应用概率统计第二十六卷 第四期２０１０年８月 Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ Ｖｏ１．２６ Ｎｏ．４ Ａｕｇ．２０１０ Ｍｏｍｅｎｔ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ Ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｆｏｒ Ｄｉｓｃｒｅｔｅｌｙ Ｓａｍｐｌｅｄ ＯＵ—ｃｏｍｐｏｕｎｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ＺＨＡＮＧ ＳＨＩＢＩＮ （Ｄｅｐｎｎｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍ。ｔｉｃｓ，Ｓｈｎｎ 。ｉ Ｍａｒｉｔｉｍｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈ０ｎｇｈｎｉ，２０１３０６１ ＺＨＡＮＧ ＸＩＮＳＨＥＮＧ （Ｄｅｐｎｎｍｅｎｔ ｏｆ Ｓｔｎｔｉｓｔｉｃｓ，Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｎｎｇｅｍｅｎｔ，Ｆｕｄ。ｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｎｎｇｈｎｉ，２００４３３） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｏｆ Ｏｒｎｓｔｅｉｎ—Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ ｔｙｐｅ，ｄｒｉｖｅｎ ｂｙ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｃｏｍｐｏｕｎｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ａｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｗｅ ａｒｅ ｉｎｔｅｒｅｓｔｅｄ ｉｎ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｏｓｅ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｓ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｓ，ａｎｄ ａ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ａｎｄ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｎｏｒｍａｌ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ｉｓ ｐｒｏｖｉｄｅｄ．Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｓｔｕｄｙ ｉｓ ａｌｓｏ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｃａｓｅ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ Ｏｒｎｓｔｅｉｎ－Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ ｔｙｐｅ，ｃｏｍｐｏｕｎｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ，ｍａｒｔｉｎｇａｌｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｓｉｍｐｌｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． ＡＭＳ Ｓｕｂｊｅｃｔ Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ： ６２Ｍ０５ ６０Ｇｌ０． §１． Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ Ｒｅｃｅｎｔｌｙ，ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｏｆ Ｏｒｎｓｔｅｉｎ—Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ ｔｙｐｅ ａｒｅ ｗｉｄｅｌｙ ｕｓｅｄ ｉｎ ｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇ ｃｏｎｎｅｃ－ ｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｂｒａｎｃｈｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｎｄ Ｌ６ｖｙ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ［ ，ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｉｅｓ ｏｆ ｉｆｎａｎｃｅ ａｓｓｅｔｓ［２］ａｎｄ ｄｅｆａｕｌｔ ｉｎｔｅｎｓｉｔｉｅｓ［引．Ｔｈｅ ｃ１ａｓｓ ｏｆ Ｇａｍｍａ－ＯＵ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｉ８ ａ ｗｅｌｌ ｋｎｏｗｎ ｓｕｂｃｌａｓｓ ｏｆ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｏｆ Ｏｒｎｓｔｅｉｎ－Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ ｔｙｐｅ．Ａｎｄ ＯＵ—ｃｏｍｐｏｕｎｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ（ＯＵ—ＣＰ） ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｘｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｇａｍｍａ－ＯＵ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ．Ｔｈｅ ＯＵ—ＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓ ｘ（ｔ）ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａ１ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｄＸ（ｔ）＝一 ｘ（ｔ）ｄｔ＋ｄＺ（Ａｔ）， ｗｈｅｒｅ ＞０ ｉｓ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ，ａｎｄ ｔｈｅ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｄｒｉｖｉｎｇ Ｌ４ｖｙ ｐｒｏｃｅｓｓ［ １（ＢＤＬＰ） ｚ（ｔ）ｉｓ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｃｏｍｐｏｕｎｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ．Ｉｎ ｄｅｔａｉｌ，ｚ（ｔ）ｈａｓ ｔｈｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ Ｎ（ｔ） ｚ（ｔ）＝∑ ， ＝１ Ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｓ ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ（１０９０１１００）ａｎｄ ｔｈｅ Ｓｃｉｅｎｃｅ＆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｐｒｏｇｒａｍ ｏｆ Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｍａｒｉｔｉｍｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（２０１００１３５）． Ｒｅｃｅｉｖｅｄ Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ ３，２００７． 第四期 张世斌张新生：离散抽样ＯＵ一复合Ｐｏｉｓｓｏｎ过程的参数矩估计 ３８５ ｗｈｅｒｅ．（Ⅳ（ｔ），ｔ ０）ｉｓ ａ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ，ａｎｄ Ｙ１，Ｙ２，…ｉｓ ａ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｉｎ— ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｉｄｅｎｔｉｃａｌｌｙ－ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｒａｎｄｏｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｈａｖｉｎｇ ａ ｃｏｍｍｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｇ（ｘ， ）．Ｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｕｎｋｎｏｗｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ．Ｗｉｔｈｏｕｔ ｌｏｓｓ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌｉｔｙ ａｎｄ ｆｏｒ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ， ｉｓ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｏ ｂｅ ａ ｓｃａｌａｒ．Ｉｆ （ｉ＝１，２，…）ｉｓ ａ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｉ．ｉ．ｄ．