S△CPE=
·PC·BC=
×（10-x）×4=-2x+20，
综上所述：y与x的函数表达式为：
y= .
7.（2019•甘肃武威）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（ ）
A．3 【答案】B．
11
B．4 C．5 D．6
【解析】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3． ∴AB•＝3，即AB•BC＝12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7， ∴AB+BC＝7．
则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3， 因为AB＜AD，即AB＜BC， 所以AB＝3，BC＝4．
8.(2019甘肃省天水市)已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）
2
A.
【答案】D 【解析】y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其图象要分四个部分，所以B.C选项不正确；
B.
C.
D.
A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以A选项不正确； D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM的长有最小值．
二、填空题
9.（2019•浙江嘉兴）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，
AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为 cm．
12
2
【答案】（24﹣12
），（24
+36
﹣12
）
【解析】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式等知识，确定点D的运动轨迹是本题的关键． ∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45° ∴BC＝4
cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm
如图当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M
∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°
∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F' ∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS） ∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM ∴CD'平分∠ACM
即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动， ∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝
ED﹣CD＝（12﹣6
）cm
）＝（24﹣12
）cm
∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6如图，连接BD'，AD'，
∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C
∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24
+（12﹣4
）×D'N
13
当E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值， ∴S△AD'B最大值＝24
+（12﹣4
）×6
＝（24
+36
﹣12
）cm．
2
10.（2019•四川省广安市）如图8.1，在四边形ABCD中，AD∥BC，B30,直线lAB.当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F.设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图8.2所示，则四边形ABCD的周长是 .
【答案】1023
【解析】由题意和图像易知BC=5，AD=7-4=3
当BE=4时（即F与A重合），EF=2，又因为lAB且∠B=30°，所以AB=23，
因为当F与A重合时，把CD平移到E点位置可得三角形AED′为正三角形，所以CD=2，故答案时1023. 11．（2019•山东潍坊）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝ ．
2
．
【答案】
【解析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，
14
即可求得△PAB的面积，本题得以解决．
，
解得，或，
∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5）， ∴AB＝
＝3
，
作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5）， 设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝
，
即点P的坐标为（0，
），
将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1， ∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°， ∴点P到直线AB的距离是：（
﹣1）×sin45°＝
＝
，
∴△PAB的面积是：＝，
三、解答题
15
12.（2019•湖北省仙桃市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ＝y． （1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围： ； （2）当PQ＝3
时，求t的值；
2
（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了勾股定理、解直角三角形、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用勾股定理，找出y关于t的函数解析式；（2）通过解一元二次方程，求出当PQ＝3点D的坐标．
（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．
当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（8﹣2t，6）， ∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|， ∴PQ＝PE+EQ＝6+|8﹣5t|＝25t﹣80t+100， ∴y＝25t﹣80t+100（0≤t≤4）． 故答案为：y＝25t﹣80t+100（0≤t≤4）． （2）当PQ＝3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
时t的值；（3）利用相似三角形的性质及解直角三角形，找出
时，25t﹣80t+100＝（3
2
），
2
整理，得：5t﹣16t+11＝0， 解得：t1＝1，t2＝
．
（3）经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值不变．
16
连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示． ∵OC＝6，BC＝8， ∴OB＝∵BQ∥OP， ∴△BDQ∽△ODP， ∴
＝
＝
＝， ＝10．
∴OD＝6． ∵CB∥OA， ∴∠DOF＝∠OBC． 在Rt△OBC中，sin∠OBC＝∴OF＝OD•cos∠OBC＝6×＝∴点D的坐标为（
，
），
×
＝
．
＝
＝，cos∠OBC＝
＝
＝， ，
，DF＝OD•sin∠OBC＝6×＝
∴经过点D的双曲线y＝（k≠0）的k值为
13．（2019•山东青岛）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题： （1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？
（2）设四边形PEGO的面积为S（cm），求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请
17
2
说明理由．
【答案】见解析。
【解析】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm， ∴AC＝
＝6（cm），
∵OD垂直平分线段AC，
∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠BAC＝∠DCO， ∵∠DOC＝∠ACB， ∴△DOC∽△BCA， ∴
＝
＝＝
， ，
∴＝
∴CD＝5（cm），OD＝4（cm）， ∵PB＝t，PE⊥AB， 易知：PE＝t，BE＝t， 当点E在∠BAC的平分线上时， ∵EP⊥AB，EC⊥AC， ∴PE＝EC， ∴t＝8﹣t，
18
∴t＝4．
∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上． （2）如图，连接OE，PC．
S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）
＝•（4﹣t）•3+[•3•（8﹣t）+•（8﹣t）•t﹣•3•（8﹣t） ＝﹣t2
+t+16（0＜t＜5）．
（3）存在． ∵S＝﹣（t﹣）2
+
（0＜t＜5），
∴t＝时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．
（4）存在．如图，连接OQ． ∵OE⊥OQ，
∴∠EOC+∠QOC＝90°， ∵∠QOC+∠QOG＝90°， ∴∠EOC＝∠QOG， ∴tan∠EOC＝tan∠QOG， ∴
＝
，
∴＝，
整理得：5t2
