山东省枣庄市2022年中考数学真题

山东省枣庄市2022年中考数学真题

阅卷人 一、单选题(共10题；共20分)

得分 1．（2分）实数﹣2023的绝对值是（ ）

A．2023

【答案】A

B．﹣2023

C．1 2023D．−1 2023【解析】【解答】解：因为负数的绝对值等于它的相反数，

所以，﹣2023的绝对值等于2023． 故答案为：A．

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数求解即可。

2．（2分）下列运算正确的是（ ）

A．3a2﹣a2＝3

C．（﹣3ab2）2＝﹣6a2b4

【答案】B

B．a3÷a2＝a

D．（a+b）2＝a2+ab+b2

【解析】【解答】A、3a2﹣a2＝2a2，故A不符合题意；

B、a3÷a2＝a，故B符合题意；

C、（﹣3ab2）2＝9a2b4，故C不符合题意； D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D不符合题意； 故答案为：B．

【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式计算求解即可。

3．（2分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”

字所在面相对的面上的汉字是（ ）

A．青

【答案】D

B．春 C．梦 D．想

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【解析】【解答】在原正方体中，

与“亮”字所在面相对的面上的汉字是：想， 与“点”字所在面相对的面上的汉字是：春， 与“青”字所在面相对的面上的汉字是：梦， 故答案为：D．

【分析】根据所给的正方体的展开图计算求解即可。

4．（2分）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称

图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】【解答】A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故答案为：D．

【分析】 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形。 轴对称图形是指一条轴线的两边完全对称的图形，形状都完全对称。 根据所给的中心对称图形和轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。

5．（2分）2022年5月，神舟十三号搭载的1.2万粒作物种子顺利出舱．其中1.2万用科学记数法表

示为（ ）

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A．12×103

【答案】B

B．1.2×104 C．0.12×105 D．1.2×106

【解析】【解答】解：1.2万＝12000＝1.2×104．

故答案为：B．

【分析】 “科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式

（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。 根据科学记数法的定义计算求解即可。

6．（2分）在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防

安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是（ ） A．1

2【答案】D

【解析】【解答】解：设“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容分别为A、B、

B．1 3C．2 3D．1

4C、D，画树状图如下：

共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种， 则两人恰好选中同一主题的概率为4=1．

164故答案为：D．

【分析】先画树状图，再求出共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，最后求概率即可。

7．（2分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别

为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）

3 / 29

A．28°

【答案】A

B．30° C．36° D．56°

【解析】【解答】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，

∵∠AOB＝86°−30°＝56°， ∴∠ACB＝1∠AOB＝1×56°＝28°．

22故答案为：A．

【分析】先求出∠AOB＝86°−30°＝56°，再求解即可。

8．（2分）如图，将∠ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到∠A′B′C′，

则点B的对应点B′的坐标是（ ）

A．（4，0）

【答案】C

B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（2，﹣3）

【解析】【解答】作出旋转后的图形如下：

4 / 29

∴B'点的坐标为（4，﹣1）， 故答案为：C．

【分析】根据平移和旋转的性质作图，再求点的坐标即可。

9．（2分）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数

n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（ ）

A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 C．y1＝﹣1和y2＝﹣x﹣1

𝑥【答案】B

【解析】【解答】A、令y1+y2＝1，

B．y1＝1和y2＝x+1

𝑥D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1

则x2+2x﹣x+1＝1， 整理得：x2+x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣1，

∴函数y1和y2是“和谐函数”，故A不符合题意； B、令y1+y2＝1， 则1+x+1＝1， 𝑥整理得：x2+1＝0， 此方程无解，

∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故B符合题意； C、令y1+y2＝1，

1

则﹣﹣x﹣1＝1，

𝑥整理得：x2+2x+1＝0，

5 / 29

解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1，

∴函数y1和y2是“和谐函数”，故C不符合题意； D、令y1+y2＝1， 则x2+2x﹣x﹣1＝1， 整理得：x2+x﹣2＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣2，

∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D不符合题意； 故答案为：B．

【分析】根据和谐函数的定义对每个选项一一判断即可。

10．（2分）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函

数y＝𝑘（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）

𝑥

A．4

【答案】C

B．﹣4 C．﹣3 D．3

【解析】【解答】解：如图，过点C作CE∠y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABO+∠CBE＝90°， ∵∠OAB+∠ABO＝90°，

6 / 29

∴∠OAB＝∠CBE， ∵点A的坐标为（4，0）， ∴OA＝4， ∵AB＝5，

∴OB＝√52−42＝3，

∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐶𝐵𝐸在∠ABO和∠BCE中，{∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝐸𝐶，

𝐴𝐵=𝐵𝐶∴∠ABO∠∠BCE（AAS）， ∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3， ∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1， ∴点C的坐标为（﹣3，1），

∵反比例函数y＝𝑘（k≠0）的图像过点C，

𝑥∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3， 故答案为：C．

【分析】利用勾股定理先求出OB=3，再求出∠ABO∠∠BCE，最后求解即可。

阅卷人 二、填空题(共6题；共6分)

得分 11．（1分）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射.如图，水面

𝐴𝐵 与水杯下沿 𝐶𝐷 平行，光线变成 𝐹𝐻 ，点G在射线 𝐸𝐹 上， ∠𝐹𝐸𝐷=45°，∠𝐻𝐹𝐵=20∘ ，则 ∠𝐺𝐹𝐻= °.

【答案】25

【解析】【解答】解：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷 ，

∴∠𝐺𝐹𝐵=∠𝐹𝐸𝐷=45° . ∵∠𝐻𝐹𝐵=20° ，

7 / 29

∴∠𝐺𝐹𝐻=∠𝐺𝐹𝐵−∠𝐻𝐹𝐵=45°−20°=25° . 故答案为：25.

【分析】由平行线的性质可得∠GFB=∠FED=45°，然后根据角的和差关系进行求解.

12．（1分）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它

的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝ ．

√【答案】3

3【解析】【解答】连接BC、AC，

∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，

∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC， ∴∠ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵BE∠AC，

1

∴∠ABE＝∠ABC＝30°，

2√

∴tan∠ABE＝tan30°＝3，

3√

故答案为：3．

3【分析】先求出AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，再求出∠ABC＝60°，最后利用锐角三角函数求解即可。

13．（1分）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有

牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只

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羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 两．

18

【答案】

7【解析】【解答】解：设每头牛x两，每只羊y两，

5𝑥+2𝑦=10，

根据题意，可得{

2𝑥+5𝑦=8，∴7𝑥+7𝑦=18，

18

∴𝑥+𝑦=7，

18

∴1头牛和1只羊共值金两，

718

故答案为：．

75𝑥+2𝑦=10，18

【分析】先求出{再求出𝑥+𝑦=，最后求解即可。

72𝑥+5𝑦=8，

14．（1分）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝

30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到∠AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 ．（结果保留π）

4𝜋

【答案】 3【解析】【解答】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，

∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，

由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°，

60𝜋·44𝜋 ∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为，

180=3故答案为：4𝜋．

3【分析】先求出AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°，再求出∠BAB′＝∠BAC＝60°，最后求解即可。

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115．（1分）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于BD的2长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝ ．

【答案】2√5

【解析】【解答】解：如图，连接BM．

由作图可知MN垂直平分线段BD， ∴BM＝DM＝5． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，CD∠AB．

∴BC＝√𝐵𝑀2−𝐶𝑀2＝√52−32＝4． ∴BD＝√𝐶𝐵2+𝐶𝐷2＝√42+82＝4√5． ∴OB＝OD＝2√5． ∵∠MOD＝90°，

∴OM＝√𝐷𝑀2−𝑂𝐷2＝√52−(2√5)2＝√5．

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∵CD∠AB， ∴∠MDO＝∠NBO． 在∠MDO和∠NBO中，