ａｎｄ ｅａｃｈ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ａｎ ＯＵ—ｃＰ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｓ ｊｕｓｔ ａ Ｇａｍｍａ－ＯＵ ｐｒｏｃｅｓｓ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍａｎｙ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｓ ｏｎ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｉｎｆｅｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ｄｉｓｃｒｅｔｅｌｙ ｓａｍｐｌｅｄ Ｌ６ｖｙ ｄｒｉｖｉｎｇ ＯＵ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ．Ａｍｏｎｇ ｍａｉｎ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ，ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｑｕｉｔｅ ａ ｆｅｗ ａｉｍｉｎｇ ａｔ Ｇａｍｍａ－ＯＵ ｐｒｏ－ ｃｅｓｓｅｓ．Ｔｏ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｆ Ｇａｍｍａ－ＯＵ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，Ｍａｒｋｏｖ ｃｈａｉｎ Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ（ＭＣＭＣ）ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ｅｘｐｌｏｉｔｅｄ ｉｎ［４，５】．Ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｎ ｔｈｅ ｍａｒｇｉｎａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｇａｍｍａ－ＯＵ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｉｓ ｕｓｅｄ ｉｎ［６］．Ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ａｌｓｏ ｅｍｐｌｏｙｅｄ ｉｎ［７，８】．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ａｓｙｍｐ－ ｔｏｔｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ｉｎ［７，８］ａｒｅ ｎｏｔ ａｃｈｉｅｖｅｄ ｂｙ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｓｔｕｄｙ．ＭＣＭＣ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ｏｆｔｅｎ ｔｉｍｅ—ｃｏｎｓｕｍｉｎｇ．Ａｎｄ ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ，ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ，ｎｏｔ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ｄｅｎｓｉｔｙ ｉｓ ｉｎｔｒａｃｔａｂｌｅ ａｎｄ，ａｓ ａ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅ，ｔｈｅ ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｕｎｋｎｏｗｎ．Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅ ｔｈｅ ｔｒｕｅ ｓｃｏｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｉｎｆｅｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ｄｉｓ・ ｃｒｅｔｅｌｙ ｓａｍｐｌｅｄ ｄｉｆｕｓｉｏｎ ｍｏｄｅｌｓ，ｓｅｖｅｒａｌ ｐａｐｅｒｓ（ｅ．ｇ．，［９，１０］）ｓｔｕｄｙ ｍａｒｔｉｎｇａｌｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ｎｅｖｅｒｔｈｅｌｅｓｓ，ｍａｒｔｉｎｇａｌｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｕｓｕａｌｌｙ ｉｎｖｏｌｖｅ ｓｏｍｅ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ｄｅｎｓｉｔｙ，ｔｈｅｓｅ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ａｒｅ ｕｓｕａｌｌｙ ｈａｒｄ ｔｏ ｈａｎｄ１ｅ ｗｉｔｈ． Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｕｓｅｓ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ ｓｉｍｐｌｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｔｏ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｎ ｔｈｅ ｍａｒｇｉｎａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｏｕｒ ｍｏｄｅｌｓ．Ｏｕｒ ｍｅｔｈｏｄ ｅｘｔｅｎｄｓ ｓｉｍｐｌｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ［１１】ｆｏｒ ｄｉｆｕｓｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｏｓｅ ｏｆｒ ＯＵ—ＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ．Ｆｏｒ ＯＵ—ｃＰ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ． ｔｈｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｒｇｉｎａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｒｅ ｕｓｕａｌｌｙ ｄｉｉｆｃｕｌｔ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ．Ａｆｔｅｒ ｆｉｎｄｉｎｇ ｍｏｍｅｎｔ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｍａｒｇｉｎａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＯＵ—ＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓ ｘ（ｔ）ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｅａｃｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｊｕｍｐ （ｉ＝１，２，…）ｏｆ ｔｈｅ ＢＤＬＰ ｚ（ｔ），ｗｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｒｇｉｎａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｂｅｉｎｇ ｅｍｐｌｏｙｅｄ，ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ ｓａ ｍｏｍｅｎｔ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ．Ｆｏｒ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｎｅｉｔｈｅｒ ｔｈｅ ｍａｒｇｉｎａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｎｏｒ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｈａｓ ａ ｃｌｏｓｅｄ—ｆｏｒｍ，ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｃａｎ ａｌｓｏ ｅｍｐｌｏｙ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ． §２． Ｍｏｍｅｎｔ Ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ Ｔｈｅ Ｌ６ｖｙ ｍｅａｓｕｒｅ ｏｆ Ｚ（１）ｉｓ Ｗ（ｄｘ）＝ ｚ＞０）ｄＧ（ ； ）．Ｔｏ ｂｅ ｓｕｒｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ ａｎ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｍｅａｓｕｒｅ ｏｆ ｘ（ｔ）Ｅ 引，Ｇ（ ；Ｑ）ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｓａｓｕｍｅｄ ｔｏ ｓａｔｉｓｆｙ 应用概率统计 第二十六卷 Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ２．１ ｌｏｇＸｄＧ（ｘ；ｎ１＜。。． Ｔｈｅ ｓｕｂｃｌａｓｓ ｏｆ ＯＵ—ＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｂｙ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｃｈｏｉｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒ．ｖ． ｉｎ ＢＤＬＰｓ．Ｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ｅｘａｍｐｌｅｓ． Ｅｘａｍｐｌｅ １ Ｔｈｅ ＯＵ－ＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓ ｗｉｔｈ Ｗｅｉｂｕｌｌ ｊｕｍｐｓ ｉｎ ｔｈｅ ＢＤＬＰ．Ｔｈｅ Ｌ６ｖｙ ｄｅｎｓ Ｙ。ｆ ｚ（１）ｉｓ叫（ ）：Ｚｇ（ｘ；ｃ，Ｑ），ｗｈｅｒｅ ９（ ；ｃ， ）＝ａｃ（ａｘ）ｃ－１ ｅｘｐ（一（ ）。） 。