2018年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设全集UR，集合A1,0,1,2，Bx|log2x1，则AA．1,2

B．1,0,2

C．2

(ðUB)（ ）

D．1,0

2.复数z满足z(12i)3i，则z（ ） A．1i

B．1i

C．

1i 5D．

1i 53.设等差数列an的前n项和为Sn，若a37，S312，则a10（ ） A．10 4.“cos2B．28

C．30

D．145

1”是“k(kZ)”的（ ） 26B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条

A．充分不必要条件 件

5.已知定义域为I的偶函数f(x)在(0,)上单调递增，且x0I，f(x0)0，则下列函数中符合上述条件的是（ ） A．f(x)x|x| C．f(x)log2|x|

2

B．f(x)22 D．f(x)x43xx

6.已知向量a，b满足|ab|3且b(0,1)，若向量a在向量b方向上的投影为2，则

|a|（ ）

A．2

B．23 C．4

D．12

7.中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“ ”处应填入（ ）

A．

a2Z 21B．

a2Z 15C．

a2Z 7D．

a2Z 38.如图，在矩形ABCD中，AB2，AD3，两个圆的半径都是1，且圆心O1，O2均在对方的圆周上，在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）

A．

23 12B．

423 24C．

1063 36D．

833 369.设函数y6cosx与y5tanx的图象在y轴右侧的第一个交点为A，过点A作y轴的平行线交函数ysin2x的图象于点B，则线段AB的长度为（ ）

A．5 B．

35 2C．

145 9D．25 10.某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（ ）

A．18

B．883 C．24

D．1265 x2y211.已知双曲线221（a0，b0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的

ab左支上，PF2与双曲线的右支交于点Q，若PFQ1为等边三角形，则该双曲线的离心率是（ ） A．2 B．2

C．5 D．7 12.已知函数f(x)lnxa，g(x)axb1，若x0，f(x)g(x)，则值是（ ） A．1e

B．1e

C．e

1b的最小aD．2e

1第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组1~20号，第二组21~40号，…，第五组81~100号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为 ．

x3y30,14.已知实数x，y满足xy10,若目标函数zaxy在点(3,2)处取得最大值，

xy10,则实数a的取值范围为 ．

15.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为

（用数字作答）．

2216.设集合A(x,y)|(x3sin)(y3cos)1,R，

记PAB，则点集P所表示的轨迹长度为 ． B(x,y)|3x4y100，

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.设函数f(x)cos(2x6)2sinxcosx．

（1）求f(x)的单调递减区间； （2）在ABC中，若AB4，f(C1)，求ABC的外接圆的面积． 2218.重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“1元/公里0.2元/分钟”．刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他：“上下班往返总路程虽然只有10公里，但偶尔开车上下班总共也需花费大约1小时”，并将自己近50天的往返开车的花费时间情况统计如表：

时间（分钟） 次数 10 18 12 8 2 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) 将老李统计的各时间段频率视为相应概率，假定往返的路程不变，而且每次路上开车花费时间视为用车时间．

（1）试估计小刘每天平均支付的租车费用（每个时间段以中点时间计算）；

（2）小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟，租用“共享吉利博瑞车”为他该日的“最优选择”，小刘拟租用该车上下班2天，设其中有天为“最优选择”，求的分布列和数学期望．

19.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，C1C平面ABC，侧面ABB1A1是正方形，点E为棱AB的中点，点M、N分别在棱A1B1、AA1上，且A1M3A1B1，8AN1AA1． 4

（1）证明：平面CMN平面CEN；

（2）若ACBC，求二面角MCNA1的余弦值．

x2y220.椭圆E：221(ab0)的左右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，左右顶点分别

ab为A1，A2，P为椭圆E上的动点（不与A1，A2重合），且直线PA1与PA2的斜率的乘积为

3． 4

（1）求椭圆E的方程；

（2）过F2作两条互相垂直的直线l1与l2（均不与x轴重合）分别与椭圆E交于A，B，C，

D四点，线段AB、CD的中点分别为M、N，求证：直线MN过定点，并求出该定点

坐标．

221.已知函数f(x)lnx，g(x)axbx（a0，bR）.