∠𝑀𝐷𝑂=∠𝑁𝐵𝑂，

{

𝑂𝐷=𝐵𝑂，

∠𝑀𝑂𝐷=∠𝑁𝑂𝐵，

∴∠MDO∠∠BNO（ASA）． ∴OM＝ON＝√5． ∴MN＝2√5． 故答案为：2√5．

【分析】利用勾股定理，全等三角形的判定与性质求解即可。

16．（1分）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）

图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 ．（填序号，多选、少选、错选都不得分）

【答案】①②③

【解析】【解答】∵抛物线对称轴在y轴的左侧，

∴ab＞0，

∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0，①符合题意； ∵抛物线经过（1，0）， ∴a+b+c＝0，②符合题意．

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∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴另一个交点为（﹣3，0），

∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③符合题意； ∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下， ∴y2＞y1＞y3，④不符合题意．

∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）， ∴a+b+c＝0， ∵−

𝑏

＝﹣1， 2𝑎∴b＝2a，

∴3a+c＝0，⑤不符合题意． 故答案为：①②③．

【分析】利用二次函数的图象与性质对每个结论一一判断即可。

阅卷人 三、解答题(共8题；共87分)

得分 17．（10分）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把

解集表示在数轴上．

①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③4x+3≥1﹣2x．

33

【答案】若选择①、③：

2𝑥−1<7①

， {42

𝑥+3≥1−3𝑥②3解不等式①得：x＜4， 解不等式②得：x≥﹣1， ∴不等式组的解集是﹣1≤x＜4， 把解集表示在数轴上如下：

12 / 29

若选择②、③： 5𝑥−2>3(𝑥+1)①

， {42

𝑥+3≥1−𝑥②33解不等式①得：x＞5，

2解不等式②得：x≥﹣1， ∴不等式组的解集是x＞5，

2把解集表示在数轴上如下：

【解析】【分析】利用不等式的性质求解即可。

𝑥𝑥2−418．（5分）先化简，再求值：（𝑥−2﹣1）÷2，其中x＝﹣4．

𝑥−4𝑥+4 【答案】解：原式＝𝑥−(𝑥−2)·(𝑥−2)

𝑥−2(𝑥−2)(𝑥+2)2

＝＝

2𝑥−2

𝑥−2·𝑥+22 𝑥+2当x＝﹣4时，

2

原式＝＝﹣1．

−4+2【解析】【分析】先化简分式，再将x的值代入计算求解即可。

19．（12分）每年的6月6日为“全国爱眼日”．某初中学校为了解本校学生视力健康状况，组织数学

兴趣小组按下列步骤来开展统计活动． （1）（1分）一、确定调查对象

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有以下三种调查方案：

方案一：从七年级抽取140名学生，进行视力状况调查；

方案二：从七年级、八年级中各随机抽取140名生，进行视力状况调查； 方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查． 其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是 ； （2）（1分）二、收集整理数据

按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类别 视力 健康状况 人数 A 视力≥5.0 视力正常 160 B 4.9 轻度视力不良 m C 4.6≤视力≤4.8 中度视力不良 n D 视力≤4.5 重度视力不良 56

分析数据，解答问题

调查视力数据的中位数所在类别为 类；

（3）（5分）该校共有学生1600人，请估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数；

（4）（5分）为更好保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议．

【答案】（1）方案三

（2）B

（3）解：1600×(100%−40%−16%)=704（人），答：该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数约为704人．

（4）解：该校学生近视程度为中度及以上占比为100%−40%−16%=44%，说明该校学生近视程

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度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控（答案不唯一）．

【解析】【解答】解：（1）解：由抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三：从全校1600名

学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查，作为样本进行调查分析，是最正确的．故答案为：方案三．

（2）解：因为𝐴类的占比为40%<50%，𝐴类和𝐵类的占比之和为16%+40%=56%>50%，所以调查视力数据的中位数所在类别为𝐵类，故答案为：𝐵． 【分析】（1）根据题意对每个方案一一判断即可； （2）根据中位数的定义求解即可；