＞０）ｉｓ ｔｈｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ （ ＝１，２，…），ａｎｄ ，Ｏｌ，ｃ＞０．Ｗｈｅｎ ｃ＝１，ｔｈｅ ＯＵ—ＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓ ｗｉｔｈ Ｗｅｉｂｕｌｌ ｊｕｍｐｓ ｉｎ ｔｈｅ ＢＤＬＰ ｉｓ ｊｕｓｔ ｔｈｅ Ｇａｍｍａ－ＯＵ ｐｒｏｃｅｓｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｍａｒｇｉｎａｌ ｒ（ｚ，Ｑ） ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ． Ｅｘａｍｐｌｅ ２ Ｔｈｅ ＯＵＩＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓ ｗｉｔｈ Ｐａｒｅｔｏ ｊｕｍｐｓ ｉｎ ｔｈｅ ＢＤＬＰ．Ｔｈｅ Ｌ６ｖｙ ｄｅｎ— ｓｉｔｙ ｏｆ Ｚ（１）ｉｓ （ ）＝１３ｇ（ｘ；ａ），ｗｈｅｒｅ ９（ ； ）＝ （１＋ ）－￣－１Ｉ｛ ＞ｏ）ｉｓ ｔｈｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ （ｉ＝１，２，…），ａｎｄ ，Ｏｌ＞０． ０ ｌ ＿∞．０ ０．０ 寸０ ｏ Ｂｙ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ＢＤＬＰ （ ）ａｎｄ ｔｈｅ ｔｅｍｐｏｒａｌ ｈｏｍｏｇｅｎｅｉｔｙ ｏｆ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ （ｔ） ａｎｄ ｚ（ ），ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｃａｎ ｂｅ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ．Ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｆｘｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒ，ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｐａｔｈｓ ｏｆ （ｔ）ａｎｄ ｚ（ ）ｉｎ Ｅｘａｍｐｌｅ １ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ １．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｃａｎ ａｌｓｏ ｇｉｖｅ ｓｏｍｅ ｖｉｓｕａｌ ｉｍｐｒｅｓｓｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＯＵ—ＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓ；ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｓ ａｃｔｕａｌｌｙ ｄｉｉｆｃｕｌｔ ｔｏ ｂｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｂｙ ａ ｃｌｏｓｅｄ—ｆｏｒｍ． （ａ）Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｚ（ ｎ△）ａｇａｉｎｓｔ ｎ（△：１） （ｂ）Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｘ（ｎＡ）ａｇａｉｎｓｔ （△＝１） ０．０ ０．５ １．０ １．５ （Ｃ）Ｔｈｅ ｅｍｐｉｒｉｃａｌ ｄｅｎｓｉｔｙ ｏｆ ｘ（ｔ）ｍａｒｇｉｎａｌ Ｆｉｇｕｒｅ １ Ｔｈｅ ＯＵ—ＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓ ｗｉｔｈ Ｗｅｉｂｕｌｌ ｊｕｍｐｓ ｉｎ ｔｈｅ ＢＤＬＰ（ ＝０．１， ＝３， Ｏｔ＝６，Ｃ＝２） 第四期 张世斌张新生：离散抽样Ｏｕ一复合Ｐｏｉｓｓｏｎ过程的参数矩估计 ３８７ Ｕｎｄｅｒ Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ２．１，ｇｉｖｅｎ ｔｈａｔ ｘ（０）＝Ｘ，ｘ（ｔ）ｃａｎ ｂｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｔｏ ｂｅ ｘ（ｔ）ｌｘ（０）： ＝ｄ ｅ－Ａｔ ＋Ｅ ，Ｎ ＝１ ｗｈｅｒｅ ｃ：ｄ，ｄｅｎｏｔｅｓ ｅｑｕａｌｉｔｙ ｉｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ’ｒ．ｖ． ｈａｓ ａ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ，●●●●●●●，、●●●●●＿－／ ０ ， ，ａｎｄ ， ，…ｉｓ ａ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｉｄｅｎｔｉｃａｌｌｙ—ｄｉｂｕｔｅｄ ｒａｎｄｏｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ 一 ｓｔｒｉ一 ，＜ ｅ ｅ ｈａｖｉｎｇ ａ ｃｏｍｍｏｎ ｄｅｎｓｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ∞∑ ＋ ， ； ： 。） （２．２） Ｔｈｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ（２．１）ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ［１２］，ａｎｄ ｔｈｅ ｓｉｍｉｌａｒ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｏｔｈｅｒ ｓｕｂｃｌｓｓａ ｏｆ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｏｆ ＯＵ ｔｙｐｅ，ｗｉｔｈ ｔｈｅｉｒ ｐｒｏｏｆｓ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ ｉｎ［１３，１４］．Ｔｈｅ ｔｅｍｐｏｒａｌｌｙ ｈｏｍｏｇｅ－ ｎｅｏｕｓ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＯＵ—ＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓ ｘ（ｔ）ｉｓ Ｙ＜ｅ－Ａｔｘ， Ｐ（ｔ，Ｘ， ； ， ， ）＝ （Ａｆｌｔ）ｎｅ－；￣Ｚｔ 丁胁 ， Ｙ＝ｅ－Ａｔｘ， Ｙ＞ｅ－）￣ｔｘ， ｗｈｅｒｅ Ｐ（ｔ，Ｘ， ； ， ， ）ｉｓ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ （・）ｏｖｅｒ ａ ｔｉｍｅ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｏｆ ｌｅｎｇｔｈ ｔ， ｉ．ｅ．，Ｐ（ （・＋ｔ） ｙｌＸ（・）＝ ），ａｎｄ．厂礼ｘ）（佗 １）ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ １１（ ）＝．厂（ ）， 厶（ ）＝ ‘厂（ ）厶一 （ 一 ）ｄ Ｔｈａｔ ｉｓ，ｆｎ（ ）ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｆ（ｘ）ａｎｄ厶一１（ ），ｗｈｅｒｅ ｆ（ｘ）ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ（２．２）． Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｗｅ ｔｒｙ ｔｏ ｆｉｎｄ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｍｏｍｅｎｔｓ ｏｆ （・）ａｎｄ ．Ｉｆ ＥＱ ］＜ｏｏ， ｔｈｅｎ Ｅ，ｘｔＱ，［ ］＝ ＝ Ｇ（ｅ＇Ｘｔｗ；ａ） －－Ｇ（ｗ；ａ）ｄ —： Ａｔ ｏ。。 １一ｅ－ ｄ 蜥 Ｅ０ ］ ｄＧｃ ； ： ｄ ＝ ＡｔＳｉｍｉｌａｒｌｙ，ｗｅ ｈａｖｅ １——ｅ－２Ａｔ Ｅ ，Ｑ【 ］＝ ［ 。］ ２Ａｔ Ｅ ］ 。］ ｉｆ ＥＱ ］＜∞ １——ｅ－３Ａｔ Ｅ ，。３Ａｔ ｉｆ Ｅ口 ３】＜∞； ａｎｄ Ｅ她。［ ４］＝ １——ｅ－４Ｍ ４Ａｔ Ｅ。 ４］ ｉｆ Ｅ ４】＜ｏｏ 应用概率统计 第二十六卷 Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ２．２ Ｅａ ４］＜∞ Ｂｙ【１２］，ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＯＵ—ＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓ ｘ（ｔ）ｉｓ ｘｐ（／０。。（ｅｉｚｘ－１）坠 ｄ ） Ｕｎｄｅｒ Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ２．２，ｌｉａｒ Ｘ４（１一Ｇ（ ； ））＝０． Ａｆｔｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ妒 （ｚ）， （ ）， （３）（ ） Ｘ－－－￣（Ｘ） ａｎｄ （４）（ ），ｂｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｂｙ ｐａｒｔｓ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ，ａ （・）］＝｛妒，（０）＝ Ｅ ［ 】， 口【（ 】＝ ，（０）＝ 。（Ｅ ＩＮ） ＋鲁 ］， Ｅ ，ａ【（ （．））３ｊ＝一｛ （３）（０）＝ ３（ＥＱＩＮ）３＋ ３ ＥＱ 】ＥＱ ２】＋鲁ＥＱ ３】， Ｅ ，ａ［（ （・））４］＝ （４）（０）＝ ４（ＥａＩＮ） ＋３ ３（Ｅ０［ 】） Ｅ口【 】＋ ３ 。（Ｅａ【 ２】）。 ４ Ｅ＋ 。［ 】Ｅａ【 。】＋ Ｅ 【 ４】． Ｕｎｄｅｒ Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ２．２，ｍｏｍｅｎｔ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ ａｍｏｎｇ ｒ－ｖ． ， ａｎｄ （・）ｃａｌｌ ｂｅ ｉｎｄｕｃｅｄ ｉｎ，ＩＩａｂｌｅ １． Ｔ ｂｌｅ １ Ｍｏｍｅｎｔ ｃＯｎｎｅｃｔｉＯｎｓ ｒ．