（1）若a2，b3，求函数F(x)f(x)g(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点(x1,f(x1))，(x2,f(x2))，记

x0x1x2，记f'(x)，g'(x)分别是f(x)，g(x)的导函数，证明：f'(x0)g'(x0)． 2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

xt2,在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴

y2t正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为5cos． （1）写出曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；

（2）记曲线C1和C2在第一象限内的交点为A，点B在曲线C1上，且AOB2，求

AOB的面积．

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)|x2||xa2|．

（1）若关于x的不等式f(x)a有解，求实数a的取值范围； （2）若正实数m，n满足m2na，当a取（1）中最大值时，求

11的最小值． mn

2018年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷理科数学答案 一、选择题

1-5:BABBC 6-10:AADCC 11、12：DB

二、填空题

13.64 14.[,) 15.36 16.43 13三、解答题

17.解：（1）f(x)cos(2x令2k6)sin2x312cos2xsin2xsin2xsin(2x)， 2232352kxk，解得k，kZ，

23212125]，kZ． 单调递减区间为[k,k12122125)，C（2）sin(C，C， 32366AB8，r4，外接圆面积S16． 外接圆直径2rsinC2x18.解：（1）由题可得如下用车花费与相应频率的数表：



估计小刘平均每天用车费用为

140.2160.36180.24200.16220.0416.96．

（2）可能的取值为0,1,2，

用时不超过45分钟的概率为0.8，~B(2,0.8)，

01P(0)C20.800.220.04，P(1)C20.810.210.32，2P(2)C20.820.200.64，

 P 0 0.04 1 0.32 2 0.64 E()20.81.6．

19.解：（1）设AB8，则A1M3，AN2，A1N6，tanNEAAN1， AE2tanMNA1又NEAA1M1，NEAMNA1， AN2ENA，所以MNA122ENA，MNEN，

BCAC，CEAB，ABCA1B1C1为直三棱柱，∴CE平面AA1B1B，

∴MNCE，MN平面CEN，平面CMN平面CEN．

（2）由ACBC，以C为原点CB，CA，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，M(3252,,8)，N(0,42,2)， 22设平面CMN的法向量为n1(x,y,z)，

n1CM0,由解得n1(92,2,4)． n1CN0,平面CNA1的法向量n2(1,0,0)， 设所求二面角平面角为，cosn1n2310． 10|n1||n2|x02y02a2y022220.解：（1）设P(x0,y0)，由题221，整理得x0a，

abb24y0y30，整理得x02a2y02，

3x0ax0a4结合c1，得a24，b23，

x2y21． 所求椭圆方程为43（2）设直线AB：yk(x1)，联立椭圆方程3x24y212，得

(4k23)x28k2x4k2120，

18k24k23k2得xM2，yMk(xM1)2，

4k324k34k3413()2413kkk∴xN，， y(x1)NN2244k343k343k22kk由题，若直线AB关于x轴对称后得到直线A'B'，则得到的直线M'N'与MN关于x轴对称，所以若直线MN经过定点，该定点一定是直线M'N'与MN的交点，该点必在x轴上． 设该点为P(s,0)，MP(sxM,yM)，NM(xMxN,yMyN)， 由MP//NM，得s4xNyMxMyN，代入M，N坐标化简得s，

7yMyN经过定点为(,0)．

21.解：（1）F(x)lnx2x3x，F'(x)2471(4x1)(x1)4x3， xx11F(x)在(0,)上单调递增，在(,)上单调递减．

4412ax02bx01（2）f'(x0)g'(x0)， (2ax0b)x0x0x1x22x1x22a(x1x2)2b(x1x2)12ax0bx012a()b，

2222ax12bx1lnx1，ax22bx2lnx2， a(x1x2)(x1x2)b(x1x2)lnx1x1，即a(x1x2)bln1， x2x1x2x2x11xxxxxa(x1x2)2b(x1x2)12ln12ln1，

x1x2x2x11x2x2x1lnx（x1）， x1x12(x1)44lnx2,即lnx22， 下证h(x)，即lnxx1x1x1x1不妨设x1x2，令h(x)14(x1)24u(x)lnx，u'(x)，所以u(x)u(1)2， 22x1x(x1)x(x1)∴a(x1x2)2b(x1x2)2，f'(x0)g'(x0)． 22.解：（1）由题C1：y4x，sin2224cos，即sin24cos，

C2：x2y25x．

（2）联立y4x和xy5x，得xA1，yA2，

222m1m2,m)，由OAOB，2，得m8，B(16,8)， 设B(m244SAOB11|OA||OB|58520． 2222223.解：（1）|x2||xa||(x2)(xa)||a2|，x2时等号成立，

222∴f(x)的最小值为|a2|，|a2|a，aa2a，a1,2．

（2）a2时，2(∴

1111)(m2n)()(12)2， mnmn1132，m222，n22时等号成立． mn2