（3）根据题意求出 1600×(100%−40%−16%)=704（人） 即可作答； （4）先求出 该校学生近视程度为中度及以上占比为 44%，再求解即可。

20．（5分）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小

组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告． 测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告 活动测量台儿庄古城城门楼高度 课题 活动运用三角函数知识解决实际问题 目的 活动测角仪、皮尺等测量工具 工具 如图② ∠利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°； 测方案量示意图 骤 点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．

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∠前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在 步同一水平线上，A，B两

参考数据 计算城门楼PO的高 度（结果保留整数） 【答案】解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，

sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5． 在Rt∠AOP中，tan∠OAP＝𝑂𝑃＝tan56°≈1.5，

𝑂𝐴∴OP≈1.5OA＝1.5x米，

在Rt∠BOP中，tan∠OBP＝𝑂𝑃＝tan39°≈0.8，

𝑂𝐵∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米， ∴1.5x＝0.8（x+10），

80解得：x＝，

780

∴OP≈1.5x＝1.5×≈17米，

7答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米．

【解析】【分析】结合题意，利用锐角三角函数计算求解即可。

21．（10分）如图，在半径为10cm的∠O中，AB是∠O的直径，CD是过∠O上一点C的直线，且

AD∠DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．

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（1）（5分）求证：CD是∠O的切线； （2）（5分）求AD的长．

【答案】（1）证明：连接OC，如图：

∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD∠DC，∴CO∠DC，∵OC是∠O的半径，∴CD是∠O的切线；

（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，∴OE是∠ABC的中位线，AC＝2OE，∵OE＝6，∴AC＝12，∵AB是∠O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC∠∠CAB，∴

36𝐴𝐷𝐴𝐶𝐴𝐷12

，即，∴AD=． ==𝐴𝐶𝐴𝐵12205【解析】【分析】（1）先求出 ∠DAC＝∠CAO ，再求出 CO∠DC， 最后证明求解即可；

（2）利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。

22．（15分）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中

硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：

时间x（天） 硫化物的浓度y（mg/L） 3 4.5 5 2.7 6 2.25 9 1.5 …… …… 17 / 29

（1）（5分）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； （2）（5分）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；

（3）（5分）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？

【答案】（1）解：由前三天的函数图象是线段，设函数表达式为：y=kx+b把（0，12）（3，4.5）代

12=𝑏 入函数关系式，得{，解得：k=﹣2.5，b=12∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x

4.5=3𝑘+𝑏的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；

（2）解：当x≥3时，设y=𝑘，把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=𝑘，解得k=13.5，∴当x≥3

𝑥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=13.5 ；

𝑥13.5=0.9（3）解：能，理由如下：当x=15时，y=，因为0.9＜1，所以该企业所排污水中硫化物的浓

15度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．

【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；

（2）先求出 4.5=𝑘， 再求出k的值，最后求解即可；

3（3）先求出 y=

13.5=0.9

，再求解即可。

1523．（10分）已知∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒√2cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，

设运动的时间为t秒．

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（1）（5分）如图①，若PQ∠BC，求t的值；

（2）（5分）如图②，将∠PQC沿BC翻折至∠P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？

【答案】（1）解：如图①，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，

∴AB＝√𝐴𝐶2+𝐵𝐶2＝√42+42=4√2（cm）， 由题意得，AP＝√2tcm，BQ＝tcm， 则BP＝（4√2﹣√2t）cm， ∵PQ∠BC， ∴∠PQB＝90°， ∴∠PQB＝∠ACB， ∴PQ∥AC， ∴{

∠𝐵𝑃𝑄=∠𝐵𝐴𝐶

∠𝐵𝑄𝑃=∠𝐵𝐶𝐴

，

∴△𝐵𝑃𝑄∽△𝐵𝐴𝐶， ∴𝐵𝑃𝐵𝐴＝𝐵𝑄𝐵𝐶， ∴4√2−√2𝑡4√2=4𝑡

，

解得：t＝2，

∴当t＝2时，PQ∠BC．

（2）解：作𝑃𝐷⊥𝐵𝐶于𝐷，𝑃𝐸⊥𝐴𝐶于𝐸，如图，

/ 29

19

𝐴𝑃=√2𝑡，𝐵𝑄=𝑡𝑐𝑚，(0⩽𝑡<4) ∵∠𝐶=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=4𝑐𝑚， ∴𝛥𝐴𝐵𝐶为直角三角形， ∴∠𝐴=∠𝐵=45°，