Ｖ． （・） Ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ Ｅ 】 Ａｔ —ＬＥａ［ｌ Ｌ 一’】Ｊ Ｅ０ 】 ２ｎｄ ｍｏｍｅｎｔ Ｅａ 】 —１－２ｅＡ２Ａｔ —ｔ ＥＱｕ ＪＩＦ． 】 鲁Ｅ ［ 。］＋ （Ｅ口［ 】） ３ｒｄ ｍｏｍｅｎｔ Ｅ 。］ —ｌ＿ｅ３Ａｔ－ ￣Ａｔ —ｕ ＪＩＶ．。］ 。（Ｅ 【 ］）３＋ ３ Ｅａ［ 】Ｅａ［ ］＋鲁Ｅａ【 ３】 ４（ ［Ｙ－Ｉ）４＋３ 。（已 ］） Ｅ 】 －４ｔｈ ｍｏｍｅｎｔ Ｅ ４］ —１－ｅ４Ａｔ ４Ａｔ —Ｅ Ｉ—ｕ Ｆ．４］Ｊ ＋ 。（Ｅ ［ 】） ＋ ４ Ｅａ［ 】ＥＱ［ ３】 ＋釉 ４】 Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２．１ Ｕｎｄｅｒ Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ２．２．ｗｅ ｈａｖｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｅｎｔｒａｌ ｍｏｍｅｎｔｓ ｏｆ （・）ａｎｄ ｍｏｍｅｎｔｓ ｏｆ ａｓ ， 【（ （・）一ＥＢ， Ｉｘ（・）】） ］ 釉蛸， （２．３） ，ａ［（ （・）一 ， ＩＸ（・） 。】， （２．４） ， ［ （・）一 。ＩＸ（・）】）４】 ）２＋ （２．５） 第四期 张世斌张新生：离散抽样ＯＵ．复合Ｐｏｉｓｓｏｎ过程的参数矩估计 Ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ ｍｏｍｅ￣ｓ ａｎｄ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｍｏｍｅｎｔｓ ｈｏｌｄ： ， ，ｄ［ｘ（ｔ）ｌｘ（ｏ）＝ 】＝ｅ－－￣ｔｘ＋（１一ｅ－Ｘｔ）Ｅｐ，ａＩｘ（・）】， ，（２．６） （２．７） Ｖａｒｘ， 。 （ ）ｌ （０）＝ 】＝（１一ｅ－２Ａｔ）Ｍａｒ，ａ （・）】． Ｐｒｏｏｆ Ｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ（２．３）一（２．５）ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ Ｔａｂｌｅ １ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ．Ｆｒｏｍ ｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ（２．１）ａｎｄ（２．３），Ｔａｂｌｅ １ ａｎｄ ｔｈｅ Ｗａｌｄ’Ｓ ｉｄｅｎｔｉｔｙ，ｗｅ ｈａｖｅ ｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ（２．６）ａｎｄ（２．７）． 口 §３． Ｍｏｍｅｎｔ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ Ａｓｓｕｍｅ ｗｅ ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ａｔ ｄａｔｅｓ｛ｔｋ＝ △，ｋ：０，１，…，礼｝，ｗｈｅｒｅ Ａ＞０ ｉｓ ｉｆｘｅｄ．Ｆｏｒ ｃｌａｒｉｔｙ，１ｅｔ ＝Ｘ（ｋａ）（ｋ＝０，１，…，佗），ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓａｍｐｌｅ ｉｓ（ｘ０，Ｘ１，…， ）． Ｌｅｔ ｈｉ（ｘ； ，ｏＬ）ｊ ｘ－ＥＺ，￣［ ．］，ｈ２（ｘ； ，ｏＬ）＝（ —Ｅ ，Ｑ［ ．】）。－Ｖａｒｆｌ，ｃ￣ＩＸ．】，ａｎｄ ｈ（ ； ，Ｏ／） ：（ｈｉ（ｘ； ， ），ｈ２（ｘ； ， ）） ．Ｌｅｔ ｒｏｔ（ｄｘ）ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｍｅａｓｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｏｕ—ＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓ （ｔ）．Ｆｏｒ ａｎｙ，∈Ｌ２（ ，ｎ）ａｎｄ ａｎｙ入＞０，ｔｈｅ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｏｎ Ｌ （ 口，ａ）ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ，ｏｏ Ⅱ ＇Ｑ，（ ； ， ）：／ ，（ ； ，ａ）Ｐ（Ａ，ｚ，ｄ ；入， ， ）． 一∞ Ｌｅｍｍａ ３．１ Ｕｎｄｅｒ Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ２．１ ａｎｄ ２．２．ｗｅ ｈａｖｅ Ⅱ ’ ｈｆｆＬ。（ 芦， ）≤ｅ—Ａ△ＩｌｈｌｌＬ （ ， ）． （３．１） Ｐｒｏｏｆ Ｕｎｄｅｒ Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ２．１ ａｎｄ ２．２，ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ（２．６）ａｎｄ（２．７）ｔｈａｔ ｈｉ（ｙ； ，ａ）ｐ（Ａ， ，ｄｙ； ， ，Ｏ／） ：ｅ－ＡＡ（ — Ｅａ［Ｙ－１）＝ｅ－￣ａｈ１（ ； ， ）， ，ｏ。 ／ｈ２（ｙ； ，Ｑ）Ｐ（△， ，曲；入， ， ） —Ｏ０ ＝Ｍａｒ，ｘ， ， ［ｘｘ ＩＸｏ＝ 】＋ｅ－２ＸＡ ；（ ； ， ）一Ｍａｒ，ａＩｘ．］ ＝ｅ－２ＡＡ（（ —Ｅ卢，ａＩＸ．】） 一Ｍａｒｆｌ，。［ ．】）＝ｅ－２￣Ａｈ２（ｘ；ｆｌ， ）． Ｔｈｕｓ，Ｊ ＪⅡ ＇ ｈ１｝ｆ （ 卢，。） ｅ— △ｆｆ Ｉ ｆｆ￡ｚ（ 卢， ）ａｎｄ ｆｆⅡ ，Ｑｈ２ｆｆ ， ） ｅ— △ｆｆ ２ｆｆ （ 口， ）． Ｔｈｉｓ ｐｒｏｖｅｓ ｔｈｅ ｌｅｍｍａ． 口 Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｍｅａｓｕｒｅ Ｑ ，ａ ｏｎ ａｓ ｔｈｅ ｊｏｉｎｔ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ（ｘ０，ｘ１） ｉｎ ｔｈｅ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｓｔａｔｅ，ｉ．ｅ．，Ｑ ｐ，ａ（ｄ ，ｄ ）＝ ， （ｄｘ）Ｐ（Ａ， ，ｄｙ；Ａ， ， ）．Ｗｅ ｄｅｎｏｔｅ ｂｙ ｃ＿。 ｔｈｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ， ， ， ａｈ（ｘ）＝∑ ， ，口【ｈ（ ； ，￣）ｌＸ０＝ 】＿Ｉｎ ｋ＝０ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ，ｗｅ ｓｈａｌｌ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｔｒｕｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｖａｌｕｅ ｂｙ （ ｏ，Ｚ０，ｓ０）． 应用概率统计 第二十六卷 Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ３．１ Ｅ。ＩＶ］ａｎｄ Ｅ ＩＶ．。］ａｒｅ ａｌｌ ｔｗｉｃｅ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｌｙ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｂｌｅ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ Ｑ．Ａｎｄ ｄ（ＥＱ［ ］）Ｅ ［ 】≠，Ｅ ［ 】 （Ｅ ［ 。】） ｄ（ＥＱ［ ］）Ｅ ［ ］≠Ｅａ［ ］ （ＥａＩＶ．。】） Ｏｈ１．ｃ Ａｃ ， ，＝ｒｄｘ￣ 羹 ： 三 ；）：一 Ｅ４Ｖ ． ］２ 妻 ； ）．ｃ３．２ （（ ， ） 一（阮， 。） ） ｄ Ｎ（０，Ｖ占）， ｗｉｔｈ ｖ ＝Ａ（ ， ０）＿。ＶＡｈ３ｏ Ａ ｒ（Ｚｏ， ０）一１ （３．４） ａｎｄ ＶＡｈ＝／（ｈ（ ）＋ｕｈ（ｙ）一Ｕｈ（ ））（ｈ（ ）＋Ｕｈ（ｙ）一Ｕｈ（ ）） Ｑａ（ｄ ，ｄｙ）・ （３・５） Ｆｏｒ ｃｌａｒｉｔｙ ｗｅ ｈａｖｅ ｓｕｐｐｒｅｓｓｅｄ ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ（Ａｏ， ， ０）． ， Ｒｅｍａｒｋ ２ Ａｎ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｓｏｌｖｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎ（３．３）ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｔｈａｔ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｓｏｌｖｉｎｇ Ｘｋ——１ ，。（ ．））＝０， （３．６） 磺一 Ｅ口， （ ．。））＝０ 身 期 张世斌张新生：离散抽样ｏｕ一￣＃Ｐｏｉｓｓｏｎ过程的参数矩估计 ３９１ Ｕｎｄｅｒ Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ２．１，２．２ ａｎｄ ３．１，ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｖａｒｉａｎｃｅ ｖｏ Ｖ占＝ １（ｆｏ，ｓｅ Ａ ， 。 （Ｙｎ Ａｏ， ｌ＼ （入。，，Ｑ。ｏ； ｗｈｅｒｅ Ａ（ ， ）ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ（３．２）ａｎｄ ｄｅｔ（Ａ（ｌｆ， ））＝ 鲁（ ［ ］ （Ｅ。［ 】）一 ｄ（Ｅ ［ ］）Ｅ ［ 】）， Ⅵｌ（ ， ，Ｏ１）＝ １ｆ３（１＋ｅ…）２ＥⅡ 。］（ （Ｅ ））２ １ｆ３ 一 一ｔ－ 十ｅ＿－２ＡＡ ￣ ｄ／Ｅ ］） （Ｅ ＩＦ． ］）Ｅａ［ ３］ ＋１ｆ３ ｅ＿２Ａｘ／）（￣（Ｅ ［ 】）） （ （ＥＱＩＶ．。】）。＋三ＥｎｆＹ．４】）， ｖＩ２（Ａ， ， ）＝ １ｆ２ 一。ｅ－Ａｘ／） （Ｅａ［ 】） 未（Ｅ 。】） １ｆ ２ ＋ｅ＿２Ａ／Ｘ）ｄ （ ＩＶ． ］） ３］ Ｑ１ｆ，， ２ ／● ２ ２ 一一＿０＜ 一＜ ０ ｅ－２ＡＡ）Ｅ ［ ］ ｄ（Ｅ ［ 】）（ （Ｅ ［ 】）。＋三Ｅ。［ ４］）， ２（ａ， ，ａ）， 、ｌ，０ 、ｌ，Ｏ 、、ｌ，鲁（ １＋ｅ－Ａ／ｘ） （Ｅ Ｉｖ．２】）。一鲁（１＋ｅ－Ａａ＋ｅ－２Ａａ）ＥＱ ２ ＩＶ．３】 ＋＋ｅ－２Ａｘ／）（ＥａＩｖ．１） （ （Ｅ ［ 】） ＋ ＥＱ［ ４】）． Ｐｒｏｏｆ Ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｌｅｍｍａ ３．