函数及其表示经典例题

一、教学目标

1. 巩固函数及其表示

二、上课内容

1、回顾上节课内容

2、函数及其表示知识点回顾 3、经典例题讲解 4、课堂练习

三、课后作业

见课后练习

一、上节课知识点回顾

1、集合中元素的三个特性

元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，

元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book中的字母构成的集合， 元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是

否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。例如：集合

1,2,3,4,5和集合5,4,3,2,1是相同的集合。

2、集合的表示方法

列举法：

定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

描述法：

定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

3、子集、空集的概念.

① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset），记作：AB(或BA)，读作：A包含于（is contained in）B，或B包含(contains)A.

空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

4、交集、并集.

① 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即： AB{x|xA,且xB}.

B Venn图如右表示. A

② 类比说出并集的定义.

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作：AB，读作：A并B，用描述法表示是：

AB{x|xA,或xB}.

B A Venn图如右表示.

二、函数及其表示知识点回顾

1．映射的概念

设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射,记作f(x).

注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定

唯一。

2．函数的概念

(1)函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对A中的 任意数 x，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应，则这样的对应关系叫做从A到B的一个函数，通常记为___y=f(x),x∈A

(2)函数的定义域、值域

在函数yf(x),xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。

(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则 3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； （2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

5．区间的表示：例如[a,b]

三、经典例题讲解

（一）映射的概念

设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射,记作f(x).

例1：下述两个个对应是A到B的映射吗？ （1）AR，B{y|y0}，f:xy|x|； （2）A{x|x0}，B{y|yR}，f:xyx．

变式训练：若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，a,b,cR，则A到B的映射有 个，B到A的映射有 个

（二）判断两函数是否为同一个函数

方法：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。 例2： 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f(x)x2，g(x)3x3；

（2）f(x)

xx，g(x)11x0,x0;

（三）求函数解析式

方法：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法； （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 题型1：用待定系数法求函数的解析式

例3：已知函数fx是一次函数,且f[f(x)]9x4,求fx表达式.

例4：二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f (x)＞2x＋5.

题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式 例5：已知二次函数f(x)满足f(2x1)4x26x5，求f(x)

题型3：求抽象函数解析式

例6：已知：2f(x)3f(x)x1，求fx表达式.

（四）求函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 例7：函数fxx24A．2，，2

1的定义域为（ x3）

B．2,33， D．，2

C．，22,33，

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域

例8：已知yf(2x1)的定义域是（-2，0），求yf(2x1)的定义域

（五）求函数的值域 求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法， 例9：yx22x3

(2)换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数 例9：yx12x

（3）分段函数:分别求函数值域，

22xx(0x3)例9：函数f(x)2的值域是（ ）

x6x(2x0)A．R B．9, C．8,1 D．9,1 （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。

1x2例10：y2

x1（5）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

四、课堂练习

1、已知fx是一次函数且2f23f15,2f0f11,则fx（ A．3x2 2、函数f(x)

B．3x2

(x1)0xx）

C．2x3 D．2x3

的定义域是（ ）

A.x|x0 B. x|x0 C. x|x0且x1 D. x|x0且x1

3、设函数y111x的定义域为M，值域为N，那么 （ ）

(A)M{xx0},N{yy0} (B)M{xx0},N{yyR}

(C)M{xx0且x1,或x0}，N{yy0或0y1或y1}

(D)M{xx1或1x0或x0}， N{yy0}

4、判断以下各组函数是否表示同一函数 （1）f(x)xx1，g(x)x2x；

（2）f(x)x22x1，g(t)t22t1

（3）f(x)2n1x2n1，g(x)(2n1x)2n1（n∈N*）； 5、已知fx1x1,则fx_____________。

6、已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为1，且f (x)＋g(x)为奇函数，求函数f(x)的表达式．

7、．已知函数f(x)满足f(x)2f()3x，求f(x)

1x

8、已知函数yf(x1)的定义域为[-2，3]，则yf2x1的定义域是_________

9、求y2x28x5 的值域： （1）x[1,1] （2）x[1,4]

10、求下列函数的值域 （1）f(x)2x34x13

（2） y3x24x3

五、课后练习

1、已知yf(x2)的定义域是[a，b]，求函数yf(x)的定义域

2、求函数yx3x5的值域

3）x[4,8]

（

3、设函数f(x)与g(x)的定义域是xR且x1,f(x)是偶函数, g(x)是奇函数,且

f(x)g(x)1x1,求f(x)和g(x)的解析式.