∴𝛥𝐴𝑃𝐸和𝛥𝑃𝐵𝐷为等腰直角三角形，

√2∴𝑃𝐸=𝐴𝐸=2𝐴𝑃=𝑡𝑐𝑚，𝐵𝐷=𝑃𝐷，

∴𝐶𝐸=𝐴𝐶−𝐴𝐸=(4−𝑡)𝑐𝑚， ∵四边形𝑃𝐸𝐶𝐷为矩形， ∴𝑃𝐷=𝐸𝐶=(4−𝑡)𝑐𝑚， ∴𝐵𝐷=(4−𝑡)𝑐𝑚，

∴𝑄𝐷=𝐵𝐷−𝐵𝑄=(4−2𝑡)𝑐𝑚，

在𝑅𝑡△𝑃𝐶𝐸中，𝑃𝐶2=𝑃𝐸2+𝐶𝐸2=𝑡2+(4−𝑡)2， 在𝑅𝑡△𝑃𝐷𝑄中，𝑃𝑄2=𝑃𝐷2+𝐷𝑄2=(4−𝑡)2+(4−2𝑡)2， ∵四边形𝑄𝑃𝐶𝑃′为菱形， ∴𝑃𝑄=𝑃𝐶，

∴𝑡2+(4−𝑡)2=(4−𝑡)2+(4−2𝑡)2，

4

． ∴𝑡1=3，𝑡2=4（舍去）4

∴𝑡的值为．

3【解析】【分析】（1）利用勾股定理，相似三角形的判定与性质计算求解即可；

（2）结合题意，利用勾股定理计算求解即可。

24．（20分）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作

AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．

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（1）（5分）求抛物线的关系式；

（2）（5分）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当∠OPE面积最大时，求出P点坐标；

（3）（5分）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在∠OAE内（包括∠OAE的边界），求h的取值范围；

（4）（5分）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使∠POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），

1+𝑏+𝑐=0 𝑏=−4∴{，解得{，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；

𝑐=3𝑐=3

（2）解：如图1，过P作PG∥y轴，交OE于点G，

设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，

∴∠AOE＝45°，∴∠AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3）， 设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，3＝3k，解得k＝1， ∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），

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∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，

11

∴S∠OPE＝S∠OPG+S∠EPG=PG•AE=×3×（﹣m2+5m﹣3）

2233395

=−2（m2﹣5m+3）=−2（m−）2+8，

23

−2＜0，

35

∴当m=时，∠OPE面积最大，此时m2﹣4m+3＝−，

423

∴P点坐标为（5，−）；

24（3）解：由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2， 顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）． 设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3）， 如图2，

∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在∠OAE内（包括∠OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；

（4）解：设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图

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3，过P作MN∠y轴，交y轴于M，交l于N，

∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵∠OPF是等腰直角三角形，

∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°， ∴∠OPM＝∠PFN，∴∠OMP∠∠PNF（AAS），

√√√∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m=5+5或5−5，∵m=5+5222＞2，不合题意，舍去，

√√

∴m=5−5，此时m2﹣4m+3＝1−5，

22√√

∴P的坐标为（5−5，1−5）；

22②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3， 解得：m1∑𝑖=1

√√

或m2=3−5，∵3+5＞2，不合题意，舍去，

22√√

∴m＝3−5，此时m2﹣4m+3＝5+1，

22√√

∴P的坐标为（3−5，5+1）；

22③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN∠x轴于N，过F作FM∠MN于M，

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同理得∠ONP∠∠PMF，

∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1∑𝑖=1

√

或m2=3−5；

2√√√

∵3−5＜2，不合题意，舍去，∴m＝3+5，此时m2﹣4m+3＝1−5，

222P的坐标为（3+√5，1−√5）；

22④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，

√√

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m=5+5或5−5（舍），

22√√

P的坐标为：（5+5，5+1）；

22√√√√√√√

综上所述，点P的坐标是：（5−5，1−5）或（3−5，5+1）或（3+5，1−5）或（5+5，2222222√5+12）．

【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；

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（2）先求出 ∠AOE是等腰直角三角形， 再利用三角形的面积公式计算求解即可； （3）先求出 M（2，2）， 再结合函数图象求解即可； （4）分类讨论，列方程求解即可。