１．ｗｅ ｈａｖｅ （ｈ（ｘ）＋Ｕｈ（ｙ）一 ｈ（ ）） ＝（ （ ）＿ｅ－Ａａｈｌ（ ，南（ ３，）＿ｅ－２ＡＸ／ （ ）． ／（ （ ）－ｅ－ＡＡｈｌ（ ））。Ｑ ， （ｄ ，ｄ ） ＝（１＋ｅ－２Ａｘ／）ｖａｒ跏 】＿２ｅ－Ａｘ／／ 跏（ ／ （ ， ， ） ＝（１－ｔ－ｅ－２Ａ／ｘ）Ｖａ ｎ 】－２ｅ－２Ａ／Ｘｖａｒ ，口 】＝（１～ｅ一 Ａ）Ｖａｒｌｆ，ａＩｘ．］． Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ，ｕｓｉｎｇ（２．６）ａｎｄ（２．７），ｗｅ ａｌｓｏ ｏｂｔａｉｎ ｈ１（ ）＿ｅ－ＡＡ １（ｚ））（ ２（ ）＿＿ｅ－２ＡＡ ２（ｚ））Ｑ ａ（ 曲）：（Ｉ－ｅ－３Ａ／ｘ） ｎ ．）】 应用概率统计 第二十六卷 ａｎｄ ／．（ ｚ（ ）＿ｅ－２￣，Ａｈ２（ ）） Ｑ （ｄｘ，ｄｙ）＝（１－ｅ－４ＸＡ）（ 碍（ｘ－）］一（Ｖａｒ＃，ａ ．】） ）． Ｈｅｎｃｅ，ＶＡｈ ｄｅｉｆｎｅｄ ｂｙ（３．５）ｃａｎ ｂｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｂｙ Ｖ△ｈ＝ １一ｅ一２ＡＡ Ｂ（ ， ， ） －＇ｘ ｅ－２＂ＸＡ）Ｅ［ ｈ３（ Ｘ．）］ ＝ （１＋ｅＡ＋】（１ △）［㈣】＿（］）． Ｆｏｒ ｃｌａｒｉｔｙ ｗｅ ｈａｖｅ ｓｕｐｐｒｅｓｓｅｄ ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ（ ， ）．Ｓｉｎｃｅ ｗｅ ｈａｖｅ（２．４），（２．５），（３．２）ａｎｄ （３．４），ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ． 口 Ｒｅｍａｒｋ ３ Ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｕｎｋｎｏｗｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ＯＬ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ， ｉｓ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｕｎｋｎｏｗｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｎ ｔｈｅ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＯＵ—ＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓ．Ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ 一ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ｏｆ ，ｗｅ ｃａｎ ｏｎｌｙ ｅｘｐｌｏｉｔ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｈｌ（培 ｘ）＝Ｘ—Ｅ口 ．】糕 ． Ｔｈｕｓ．ｉｔ ｉｓ ｅｎｏｕｇｈ ｆｏｒ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｉｎ Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．１ ｔｏ ｒｅｐｌｌＪ ａｃｅ Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ２．２ ａｎｄ ３．１ ｗｉｔｈ ＥｌＹ． ］＜ｏ。．Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ， 卜 Ｖｈｈｌ－篝 Ｖａｒｚｏ ＩＸ．］ａｎｄ Ｅｘａｍｐｌｅ ３ （ｉ）Ｉｎ Ｅｘａｍｐｌｅ １，ｗｈｅｎ ｆｏｌｌｏｗｓ ａ Ｗｅｉｂｕｌｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃ ｉｓ ｋｎｏｗｎ，ｗｅ ｈａｖｅ Ｅ０ 】： １ ，上 Ｊ，１、 ａｎｄ Ｅ 。】＝ ２ ｒ／２、ｔｃ）’ Ｈｅｎｃｅ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ＝ ｗｈｅｒｅ ＝ ｎ ｋ －－１甄 ： 叠（地一 一 ） （３．７） Ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ，ｗｈｅｎ ｆｏｌｌｏｗｓ ａｎ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．ｗｅ ｈａｖｅ ｍ２＝Ａ ／ｏ ２＝ ， ／ （ｉｉ）Ｉｎ Ｅｘａｍｐｌｅ ２，ｗｈｅｎ ｆｏｌｌｏｗｓ ａ Ｐａｒｅｔｏ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｗｅ ｈａｖｅ Ｅ０ ］：ｉ／（ａ一１） ｉｆ ＞１ ａｎｄ ＥＱＩＦ． 】＝２／【（ —１）（Ｑ一２）】ｉｆ Ｑ＞２．Ｈｅｎｃｅ，ｉｆ ＯＺ＞２，ｗｅ ｏｂｔａｉｎ 一＝Ｘ竹（１＋ ／ ）， ＝２＋ ／ ， ｗｈｅｒｅ—Ｘｎ ａｎｄ ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｓ ｉｎ（３．７）． 一 第四期 张世斌张新生：离散抽样ＯＵ－复合Ｐｏｉｓｓｏｎ过程的参数矩估计 ３９３ Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．１ ｇｉｖｅｓ ＵＳ ａ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｅｒ（ ， ）．Ｔａｂｌｅ ２ ｒｅｐｏｒｔｓ ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ（ｉｆｎ， ）ｉｎ Ｅｘａｍｐｌｅ ３（ｉｉ）．Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｃａｓｅ，ｗｅ ｈａｖｅ ａｌｌ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ ４００ ｔｉｍｅｓ．Ｉｎ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ｗｅ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｔｉｍｅ ｉｎｔｅｒｖａｌ Ａ ｆｒｏｍ １ ｔｏ ３．Ａｎｄ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ａ，ｗｅ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｓａｍｐｌｅ ｎ ｆｒｏｍ ５００ ｔｏ １５００． Ｔａｂｌｅ ２ Ｍｅａｎｓ ａｎｄ Ｓｔａｎｄａｒｄ ｄｅｖｉａｔｉｏｎｓ ｏｆｒ ４００ ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ（ｉｆｎ， ） ｆｏｒ ｔｈｅ ＯＵ—ＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓ ｗｉｔｈ Ｐａｒｅｔｏ ｊｕｍｐｓ ｉｎ ｔｈｅ ＢＤＬＰ（Ｔｒｕｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｖａｌｕｅｓ ａｒｅ ＝０．５， ＝２，ＯＬ＝８） 一 ８ｎ ＾ （Ｉｎ △ ｎ Ｍｅａｎ Ｓ．Ｄ． Ｍｃａｎ Ｓ．Ｄ． １ ５００ ２．０５５ ０．２１９ ８．１８６ ０．７８０ ｉ０００ ２．００５ ０．１６２ ８．０１７ ０．６１７ １５００ ２．０１５ ０．１３８ ８．０７２ ０．５１５ １．５ ５００ ２．０３４ ０．１９０ ８．１３０ ０．７１３ １０００ ２．０１６ ０．１４０ ８．０６２ ０．５４６ １５００ ２．０１０ ０．１１５ ８．０３１ ０．４４５ ３ ５００ ２．０３５ ０．１７８ ８．１２２ ０．６５７ １０００ ２．０２９ ０．１１８ ８．１１０ ０．４５３ １５００ ２．０１０ ０．１０５ ８．０４８ ０．３９５ Ｒｅｍａｒｋ ４ Ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ＯＵ—ＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓ ｃａｎ ｂｅ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｅｓ— ｔｉｍａｔ。ｒ ｎ＝（１／ａ） １ｍａｘ＜ ＜｛ｌｎ Ｘｋ．１一Ｉｎ Ｘｋ｝ａｓ ｉｎ［６】，ｏｒ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔ。ｒ ｄｅｒｉｖｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｎｅｍｐｉｒｉｃａｌ ａｕｔｏｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓａ ｉｎ［７］． §４． Ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ Ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｏＵ—ＣＰ Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ 上’ｈｅ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｃｌｓａｓ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｏｕｔｌｉｎｅｄ ａｂｏｖｅ ｉｍｐｌｉｅｓ ｓｏｍｅ ｌｉｍｉｔａｔｉｏｎｓ． Ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ Ｏｒｎｓｔｅｉｎ—Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｗｉｔｈ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｒａｔｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ Ａ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｏ ｃａｐｔｕｒｅ ｍｏｒｅ ｒｅａｌｉｓｔｉｃ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｉｎ［２］．