﹣66t+160＝0， 解得t＝或10（舍弃） ∴当t＝
秒时，OE⊥OQ．
19
14.（(2019山西）综合与探究
如图，抛物线yaxbx6经过点A（-2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m(1m4).连接AC，BC，DB，DC. （1）求抛物线的函数表达式； （2）△BCD的面积等于△AOC的面积的
23时，求m的值； 4（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析。
【解析】（1）抛物线yaxbxc经过点A（-2，0），B（4，0），
23a4a2b604∴，解得，
316a4b60b2∴抛物线的函数表达式为y323xx6 42（2）作直线DE⊥x轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F. ∵点A的坐标为（-2，0），∴OA=2
由x0，得y6，∴点C的坐标为（0，6），∴OC=6
20
∴S△OAC=
12OAOC12266，∵S=339△BCD4S△AOC=462 设直线BC的函数表达式为ykxn，
3由B，C两点的坐标得4kn0kn6，解得2
n6∴直线BC的函数表达式为y32x6. ∴点G的坐标为(m,32m6), ∴DG34m232m6(32m6)324m3m
∵点B的坐标为（4，0），∴OB=4
S△BCD=S△CDG+S△BDG=1DGCF12DGBE12DG(CFBE)122DGBO=1（3m23m）43m22426m ∴32m26m92，解得m11（舍），m23，∴m的值为3
（3）M1(8,0),M2(0,0),M3(14,0),M4(14,0)
如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图 以BD为边进行构图，有3种情况，采用构造全等发进行求解.
∵D点坐标为(3,154)，所以N的纵坐标为151,N24 34x232x6154，解得x11,x23（舍） 可得N152(1,4),M2(0,0)
∴N15323153,N4的纵坐标为4时，4x2x64，x1114,x2114 ∴N14,154),M14,153(13(14,0)，N4(14),M4(14,0)
以BD为对角线进行构图，有1种情况，采用中点坐标公式进行求解.
21
∵N1(1,151515),M1(34(1),0),M1(8,0) 444
15.（2019•湖南岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E.F分别在边AD.BC上，将矩形ABCD沿直线
EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E.F重合），过点P分别作直线BE.BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN． （1）如图1，求证：BE＝BF；
（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长； （3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．
①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明； ②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）
【答案】见解析。
【解析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题．
（1）证明∠BEF＝∠BFE即可解决问题（也可以利用全等三角形的性质解决问题即可）．证明：如图1中，
22
∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB， 由翻折可知：∠DEF＝∠BEF， ∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF．
（2）如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形．利用面积法证明PM+PN＝EH，利用勾股定理求出AB即可解决问题．
如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．
∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2， ∴AD＝BC＝7，AE＝2，
在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2， ∴AB＝
＝
，
∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴•BF•EH＝•BE•PM+•BF•PN， ∵BE＝BF，∴PM+PN＝EH＝
，
∵四边形PMQN是平行四边形， ∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2
．
（3）①如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．由S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，可得BE•PM﹣•BF•PN＝•BF•EH，由BE＝BF，推出PM﹣PN＝EH＝
，由此即可解决问题．
．
23
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝
①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．
∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b， ∴AD＝BC＝a+b， ∴AE＝AD﹣DE＝b， ∴EH＝AB＝
，
∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，
∴BE•PM﹣•BF•PN＝•BF•EH， ∵BE＝BF， ∴PM﹣PN＝EH＝
，
∵四边形PMQN是平行四边形， ∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝
．
．
②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝
2
16.（2019•湖南邵阳）如图，二次函数y＝﹣x+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0） （1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A.B两点，过A.B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D.点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A.E.F、
Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
24
【答案】见解析。
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）分0＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程． （1）将（0，0），（8，0）代入y＝﹣x+bx+c，得：
2
，解得：，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x+x． （2）当y＝m时，﹣x+x＝m， 解得：x1＝4﹣∴点A的坐标为（4﹣∴点D的坐标为（4﹣∵矩形ABCD为正方形， ∴4+
﹣（4﹣
）＝m， ，x2＝4+
，
，m）， ，0）．
2
2
，m），点B的坐标为（4+，0），点C的坐标为（4+
解得：m1＝﹣16（舍去），m2＝4． ∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．
（3）以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标为（2，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0），
25
将A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：
，解得：
，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．
当x＝2+t时，y＝﹣x2
+x＝﹣t2
+t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4， ∴点E的坐标为（2+t，﹣t2
+t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）． ∵以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF， ∴AQ＝EF，分三种情况考虑：
①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF＝﹣t2
+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2
+t， ∴t＝﹣t2
+t，
解得：t1＝0（舍去），t2＝4；
②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t2
+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2
+t，∴t﹣4＝﹣t2
+t，
解得：t3＝﹣2（舍去），t4＝6；
③当7＜t≤8时，AQ＝t﹣4，EF＝﹣t+4﹣（﹣t2
+t+4）＝t2
﹣t， ∴t﹣4＝t2
﹣t， 解得：t5＝5﹣
（舍去），t6＝5+
（舍去）．
综上所述：当以A.E.F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6．
26
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容