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试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：113分 客观题（占比） 21.0(18.6%) 分值分布 主观题（占比） 92.0(81.4%) 客观题（占比） 11(45.8%) 题量分布 主观题（占比） 13(54.2%) 2、试卷题量分布分析

大题题型 题目量（占比） 分值（占比） 填空题 6(25.0%) 6.0(5.3%) 解答题 8(33.3%) 87.0(77.0%) 单选题 10(41.7%) 20.0(17.7%) 3、试卷难度结构分析

序号 难易度 占比 1 普通 (70.8%) 2 容易 (16.7%) 3 困难 (12.5%) 4、试卷知识点分析

序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号 1 弧长的计算 1.0(0.9%) 14 26 / 29

2 解一元一次不等式组 10.0(8.8%) 17 3 二次函数图象与系数的关系 1.0(0.9%) 16 4 用样本估计总体 12.0(10.6%) 19 5 轴对称图形 2.0(1.8%) 4 6 列表法与树状图法 2.0(1.8%) 6 7 矩形的性质 1.0(0.9%) 15 8 二元一次方程组的应用-古代数学问题 1.0(0.9%) 13 9 反比例函数的实际应用 15.0(13.3%) 22 10 科学记数法—表示绝对值较大的数 2.0(1.8%) 5 11 待定系数法求二次函数解析式 20.0(17.7%) 24 12 定义新运算 2.0(1.8%) 9 13 在数轴上表示不等式组的解集 10.0(8.8%) 17 14 二次函数y=ax^2+bx+c的图象 1.0(0.9%) 16 15 二次函数y=ax^2+bx+c的性质 1.0(0.9%) 16 16 完全平方公式及运用 2.0(1.8%) 2 17 概率公式 2.0(1.8%) 6 18 同底数幂的除法 2.0(1.8%) 2 19 合并同类项法则及应用 2.0(1.8%) 2

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20 圆周角定理 2.0(1.8%) 7 21 待定系数法求一次函数解析式 15.0(13.3%) 22 22 相似三角形的判定与性质 20.0(17.7%) 21,23 23 中心对称及中心对称图形 2.0(1.8%) 4 24 二次函数-动态几何问题 20.0(17.7%) 24 25 积的乘方 2.0(1.8%) 2 26 线段垂直平分线的性质 1.0(0.9%) 15 27 三角形-动点问题 10.0(8.8%) 23 28 函数解析式 2.0(1.8%) 9 29 平行线的性质 1.0(0.9%) 11 30 全面调查与抽样调查 12.0(10.6%) 19 31 勾股定理 1.0(0.9%) 15 32 用图象表示变量间的关系 15.0(13.3%) 22 33 旋转的性质 1.0(0.9%) 14 34 利用分式运算化简求值 5.0(4.4%) 18 35 正多边形的性质 1.0(0.9%) 12 36 绝对值及有理数的绝对值 2.0(1.8%) 1 37 切线的判定 10.0(8.8%) 21

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38 正方形的性质 2.0(1.8%) 10 39 扇形统计图 12.0(10.6%) 19 40 三角形的综合 10.0(8.8%) 23 41 待定系数法求反比例函数解析式 2.0(1.8%) 10 42 坐标与图形变化﹣旋转 2.0(1.8%) 8 43 解直角三角形的应用 5.0(4.4%) 20 44 幂的乘方 2.0(1.8%) 2 45 几何体的展开图 2.0(1.8%) 3 46 锐角三角函数的定义 1.0(0.9%) 12

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