Ｔｈｅ ｅｍｐｉｒｉｃａｌ ｆｉｎｄｉｎｇｓ ｉｎ［１５】ｓｕｇｇｅｓｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ２ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｗｉｔｈ ｄｉｆｅｒｅｎｔ ｒａｔｅ ｉｓ ａｄｅｑｕａｔｅ ｆｏｒ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｄａｉｌｙ ｆｉｎａｎｃｉａｌ ｄａｔａ，ＳＯ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｏｎｌｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ａ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ Ｘｌ（ｔ），Ｘ２（ｔ）ｄｅｆｉｎｅｓ ａ ｎｅｗ ｐｒｏｃｅｓｓ ｘ（ｔ）ｔｈｒｏｕｇｈ ｘ（ｔ）＝Ｘｌ（ｔ）＋ｘ２（ｔ）， ３９４ 应用概率统计 第二十六卷 ｗｈｅｒｅ ｅａｃｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｐｒｏｃｅｓｓ （ ）（Ｊ＝１，２）ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ（１．１）ｗｉｔｈ ｉｔｓ ｏｗｎ ｓｐｅｃｉｉｆｃ ａｎｄ ｄｒｉｖｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓ ｚｊ（ｔ）ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ ａｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ａｃｒｏｓｓ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ． Ｈｅｒｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｓ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ａｔ ｄａｔｅｓ｛ｔｋ＝ｋＡ，ｋ＝０，１，…，礼）ｉｓ ｓｔｉｌｌ ａｓ— ｓｕｍｅｄ，ｗｈｅｒｅ△＞０ ｉｓ ｆｉｘｅｄ．Ｌｅｔ Ｘｋ＝ （尼△），（ ＝０，１，…，礼），ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓａｍｐｌｅ ｉｓ （ ， １，…， ）．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｌｅｔ Ｘｌｋ＝ＸＩ（ｋＡ），Ｘ２ｋ：Ｘ２（ｋａ），ａｎｄ ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓａｍｐｌｅｓ（ １ｏ，Ｘ１１，…，Ｘ１ｎ）ａｎｄ（Ｘ２０，Ｘ２１，…，Ｘ２ｎ）ａｒｅ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｏ ｂｅ ｓｅｅｎ．Ｆａｃｔｕａｌｌｙ， ｔｈｅｓｅ ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｃａｎ ｎｏｔ ｂｅ ｓｅｅｎ ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ．Ａｎｄ ｔｈａｔ ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｔｈｏｓｅ ｉｓ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｔｅｃｈ－ ｎｉｃａｌ ｍｅａｎｓ ｔｏ ｇｅｔ ｏｕｒ ｒｅｓｕｌｔｓ．Ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｌｅｍｍａ ３．１ ａｎｄ（３．６），ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ，●●●●Ｊ ●●●一－， ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｎ Ｅ［Ｘ１．］ａｎｄ Ｅ［Ｘ１． ］ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｓｏｌｖｉｎｇ ∑ ∑ ｛ｌ Ｅ［ Ｘｌｋ一１一Ｆ［Ｘ１．］］＝０， ２ Ｘ ｌ Ｅ［（Ｘｘ￣ｋ一１一Ｅ［Ｘ１． ］）＋２Ｅ［Ｘ２．］（ｘｌｋ一１一Ｅ［Ｘ１．】）］＝０． （４：２） Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ】ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｎ Ｅ［Ｘ２．】ａｎｄ Ｅ［Ｘ２．。］ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｓｏｌｖｉｎｇ Ｊ ＝１ ｌ Ｅ［Ｘ２ｋ一１一Ｅ［Ｘ２．】］＝０， ＝１ １Ｌ ［南（ 一ｌ—Ｅ［Ｘ２．。］）＋２Ｘｌ 一１（ ２ 一１一Ｅ［Ｘ２．】）］＝０． （４．３） Ｂｙ ｓｕｍｍｉｎｇ ｕｐ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｐａｒｔｓ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ｉｎ（４．２）ａｎｄ（４．３），ｗｅ ｒｅａｃｈ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｎ Ｅ［Ｘ．】ａｎｄ Ｅ［Ｘ． 】ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｓｏｌｖｉｎｇ １一Ｅ［Ｘ．］）＝０， （４．４） １一Ｅ［Ｘ．２］）＝０ Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ４．１ ｘ（ｔ）ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ（４．１）．Ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｒｅ Ｘｌ（ｔ） ａｎｄ ｘ２（ｔ）．ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅｍ ｓａｔｉｓｉｆｅｓ Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ２．１，２．２ ａｎｄ ３．１．ｘｊ（￡）ｈａｓ ｔｈｅ ＢＤＬＰ （￡），Ｊ：１，２． （￡）， ：，． ：（ ）：Ⅳ ｗｈｅｒｅ 川，， ， ｉ．ｉ．ｄ． ｒａｎｄｏｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ（ ）＝ ∑ ｕ ， 川，…ａｒｅ ・・ Ｖ叭ａｂ ｓ， ，（ １，２．｛ （ ））ａｎｄ｛ ‘ ））ａｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｅａｃｈ ｏｔｈｅｒ ａｎｄ ｏｖｅｒ ｉ．Ｔｈｅｙ ａｌｌ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｃｄｆ Ｇ（ ， ）， ＞０．｛Ⅳ（Ｊ）（ ），ｔ ０）ｉｓ ａ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ，Ｊ＝１，２・Ｍｏｒｅ０ｖｅｒ， ｛Ⅳ（１）（ｔ），ｔ ０）ａｎｄ｛Ⅳ【 ）（￡），ｔ ０）ａｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ． Ｓｉｎｃｅ ｗｅ ｈａⅣｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ ３．１ ａｎｄ ａｂｏｖｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｓ，ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｃａｓｅ ｉｓ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ ｉｆ Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ４．１ ｉｓ ｔｒｕｅ． Ｔｈｅ０ｒｅｍ ４．１ Ｕｎｄｅｒ Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ４．１，ｉｆ ｗｅ ｌｅｔ ＝ １＋ ２，ｔｈｅｎ ａｎ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ （ ， ），ｗｈｉｃｈ ｓｏｌｖｅｓ（４．４），ｅｘｉｓｔｓ ｗｉｔｈ ａ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｔｅｎｄｉｎｇ ｔｏ ｏｎｅ ａｓ ｎ 。Ｏ・Ｍｏｒ 第四期 张世斌张新生：离散抽样ＯＵ一复合Ｐｏｉｓｓｏｎ过程的参数矩估计 ３９５ ｏＶｅｒ，ａｓ几＿＿＋∞，（ ，ａｎ）－＿÷（Ｚ０， ０）ｉｎ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ（ｉｆｎ，ａｎ）ａｌｓｏ ｈａｓ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｎｏｒｍａｌｉｔｙ． Ｅｘａｍｐｌｅ ４ Ｉｆ ｔｈｅ ｍａｒｇｉｎａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ （ｔ）ｉｓ ｒ（岛， ）ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ＝ ｔｈｅｎ ｅｓｔｉｍａｔｏｒｓ ｏｆ ８＝ｆｌｌ＋８２ ａｎｄ仅ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ －２：Ａ ／ｏ ２， ＝ ／ ， ｗｈｅｒｅ—Ｘｎ ａｎｄ ａｒｅ ｄｅｉｆｎｅｄ ｓａ ｉｎ（３．７）． Ｓｏｍｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｎ Ｅｘａｍｐｌｅ ４ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ ｉｎ Ｔａｂｌｅ ３，ｗｈｅｒｅ ｌｆｌ： ＝３：１ ｉｓ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｏ ｂｅ ｋｎｏｗｎ．Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｃａｓｅ，ｗｅ ｈａｖｅ ａｌｌ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ ４００ ｔｉｍｅｓ． Ｉｎ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｉｘｅｄ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｔｉｍｅ ｉｎｔｅｒｖａｌ Ａ＝１，ｗｅ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｓａｍｐｌｅ ｎ ｆｒｏｍ ５００ ｔｏ １５００． Ｔａｂｌｅ ３ Ｍｅａｎｓ ａｎｄ Ｓｔａｎｄａｒｄ ｄｅｖｉａｔｉｏｎｓ ｏｆｒ ４００ ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ（ｌｆｌ礼， ２佗，ａｎ） ｏｆｒ ｔｈｅ ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｇａｍｍａ－ＯＵ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ（Ｔｒｕｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｖａｌｕｅｓ ａｒｅ ＡＩ＝０．２， ２＝１．２，ｆｌｌ＝３， ＝１ ａｎｄ ＯＬ＝６） 一 一 一 １ Ｏｌｎ ｎ Ｍｅａｎ Ｓ．Ｄ． Ｍｅａｎ Ｓ．Ｄ． Ｍｅａｎ Ｓ．Ｄ． ５００ ２．９８５ ０．４３４ ０．９９５ ０．１４５ ６．７４４ １．０１９ １０００ ２．９１３ ０．３１３ ０．９７１ ０．１０４ ６．５６１ ０．７３０ １５００ ２．９２１ ０．２５６ ０．９７４ ０．０８５ ６．５６８ ０．６１８ §５． Ｗｈｅｎ Ｔｈｅｒｅ Ｉｓ Ｎｏ Ｕｎｋｎｏｗｎ Ｐａｒａｍｅｔｅｒ ＯＬ Ｕｎｄｅｒ Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ２．１．ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｕｎｋｎｏｗｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ＯＬ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ａｎｄ ＥｌＹ． ］＜∞，ｔｈｅｎ（ ， ）ｉｓ ｔｈｅ ｕｎｋｎｏｗｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ＯＵ—ＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓ．Ｂｙ［１０］， ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｌｉｎｅａｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ（ ， ）ｉｓ 一０． （５．１） ｗｈｅｒｅ ｋ＝（ｋｌ，ｋ２） ，ａｎｄ １（Ａ， ， ； ， ）＝ Ｆ（Ａ， ； ， ） （△， ； ， ） ［Ｙ—Ｆ（Ａ， ； ， ）］， ｋ２（△， ， ； ， ）＝ Ｆ（Ａ， ； ， ） 咖（△，ｚ； ， ） ［Ｙ—Ｆ（Ａ， ； ， ）］， 应用概率统计 第二十六卷 ｗｉｔｈ Ｆ（Ａ， ； ， ）＝Ｅ ，￣［ＸｌｌＸｏ＝Ｘ］ａｎｄ （△， ； ， ）＝ＶａｒＡ，￣［ＸｌｌＸｏ＝ 】．Ｌｅｔ（ ｎ， ） ｂｅ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｎ ，ｎ 一 １ １ ｆ Ｉ ｎ∑Ｘｋ一１ 一（∑ １ 、 ＝１ ＝甄１ Ｃ ，＜ ｎ ｎ∑Ｘ ２—１ 一＝１ （ ∑ 礼 ＝１ ＝ ／，，．，．．．。。（５．２） ＼ ∑（ 一ｅ ＝１ ＝ ｈ△ Ｊｃ一１） ｎ（ｘ—ｅ－Ａ，￣Ａ）Ｅ ＬＹ．］ △ △ ｎ＿０（Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ（ ，３ｎ）Ｓｏｌｖｅｓ（５．１）ｗｉｔｈ ａ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｔｅｎｄｉｎｇ ｔ３． ０ ｏ ｏｎｅ ａｓ８ Ｑ Ｑ Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ａｓ ｎ－＿÷。ｏ，（Ａｎ， ） （ ｏ， ）ｉｎ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｄ ｄ （（ ， ） 一（ ０， ） ）一ｄ Ｎ（０，ｗ（ ０， ））， ｗｈｅｒｅ ｗ（ ０， ）＝ｃ（ ｏ，９０）一 ｗ△ｋ ０， ｃ （Ａ０，Ｚ０）一 ，ａｎｄ 一＝ 帆一厂／ ８Ｑ Ｑ △ △％一 ）， ｗ△ ＝／ｋ（△，甄＿ｌｊ凰； ， ）ｋ（△， ＿１Ｊ ） Ｑ （ｄｘ，ｄｙ） ＼、一、、一 ／－一／一ｌ ａｉａｇ（ △，（１－ｅ－＇ｘＡ） ｄｘ，ｄｙ ｄｘ，ｄｙ ＝ ｄｉａｇ（△２ｅ一２ＡＡ（１－－ｅ－ＡＡ） ） （５．３） 一Ａｃｔｕａｌｌｙ， ｗ（ ， ）：ｄｉａｇ（ （ 一１），１一－Ｉ－ｅ －＇ｘ￣Ａ△，３２（Ｅ［Ｙ ． ２］． Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ５．１ Ｕｎｄｅｒ Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ２．１．ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｕｎｋｎｏｗｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ Ｑ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉ。ｎ。ｆ ａｎｄ ＥｌＹ． 】＜。。，ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔ。ｒ ｂｙ ｓ。ｌｖｉｎｇ∑ｎ ｈｉ（ｘｋ１）：０ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ｂｙ ｓｏｌｖｉｎｇ（５．１）ｈａｖｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｓｙｍｐｔａｏｔｉｃ ｖａｒｉａｎｃｅ １ ｑ－ｅ一 ｏ△ Ｅｌｙ． ］ １一ｅ－Ａ０△２（Ｅ ］） Ｐｒｏｏｆ Ｓｉｎｃｅ ｗｅ ｈａｖｅ Ｒｅｍａｒｋ ３ ａｎｄ ｅｑｕａｌｉｔｙ（５．３），ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ． Ｅｘａｍｐｌｅ ５ Ｉｆ ｈａｓ ｔｈｅ ｐｄｆ 口 ｇ（ ）＝ 。 ＜ ）＋ １ １｛ ＜ ）＋ 。＜４）， 第四期 张世斌张新生：离散抽样ＯＵ一复合Ｐｏｉｓｓｏｎ过程的参数矩估计 ３９７ ｔｈｅｎ ＥｌＹ．】＝１７／２４＋１／（２ Ｉｎ ２）ａｎｄ ＥｌＹ． 】＝５／６＋３／（２ Ｉｎ ２）．Ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ：Ｘｎ／Ｅ［Ｙ．］， ｗｈｅｒｅ Ｘｎ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｓ ｉｎ（３．７）．Ａｎｄ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ（５．２）． Ｔａｂｌｅ ４ ｉｓ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｅｓｔｉｍａｔｏｒｓ ８ｎ ａｎｄ ８ｎ ｉｎ Ｅｘａｍｐｌｅ ５．Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｃａｓｅ，ｗｅ ｈａｖｅ ａｌｌ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ ４００ ｔｉｍｅｓ．Ｉｎ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ｗｅ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｓａｍｐｌｉｎｇ ｔｉｍｅ ｉｎｔｅｒｖａｌ △ｆｒｏｍ １ ｔｏ ２．Ａｎｄ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ａ．ｗｅ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｓａｍｐｌｅ ｎ ｆｒｏｍ ２００ ｔｏ １０００． Ｆｒｏｍ Ｔａｂｌｅ ４，ｗｅ ｃａｎ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ ｏｆ ｓｔａｎｄａｒｄ ｄｅｖｉａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ８ｎ ａｎｄ ８ｎ ｉｓ ｎｅｇｌｉｇｉｂｌｅ．ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｗｉｔｈ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ５．１． Ｔａｂｌｅ ４ Ｍｅａｎｓ ａｎｄ Ｓｔａｎｄａｒｄ ｄｅｖｉａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ４００ ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ８ｎ ａｎｄ ８ｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ＯＵ—ＣＰ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｎ Ｅｘａｍｐｌｅ ５（Ｔｒｕｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｖａｌｕｅｓ ａｒｅ ＝０．２ ａｎｄ ＝３） ＾ ～ △ 礼 Ｍｅａｎ Ｓ．Ｄ． Ｍｅａｎ Ｓ．Ｄ． １ ２００ ２．９９８ ０．３２９ ２．９９９ ０．３２９ ５００ ２．９９０ ０．２０６ ２．９８９ ０．２０８ １０００ ３．０１２ ０．１６１ ３．０１２ ０．１６１ ２ ２００ ２．９９７ ０．２３５ ２．９９８ ０．２３４ ５００ ３．００２ ０．１５５ ３．００３ ０．１５６ １０００ ３．００１ ０．１０５ ３．００１ ０．１０５ Ｒｅｍａｒｋ ５ Ａｌｔｈｏｕｇｈ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｖａｒｉａｎｃｅｓ ｏｆ ｅｓｔｉｍａｔｏｒｓ ８ｎ ａｎｄ ８ｎ ａｒｅ ｓａｍｅ｛８ｎ ｈａｓ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｒ ｆｏｒｍ，ａｎｄ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ． Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ 【１］Ｌｉ，Ｚ．Ｈ．，Ｏｒｎｓｔｅｉｎ－Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ ｔｙｐｅ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｎｄ ｂｒａｎｃｈｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｗｉｔｈ ｉｍｍｉｇｒａｔｉｏｎ，Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，３ｒ（２ｏｏｏ），６２７－６３４． 【２ｌ Ｂａｒｎｄｏｒｆｆ－Ｎｉｅｌｓｅｎ，Ｏ．Ｅ．ａｎｄ Ｓｈｅｐｈａｒｄ，Ｎ．，Ｎｏｎ－Ｇａｕｓｓｉａｎ ０ｒｎｓｔｅｉｎ Ｕ ｈｌｅｎｂｅｃｋ－ｂａｓｅｄ ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅｉｒ ｕｓｅｓ ｉｎ ｉｆｎａｎｃｉａｌ ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ（ｗｉｔｈ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ）， Ｒ．Ｓｔａｔｉｓｔ．Ｓｏｃ．Ｂ，６３（２００１），１６７－２４１． ［３】Ｃａｘｉｂｏｎｉ，Ｃ．ａｎｄ Ｓｃｈｏｕｔｅｎｓ，Ｗ．，Ｊｕｍｐｓ ｉｎ ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ ｍｏｄｅｌｓ：ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ Ｏｒｎｓｔｅｉｎ－Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｉｎ ｃｒｅｄｉｔ ｒｉｓｋ ｍｏｄｅｌｉｎｇ，Ｍｅｔｒｉｋａ，６９（２００９），１７３—１９８． 【４】Ｇｒｉｆｉｆｎ，Ｊ．Ｅ．ａｎｄ Ｓｔｅｅｌ，Ｍ．Ｆ．Ｊ．，Ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ ｗｉｔｈ Ｎｏｎ．Ｇａｕｓｓｉａｎ Ｏｒｎｓｔｅｉｎ－Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｆｏｒ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙｊ ｌｓｎｒａｌ ｏｆ Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃｓ，１３４（２００６），６０５－６４４． 【５】Ｒｏｂｅｒｔｓ，Ｇ．Ｏ．，Ｐａｐａｓｐｉｌｉｏｐｏｕｌｏｓ，Ｏ．ａｎｄ Ｄｅｌｌａｐｏｒｔａｓ，Ｐ．，Ｂａｙｅｓｉａｎ ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ ｆｏｒ ｎｏｎ．Ｇａｕｓｓｉａｎ Ｏｒｎｓｔｅｉｎ－Ｕｈｔｅｎｂｅｃｋ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，Ｉ，＿Ｒ．Ｓｔａｔｉｓｔ．Ｓｏｃ．Ｂ，６６（２）（２０ｏａ），３６９—３９３． 【６】Ｚｈａｎｇ，ｓ．Ｂ．，Ｚｈａｎｇ，Ｘ．Ｓ．ａｎｄ Ｓｕｎ ｓ．Ｇ．，Ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｓｃｒｅｔｌｙ ｓａｍｐｌｅｄ Ｇａｍｍａ－ＯＵ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，Ｓｃｉｅｎｃｅ ｉｎ Ｃｈｉｎａ．Ｓｅｒｉｅｓ Ａ，４９（９）（２００６），１２３１～１２５７． 应用概率统计 第二十六卷 Ｕ Ｍ Ｖａｌｄｉｖｉｅｓｏ，Ｌ．，Ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ ａｎ ＩＧ・ＯＵ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｍｏｄｅｌ，Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ３ｒｄ Ａｃｔｕａｒｉａｌ ａｎｄ Ｆｉｎａｎｃｉａｌ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｄａｙ，Ｖａｎｍａｅｌｅ，Ｍ．ｅｔ ａ１．，Ｋｏｎｉｎｋｌ￣ｋｅ Ｖｌａａｍｓｅ Ａｃａｄａｍｉｅ ｖａｎ Ｂｅｌｇｉｅ ｖｏｏｒ Ｗｅｔｅｎｓｃｈａｐｐｅｎ ｅｎ Ｋｕｎｓｔｅｎ，２００５，９５—１０４． Ｖａｌｄｉｖｉｅｓｏ，Ｌ．，Ｓｃｈｏｕｔｅｎｓ，Ｗ．ａｎｄ￣ｅｒｌｉｎｃｋｘ，Ｆ．，Ｍａｘｉｍｕｍ ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｉｎ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｏｆ Ｏｒｎｓｔｅｉｎ－Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ ｔｙｐｅ，Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｉｎｆｅｒｅｎｃｅ ｆｏｒ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，１２（２００９），１－１９． Ｂｉｂｂｙ，Ｂ．Ｍ．ａｎｄ Ｓｃｒｅｎｓｅｎ，Ｍ．，Ｍａｒｔｉｎｇａｌｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｄｉｓｃｒｅｔｅｌｙ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ｄｉｆｕｓｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ，１（１９９５），１７－３９． Ｓｃｒｅｎｓｅｎ，Ｍ．，Ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｄｉｓｃｒｅｔｅｌｙ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ｄｉｆｕｓｉｏｎｓ：ａ ｒｅｖｉｅｗ，Ｂａｓａｗａ，Ｉ．Ｖ．，Ｇｏ－ ｄａｍｂｅ，Ｖ．Ｐ．，Ｔａｙｌｏｒ，Ｒ．Ｌ．，Ｓｅｌｅｃｔｅｄ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ｏｎ Ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ＩＭＳ Ｌｅｃｔｕｒｅ Ｎｏｔｅｓ—Ｍｏｎｏｇｒａｐｈ Ｓｅｒｉｅｓ，３２，１９９７，３０５—３２５． Ｋｅｓｓｌｅｒ，Ｍ．，Ｓｉｍｐｌｅ ａｎｄ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ ｄｉｓｃｒｅｔｅｌｙ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ｄｉｆｕｓｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ， Ｓｃａｎｄ． Ｓｔａｔｉｓｔ．，２￣＇（２ｏｏｏ），６５—８２． Ｚｈａｎｇ，Ｓ。Ｂ．ａｎｄ Ｚｈａｎｇ，Ｘ．Ｓ．，Ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ｌａｗｓ ｏｆ ＯＵ・ｃｏｍｐｏｕｎｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ｓｕｂｍｉｔｔｅｄ． Ｚｈａｎｇ，Ｓ．Ｂ．ａｎｄ Ｚｈａｎｇ，Ｘ．Ｓ．，Ｅｘａｃｔ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ＩＧ—ＯＵ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，Ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｉｎ Ａｐｐｌｉｄｅ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，１０（３）（２００８），３３７—３５５． Ｚｈａｎｇ，Ｓ．Ｂ．ａｎｄ Ｚｈａｎｇ，Ｘ．Ｓ．，Ｏｎ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ｌａｗ ｏｆ ｔｅｍｐｅｒｅｄ ｓｔａｂｌｅ Ｏｒｎｓｔｅｉｎ—Ｕｈｌｅｎｂｅｃｋ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ， Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，４６（３）（２００９），７２１—７３１． Ｂａｒｎｄｏｒｆｆ－Ｎｉｅｌｓｅｎ，Ｏ．Ｅ．ａｎｄ Ｓｈｅｐｈａｒｄ，Ｎ．，Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｒｅａｌｉｚｅｄ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｉｔｓ ｕｓｅ ｉｎ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｖｏｌａｔｉｌｉｔｙ ｍｏｄｅ￣，Ｊ．Ｒ．Ｓｔａｔｉｓｔ．Ｓｏｃ．Ｂ（Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ），６４（２００２）， ２５３－２８０． 离散抽样ＯＵ．复合Ｐｏｉｓｓｏｎ过程的参数矩估计 张世斌 张新生 （上海海事大学数学系，上海，２０１３０６） （复旦大学管理学院统计学系，上海，２００４３３） 本文研究基于离散观测的正复合Ｐｏｉｓｓｏｎ过程驱动ＯＵ型过程的参数估计．通过矩估计给出了过程平稳分 布参数的估计量，并得到了估计量的相合性和渐近正态性．进一步，将矩估计的方法和结论推广到叠加过程的 情况． 关键词：ＯＵ型过程，复合Ｐｏｉｓｓｏｎ过程，鞅估计函数，简单估计函数． 学科分类号：Ｏ２１１．６４．